高中數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)原理與概率、隨機(jī)變量及其分布教案人教版（理科）

!!■AEl第九章

計(jì)數(shù)原理與解、隨機(jī)變81新

第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

兩個(gè)原理

分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理

(1)理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.

(2)會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和

一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

刎主|干ZH6HIHUIGU...............

?知識(shí)回顧,穩(wěn)固根基

知識(shí)點(diǎn)兩個(gè)原理

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有機(jī)種不同的方法，在第2類方案中有〃

種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+〃種不同的方法.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有制種不同的方法，做第2步有〃種不同的方法，

那么完成這件事共有7=里迎種不同的方法.

易誤提醒(1)分類加法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每類做法中冬一種方法都能完成這

件事情，類與類之間是獨(dú)立的.

(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理在使用時(shí)易忽視每步中某一種方法只是完成這件事的一部分，而

未完成這件事，步與步之間是相關(guān)聯(lián)的.

［自測(cè)練習(xí)］

1.從0,1,2,345這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種

數(shù)有()

A.30B.20C.10D.6

解析：從0,123,4,5六個(gè)數(shù)字中，任取兩數(shù)和為偶數(shù)可分為兩類，①取出的兩數(shù)都是偶

數(shù)，共有3種方法：②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有

N=3+3=6種.

答案：D

2.用0,1,…，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

A.243B.252C.261D.279

解析：0,1,2…，9共能組成9X10X10=900（個(gè)）三位數(shù)，其中無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有

9X9X8=648（個(gè)），

???有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900-648=252（個(gè)）.

答案：B

KAODW^4YANJVO????????????????????????????????????????????????????????■????????????????????????一??????????■■??????????????????????????????????

砌國(guó)位］?考點(diǎn)研究》強(qiáng)技提丁

考點(diǎn)、一分類加法計(jì)敷原理|導(dǎo)Z吉黑需

［題組訓(xùn)練］

1.小兒c,d,e共5個(gè)人，從中選1名組長(zhǎng)1名副組長(zhǎng)，但“不能當(dāng)副組長(zhǎng)，不同

選法的種數(shù)是（）

A.20B.16

C.10D.6

解析：當(dāng)。當(dāng)組長(zhǎng)時(shí)，則共有1X4=4種選法；當(dāng)。不當(dāng)組長(zhǎng)時(shí)，又因?yàn)椋垡膊荒墚?dāng)副

組長(zhǎng)，則共有4X3=12種選法.因此共有4+12=16種選法.

答案：B

2.有4位教師在同一年級(jí)的4個(gè)班中各教一個(gè)班的數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)檢測(cè)時(shí)要求每位教師

不能在本班監(jiān)考，則監(jiān)考的方法有（）

A.8種B.9種

C.10種D.II種

解析：法一：設(shè)四位監(jiān)考教師分別為A,B,C,D,所教班分別為a,b,c,d,假設(shè)A

監(jiān)考4則余下三人監(jiān)考剩下的三個(gè)班，共有3種不同方法，同理4監(jiān)考c,d時(shí)，也分別

有3種不同方法，由分類加法計(jì)數(shù)原理共有3+3+3=9（種）.

法二：班級(jí)按a,Ac,d的順序依次排列，為避免重復(fù)或遺漏現(xiàn)象，教師的監(jiān)考順序

可用“樹形圖”表示如下：

ADCADB

//

B—CD-AC—D—AB

\\

DACDBA

A—B—C

/

D—CAB

\

CBA

???共有9種不同的監(jiān)考方法.

答案：B

3.在某校舉行的羽毛球兩人決賽中，采用5局3勝制的比賽規(guī)則，先贏3局者獲勝，

直到?jīng)Q出勝負(fù)為止.若甲、乙兩名同學(xué)參加比賽，則所有可能出現(xiàn)的情形（個(gè)人輸贏局次的

不同視為不同情形）共有（）

A.6種B.12種

C.18種D.20種

解析：分三種情況：恰好打3局（一人贏3局），有2種情形；恰好打4局（一人前3局中

贏2局，榆1局，第4局贏），共有2d=6（種）情形；恰好打5局（一人前4局中贏2局，輸

2局，第5局贏），共有2a=12（種）情形.所有可能出現(xiàn)的情形共有2+6+12=20（種）.

答案：D

》規(guī)律方法

利用加法原理解決問題時(shí)的注意點(diǎn)

（1）根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏;

（2）分類時(shí)，注意完成這件事件的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).

