28.1.1 銳角三角函數(shù) 教學(xué)設(shè)計(jì)-2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

28.1.1銳角三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)教材分析：本章在已經(jīng)研究了直角三角形中三邊之間關(guān)系--勾股定理，兩個(gè)銳角之間關(guān)系的基礎(chǔ)上，利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)一步討論直角三角形邊角之間的關(guān)系，主要包括正弦、余弦和正切等銳角三角函數(shù)的概念，以及應(yīng)用三角函數(shù)等知識(shí)解直角三角形。通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷探索銳角三角函數(shù)的概念的過(guò)程，體會(huì)定義合理性，理解銳角三角函數(shù)的概念進(jìn)一步體會(huì)變換對(duì)應(yīng)函數(shù)思想，認(rèn)識(shí)、熟悉特殊角的三角函數(shù)值，并能夠根據(jù)這些特殊三角函數(shù)值說(shuō)出相應(yīng)的銳角，體會(huì)銳角與銳角三角函數(shù)值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。學(xué)情分析：九年級(jí)學(xué)生己經(jīng)掌握直角三角形中各邊和各角的關(guān)系，能靈活應(yīng)用相似圖形的推理證明定理，這為順利完成本單元的教學(xué)任務(wù)打下了基礎(chǔ)。引進(jìn)銳角三角函數(shù)，建立直角三角形中邊與角之間的關(guān)系，學(xué)生能全面掌握直角三角形的組成要素，邊角之間的關(guān)系，并綜合應(yīng)用銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)解決直角三角形有關(guān)的度量問(wèn)題，引入銳角的正弦概念的過(guò)程。核心素養(yǎng)目標(biāo)：根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的要求，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容分析和具體學(xué)情分析，制定本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)如下。1.通過(guò)對(duì)已學(xué)平面圖形的梳理，學(xué)生能夠建立初中階段方程內(nèi)容的整體架構(gòu)，初步形成學(xué)習(xí)圖形的“一般觀念”；2.通過(guò)上述過(guò)程，體會(huì)等腰三角形的邊角關(guān)系及直角三角形中銳角的角度與兩邊比值之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，即正弦、余弦及正弦是一種特殊函數(shù)；3.通過(guò)上述過(guò)程，再次讓學(xué)生經(jīng)歷和體驗(yàn)從歸納猜想到數(shù)學(xué)證明的過(guò)程，發(fā)展其推理能力、概括能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力等；4.通過(guò)上述過(guò)程和運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流及反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣。教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：銳角三角函數(shù)概念獲得的過(guò)程。難點(diǎn)：銳角與兩邊比值的函數(shù)關(guān)系，以及對(duì)三個(gè)符號(hào)的理解。根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的要求，此節(jié)課主要采用自主探究與合作交流相結(jié)合的教學(xué)方法，其有利于突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)。教學(xué)手段分析此節(jié)課采用GGB軟件輔助教學(xué)，通過(guò)演示圖形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，進(jìn)一步強(qiáng)化和驗(yàn)證學(xué)生的猜想，為部分學(xué)生觀察、猜想創(chuàng)造條件。教學(xué)過(guò)程：（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣通過(guò)欣賞比薩斜塔圖片和觀看比薩斜塔的視頻，導(dǎo)入我們這一章學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（二）復(fù)習(xí)提問(wèn)，以舊引新（1）我們學(xué)過(guò)哪些圖形（2）我們是怎么來(lái)學(xué)習(xí)這些圖形的？