2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·上海卷

PAGE12023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試·上海卷數(shù)學(xué)一、填空題(本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分)1．不等式|x－2|<1的解集為________．{x|1<x<3}[由|x－2|<1得－1<x－2<1，即1<x<3，故不等式|x－2|<1的解集是{x|1<x<3}．]2．已知a＝(－2，3)，b＝(1，2)，則a·b＝________．4[a·b＝－2×1＋3×2＝4．]3．已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝3，公比q＝2，則S6＝________．189[S6＝3×1?261?24．已知tanα＝3，則tan2α＝________．－34[tan2α＝2tanα5．已知函數(shù)f(x)＝2x，x>01，[1，＋∞)[當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2x單調(diào)遞增，f(x)>1；當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝1．故f(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)．]6．已知復(fù)數(shù)z＝1＋i，則|1－i·z|＝________．5[∵z＝1＋i，∴1－i·z＝1－i(1＋i)＝1－i＋1＝2－i，∴|1－i·z|＝|2－i|＝5．]7．已知圓C：x2＋y2－4y－m＝0的面積為π，則m＝________．－3[由x2＋y2－4y－m＝0得x2＋(y－2)2＝m＋4，故半徑r＝m+4，∴π(m＋4)＝π，解得m8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，則sinA＝________．74[由余弦定理的推論得cosA＝b2+c2?a22bc＝52+69．國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)是衡量一個(gè)國(guó)家或地區(qū)經(jīng)濟(jì)狀況和發(fā)展水平的重要指標(biāo)．根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，某市在2020年間經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量增長(zhǎng)，GDP穩(wěn)定增長(zhǎng)，第一季度和第四季度的GDP分別為232億元和241億元，且四個(gè)季度的GDP逐季度增長(zhǎng)，中位數(shù)與平均數(shù)相等，則該市2020年的GDP總額為________億元．946[依題意，將2020年四個(gè)季度的GDP數(shù)據(jù)分別記為a1，a2，a3，a4，則a1＝232，a4＝241，四個(gè)季度GDP數(shù)據(jù)的中位數(shù)為12(a2＋a3)，平均數(shù)為14(a1＋a2＋a3＋a4)，則12(a2＋a3)＝14(a1＋a2＋a3＋a4)，∴a2＋a3＝a1＋a4＝473，故該市2020年的GDP總額為a1＋a2＋a3＋a4＝2(a1＋a10．已知(1＋2023x)100＋(2023－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，其中a0，a1，a2，…，a100∈R，若0≤k≤100且k∈N，當(dāng)ak<0時(shí)，k的最大值為________．49[xk的系數(shù)為ak＝C100k2023k+C100k2023100-k(－1)k＝C100k2023k[1＋2023100-2k(－1)k]，k＝0，1，2，…，100，要使ak<0，則k必為奇數(shù)，且2023100?211．公園欲修建一段斜坡，假設(shè)斜坡底在水平面上，斜坡與水平面的夾角為θ，斜坡頂端距離水平面的垂直高度為4米，人沿著斜坡每向上走1米，消耗的體能為(1.025－cosθ)，要使從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能最少，則θ＝________．a(chǎn)rctan940或arccos4041或arcsin941[法一：易求斜坡的長(zhǎng)度為4sinθ0<θ<π2，則從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能T＝41.025?cosθsinθ，即Tsinθ＋4cosθ＝4.1，T2+42sin(θ＋α)＝4.1，其中銳角α滿足tanα＝4T，∴T法二：易求斜坡的長(zhǎng)度為4sinθ0<θ<π2，則從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能T＝41.025?cosθsinθ，即Tsinθ＋4cosθ＝4.1，T＝4.1?4cosθsinθ，設(shè)t＝tanθ2，則t＝sinθ2cosθ2＝2sin2θ22sinθ2cosθ2＝1?cosθsinθ，結(jié)合sin2θ＋cos2θ＝1，可得sinθ＝2t1+t法三：易求斜坡的長(zhǎng)度為4sinθ0<θ<π2，則從斜坡底走到斜坡頂端所消耗的總體能T＝41.025?cosθsinθ，即Tsinθ＋4cosθ＝4.1，T＝4.1?4cosθsinθ，則T′＝4sin2θ?4.1?4cosθcosθsin2θ4?4.1cosθsin2θ，令T′＝0，得cosθ＝4041，θ＝arccos4041，當(dāng)12．