考點(diǎn)二分步求法原理|鼻隹然卑

［典題悟法］

Ml有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4

人承擔(dān)這項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有（）

A.1260種B.2025種

C.2520種D.5040種

［解析］第一步，從10人中選派2人承擔(dān)任務(wù)甲，有C?o種選派方法；

第二步，從余下的8人中選派1人承擔(dān)任務(wù)乙，有CA種選派方法；

第三步，再?gòu)挠嘞碌?人中選派1人承擔(dān)任務(wù)丙，有C：種選派方法.根據(jù)分步乘法計(jì)

數(shù)原理，知選法為Cf（rCka=2520種.

［答案］C

》規(guī)律方法

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)應(yīng)注意

（1）要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.

（2）各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.

［演練沖關(guān)］

從一1,0』,2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)_/（幻=62+版+。的系數(shù)，則可組成

個(gè)不同的二次函數(shù)，其中偶函數(shù)有個(gè)（用數(shù)字作答）.

解析：一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a,b,c（aWO）的一組取值，。的取法有3種，〃的取法有3

種，c的取法有2種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有3X3X2=18個(gè)二次品數(shù).若二次圖數(shù)為

偶函數(shù)，則力=0,同上可知共有3X2=6個(gè)偶函數(shù).

答案：186

者點(diǎn)三兩個(gè)原理的應(yīng)用|嘉。需■可笈

兩個(gè)原理的應(yīng)用類型主要有：

1.涂色問題.

2.幾何問題.

3.集合問題.

探究一涂色問題

1.（2015?湖南十二校聯(lián)考）用紅、黃、藍(lán)三種顏色去涂圖中標(biāo)號(hào)為1,2,…，9的9個(gè)小正

方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊）小正方形所涂顏色都不相同，且標(biāo)號(hào)為1,5,9的小正

方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有_______種.

解析：第一步，從紅、黃、藍(lán)三種顏色中任選一種去涂標(biāo)號(hào)為“1、5、9”的小正方形，

涂法有3種；

第二步，涂標(biāo)號(hào)為“2、3、6”的小正方形，若“2、6”同色，涂法有2X2種，若“2、

6”不同色，涂法有2X1種；

第三步：涂標(biāo)號(hào)為“4、7、8”的小正方形，涂法同涂標(biāo)號(hào)為“2、3、6”的小正方形的

方法一樣.

因此符合條件的所有涂法共有3X（2X2+2X1）X（2X2+2X1）=1O8（種）.

答案；108

探究二幾何問題

2.如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“平行線面組”，在

一個(gè)長(zhǎng)方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個(gè)數(shù)

A.60B.48

C.36

解析：長(zhǎng)方體的6個(gè)表面構(gòu)成的“平行線面組”有6X6=36個(gè)，6個(gè)對(duì)角面構(gòu)成的“平

行線面組”有6X2=12個(gè)，共有36+12=48個(gè)，故選B.

答案：B

探究三集合問題

3.(2015?保定市高三調(diào)研考試)已知集合知={123,4},集合A,8為集合M的非空子

集.若對(duì)恒成立，則稱(A,B)為集合M的一個(gè)“子集對(duì)”，則集合M

的“子集對(duì)”共有個(gè).

解析：當(dāng)人={1}時(shí)，B有23—1種情況，

當(dāng)—={2}時(shí),8有22—1種情況，

當(dāng)A={3}時(shí)，B有1種情況,

當(dāng)A={1,2}時(shí),8有22—1種情況，

當(dāng)人={1,3},{2,3},{1,2,3}時(shí)，B均有1種情況，

所以滿足題意的“子集對(duì)”去有7+3+1+3+3=17個(gè).

答案：17

》規(guī)律方法

用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí)，關(guān)鍵是明確需要分類還是分步

(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù)，最后用分類加法計(jì)數(shù)

原理求和，得到總數(shù).

(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成了任務(wù)，根據(jù)分步乘法計(jì)

數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù).

(3)對(duì)于復(fù)雜問題，可同時(shí)運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理或借助列表、畫圖的方法來幫助分析.

V易錯(cuò)防范系列|

XICUOFANGFANXILIEI21.分類不當(dāng)致誤

【典例】(2016.沈陽(yáng)模擬)一生產(chǎn)過程有四道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從

甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安

排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有種.

