電路理論基礎(chǔ)（第三版） 課件 第9章 正弦電流電路的分析

第九章正弦電流電路的分析

本章介紹正弦電流電路的相量分析法。首先引入阻抗、導(dǎo)納的概念,介紹電路相量模型的建立和分析方法,再討論正弦電路的瞬時(shí)功率、平均功率、無功功率、視在功率、復(fù)功率及功率因素等概念,最后介紹三相電路的分析。9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型9.2正弦電流電路的相量分析法9.3正弦電流電路的功率9.4三相電路9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型

第8章介紹的三種基本無源元件電阻、電感和電容的伏安特性相量形式為（9-1）由上式可見,電阻、電感和電容的電壓相量與電流相量之比等于一個(gè)復(fù)數(shù)。為便于研究,將(9-1)式寫成統(tǒng)一的形式：

U=ZI

（9-2）或I=YU

（9-3）式中,Z和Y分別稱為元件的阻抗和導(dǎo)納。由上兩式可見,電阻、電感及電容元件伏安特性的相量表達(dá)式與歐姆定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式相似。9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型

正弦電流電路中,將各電流和電壓用相量表示,電阻、電感及電容元件的參數(shù)用阻抗或?qū)Ъ{表示,所得到的電路圖稱為正弦電流電路的相量模型,它反映電路中各電流、電壓相量之間的關(guān)系。原電路圖稱為電路的時(shí)域模型,反映各電流和電壓瞬時(shí)值之間的關(guān)系。

通過對電路相量模型的求解,可得到待求電流或電壓的相量。相量模型的求解依據(jù)為兩類約束條件的相量方程,這些相量方程與電阻電路兩類約束條件的時(shí)域方程相比,形式上是相同的,差別僅在于后者是實(shí)數(shù)方程,前者是復(fù)數(shù)方程;后者電流、電壓為時(shí)間函數(shù),前者電流、電壓用相量表示;后者的無源支路為電阻或電導(dǎo),前者的無源支路(包括電阻、電感和電容元件)用阻抗或?qū)Ъ{表示。9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型

由于約束方程在形式上相同,因此本書前幾章所介紹的電阻電路的各種分析方法及電路定理都可用于分析正弦電流電路的相量模型。例如串、并聯(lián)阻抗的等效變換,串、并聯(lián)阻抗的分壓和分流公式,兩種有伴電源支路的等效變換,節(jié)點(diǎn)分析法,網(wǎng)孔分析法,戴維南定理,疊加定理等。在各種方法、定理的敘述、結(jié)論及公式中將電阻換成阻抗,將電導(dǎo)換成導(dǎo)納,將電流和電壓換成電流和電壓的相量即可。

線性電阻電路中,不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓和電流之比為一實(shí)數(shù),稱之為該網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。類似地,在正弦電流電路中,不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓相量和電流相量之比為一復(fù)數(shù),將它定義為該網(wǎng)絡(luò)的等效阻抗。9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型

設(shè)圖9-1所示N0為正弦電流電路中不含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò)(本節(jié)中簡稱二端網(wǎng)絡(luò)),其端口電壓和電流分別表示為圖9-1不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型電壓和電流對應(yīng)的相量為U=U∠θu，I=I∠θi

二端網(wǎng)絡(luò)N0的等效阻抗(簡稱阻抗)定義為（9-4） Z是復(fù)數(shù),可表示為Z=|Z|∠φZ=R+jX上式中,|Z|是阻抗Z的模;φZ是阻抗Z的輻角,稱為阻抗角;R是阻抗Z的實(shí)部,稱為網(wǎng)絡(luò)N0的等效電阻;X是阻抗Z的虛部,稱為網(wǎng)絡(luò)N0的等效電抗。Z、|Z|、R、X的單位均為歐姆。 (9-4)式可寫為U∠θu=|Z|∠φZ×I∠θi即U=|Z|Iθu=θi+φZ9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型以上兩式表明,不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓和電流有效值之比等于阻抗的模|Z|,它們的相位差等于阻抗角φZ。阻抗Z全面地反映了正弦電流電路中二端電路的端口電壓和電流之間的關(guān)系。

