《數(shù)字圖像處理》課件第10章

第10章圖像復原10.1圖像退化與復原10.2非約束復原10.3最小二乘類約束復原10.4非線性復原方法習題10.1圖像退化與復原

10.1.1圖像降質的數(shù)學模型

圖像復原處理的關鍵問題在于建立退化模型。輸入圖像f(x，y)經(jīng)過某個退化系統(tǒng)后的輸出是一幅退化的圖像。為了討論方便，把噪聲引起的退化即噪聲對圖像的影響一般作為加性噪聲考慮，這也與許多實際應用情況一致。如圖像數(shù)字化時的量化噪聲、隨機噪聲等就可以作為加性噪聲，即使不是加性噪聲而是乘性噪聲，也可以用對數(shù)方式轉化為相加形式。

原始圖像f(x，y)經(jīng)過一個退化算子或退化系統(tǒng)H(x，y)的作用，并且和噪聲n(x，y)進行疊加，形成退化后的圖像g(x，y)。圖10-1表示退化過程輸入和輸出的關系。圖中H(x，y)概括了退化系統(tǒng)的物理過程，就是所要尋找的退化數(shù)學模型。圖10-1圖像的退化模型數(shù)字圖像的圖像恢復問題可看做：根據(jù)退化圖像g(x，y)和退化算子H(x，y)的形式，沿著反向過程去求解原始圖像f(x，y)，或者說是逆向尋找原始圖像的最佳近似估計。圖像退化的模型過程可以用數(shù)學表達式寫成如下形式：(10-1)在這里n(x，y)是一種統(tǒng)計性質的信息。在實際應用中，往往假設噪聲是白噪聲，即它的頻譜密度為常數(shù)，并且與圖像不相關。

在圖像復原處理中，盡管非線性、時變和空間變化的系統(tǒng)模型更具有普遍性和準確性，更與復雜的退化環(huán)境相接近，但它給實際處理工作帶來巨大的困難，常常找不到解或者很難用計算機來處理。因此，在圖像復原處理中，往往用線性系統(tǒng)和空間不變系統(tǒng)模型來加以近似。這種近似的優(yōu)點使得線性系統(tǒng)中的許多理論可直接用于解決圖像復原問題，同時不失可用性。下面介紹連續(xù)圖像退化的數(shù)學模型。

一幅連續(xù)圖像f(x，y)可以看做是由一系列點源組成的。因此，f(x，y)可以通過點源函數(shù)的卷積來表示。即(10-2)式中：δ為點源函數(shù)，表示空間上的點脈沖。在不考慮噪聲的一般情況下，連續(xù)圖像經(jīng)過退化系統(tǒng)H后的輸出為(10-3)把式(12-2)代入式(12-3)得(10-4)在線性和空間不變系統(tǒng)的情況下，退化算子H具有如下性質。

1.

線性

設f1(x，y)和f2(x，y)為兩幅輸入圖像，k1和k2為常數(shù)，則(10-5)由性質1還可推出下面兩個結論：

(1)當k1=k2=1時，式(12-5)變?yōu)?10-6)

(2)如f2(x，y)=0，則(10-7)性質2

空間不變性。如果對任意f(x，y)以及a和b，有(10-8)

對于線性空間不變系統(tǒng)，輸入圖像經(jīng)退化后的輸出為(10-9)式中，h(x-α，y-β)為該退化系統(tǒng)的點擴展函數(shù)，或叫系統(tǒng)的沖激響應函數(shù)。它表示系統(tǒng)對坐標為(α，β)處的沖激函數(shù)δ(x-α，y-β)的響應。也就是說，只要系統(tǒng)對沖激函數(shù)的響應為已知，那么就可以清楚圖像退化是如何形成的。因為對于任一輸入f(α，β)的響應，都可以通過上式計算出來。此時，退化系統(tǒng)的輸出就是輸入圖像信號f(x，y)與點擴展函數(shù)h(x，y)的卷積:(10-10)圖像退化除了受到成像系統(tǒng)本身的影響外，有時還要受到噪聲的影響。假設噪聲n(x，y)是加性白噪聲，這時上式可寫成：(10-11)在頻域上，式(10-11)可以寫成：(10-12)上式中，G(u，v)、F(u，v)、N(u，v)分別是退化圖像g(x，y)、原圖像f(x，y)、噪聲信號n(x，y)的傅立葉變換；H(u，v)是系統(tǒng)的點沖激響應函數(shù)h(x，y)的傅立葉變換，稱為系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)。式(10-11)和式(10-12)就是連續(xù)函數(shù)的退化模型。可見，圖像復原實際上就是已知g(x，y)求f(x，y)的問題或已知G(u，v)求F(u，v)的問題，它們的不同之處在于一個是在空間域，一個是在頻域。