［解析］按甲先分類，再分步

①若甲在第一道工序，則第四道工序只能是丙，其余兩道工序的安排方法有4X3=12

種，

②若乙在第一道工序，則第四道工序從甲、丙兩人中選一人.有2種方法，其余兩道工

序有4X3=12種方法，所以共有12X2=24種方法.

綜上可知，共有的安排方法有12+24=36種.

［答案］36

［易錯(cuò)點(diǎn)評(píng)］本題解題時(shí)分類不當(dāng)易致誤，分類時(shí)可按甲在第一道工序與乙在第一道工

序分類.

［防范措施］利用兩個(gè)原理解題時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)要完成的事件恰當(dāng)?shù)剡x擇唯一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行

分類，切勿標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，導(dǎo)致多解或少解，從而失誤.

［跟蹤練習(xí)］如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形/\

中，與正八邊形有公共邊的三角形有個(gè)./

解析：分兩類：①有一條公共邊的三角形共有8X4=32（個(gè)）：②有

兩條公共邊的三角形共有8個(gè).故共有32+8=40（個(gè)）.

答案：40

ONGJUkNCE

跟蹤檢■>.漏樸駐

A組考點(diǎn)能力演練

1.如果把個(gè)位數(shù)是1,且恰好有3個(gè)數(shù)字相同的四位數(shù)叫作“好數(shù)”，那么在由123,4

四個(gè)數(shù)字組成的有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，“好數(shù)”共有（）

A.9個(gè)B.3個(gè)

C.12個(gè)D.6個(gè)

解析：當(dāng)重復(fù)數(shù)字是1時(shí)，有C}C［;當(dāng)重復(fù)數(shù)字不是1時(shí)，有CJ種.由分類加法計(jì)數(shù)

原理，得滿足條件的“好數(shù)”有c卜cj+a=i2個(gè).

答案：C

2.我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2013是“六合數(shù)”）,則“六

合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有（）

A.18個(gè)B.15個(gè)

C.12個(gè)D.9個(gè)

解析：依題意，這個(gè)四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個(gè)位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個(gè)數(shù)分

別為400,040,004;由3,1,0組成6個(gè)數(shù)分別為310,301,130,103,013,031;由2,2,0組成3個(gè)數(shù)

分別為220,202,022:由2,1,1組成3個(gè)數(shù)分別為211,121,112.共計(jì)：3+6+3+3=15個(gè).

答案：B

3.從2,345,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則

可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）

A.56B.54

C.53D.52

解析：在8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)共有8X7=56個(gè)對(duì)數(shù)值；但在這56個(gè)對(duì)數(shù)值中，

Iog24=log39,Iog42=log93,Iog23=log49,Iog32=log0,即滿足條件的對(duì)數(shù)值共有56—4=

52（個(gè)）.

答案：D

4.（2015?遼寧五校聯(lián)考）甲、乙、丙三位志愿者安排在周一至周五參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng),

要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方案共

有（）

A.20種B.30種

C.40種D.60種

解析：可將安排方案分為三類：①甲排在周一，共有A孑種排法：②甲排在周二，共有

Ag種排法；③甲排在周三，共有A3種排法，故不同的安排方案共有Af+Ag+A3=2O種.故

選A.

答案：A

5.從集合{1,2,3,4,…，10}中，選出5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)

的和都不等于11,則這樣的子集有（）

A.32個(gè)B.34個(gè)

C.36個(gè)D.38個(gè)

解析：先把數(shù)字分成5組：[1,10],{2,9},{3.8},{4,7},析6},由于選出的5個(gè)數(shù)中，

任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11,所以從每組中任選一個(gè)數(shù)字即可，故共可組成2X2X2X2X2

=32（個(gè)）.

答案：A

6.從0,123,4這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)組成三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)是.

解析：從1,3中取一個(gè)排個(gè)位，故排個(gè)位有2種方法；排百位不能是0,可以從另外3

個(gè)數(shù)中取一個(gè)，有3種方法；排十位有3種方法，故所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3X3X2=18.

答案：18

7.如圖，用6種不同的顏色把圖中A,B,C,。四塊區(qū)域分開，若

相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂色方法共有種.（用數(shù)字作

答）

解析：從H開始徐色，A有6種涂色方注，“有5種涂色方法，C有4種徐色方法，D

有4種涂色方法.由分步耒法計(jì)教原理可知，共有6X5X4X4=480（種）涂色方法.