對二端網(wǎng)絡(luò),若其阻抗角φZ>0，則θu>θi，端口電壓超前于端口電流,稱該二端網(wǎng)絡(luò)呈感性;若φZ<0，則θu<θi，電流超前于電壓,稱該二端網(wǎng)絡(luò)呈容性;若φZ=0,則電流與電壓同相,稱該二端網(wǎng)絡(luò)呈電阻性。阻抗的倒數(shù)稱為導(dǎo)納。二端網(wǎng)絡(luò)N0的等效導(dǎo)納(簡稱導(dǎo)納)定義為（9-5）Y可表示為Y=|Y|∠φY=G+jB上式中,|Y|是導(dǎo)納Y的模;φY

稱為導(dǎo)納角;G稱為網(wǎng)絡(luò)N0

的等效電導(dǎo);B稱為網(wǎng)絡(luò)N0

的等效電納。Y、|Y|、G、B的單位均為西門子。

對同一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò),有（9-6）

導(dǎo)納Y也可全面地反映正弦電流電路中二端電路的端口電壓和電流之間的關(guān)系。9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型

例9-2正弦電流電路中,二端網(wǎng)絡(luò)如圖9-3(a)所示,分別求ω1=1000rad/s與ω2

=2000rad/s兩種工作頻率下該網(wǎng)絡(luò)的并聯(lián)等效相量模型,并判斷兩種頻率下該網(wǎng)絡(luò)的端口性質(zhì)。圖9-3例9-2題圖及求解9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型9.1阻抗與導(dǎo)納及相量模型9.2正弦電流電路的相量分析法9.2.1相量分析法的一般步驟

用相量法分析正弦電流電路的一般步驟是:由電路的時(shí)域模型畫出相量模型;求解相量模型(電阻電路的各種分析方法均可用于求解相量模型),得到所求電流和電壓的相量;根據(jù)正弦量和其相量的對應(yīng)關(guān)系得到所求的正弦電流和電壓。

分析正弦電流電路時(shí)要規(guī)定一個(gè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)。若已知電源的時(shí)間函數(shù)表達(dá)式,則意味著計(jì)時(shí)起點(diǎn)已經(jīng)給出。工程中求解電路時(shí),一般是已知電源的頻率和有效值,電源初相位未定。這種情況下可在電路中選定一個(gè)電流或電壓作為參考正弦量,令該正弦量的初相位為零,即該正弦量到達(dá)最大值的時(shí)刻被設(shè)定為整個(gè)電路的計(jì)時(shí)起點(diǎn)。參考正弦量對應(yīng)的相量稱為參考相量。由于電路中同頻率正弦量之間的關(guān)系與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無關(guān),因此參考正弦量的選擇可以是任意的,一般以方便電路的求解為原則來選擇。9.2正弦電流電路的相量分析法9.2正弦電流電路的相量分析法9.2.2阻抗的串、并聯(lián)電路分析

圖9-5所示電路中,每個(gè)方框?yàn)橐粋€(gè)阻抗,共有n個(gè)阻抗相串聯(lián)。與串聯(lián)電阻的計(jì)算公式類同,n個(gè)阻抗串聯(lián)的端口等效阻抗為

Z=Z1+Z2+…+Zn圖示參考方向下的分壓公式為圖9-5阻抗的串聯(lián)

圖9-6所示為n個(gè)導(dǎo)納相并聯(lián),端口等效導(dǎo)納為Y=Y1+Y2+…+Yn圖示參考方向下的分流公式為若是兩個(gè)阻抗并聯(lián),則有

若電路的相量模型中只有一個(gè)電源,阻抗是串并聯(lián)結(jié)構(gòu),則可利用阻抗的串、并聯(lián)等效變換及分流和分壓公式求解。圖9-6導(dǎo)納的并聯(lián)9.2正弦電流電路的相量分析法9.2正弦電流電路的相量分析法9.2正弦電流電路的相量分析法圖9-10例9-7題圖及相量圖9.2正弦電流電路的相量分析法9.2.3復(fù)雜電路分析

若正弦電流電路的相量模型較為復(fù)雜,則可采用節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法、等效變換及應(yīng)用疊加定理等方法求解。下面舉例說明。圖9-11例9-8題圖及相量模型9.2正弦電流電路的相量分析法9.2正弦電流電路的相量分析法