顯然，進行圖像復原的關鍵問題是尋找降質系統(tǒng)在空間域上的沖激響應函數(shù)h(x，y)，或者降質系統(tǒng)在頻率域上的傳遞函數(shù)H(u，v)。一般來說，傳遞函數(shù)比較容易求得。因此，在進行圖像復原之前，應設法求得完全的或近似的降質系統(tǒng)傳遞函數(shù)。要想得到h(x，y)，只需對H(u，v)求傅立葉逆變換即可。10.1.2離散圖像退化的數(shù)學模型

1.一維離散退化模型

設f(x)為具有A個采樣值的離散輸入函數(shù)，h(x)為具有B個采樣值的退化系統(tǒng)的沖激響應函數(shù)，則經(jīng)退化系統(tǒng)后的離散輸出函數(shù)g(x)為輸入f(x)和沖激響應h(x)的卷積，即為了避免上述卷積所產(chǎn)生的各個周期重疊(設每個采樣函數(shù)的周期為M)，分別對f(x)和h(x)用添0延伸的方法擴展成周期M=A+B-1的周期函數(shù)，即(10-13)輸出為(10-14)式中：x=0，1，2，…，M-1。因為fe(x)和he(x)已擴展成周期函數(shù)，故ge(x)也是周期性函數(shù)，用矩陣表示為(10-15)

g=Hf(10-16)

式中：g、f都是M維列向量；H是M×M階矩陣，矩陣中的每一行元素均相同，只是每行以循環(huán)方式右移一位，因此矩陣H是循環(huán)矩陣。循環(huán)矩陣相加或相乘得到的還是循環(huán)矩陣。

2.二維離散模型

設輸入的數(shù)字圖像f(x，y)大小為A×B，點擴展函數(shù)h(x，y)被均勻采樣為C×D大小。為避免交迭誤差，仍用添零擴展的方法，將它們擴展成M=A+C－1和N=B+D－1個元素的周期函數(shù)，即(10-17)則輸出的降質數(shù)字圖像為

式中：x=0，1，2，…，M-1；y=0，1，2，…，N-1。

式(10-18)的二維離散退化模型同樣可以用式（10-16）所示的矩陣形式表示，即

g=Hf

式中：g、f為MN×1維列向量；H為MN×MN維矩陣。(10-1８)若把噪聲考慮進去，則離散圖像退化模型為(10-19)寫成矩陣形式為

g=Hf+n

(10-20)上述線性空間不變退化模型表明，在給定g(x，y)，并且知道退化系統(tǒng)的點擴展函數(shù)h(x，y)和噪聲分布n(x，y)的情況下，可估計出原始圖像f(x，y)。

假設圖像大小為MN=512×512=262144，其相應矩陣H的元素個數(shù)也為262144個，這意味著要解出f(x，y)，需要解262144個聯(lián)立方程組，其計算量十分驚人?？紤]到矩陣H為循環(huán)矩陣，因此可利用循環(huán)矩陣的性質簡化運算，限于篇幅，本書不做討論。

10.2非約束復原

非約束復原是指在已知退化圖像g的情況下，根據(jù)對退化系統(tǒng)H和n的一些了解或假設，估計出原始圖像，使得某種事先所確定的誤差準則為最小。10.2.1逆濾波

由式(12-24)可得

n=g-Hf(10-22)

逆濾波法是指在對n沒有先驗知識的情況下，可以依據(jù)這樣的最優(yōu)準則，即尋找一個，使得H

在最小二乘方誤差的意義下最接近g，即要使n的?；蚍稊?shù)(norm)最小：(10-23)求式(10-22)的最小值：

如果我們在求最小值的過程中不做任何約束，則稱這種復原為非約束復原。

由極值條件：(10-23)(10-24)解出為

對上式作傅立葉變換，得

可見，如果知道g(x，y)和h(x，y)，也就知道了G(u，v)和H(u，v)。根據(jù)上式，即可得出F(u，v)，再經(jīng)過反傅立葉變換就能求出f(x，y)。

逆濾波是最早應用于數(shù)字圖像復原的一種方法，用此方法處理過由漫游者、探索者等衛(wèi)星探索發(fā)射得到的圖像。(10-25)(10-25)10.2.2非約束圖像復原的病態(tài)性質