答案：480

8.形如45132的數(shù)稱為“波浪數(shù)”，即十位數(shù)字，千位數(shù)字均比與它們各自相鄰的數(shù)

字大，則由123,4,5可構(gòu)成不重復(fù)的五位“波浪數(shù)”的個(gè)數(shù)為.

解析：由題意可得，十位和千位只能是4、5或者3、5.若十位和千位排4、5,則其他

位置任意排1、2、3,則這樣的數(shù)有A3As=12（個(gè)）；若十位和千位排5、3,這時(shí)4只能排在

5的一邊且不能和其他數(shù)字相鄰，1、2在其余位置上任意排列，則這樣的數(shù)有A認(rèn)3=4（個(gè)），

綜上，共有16個(gè).

答案：16

9.標(biāo)號(hào)為A,B,C的三個(gè)口袋，4袋中有1個(gè)紅色小球，B袋中有2個(gè)不同的白色小

球，C袋中有3個(gè)不同的黃色小球，現(xiàn)從中取出2個(gè)小球.

（1）若取出的兩個(gè)球顏色不同，有多少種取法？

（2）若取出的兩個(gè)球顏色相同，有多少種取法？

解析：（1）若兩個(gè)球顏色不同，則應(yīng)在A,8袋中各取一個(gè)或A,C袋中各取一個(gè)或8,

。袋中各取一個(gè).

,應(yīng)有1X2+1X3+2X3=1I（種）.

（2）若兩個(gè)球顏色相同，則應(yīng)在8或。袋中取出2個(gè).

，應(yīng)有1+3=4（種）.

10.現(xiàn)有4種不同顏色對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用

同一種顏色，則不同的著色方法共有多少種？

解：先給最上面的一塊著色，有4種方法，再給中間左邊一塊著包，有3種方法，再給

中間右邊一塊著色，有2種方法，最后再給下面一塊著色，有2種方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)

原理，共有4X3X2X2=48種方法.

B組高考題型專練

I.（2014?高考大綱全國(guó)卷）有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)

生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有（）

A.60種B.70種

C.75種D.150種

解析：從中選出2名男醫(yī)生的選法有C*=I5種，從中選出1名女醫(yī)生的選法有C!=5

種，所以不同的選法共有15X5=75種，故選C.

答案：C

2.（2014?高考廣東卷）設(shè)集合A={（刖,孫處卻X5）MW{T,0,l}，i=l,2,3,4,5},那

么集合A中滿足條件“1WMI+網(wǎng)+用1+悶+痣?yún)^(qū)3”的元素個(gè)數(shù)為（）

A.60B.90

C.120D.130

解析：設(shè)［=|即|+悶+悶+同+網(wǎng)，t=\說明Xi,X2,彳3,XI,右中有一個(gè)為一1或1,

其他為0,所以有2?c!=10個(gè)元素滿足/=1;/=2說明Xi,X2,孫X4,玲中有兩個(gè)為一1

或1,其他為0,所以有CgX2X2=40個(gè)元素滿足/=2;1=3說明汨，及，不，心，心中有

三個(gè)為一1或1,其他為0,所以有CgX2X2X2=80個(gè)元素滿足，=3,從而，共有10+40

+80=130個(gè)元素滿足1W/W3.故選D.

答案：D

3.（2013?高考重慶卷）從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗

震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是（用

數(shù)字作答）.

解析：按每科選派人數(shù)分3、1、1和2、2、1兩類.

當(dāng)選派人數(shù)為3、1、1時(shí)，有3類，共有c￡ia+c!ciN+ac?=200（種）.

當(dāng)選派人數(shù)為2、2、1時(shí)，有3類，共有C3ac!+CCld+ClCiCg=39O（種）.

故共有590種.

答案：590

第二節(jié)排列與組合

排列與組合

⑴理解排列、組合的概念.

⑵能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.

⑶能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

刎主|干ZH6HIHUIGU...............

?知識(shí)回顧,穩(wěn)固根基

知識(shí)點(diǎn)一排列與排列數(shù)

1.排列

從〃個(gè)不同元素中取出?。ā癢〃）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列,叫作從〃個(gè)不同元

素中任意取出加個(gè)元素的一個(gè)排列.

2.排列數(shù)

從〃個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫作從〃個(gè)不同元素中

取出加個(gè)元素的排列數(shù)，記作韁.

3.排列數(shù)公式及性質(zhì)

（1）排列數(shù)公式

n\

A7=A〃-1)(〃—2)…(〃-m+l)=

（2）性質(zhì)

①分=4；

(2)0!=1.