（3）研究學(xué)習(xí)了這些圖形的哪些要素？【設(shè)計(jì)目的】在新課開(kāi)始前帶領(lǐng)學(xué)生回憶所學(xué)平面圖形的學(xué)習(xí)路徑，引出此節(jié)課研究特殊三角形的邊角關(guān)系，為講銳角三角函數(shù)做好知識(shí)上的鋪墊。（二）設(shè)計(jì)活動(dòng)，探究新知教學(xué)活動(dòng):1：等腰三角形的邊角關(guān)系。活動(dòng)設(shè)計(jì)：固定等腰三角形的頂角，從和差積商四個(gè)角度來(lái)探究等腰三角形的底和腰之間有沒(méi)有固定不變的數(shù)學(xué)關(guān)系。結(jié)論：底與腰之比隨著∠A的變化而變化，當(dāng)∠A確定時(shí)，底與腰的比值唯一確定。【設(shè)計(jì)目的】從學(xué)習(xí)圖形路徑出發(fā)出發(fā)，接下來(lái)研究三角形的邊角關(guān)系，由一般到特殊，從探究等腰三角形的邊角關(guān)系入手，借助GGB動(dòng)畫演示和學(xué)生的推理論證，得出等腰三角形的邊角關(guān)系。另一方面，通過(guò)教學(xué)活動(dòng)感受從一般到特殊的歸納思想，發(fā)現(xiàn)不變規(guī)律——對(duì)邊與斜邊比值不變。此外，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。教學(xué)活動(dòng)2：在上面的問(wèn)題中，繼續(xù)追問(wèn)直角三角形的邊角關(guān)系有沒(méi)有類似的固定不變的位置關(guān)系。結(jié)論：∠A的邊之比隨著∠A的變化而變化，當(dāng)∠A確定時(shí)，邊之比唯一確定?！驹O(shè)計(jì)目的】由于有教學(xué)活動(dòng)1作為鋪墊，因此教學(xué)活動(dòng)2問(wèn)題的設(shè)問(wèn)相比之下比較直截了當(dāng)，即探索對(duì)邊與斜邊比值是否為固定值?？紤]到?jīng)]有直接的結(jié)論可用，解決辦法類比等腰三角形的推理論證和直觀感知。通過(guò)此問(wèn)題，讓學(xué)生再次體會(huì)從特殊到一般的歸納、推理過(guò)程，感悟其中的思想方法，同時(shí)讓學(xué)生再次體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展過(guò)程中的基本思維方式，始于猜想，終于證明。在證明的過(guò)程中運(yùn)用相似三角形的相關(guān)知識(shí)，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的推理論證能力。教學(xué)活動(dòng)3：歸納、提升感性認(rèn)識(shí)：得出銳角三角函數(shù)的定義，以及它們的表示的符號(hào)。深化理解，體會(huì)邊角之間的本質(zhì)關(guān)系。結(jié)論：∠A是自變量，對(duì)應(yīng)邊之比是因變量。當(dāng)∠A的大小固定時(shí)，它們的比值也是固定值，當(dāng)∠A變化時(shí)，它們的比值也隨之變化，我們稱這個(gè)比值是∠A的三個(gè)銳角三角函數(shù)。（三）鞏固新知，深化理解例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,求出∠A的正弦、余弦和正切的值。【設(shè)計(jì)目的】：以直觀的直角三角形圖形為背景，強(qiáng)調(diào)銳角三角函數(shù)定義及其符號(hào)意義。例題變式：∠A是直線y=2x與x軸正方向所成的銳角，求∠α的正弦。【設(shè)計(jì)目的】在上一例題的基礎(chǔ)上，沒(méi)有給出直角三角形的情形下，學(xué)生需要自己構(gòu)造直角三角形來(lái)解決，運(yùn)用勾股定理求出函數(shù)值，這樣可以提高學(xué)生靈活變通的解題能力。學(xué)以致用：回到我們比薩斜塔1972年的情形：已知塔身中心線是54.5m,塔頂中心線距離垂直中心線的距離是5.2米，如何得出塔身中心線與垂直中心線的夾角?；氐轿覀儽人_斜塔1972年的情形：已知塔身中心線是54.5m,塔頂中心線距離垂直中心線的距離是5.2米，如何得出塔身中心線與垂直中心線的夾角sin∠θ≈5.5【設(shè)計(jì)目的】回應(yīng)課前的比薩斜塔留下的問(wèn)題，利用本節(jié)課所學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活有服務(wù)于生活，也正好體現(xiàn)了大單元的學(xué)習(xí)思路。（四）自我評(píng)價(jià)，總結(jié)反思數(shù)學(xué)思想模型思想類比思想數(shù)形結(jié)合思想由特殊到一般本節(jié)課我們學(xué)了哪些主要內(nèi)容？我們是如何探究本課知識(shí)的？本課體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？【設(shè)計(jì)目的】讓學(xué)生回顧本課所學(xué)知識(shí)的同時(shí)理清學(xué)習(xí)新知的研究路徑，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)