【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 重難點12 立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類（新高考專用）（原卷版）

重難點12立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1立體幾何中的體積問題】 3【題型2立體幾何中的線段長度問題】 5【題型3空間角問題】 7【題型4空間中的距離問題】 9【題型5立體幾何中的折疊問題】 11【題型6

立體幾何中的探索性問題】 13【題型7立體幾何中的作圖問題】 15【題型8立體幾何建系繁瑣問題（幾何法）】 17【題型9立體幾何新定義問題】 19空間向量與立體幾何是高考的熱點內(nèi)容，空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)合，以某個空間幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深；第一小問主要考察空間線面位置關(guān)系的證明，難度較易；第二、三小問一般考察空間角、空間距離與幾何體的體積等，難度中等；空間向量作為求解空間角的有力工具，通常在解答題中進行考查，解題時需要靈活建系．【知識點1空間幾何體表面積與體積的常見求法】1.求幾何體體積的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2.求組合體的表面積與體積的一般方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.【知識點2幾何法與向量法求空間角】1.幾何法求異面直線所成的角(1)求異面直線所成角一般步驟：①平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線；②證明：證明所作的角是異面直線所成的角；③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因為異面直線所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時，應(yīng)取它的補角作為異面直線所成的角.2.用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.3.幾何法求線面角(1)垂線法求線面角(也稱直接法)：①先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A，過點A向平面做垂線，確定垂足O；②連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；③把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.(2)公式法求線面角(也稱等體積法)：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點P到面的距離，利用三角形的正弦公式進行求解.公式為：，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，l是斜線段的長.4.向量法求直線與平面所成角的主要方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.5.幾何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6.向量法求二面角的解題思路:用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.【知識點3空間距離的求解策略】1.向量法求點到直線距離的步驟：(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量.(2)在直線上任取一點M(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量.(3)垂線段長度.2.求點到平面的距離的常用方法(1)直接法：過P點作平面的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面的距離.②轉(zhuǎn)化法：若點P所在的直線l平行于平面，則轉(zhuǎn)化為直線l上某一個點到平面的距離來求.③等體積法.④向量法：設(shè)平面的一個法向量為，A是內(nèi)任意點，則點P到的距離為.【知識點4立體幾何中的探索性問題的求解策略】1.與空間向量有關(guān)的探索性問題的求解策略：在立體幾何中，與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角、二面角或點線面距離滿足特定要求時的存在性問題．解決這兩類探索性問題的解題策略是：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．【題型1立體幾何中的體積問題】【例1】（2023·陜西咸陽·?？寄M預(yù)測）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形BCEF是矩形，側(cè)面ADEF是直角梯形，AD//EF，AD⊥AF,AF=BF=AD=12EF=2,BE與CF(1)證明：AO//平面CDE(2)若AB=23，求三棱錐A【變式1-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(1)求證：C1M⊥(2)求三棱錐M-B【變式1-2】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖所示，在四棱錐B-ACDE中，AE∥CD,AE⊥AC,(1)證明：AB⊥(2)若AC=BC=2,AF與平面ABE所成角的正弦值為【變式1-3】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，直線C

(1)求證：AC⊥(2)若AC=BC=BC1=2，在棱A1B1【題型2立體幾何中的線段長度問題】【例2】（2023·安徽滁州·統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，∠(1)求證：PB⊥(2)若平面PBD⊥平面PBC，且△PAD中，AD邊上的高為3，求AD【變式2-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，點E，F(xiàn)分別在棱A(1)證明：DE//(2)點P在對角線BC1上，當(dāng)二面角D-EF-P【變式2-2】（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為正方形，邊長為3，PD⊥(1)求證：BC⊥平面CDP(2)若直線AD與BP所成的角大小為60°，求DP的長．【變式2-3】（2023·山東·煙臺二中校考模擬預(yù)測）在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD(1)若AA1=3，求證：平面A(2)若直線OD1與平面A1OB【題型3空間角問題】【例3】（2023·甘肅平?jīng)觥ば？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，CD⊥AD，AD=CD=2BC=2(1)求證：CD⊥(2)求二面角C-【變式3-1】（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，E、F分別是PC、(1)判斷直線DE與平面PFB的位置關(guān)系；(2)若PB與平面ABCD所成角為45°，求平面PFB與平面EDB所成二面角大小的正弦值.【變式3-2】（2023·河北邢臺·寧晉中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，點A1在平面ABC內(nèi)的射影D在線段

(1)證明：AC(2)設(shè)直線AA1到平面BCC1B1【變式3-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知四邊形ABCD是矩形，BC=λAB，λ∈2,+∞．如圖，將△ABC沿著對角線AC翻折，得到△AB(1)求證：AB1⊥(2)求AOAD(3)若二面角B1-AC-D的余弦值為1【題型4空間中的距離問題】【例4】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐C-ABDE中，DE⊥平面BCD，BD=4，(1)求證：AE//平面BCD(2)若BC⊥CD，且直線BC與AE所成角為30°，求點E到平面【變式4-1】（2023·天津北辰·?？寄M預(yù)測）在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=2，四邊形ABCD是直角梯形，且AB⊥AD，BC//AD，AD=AB=2，BC

(1)求證：DM//平面PAB(2)求直線PB與平面PDE所成角的正弦值；(3)求點E到PD的距離.【變式4-2】（2023·湖南岳陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1(1)求直三棱柱ABC-(2)求證：BC//平面AB1C1，并求出BC【變式4-3】（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB

(1)設(shè)平面PAB與平面PCD的交線為l，求證：l//平面ABCD(2)點E在棱PB上，直線AE與平面ABCD所成角為π6，求點E到平面PCD的距離【題型5立體幾何中的折疊問題】【例5】（2023·廣東中山·中山紀(jì)念中學(xué)三模）在直角梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD=2AB=25，∠ABC=90°，如圖（