已知空間中的三點(diǎn)A，B，C滿足AB＝AC＝BC＝1，在空間中任取不同的兩點(diǎn)(不計(jì)順序)，使得這兩點(diǎn)與點(diǎn)A，B，C可以組成正四棱錐，則不同的取法有________種(用數(shù)字作答)．9[由題意得△ABC為正三角形．根據(jù)正四棱錐的定義知，正四棱錐的底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是正方形的中心，故所給正△ABC的任意一條邊可以為底面正方形的一條邊或?qū)蔷€，將△ABC的一條邊作為底面正方形的一條邊，若將BC作為底面正方形的一條邊，可在△ABC的左側(cè)取不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)，圖1使得這兩點(diǎn)與A，B，C構(gòu)成正四棱錐A-BCEF，在△ABC的右側(cè)取不同的兩點(diǎn)E′，F(xiàn)′，使得這兩點(diǎn)與A，B，C構(gòu)成正四棱錐A-BCE′F′，如圖1，同樣，AB，AC也可作為底面正方形的一條邊，所以方案數(shù)為3×2＝6；將△ABC的一條邊作為底面正方形的對(duì)角線時(shí)，若將BC作為底面正方形的對(duì)角線，可構(gòu)造一個(gè)正四棱錐，如圖2，圖2同樣AB，AC也可作為底面正方形的對(duì)角線，所以方案數(shù)為3．故不同的取法有6＋3＝9(種)．]二、選擇題(本大題共有4題，滿分20分，每題5分，每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng))13．已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P且x?Q}，則M＝()A．{1} B．{2}C．{1，2} D．{1，2，3}A[由M＝{x|x∈P且x?Q}知，M＝{1}．故選A．]14．已知某校50名學(xué)生的身高與體重的散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()A．身高越高，體重越重B．身高越高，體重越輕C．身高與體重成正相關(guān)D．身高與體重成負(fù)相關(guān)C[由題圖可知，各數(shù)據(jù)分布呈線性，且從左向右看，呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，故身高與體重成正相關(guān)．故選C．]15．設(shè)a>0，函數(shù)y＝sinx在區(qū)間[a，2a]上的最小值為s，在區(qū)間[2a，3a]上的最小值為t，當(dāng)a變化時(shí)，下列不可能成立的是()A．s>0且t>0 B．s<0且t<0C．s>0且t<0 D．s<0且t>0D[取a＝π8，則y＝sinx在區(qū)間π8，π4上的最小值s＝sinπ8>0，在區(qū)間π4，3π8上的最小值t＝sinπ4>0，選項(xiàng)A可能成立；取a＝3π8，則y＝sinx在區(qū)間3π8，3π4上的最小值s＝sin3π4>0，在區(qū)間3π4，9π8上的最小值t＝sin9π8＝－sinπ8<0，選項(xiàng)C可能成立；取a＝9π8，16．在平面上，若曲線Γ具有如下性質(zhì)：存在點(diǎn)M，使得對(duì)于任意的點(diǎn)P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|·|QM|＝1，則稱這條曲線為“自相關(guān)曲線”．下列兩個(gè)命題的真假情況為()①所有橢圓都是“自相關(guān)曲線”．②存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線．A．①為假命題，②為真命題B．①為真命題，②為假命題C．①為真命題，②為真命題D．①為假命題，②為假命題B[對(duì)于命題①，設(shè)橢圓C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的長(zhǎng)軸為AB，在AB的延長(zhǎng)線上能找到一點(diǎn)M，使|MA|·|MB|＝1．不妨設(shè)M(x0，0)(x0>a)，則|PM|max＝a＋x0，|PM|min＝x0－a，即|PM|∈[x0－a，x0＋a]，易知|QM|也在此范圍內(nèi)，不妨讓|PM|取最大值，|QM|取最小值，假設(shè)|PM|·|QM|＝1成立，則(x0＋a)(x0－a)＝1，得x0＝1+a2，故存在M(1+a2，0)使假設(shè)成立，當(dāng)x0＝1+a2時(shí)，若|PM|由x0＋a逐漸減小為x0－a，則一定有QM∈[x0－a，x0＋a]，使得|PM|·|QM|＝1，故存在點(diǎn)M，使得對(duì)于任意的點(diǎn)P∈C，都有Q∈C使得|PM|·|QM|＝1，∴橢圓C是“對(duì)于命題②，由題意，點(diǎn)P的位置不固定且雙曲線不封閉，∴|PM|可取無(wú)窮大．如果M在雙曲線上，則會(huì)存在P和M重合的情況，不符合題意，故M不在雙曲線上．假設(shè)存在點(diǎn)M，使得對(duì)于任意的P∈Γ，都有Q∈Γ使得|PM|·|QM|＝1，若|PM|取無(wú)窮大，則|QM|→0，∵Q∈Γ，M?