例9-9正弦電流電路的相量模型如圖9-12所示,已知Us1=100∠0°V,Us2=100∠90°V,R=5Ω,ωL=5Ω,ω1C=2Ω,求各支路電流相量I1、I2和I3。圖9-12例9-9題圖9.2正弦電流電路的相量分析法9.3正弦電流電路的功率

正弦電流電路中既有耗能元件電阻,又存在儲能元件電感和電容,負(fù)載在消耗電能的同時(shí)一般還與電源之間進(jìn)行著能量的往返交換。因此,正弦電流電路中功率的分析計(jì)算比較復(fù)雜,需要引入一些新的概念。9.3.1瞬時(shí)功率和平均功率

圖9-15(a)所示為正弦電流電路中任一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)N,設(shè)其端口電壓和電流分別為圖9-15二端網(wǎng)絡(luò)及其瞬時(shí)功率在圖示參考方向下,該二端網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率為根據(jù)三角函數(shù)積化和差公式可得p=UIcosφ

+UIcos（2ωt+2θi+φ）

（9-7）上式中,φ=θu–θi，是端口電壓與電流的相位差。若N是不含獨(dú)立源的二端網(wǎng)絡(luò),則φ是其阻抗角。

由(9-7)式可見,瞬時(shí)功率有恒定分量UIcosφ及正弦分量Uicos（2ωt+2θi+φ）兩部分,后者的頻率是電流(電壓)頻率的兩倍。以φ=π/4為例,畫出瞬時(shí)功率的波形如圖9-15(b)中實(shí)線波形所示。圖中同時(shí)還畫出了電壓和電流的波形。9.3正弦電流電路的功率

由圖9-15(b)可看出,由于電流和電壓不同相,使得瞬時(shí)功率p不僅大小隨時(shí)間變化,其正負(fù)也隨時(shí)間變化。當(dāng)p>0時(shí),二端網(wǎng)絡(luò)從外電路吸收能量;當(dāng)p<0時(shí),二端網(wǎng)絡(luò)送出能量給外電路。二端網(wǎng)絡(luò)和外電路之間存在能量往返交換的現(xiàn)象,這是因?yàn)殡娐分写嬖趦δ茉?。電容的儲能隨其電壓(正弦電壓)的變化而周期性地增減,電感的儲能則隨其電流(正弦電流)的變化而周期性地增減。當(dāng)儲能增加時(shí),它們吸收能量,而當(dāng)儲能減少時(shí),它們放出能量。因此,會有一部分能量在二端網(wǎng)絡(luò)、內(nèi)部的各儲能元件之間以及二端網(wǎng)絡(luò)和外電路之間進(jìn)行往返交換。

由(9-7)式可得電阻、電感及電容元件的瞬時(shí)功率分別為

可見,電阻的功率任何時(shí)刻都為非負(fù),這反映了它的耗能特性。電感和電容的瞬時(shí)功率都是正負(fù)半周對稱的正弦波,它們在一個(gè)周期內(nèi)吸收的能量與送出的能量相等,這反映了它們儲能且不耗能的特性。9.3正弦電流電路的功率

瞬時(shí)功率隨時(shí)間變化,實(shí)用意義不大,常用的是平均功率。平均功率又稱為有功功率(簡稱功率),定義為瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值,記為P,單位為瓦(W)。圖9-15(a)所示的二端電路吸收的平均功率為（9-8）

二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率反映其吸收電能的平均速率。由上式可見,平均功率不僅與電壓和電流的有效值有關(guān),還與兩者的相位差φ有關(guān)。若cosφ>0,則該二端電路吸收平均功率;若cosφ<0,則發(fā)出平均功率。

容易求得電感元件和電容元件的平均功率為零,即平均而言,這兩類元件不吸收電能?？汕蟮秒娮柙骄β蕿樯鲜街?U、I分別為電阻的電壓、電流有效值。9.3正弦電流電路的功率

例9-12已知圖9-16所示二端電路的端口電壓有效值U=100V,求該二端電路吸收的平均功率、各元件的電流有效值及各元件吸收的平均功率。圖9-16例9-12題圖9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率

例9-13圖9-17所示為一個(gè)電感線圈的電路模型。實(shí)驗(yàn)測得其端電流有效值為1A,端口電壓有效值為50V,其吸收的平均功率為30W,電源頻率為50Hz,求該線圈的參數(shù)R和L。圖9-17例9-13題圖9.3正弦電流電路的功率