易誤提醒(1)計(jì)算A；；時(shí)易錯(cuò)算為〃(〃一1)(〃-2)…m).

(2)易混淆排列與排列數(shù)，排列是一個(gè)具體的排法，不是數(shù)是一件事，而排列數(shù)是所有

排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)正整數(shù).

［自測(cè)練習(xí)］

I.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果8必須站在A的右邊(4、B可以不相鄰)，

那么不同的排法共有()

A.24種B.60種

C.90種D.120種

解析：可先排C、。、E三人，共Ag種排法，剩余4,B兩人只有一種排法，由分步乘

法計(jì)數(shù)原理滿足條件的排法共AS=60(種).

答案：B

2.方程3屋=2Y+I+6A?的解為.

解析：由排列數(shù)公式可知

3Mx—l)(x—2)=2(x+1)%+6/(1一1),

???x23且

3(x—l)(x—2)=2(x+1)+6(%—1),

2

即—17x+10=0,解得x=5或手(舍去)，

；?x=5.

答案：5

知識(shí)點(diǎn)二組合與組合數(shù)

1.組合

從?個(gè)不同元素中任取M加工〃)個(gè)元素為一組，叫作從〃個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素

的一個(gè)組合.

2.組合數(shù)

從n個(gè)不同元素中取出〃?(〃?二〃)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫作從〃個(gè)不同元素中

取出，"個(gè)元素的組合數(shù),記作C；；.

3.組合數(shù)公式及性質(zhì)

(1)組合數(shù)公式

5一麗—ml

"!

ml?

(2)性質(zhì)

?c9=l.

②C7=CFN

@C7+C「=CM.

易誤提醒易混淆排列與組合問題，區(qū)分的關(guān)鍵是看選出的元素是否與順序有關(guān)，排

列問題與順序有關(guān)，組合問題與順序無關(guān).

必備方法排列問題與組合問題的識(shí)別方法:

識(shí)別方法

若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，即排

排列

列問題與選取元素順序有關(guān)

若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果沒有影響，則是組合問題，即組

組合

合問題與選取元素順序無關(guān)

［自測(cè)練習(xí)］

3.若A"6Ci，則〃的值為.

flIflI

解析：因?yàn)锳^=6Ct所以/=6X_；所以〃-3=4,所以“=7.

答案：7

4.現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張,

要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為.

解析：第一類，含有1張紅包卡片，不同的取法C［Cf2=264種.

第二類，不含有紅色卡片，不同的取法C%-3C==220—12=208種.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，不同的取法共有264+208=472種.

答案：472

冊(cè)|考同

考點(diǎn)、一排列問導(dǎo)z恚唱案

［題組訓(xùn)練］

1.室內(nèi)體育課上王老師為了豐富課堂內(nèi)容，調(diào)動(dòng)同學(xué)們的積極性，他把第四排的8名

同學(xué)請(qǐng)出座位并且編號(hào)為1,2,3,4,5,678.通過觀察這8名同學(xué)的身體特征，王老師決定，按

照1,2號(hào)相鄰，3,4號(hào)相鄰，5,6號(hào)相鄰，而7號(hào)與8號(hào)不相鄰的要求站成一排做一種游戲,

則有種排法.（用數(shù)字作答）

解析:把編號(hào)相鄰的3組同學(xué)每?jī)擅瑢W(xué)捆成一捆，這3捆之間有Al=6（種）排序方法，

并且形成4個(gè)空當(dāng)，再將7號(hào)與8號(hào)插進(jìn)空當(dāng)中，有用=12（種）插法，而捆好的3捆中每相

鄰的兩名同學(xué)都有Ag=2（種）排法.

所以不同的排法種數(shù)為23X6X12=576.

答案：576

2.6名同學(xué)排成1排照相，要求同學(xué)甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有

種不同站法.

解析：法一：（位置分析法）先從其他5人中安排2人站在最左邊和最右邊，再安排余下

4人的位置，分為兩步：

第1步，從除甲外的5人中選2人站在最左邊和最右邊，有Ag種站法；

第2步，余下4人（含甲）站在剩下的4個(gè)位置上，有Aj種站法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，關(guān)有AgAl=480（種）不同的站法.

法二：（元素分析法）先安排甲的位置（既不站在最左邊又不站在最右邊），再安排其他5

人的位置，分為兩步：

第1步，將甲排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有AJ種站法；

第2步，余下5人站在剩下的5個(gè)位置上，有Ag種站法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有AlAg=480（種）不同的站法.