Γ，∴|QM|不會(huì)趨近于0，故假設(shè)不成立，∴不存在是“自相關(guān)曲線”的雙曲線，故②為假命題．故選B．]三、解答題(本大題共有5題，滿分76分)解答下列各題必須寫出必要的步驟．17．(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥DC，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，DC＝4．(1)求證：A1B∥平面DCC1D1；(2)若直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為36，求二面角A1-BD-A的大?。甗解](1)法一：∵AB∥DC，AB?平面DCC1D1，CD?平面DCC1D1，∴AB∥平面DCC1D1．∵AA1∥DD1，AA1?平面DCC1D1，DD1?平面DCC1D1，∴AA1∥平面DCC1D1．又AB∩AA1＝A，∴平面ABB1A1∥平面DCC1D1．又A1B?平面ABB1A1，∴A1B∥平面DCC1D1．法二：如圖1，取CD的中點(diǎn)E，連接BE，D1E，圖1則DE＝2，∵AB∥DC，AB＝2，∴AB綉DE，∴四邊形ABED為平行四邊形，∴BE綉AD．又AD綉A1D1，∴BE綉A1D1，∴四邊形A1D1EB為平行四邊形，∴A1B∥D1E，又D1E?平面DCC1D1，A1B?平面DCC1D1，∴A1B∥平面DCC1D1．(2)由題意得，S梯形ABCD＝12×(2＋4)×3＝9又直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為36，∴9×AA1＝36，∴AA1＝4．法一：如圖2，過A作AH⊥BD于點(diǎn)H，連接A1H．圖2∵AA1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴AA1⊥BD．又AH⊥BD，AA1∩AH＝A，∴BD⊥平面AA1H，∴A1H⊥BD．∴∠A1HA為二面角A1-BD-A的平面角．在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝3，可得AH＝613∴在Rt△A1AH中，tan∠A1HA＝AA1AH＝4∴∠A1HA＝arctan213即二面角A1-BD-A的大小為arctan213法二：由題意，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1的方向?yàn)閤，圖3則D(0，0，0)，B(3，2，0)，A1(3，0，4)，∴DB＝(3，2，0)，DA1＝(3，0，顯然平面ABD的一個(gè)法向量為n＝(0，0，1)．設(shè)平面A1BD的法向量為m＝(x，y，z)，則3x+2y=03x+4z=0設(shè)α為n與m的夾角，φ為二面角A1-BD-A的平面角，由題意知φ為銳角，則cosφ＝|cosα|＝316+36+9＝3因此φ＝arccos361∴二面角A1-BD-A的大小為arccos36118．(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知函數(shù)f(x)＝x2+3a+1x+(1)當(dāng)a＝0時(shí)，是否存在c，使得f(x)為奇函數(shù)？(2)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(1，3)，且f(x)的圖象與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求c的值及a的取值范圍．[解](1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2∴f(1)＝2＋c，f(－1)＝－c，顯然f(1)≠－f(－1)，∴當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)不可能為奇函數(shù)，∴當(dāng)a＝0時(shí)，不存在c，使得f(x)為奇函數(shù)．(2)由題意得f(1)＝1+3∴3a＋c＋2＝3a＋3，∴c＝1，∴f(x)＝x2∵f(x)的圖象與x軸負(fù)半軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程x2＋(3a＋1)x＋1＝0有兩個(gè)不同負(fù)實(shí)數(shù)根x1，x2，且x1≠－a，x2≠－a，∴x得a>13且a≠1∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為13，119．(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．21世紀(jì)汽車博覽會(huì)在上海舉行．某汽車模型公司共有25個(gè)汽車模型，其外觀與內(nèi)飾的顏色分布如表所示：紅色外觀藍(lán)色外觀棕色內(nèi)飾812米色內(nèi)飾23現(xiàn)將這25個(gè)汽車模型進(jìn)行編號(hào)．(1)若小明從25個(gè)汽車模型編號(hào)中隨機(jī)選取一個(gè)，記事件A為小明取到的模型為紅色外觀，事件B為小明取到的模型為米色內(nèi)飾，求P(B)和P(B|A)，并據(jù)此判斷事件A和事件B是否獨(dú)立．