已知A(4,1),B(5,2),求x軸上點(diǎn)P到A,B距離和最小值

已知A(4,1),B(5,2),求x軸上點(diǎn)P到A,B距離和最小值主要內(nèi)容：本文通過解析幾何直線性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)法，介紹已知A(4,1),B(5,2)求x軸上點(diǎn)P有其到A,B距離和最小值的主要步驟。?.對稱分析法根據(jù)兩點(diǎn)間直線距離最短，先找出其中1個點(diǎn)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)，再與另外一個點(diǎn)連成直線，則直線與x軸的交點(diǎn)即為所求的p點(diǎn)?！?找關(guān)于A點(diǎn)對稱步驟：A(4,1)B(5,2) xP(eq\f(13,3),0)A1(4,-1)此時A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A1(4,-1)，此時直線A1B的斜率k1為：k1=eq\f(2-(-1),5-4)=3,則其直線方程為:y-2=3*(x-5).令y=0，代入求出x=eq\f(13,3),所以p(eq\f(13,3),0).☆.找關(guān)于B點(diǎn)對稱步驟：A(4,1)B(5,2) xP(eq\f(13,3),0)B1(5,-2)此時B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B1(5,-2)，此時直線B1A的斜率k2為：k2=eq\f(1-(-2),4-5)=-3,則其直線方程為:y-1=-3(x-4).令y=0，代入求出x=eq\f(13,3),所以p(eq\f(13,3),0).?.三角形分析法已知A(4,1),B(5,2),求x軸上點(diǎn)P有其到A,B距離和最小，即問題轉(zhuǎn)化為在三角形ABP中，已知邊AB的長度c=eq\r(2)為定值，求三角形另外兩邊BP和AP長度和的最小值。 P(x,0) A(4,1)B(5,2)由于三角形的兩邊和大于第三邊，即BP+AP>AB，可知當(dāng)BP與AP的夾角越接近180°時，AP+PB的值最小,設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,0)，x∈(4,5),此時AP和PB的斜率絕對值相等。又Kap=eq\f(1,4-x)，kbp=eq\f(2,5-x)，所以：|eq\f(1,4-x)|=|eq\f(2,5-x)|，求出x=eq\f(13,3)，其中x=3(舍去)。?.光線最短路徑分析法思路：光線總是沿傳播所耗時間最短路程傳播。B(5,2)A(4,1) 90°-θθP(x,0)x所求點(diǎn)即為光線的入射角，光線從A點(diǎn)出發(fā)，在p點(diǎn)反射后，經(jīng)過點(diǎn)B,設(shè)PB與x軸的傾斜角為θ，則光線的入射角=反射角=90°-θ，此時PA的與x軸的傾斜角為180°-θ，根據(jù)斜率關(guān)系有：tanθ=kbp=eq\f(2,5-x),tan(180°-θ)=Kap=eq\f(1,4-x),所以：2(4-x)=-1(5-x),即：x=eq\f(13,3)。?.導(dǎo)數(shù)分析法設(shè)p的坐標(biāo)為p(x,0),所求距離和為d，則：d=eq\r((x-4)2+12)+eq\r((x-5)2+22),是關(guān)于x的函數(shù)，對x求導(dǎo)有d'x=eq\f(x-4,eq\r((x-4)2+12))+eq\f(x-5,eq\r((x-5)2+22)),令d'x=0，則eq\f(x-4,eq\r((x-4)2+12))=-eq\f(x-5,eq\r((x-5)2+22)),(5-x)eq\r((x-4)2+12)=(x-4)eq\r((x-5)2+22),可知4<x<5,方程兩邊平方