法三：（間接法）6人無限制條件排隊(duì)有A2種站法，甲站在最左邊或最右邊時(shí)6人排隊(duì)有

2A?種站法，因此符合條件的不同站法共有A2—2Ay=480（種）.

答案：480

3.（2016?甘肅模擬）用。到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為

解析：首先應(yīng)考慮“0”，當(dāng)0排在個(gè)位時(shí)，有A&=9X8=72（個(gè)），當(dāng)。不排在個(gè)位時(shí),

有AUA=4X8=32（個(gè)）.當(dāng)不含0時(shí)，有A*A&=4X7X8=224（個(gè)），由分類加法計(jì)數(shù)原理,

得符合題意的偶數(shù)共有72+32+224=328（個(gè)）.

答案：328

》規(guī)律方法

求解排列問題的常用方法

（1）直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算.

（2）特殊元素（或位置）優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置.

（3）捆綁法：相鄰問題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素

排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列.

（4）插空法：不相鄰問題插空處理的方法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相

鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.

（5）分排問題直排處理的方法.

（6）“小集團(tuán)”排列問題中先集體后局部的處理方法.

（7）定序問題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全

排列.

考點(diǎn)二組合問題IMz候密壬

［典題悟法］

典例I(1)某學(xué)校為了迎接市春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，從5名男生和4名女生組成的田徑運(yùn)動(dòng)隊(duì)中

選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為

()

A.85B.86

C.91D.90

(2)在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期.從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1

瓶已過保質(zhì)期飲料的概率為.(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)

［解析］(1)法一：(直接法)由題意，可分三類考慮：

第1類，男生甲入選，女生乙不入選，則方法種數(shù)為C，a+CgG+CS=31:

第2類，男生中不入選，女生乙入選，則方法種數(shù)為C1C4+C彳Q+U=34：

第3類，男生甲入選，女生乙入選，則方法種數(shù)為C3+ClCj+Ci=21.

所以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為31+34+21=86.

法二：(間接法)從5名男生和4名女生中任意選出4人，男、女生都有的選法有C8一

Ci-Cj=120(種)；男、女生都有，且男生甲與女生乙都沒有入選的方法有C-a=34(種).所

以男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為120—34=86.

(2)所取的2瓶都是不過保質(zhì)期的飲料的概率為詈=號(hào)，則至少取到1瓶已過保質(zhì)期飲

料的概率為

［答案］(DB(2喘

?版律方法

組合問題的常見題型

(1)“含”與“不含”的問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不

含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂羞x取.

(2)“至少”“最多”的問題：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵

詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法或間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考

慮逆向思維，用間接法處理.

［演練沖關(guān)］

1.現(xiàn)有10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班至少一個(gè)，共有種不同的分配

方法?

解析：從結(jié)果入手，理解相同元素的分堆問題，設(shè)計(jì)“隔板法分堆”，將一種分配方法

和一個(gè)組合建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，實(shí)際問題化歸為組合數(shù)求解.該事件的實(shí)質(zhì)為將10個(gè)相同

的元素分成6堆，每一堆至少一個(gè)元素，利用“隔板法分堆”，即在10個(gè)相同元素構(gòu)成的

9個(gè)空中插入5個(gè)隔板，其不同的分配方案有C$=126(種).

答案：126

考點(diǎn)三分組分配問題|山隹烈軍

［典題悟法］

典例2按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？

(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

(3)平均分成三份，每份2本；

(4)平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本；

(5)分成三份，1份4本，另外兩份每份1本；

(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外兩人每人得1本；

(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本.

［解］(1)無序不均勻分組問題.

先選1本，有CA種選法：再?gòu)挠嘞碌?本中選2本，有Cg種選法：最后余下3本全選，

有C3種選法.

故共有CiC婦=60(種).

(2)有序不均勻分組問題.

由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)題的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有C［CgCSAS=

360(種).

(3)無序均勻分組問題.

先分三步，則應(yīng)是C?C［C3種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù).不妨記六本書為A,B,C,

D,E,F,若第一步取了AB,第二步取了CO,第三步取了EF,記該種分法為(AB,CD,

EF),則Cid◎種分法中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,

AB),(EF,AB,CD),共有種情況，而這種情況僅是48,CD,Eb的順序不同，因此

只能作為一種分法，故分配方式有二=15(種).

(4)有序均勻分組問題.

在(3)的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，

共有分配方式二:產(chǎn)應(yīng)=&€3c3=90(種).