(2)該公司舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人一次性從25個(gè)汽車模型編號(hào)中選取兩個(gè)，給出以下抽獎(jiǎng)規(guī)則：①選到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均同色、外觀和內(nèi)飾都異色以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；②按結(jié)果的可能性大小設(shè)置獎(jiǎng)項(xiàng)，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高；③該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金金額為一等獎(jiǎng)600元、二等獎(jiǎng)300元、三等獎(jiǎng)150元．請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金金額，寫出X的分布列，并求出X的數(shù)學(xué)期望．[解](1)由題意得，P(B)＝2+325＝1P(A)＝8+225＝25，P(AB)＝則P(B|A)＝PABPA＝2∵P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A和事件B獨(dú)立．(2)記外觀與內(nèi)飾均同色為事件A1，外觀與內(nèi)飾都異色為事件A2，僅外觀或僅內(nèi)飾同色為事件A3，則P(A1)＝C82+C12P(A2)＝C81C31P(A3)＝C81C21∵P(A2)<P(A1)<P(A3)，∴一等獎(jiǎng)為兩個(gè)汽車模型的外觀與內(nèi)飾都異色，二等獎(jiǎng)為兩個(gè)汽車模型的外觀與內(nèi)飾均同色，三等獎(jiǎng)為兩個(gè)汽車模型僅外觀或內(nèi)飾同色．X的分布列如表：X150300600P77494E(X)＝150×77150＋300×49150＋600×20．(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．已知曲線Γ：y2＝4x，第一象限內(nèi)的點(diǎn)A在Γ上，設(shè)A的縱坐標(biāo)是a．(1)若點(diǎn)A到Γ的準(zhǔn)線的距離為3，求a的值；(2)若a＝4，B為x軸上一點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)在Γ上，求點(diǎn)B的坐標(biāo)和坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離；(3)設(shè)直線l：x＝－3，P是第一象限Γ上異于A的一點(diǎn)，直線AP交直線l于點(diǎn)Q，點(diǎn)H是點(diǎn)P在直線l上的投影，若點(diǎn)A滿足性質(zhì)“當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，|HQ|>4恒成立”，求a的取值范圍．[解](1)由題意，Γ的準(zhǔn)線方程為x＝－1，Aa2則a24＋1＝3，得a又a>0，∴a＝22．(2)由題意知，A(4，4)，設(shè)B(b，0)，則AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為4+b2，2，代入y2＝4x，得4＝2(4＋b)，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－2，0)．則直線AB的斜率為4?04??2＝∴直線AB的方程為y＝23(x＋2)，即2x－3y∴坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為422+?32(3)由題意知，Aa24，設(shè)Py024，y0(y0>0)，則H(－3，y0)，直線AP的斜率k直線AP的方程為y＝4a+y∴Q?3，4∴|HQ|＝y(tǒng)0??12?a2+a∴a<y02+124－y0＝y(tǒng)024－y0＋3＝14(y0－2)2＋2即a－2<14(y0－2)2(y0∈(0，a當(dāng)a＝2時(shí)，由y0≠a得y0≠2，則a－2<14(y0－2)2恒成立；當(dāng)a－2<0，即a<2時(shí)，a－2<14(y0－2)2綜上，a的取值范圍是(0，2]．21．(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知函數(shù)f(x)＝lnx．取a1>0，過點(diǎn)(a1，f(a1))作曲線y＝f(x)的切線，交y軸于點(diǎn)(0，a2)；a2>0，過點(diǎn)(a2，f(a2))作曲線y＝f(x)的切線，交y軸于點(diǎn)(0，a3)，以此類推，若an≤0，n∈N*，則停止操作，得到數(shù)列{an}．(1)若正整數(shù)m≥2，證明：am＝lnam－1－1．(2)若正整數(shù)m≥2，試比較am與am－1－2的大?。?3)若正整數(shù)k≥3，是否存在k使得a1，a2，…，ak依次成等差數(shù)列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，試說(shuō)明理由．[解](1)證明：由題得，f′(x)＝1x當(dāng)正整數(shù)m≥2時(shí)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(am－1，f(am－1))處的切線方程為y－f(am－1)＝1am?1(x－a即y－lnam－1＝1am?1(x－a又此切線交y軸于點(diǎn)(0，a