解電阻吸收的平均功率即該線圈吸收的平均功率,可求得線圈阻抗的模為由Z=R+jωL=R+jX，得9.3正弦電流電路的功率9.3.2視在功率與功率因數(shù)

二端網(wǎng)絡(luò)的視在功率記為S,定義為S=UI（9-9）上式中,U、I為二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓及端電流的有效值。視在功率的單位為伏安(VA)或千伏安(kVA)。

不含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)的平均功率與視在功率之比稱為該二端網(wǎng)絡(luò)的功率因數(shù),記為λ,則有功率因數(shù)是該二端網(wǎng)絡(luò)阻抗角的余弦函數(shù),因此阻抗角又稱為功率因數(shù)角。由于λ值不能反映φ角的正負(fù),因此必要時(shí)需指明是超前功率因數(shù)還是滯后功率因數(shù)。超前指電流超前電壓,該二端網(wǎng)絡(luò)是容性電路;滯后指電流滯后電壓,該二端網(wǎng)絡(luò)是感性電路。9.3正弦電流電路的功率

若二端網(wǎng)絡(luò)僅由無源元件電阻、電感、電容構(gòu)成,則該二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率不為負(fù),即λ≥0,因此有

。阻抗角的絕對值越大,該二端電路在一定的視在功率下所吸收的平均功率就越小。若端口呈純電阻性,則φ=0,λ=1,電路吸收的平均功率等于視在功率;若端口呈純電抗性,則φ=±π/2,λ=0,電路吸收的平均功率為零。

雖然視在功率一般并不等于電路實(shí)際消耗的功率,但這一概念有其實(shí)用性。例如,發(fā)電機(jī)、變壓器等發(fā)、配電設(shè)備的輸出電壓及最大可輸出電流都有限制,因此一般以額定視在功率作為這一類設(shè)備的額定容量。這類設(shè)備可輸出的最大平均功率不僅與其額定容量有關(guān),還與其所帶負(fù)載的功率因數(shù)有關(guān)。一個(gè)額定容量為2kVA的電源,若給功率因數(shù)為1的負(fù)載供電,則該電源最大可輸出的功率為2kW;若負(fù)載功率因數(shù)為0.5,則其最大可輸出功率只有1kW?？梢?負(fù)載的功率因數(shù)低,會使得電源容量得不到充分利用。另外,由于P=UIcosφ,在一定的電網(wǎng)電壓U和負(fù)載功率P下,負(fù)載功率因數(shù)越低,則所需電流越大,在輸電線上產(chǎn)生的損耗也越大。對常見的感性負(fù)載,可采用并電容的方法提高負(fù)載總的功率因數(shù)。9.3正弦電流電路的功率9.3.3無功功率、復(fù)功率

任一二端網(wǎng)絡(luò)N吸收的瞬時(shí)功率的表達(dá)式(9-7)式可改寫為（為簡便,設(shè)電流初相位θi=0）p

=ui=UIcosφ+UIcos（2ωt+φ）=UIcosφ（1+cos2ωt）-UIsinφsin2ωt上式中第一項(xiàng)的正負(fù)號不變,是瞬時(shí)功率中不可逆的分量,它反映網(wǎng)絡(luò)N與外電路之間單向能量傳送的速率,其平均值即有功功率。上式中第二項(xiàng)是正負(fù)半周對稱的正弦函數(shù),是瞬時(shí)功率中的可逆分量,是在平均意義上不能作功的無功分量,它反映網(wǎng)絡(luò)N與外電路之間能量往返交換的瞬時(shí)速率,其系數(shù)UIsinφ

定義為網(wǎng)絡(luò)N吸收的無功功率,記為Q,即Q=UIsinφ

（9-10）

無功功率的單位為無功伏安,簡稱乏(var)。從物理意義講,無功功率的絕對值是網(wǎng)絡(luò)N與外電路之間能量往返交換的最大速率。9.3正弦電流電路的功率