由式(10-30)進行圖像復原時，由于H(u，v)在分母上，若在(u，v)平面上某引起點或區(qū)域H(u，v)很小或等于零，即出現(xiàn)了零點，就會導致不穩(wěn)定解。因此，即使沒有噪聲，一般也不可能精確地復原f(x，y)。如果考慮噪聲項N(x，y)，則出現(xiàn)零點時，噪聲項將被放大，零點的影響將會更大，對復原的結果起主導地位，這就是無約束圖像復原模型的病態(tài)性質。它意味著退化圖像中小的噪聲干擾在H(u，v)取得很小值的那些頻譜上將對恢復圖像產(chǎn)生很大的影響。由簡單的光學分析知道，在超出光學系統(tǒng)的繞射極限時，H(u，v)將很小或等于零，因此對多數(shù)圖像直接采用逆濾波復原會遇到上述求解方程的病態(tài)性。為了克服這種不穩(wěn)定性，一方面可利用后面所講的有約束圖像復原；另一方面，可利用噪聲一般在高頻范圍，其衰減速度較慢，而信號的頻譜隨頻率升高下降較快的性質，在復原時，只限制在頻譜坐標距原點不太遠的有限區(qū)域內(nèi)運行，而且關心的也是信噪比高的那些頻率位置。Nathan在用逆濾波圖像復原時采

用的是限定恢復轉移函數(shù)最大值的方法，其傳遞函數(shù)H(u，v)和恢復轉移函數(shù)M(x，y)如圖10-2所示。圖10-2逆濾波復原實際上，為了避免H(u，v)值太小，一種改進方法是在H(u，v)=0的那些頻譜點及其附近，人為地設置H-1(u，v)的值，使得在這些頻譜點附近N(u，v)/H(u，v)不會對

產(chǎn)生太大的影響。圖10-3給出了H(u，v)、H-1(u，v)應用這種改進的濾波特性或恢復轉移函數(shù)的一維波形，從中可以看出它與正常濾波的差別。圖10-3逆濾波器零點的影響及其改進另一種改進是考慮到退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(u，v)帶寬比噪聲的帶寬要窄得多，其頻率特性具有低通性質，因此取恢復轉移函數(shù)M(u，v)為

其中，ω0的選取原則是將H(u，v)為零的點除去。這種方法的缺點是復原后圖像的振鈴效果較明顯。(10-27)

10.3最小二乘類約束復原

非約束復原是指除了使準則函數(shù)最小外，再沒有其他的約束條件。因此它只需了解降質系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或點擴展函數(shù)，就能利用如前所述的方法進行復原。但是由于傳遞函數(shù)存在病態(tài)問題，復原只能局限在靠近原點的有限區(qū)域內(nèi)進行，使非約束圖像復原具有相當大的局限性。最小二乘類約束復原是指除了要求了解關于退化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之外，還需要知道某些噪聲的統(tǒng)計特性或噪聲與圖像的某些相關情況。根據(jù)所了解的噪聲的先驗知識的不同，采用不同的約束條件，從而得到不同的圖像復原技術。在最小二乘類約束復原中，要設法尋找一個最優(yōu)估計，使得形式為的函數(shù)最小化。求這類問題的最小化，常采用拉格朗日乘子算法。也就是說，要尋找一個，使得準則函數(shù)：(10-28)為最小。上式中，Q為f的線性算子；α為一常數(shù)，稱為拉格朗日乘子。對式(12-32)求導：求解得到：(10-29)上式中γ=1/α，這個常數(shù)必須調(diào)整到約束被滿足為止。求解式(10-29)的關鍵就是如何選用一個合適的變換矩陣Q。Q的形式不同，就可得到不同類型的有約束的最小二乘類圖像復原方法。如果用圖像f和噪聲的相關矩陣Rf和Rn表示Q。就可以得到維納濾波復原方法。如選用拉普拉斯算子形式，即使某個函數(shù)的二階導數(shù)最小，就可推導出有約束最小平方恢復方法。10.3.1維納濾波

在一般情況下，圖像信號可近似地認為是平穩(wěn)隨機過程，維納濾波將原始圖像f和對原始圖像的估計作為隨機變量。假設Rf和Rn為f和n的自相關矩陣，其定義為(10-30)式中：E{·}代表數(shù)學期望運算。