(5)無序部分均勻分組問題.共有突詈=15(種).

(6)有序部分均勻分組問題.

在(5)的基礎(chǔ)上再分配給3個(gè)人，

共有分配方式筆抖?AS=90(種).

(7)直接分配問題，甲選1本有C］種方法，乙從余下5本中選1本有C，種方法，余下4

本留給兩種Cl種方法，共有C$CsC|=30(種).

》規(guī)律方法

解決分組分配問題的策略

(1)對(duì)于整體均分，解題時(shí)要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以

分組后一定要除以A2(〃為均分的組數(shù))、避免重復(fù)計(jì)數(shù).

(2)對(duì)于部分均分，解題時(shí)注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有，〃組元素個(gè)數(shù)

相等，則分組時(shí)應(yīng)除以〃?!，一個(gè)分組過程中有幾個(gè)這樣的均勻分組就要除以幾個(gè)這樣的全

排列數(shù).

(3)對(duì)于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時(shí)任何組中元素的個(gè)數(shù)都不相等，

所以不需要除以全排列數(shù).

［演練沖關(guān)］

2.(2016?內(nèi)江模擬)某科室派出4名調(diào)研員到3個(gè)學(xué)校，調(diào)研該校高三復(fù)習(xí)備考近況，

要求每個(gè)學(xué)校至少一名，則不同的分配方案種數(shù)為()

A.144B.72

C.36D.48

解析：分兩步完成：第一步將4名調(diào)研員按2,1,1分成三組，其分法有隼抖；第二步

將分好的三組分配到3個(gè)學(xué)校，其分法有AS種，所以滿足條件的分配方案有筆抖小§=36

種.

答案：c

Q思想方法系列|

□IXIANGFANGFAXILIEI29.模型法巧解排列組合問題

【典例】把20個(gè)相同的球全部裝入編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中

的球數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，則共有種不同的放法.

［思路點(diǎn)撥］本題可先向1,2,3號(hào)三個(gè)盒子中分別裝入0,1,2個(gè)球，再將剩下的17個(gè)球

隨意分成三份裝入盒子中即可.

［解析］題目有限制條件，不能直接運(yùn)用隔板法，但可轉(zhuǎn)化為隔板問題，向1,2,3號(hào)三

個(gè)盒子中分別裝入0,1,2個(gè)球后，還剩余17個(gè)球，然后再把這17個(gè)球分成3份，每份至少

一球，運(yùn)用隔板法，共有C?6=120（種）不同的放法.

［答案］120

［方法點(diǎn)評(píng)］排列與組合的根本區(qū)別在于是“有序”還是“無序”，對(duì)于將若干個(gè)相同小球

放入幾個(gè)不同的盒子中這類問題可利用“隔板法”求解，實(shí)質(zhì)上是最終轉(zhuǎn)化為組合問題.根據(jù)

問題的特點(diǎn)，把握問題的本質(zhì)，通過聯(lián)想、類比構(gòu)建模型是求解排列、組合問題的關(guān)鍵.

［跟蹤練習(xí)］（2015?浙江金華質(zhì)檢）4個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,34的4個(gè)盒中，則恰

有1個(gè)空盒的放法共有種.（用數(shù)字作答）

解析:把4個(gè)球分成3組，每組至少1個(gè)，即分成小球個(gè)數(shù)分別為2,1,1的3組，有

種.最后將3組球放入4個(gè)盒中的3個(gè)，分配方法有A?種，因此，放法共有筆抖XA?=

144種.

答案：144

G€NZOWGMANCE

時(shí)?跟蹤檢測(cè)，查漏補(bǔ)缺

A組考點(diǎn)能力演練

1.（2016.大連模擬）某校開設(shè)A類選修課2門，6類選修課3門，一位同學(xué)從中選3門.若

要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）

A.3種B.6種

C.9種D.18種

解析：由題知有2門4類選修課，3門B類選修課，從里邊選出3門的選法有Cg=10

種.兩類課程都有的對(duì)立事件是選了3門8類選修課，這種情況只有1種.滿足題意的選

法有10—1=9種.所以選C.

答案：C

2.某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙

不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案種數(shù)是（）

A.150B.300

C.600D.900

解析：若甲去，則乙不去，丙去，再?gòu)氖Ｓ嗟?名教師中選2名，有CgXAj=240種

方法；若甲不去，則丙不去，乙可去可不去，從6名教師中選4名，共有&><用=36（）種

方法.因此共有600種不同的選派方案.