無功功率的單位為無功伏安,簡稱乏(var)。從物理意義講,無功功率的絕對值是網(wǎng)絡(luò)N與外電路之間能量往返交換的最大速率。

根據(jù)三種基本元件的伏安特性,可得它們吸收的無功功率分別為可見,電感吸收正值的無功功率,電容吸收負(fù)值的無功功率。9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率9.3.4最大功率傳輸

電子工程中,常要考慮最大功率傳輸?shù)膯栴}。正弦電流電路中,負(fù)載在什么條件下可獲得最大功率?這一問題可用圖9-22所示等效相量模型加以研究。圖中,Z為負(fù)載阻抗,虛線框內(nèi)為與負(fù)載相連的二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效相量模型。圖9-22最大功率傳輸9.3正弦電流電路的功率

設(shè)Zeq=Req+jXeq,Z=R+jX。負(fù)載電流相量為負(fù)載吸收的功率為（9-13）設(shè)二端網(wǎng)絡(luò)參數(shù)已定,負(fù)載阻抗的實(shí)部R

及虛部X

均可任意取值,由上式可見,P

作為X

的函數(shù),當(dāng)X=-Xeq

（9-14）時(shí),P

取得最大值,此時(shí)有（9-15）9.3正弦電流電路的功率上式中,R

為變量,令得(9-15)式中功率P

取最大值的條件為R=Req

（9-16）

綜合(9-14)式和(9-16)式可得負(fù)載獲得最大功率的條件為Z=Z*eq=Req-jXeq(9-17)9.3正弦電流電路的功率9.3正弦電流電路的功率9.4三相電路9.4.1三相電路的基本概念

目前,世界各國的供電系統(tǒng)普遍采用三相制。三相供電系統(tǒng)以三相發(fā)電機(jī)供電,三相發(fā)電機(jī)能同時(shí)產(chǎn)生三個(gè)頻率相同而相位不同的正弦電壓源。

普遍采用的三相電源是三個(gè)頻率相同、振幅相同、相位依次相差120°的正弦電壓源,稱為對稱三相電源,本書涉及的三相電源均指對稱三相電源。三相電源符號如圖9-23所示。其中,uA、uB、uC分別稱為A相、B相、C相電源。若以uA作為參考正弦量,則各相電源電壓的瞬時(shí)表達(dá)式為（9-18）圖9-23三相電源其中，Up是每相電源電壓的有效值。各電源所對應(yīng)的相量為（9-19）其波形圖和相量圖分別如圖9-24(a)、(b)所示。圖9-24對稱三相電源電壓的波形圖和相量圖9.4三相電路

對稱三相電壓相量之和為UA+UB+UC=Up∠0°+Up∠-120°+Up∠120°=0這說明對稱三相電源的電壓瞬時(shí)值之和為零,即

各相電源波形到達(dá)最大值的先后次序稱為相序。由(9-18)式表示的三相電源,其相序?yàn)锳→B→C,稱為正序或順序。若相序?yàn)锳→C→B,則稱為反序或逆序。本書僅討論順序。9.4三相電路

對稱三相電源的連接方式有星形(Y形)和三角形(△形)兩種。圖9-25(a)所示為星形連接電源的相量模型。將三個(gè)電源的負(fù)極性端連接起來形成一個(gè)公共點(diǎn)N,稱該點(diǎn)為電源中性點(diǎn),從該點(diǎn)引出的線稱為中線或零線。從三個(gè)電源的正極性端A、B、C引出三條供電線,稱為端線,俗稱火線。圖9-25星形連接的對稱三相電源及其電壓相量圖9.4三相電路9.4三相電路9.4三相電路

對稱三相電源的三角形連接如圖9-26所示。將電源按正負(fù)參考極性順次相連構(gòu)成一個(gè)回路,從連接點(diǎn)A、B、C引出三條端線對負(fù)載供電。注意,各相電源的極性不能接錯(cuò)。正確連接時(shí),由于UA+UB+UC=0,因此回路沒有環(huán)流。一旦接錯(cuò),在電源內(nèi)部會形成很大的環(huán)流,導(dǎo)致電源損壞。

三角形連接時(shí)線電壓就等于各相電源的電壓,即

UAB=UA，UBC=UB，

UCA=UC圖9-26三角形連接的對稱三相電源9.4三相電路9.4三相電路9.4.2三相電路的計(jì)算

對稱三相電源連接對稱三相負(fù)載,且各端