Rf和Rn均為實對稱矩陣，在大多數(shù)圖像中，鄰近的像素點是高度相關的，而距離較遠的像素其相關性卻較弱。通常，f和n的元素之間的相關不會延伸到20～30個像素的距離之外。因此，一般來說，自相關矩陣在主對角線附近有一個非零元素帶，而在右上角和左上角的區(qū)域內(nèi)將為零值。如果像素之間的相關是像素之間距離的函數(shù)，而不是它們位置的函數(shù)，可將Rf和Rn近似為分塊循環(huán)矩陣。因而，用循環(huán)矩陣的對角化，可寫成：(10-31)式中：W為一個MN×MN矩陣，包含M×M個N×N的塊。M、N含義見二維離散模型部分。

W的第(i，m)個分塊為

(10-32)其中WN為一個N×N矩陣，其第(k，n)個位置的元素為

式(10-31)中，A和B的元素分別為Rf和Rn中的自相關元素的傅立葉變換。這些自相關元素的傅立葉變換被分別定義為fe(x，y)和ne(x，y)的譜密度Sf(u，v)和Sn(u，v)。定義QTQ=R-1fRn，代入式(12-33)，得：(10-33)進一步可推導出：(10-34)式中：D是對角陣，D*為D的共軛矩陣。D的對角元素與

he(x,y)中的傅立葉變換有關：對式(12-38)再進行矩陣變換假設M=N，則：(10-35)u，v分別為0，1，2，…，N-1，式中|H(u,v)|2=H*(u,v)H(u,v)。對式(10-35)作如下分析：

(1)如果γ=1，則稱之為維納濾波器。注意，當γ=1時，并不是在約束條件下得到的最佳解，即并不一定滿足

。若γ為變數(shù)，此式為參變維納濾波器。

使用參變維納濾波器時，H(u，v)由點擴展函數(shù)確定，而當噪聲是白噪聲時，Sn(u，v)為常數(shù)，可通過計算一幅噪聲圖像的功率譜Sg(u，v)求解。由于Sg(u,v)=|H(u,v)|2

Sf(u,v)+Sn(u,v)，所以Sf(u，v)可通過本式求得。

(2)當無噪聲影響時，Sn(u，v)=0，稱之為理想的逆濾波器。逆濾波器可看成是維納濾波器的一種特殊情況。

(3)如果不知道噪聲的統(tǒng)計性質，也就是Sf(u，v)和Sn(u，v)未知，則式(10-35)可以用下式近似：式中：K表示噪聲與信號的頻譜密度之比。10.3.2約束最小平方濾波

約束最小平方復原是一種以平滑度為基礎的圖像復原方法。如前所述，在進行圖像恢復計算時，由于退化算子矩陣H［·］的病態(tài)性質，多數(shù)在零點附近的數(shù)值起伏過大，使得復原后的圖像產(chǎn)生了多余的噪聲和邊緣。約束最小平方濾波仍然以最小二乘方濾波復原公式(10-33)為基礎，通過選擇合理的Q，并優(yōu)化‖Qf‖2，從而去掉被恢復圖像的這種尖銳部分，即增加圖像的平滑性。我們知道，圖像增強的拉普拉斯算，它具有突出邊緣的作用，而則恢復了圖像的平滑性。因此，在進行圖像恢復時可將拉普拉斯算子作為約束?，F(xiàn)在的問題是如何將其表示成‖Qf‖2的形式，以便使用式(10-33)。

10.4非線性復原方法

10.4.1最大后驗復原

最大后驗復原是一種統(tǒng)計方法，它把原圖像f(x，y)和退化圖像g(x，y)都作為隨機場，在已知g(x，y)的前提下，求出后驗條件概率密度函數(shù)p(f(x，y)/g(x，y))。若

使下式最大：(10-36)則就代表已知退化圖像g(x，y)時，最可能的原始圖像f(x，y)。這種圖像復原方法稱之為最大后驗圖像復原方法。最大后驗圖像復原法把圖像看做是非平穩(wěn)隨機場，把圖像模型表示成一個平穩(wěn)隨機過程對于一個不平穩(wěn)的均值作零均值Gauss起伏，可得出求解迭代序列：(10-37)式中：k為迭代次數(shù)；和分別為f和n的方差的倒數(shù)；是隨空間而變的均值，它是一個常數(shù)，但要經(jīng)過多次迭代才能收斂到最后的解。10.4.2最大熵復原

最大熵復原方法通過最大化某種反映圖像平滑性的準則函數(shù)來作約束條件，以解決圖像復原中反