(1)求證：CD⊥(2)在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為60°？若存在，求出BNBC【變式5-1】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在圖1中，△ABC為等腰直角三角形，∠B=90°，AB=22，△ACD為等邊三角形，O為AC邊的中點，E在BC邊上，且EC=2BE，沿AC將△ACD進行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2

(1)證明：FO⊥平面ABC(2)求二面角E-【變式5-2】（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖①，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2，BC=CD=2，∠BAD=60°．將△BCD沿著BD折疊，使得點C到達(dá)點C'的位置，且二面角A-BD-C(1)證明：平面PGF//平面C(2)求四棱錐P-【變式5-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=90°,CD=2AD=2,AB=3,E為線段AB上靠近點A的三等分點，將(1)求證：AD⊥(2)是否存在點P，使得直線AP與平面ABE所成角的正弦值為66?若存在，求出線段EP【題型6

立體幾何中的探索性問題】【例6】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，直線C

(1)求證：AC⊥(2)若AC=BC=BC1=2，在棱A1B【變式6-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E為AD(1)在線段PB上是否存在一點M，使得PC⊥平面EFM，若存在，請求出PM(2)在（1）的條件下，求二面角E-【變式6-2】（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在幾何體ABCDE中，CA=CB,

(1)求證：平面ADE⊥平面ABE(2)若CA=AB,BE=3,AB=4，在棱AC上是否存在一點F，使得EF與平面【變式6-3】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，A(1)求證：平面A1ACC(2)若∠A1AC=60°，是否存在λ，使二面角B-A【題型7立體幾何中的作圖問題】【例7】（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D

(1)記線段BC的中點為K，在平面ABCD內(nèi)過點K作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線EB與平面ECF所成角的正弦值.【變式7-1】（2023·貴州黔東南·凱里一中?？既＃┤鐖D1所示，在邊長為3的正方形ABCD中，將△ADC沿AC折到△APC的位置，使得平面APC⊥平面ABC，得到圖2所示的三棱錐P-ABC．點E,F,G分別在PA,PB,PC(1)在圖2中畫出交線l，保留作圖痕跡，并寫出畫法．(2)求二面角A-【變式7-2】（2023·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1(1)試在平面ABCD內(nèi)過點C作直線l，使得直線l//平面C1BD(2)求平面BC1D與平面【變式7-3】（2022·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，且PA(1)作出交線l（寫出作圖步驟），并證明l⊥平面PAD(2)記l與平面ABCD的交點為Q，點S在交線l上，且PS=λPQ(0<λ<1)，當(dāng)二面角【題型8立體幾何建系繁瑣問題（幾何法）】【例8】（2022·浙江·三模）如圖，四面體ABCD的棱AB?平面α,CD(1)證明：平面ABC⊥平面ABD(2)若平面ABC與平面α所成銳二面角的正切值為12，線段CD與平面α相交，求平面ACD與平面α【變式8-1】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在正三角形ABC中，E、F、P分別是-AB、AC、BC邊上的點，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2(如圖1).將△AEF沿EF折起到△A1

(1)求證：FP//平面A1(2)求證：A1E⊥(3)求直線A1E與平面【變式8-2】（2023·重慶·統(tǒng)考三模）如圖，四面體ABCD的頂點都在以AB為直徑的球面上，底面BCD是邊長為3的等邊三角形，球心O到底面的距離為1．(1)求球O的表面積；(2)求二面角B-【變式8-3】（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖所示，在三棱錐A-BCD中，滿足BC=CD=33，點M在CD上，且DM=5MC，△ABD為邊長為6的等邊三角形，E(1)求證：FM//面ABC(2)若二面角A-BD-C的平面角的大小為2π3【題型9立體幾何新定義問題】【例9】（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線PA，PB，PC構(gòu)成的三面角P-ABC，∠APC=α，∠BPC=β，（1）當(dāng)α、β∈（2）如圖2，平行六面體ABCD-A1B1C1D1①求∠A②在直線CC1上是否存在點P，使BP//平面D【變式9-1】（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？家荒＃┓浞渴亲匀唤缱钌衿娴摹敖ㄖ敝?，如圖1所示.蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐H-ABC，J-CDE，K-EFA，再分別以AC，CE，EA為軸將△ACH，△CEJ，△EAK分別向上翻轉(zhuǎn)180°，使H，J，K三點重合為點S所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示.蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于2(1)求蜂房曲頂空間的彎曲度；(2)若正六棱柱底面邊長為1，側(cè)棱長為2，設(shè)BH（i）用x表示蜂房（圖2右側(cè)多面體）的表面積S(（ii）當(dāng)蜂房表面積最小時，求其頂點S的曲率的余弦值.【變式9-2】（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知頂點為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經(jīng)過頂點S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構(gòu)建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點為F，直線l與平面α交點為A，直線AF與圓錐S交點為O，圓錐S的母線OS與球T的切點為M，OM=a，(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，θ關(guān)系式；(2)求證：曲線C是拋物線．【變式9-3】（2022·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）閱讀以下材料：球的體積公式的推導(dǎo)，球面可以看作一個半圓繞著其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周所得，已知半圓方程為x2+y2=R2(y≥0)，由x2+(1)若橢圓方程為x2(2)如圖所示的橢球是由水平放置的橢圓C1繞其長軸AB所在直線旋轉(zhuǎn)所得，其中旋轉(zhuǎn)90°得到橢圓C2，橢圓C1上的點P1剛好對應(yīng)橢圓C2上的點P2，橢圓C1的中心為O，以O(shè)B為x軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz（橢圓C1在平面xOy內(nèi)），點P2關(guān)于z軸對稱的點為P31．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC

(1)求證：BC⊥