答案：C

3.如果小明在某一周的第一天和第七天分別吃了3個(gè)水果，且從這周的第二天開始,

每天所吃水果的個(gè)數(shù)與前一天相比，僅存在三種可能：或“多一個(gè)”或“持平”或“少一

個(gè)”，那么，小明在這一周中每天所吃水果個(gè)數(shù)的不同選擇方案共有（）

A.50種B.51種

C.140種D.⑷種

解析：因?yàn)榈谝惶旌偷谄咛斐缘乃麛?shù)相同，所以中間“多一個(gè)”或“少一個(gè)”的天數(shù)

必須相同，都是0,123,共4種情況，所以共有Cg+CACg+aa+CtCS=141種，故選D.

答案：D

4.某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少

有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為

（）

A.360B.520

C.600D.720

解析：依題意進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，甲、乙兩名同學(xué)中恰有一人參加，滿足題意的不

同發(fā)言順序有Q,C*A|=48（）種，第二類，甲、乙兩名同學(xué)均參加，滿足題意的不同發(fā)言順

序有C9C-A%A3=12O種.因此，滿足題意的不同發(fā)言順序有480+120=600種，故選C.

答案：C

5.（2016?昆明調(diào)研）航空母艦“遼寧艦”將進(jìn)行一次編隊(duì)配置科學(xué)試驗(yàn)，要求2艘攻擊

型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，

則艦艇分配方案的方法數(shù)為（）

A.72B.324

C.648D.1296

解析：核潛艇排列數(shù)為A3,6艘艦艇任意排列的排列數(shù)為Ag,同側(cè)均是同種艦艇的排

列數(shù)為A執(zhí)§X2,則艦艇分配方案的方法數(shù)為AKA2-ASA9X2）=1296.

答案：D

6.5名同學(xué)站成一排，其中甲同學(xué)不站排頭，則不同的排法種數(shù)是____（用數(shù)字作

答）.

解析：依題意，滿足題意的不同的排法種數(shù)是C/A1=96.

答案：96

7.4位同學(xué)參加某種形式的競(jìng)賽，競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：選甲題答對(duì)得100分，答錯(cuò)得一100

分，選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得一90分，若4位同學(xué)的總分為0分，則這4位同學(xué)不同得

分情況的種數(shù)是.

解析：由于4位同學(xué)的總分為。分，故4位同學(xué)選甲、乙題的人數(shù)有且只有三種情況：

①甲：4人，乙：0人；②甲：2人，乙：2人；③甲：0人，乙：4人.對(duì)于①，須2人答

對(duì)，2人答錯(cuò)，共有仁=6種情況：對(duì)于②，有caaa=24種情況：對(duì)于③，與①相同，

有6種情況，故共有6+24+6=36種不同的情況.

答案：36

8.(2016?濟(jì)南模擬)航天員擬在太空授課，準(zhǔn)備進(jìn)行標(biāo)號(hào)為0,123,4,5的六項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，向

全世界人民普及太空知識(shí)，其中0號(hào)實(shí)驗(yàn)不能放在第一項(xiàng)，最后一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)小于它前面相鄰

一項(xiàng)的標(biāo)號(hào)，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法種數(shù)為________(用數(shù)字作答).

解析：本題考查排列組合，難度中等.優(yōu)先安排第一項(xiàng)實(shí)險(xiǎn)，再利用定序問題相除法求

解.由于。號(hào)實(shí)臉不能放在第一項(xiàng)，所以第一項(xiàng)實(shí)臉有5種選擇.最后兩項(xiàng)實(shí)臉的順序確定，

所以共有常=300種不同的編排方法.

答案：300

9.將7個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中.

(1)不出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？

(2)可出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？

解：(1)將7個(gè)相同的小球排成一排，在中間形成的6個(gè)空當(dāng)中招入無區(qū)別的3個(gè)“隔

板”將球分成4份，一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式，則共有C3=20種不同的

放入方式.

(2)每種放入方式對(duì)應(yīng)于將7個(gè)相同的小球與3個(gè)相同的“隔板”進(jìn)行一次排列，即從

10個(gè)位置中選3個(gè)位置安排隔板，故共有C%=120種放入方式.

10.從1到9的9個(gè)數(shù)字中取3個(gè)偶數(shù)4個(gè)奇數(shù)，試問：

(1)能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？

(2)上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？

(3)(1)中的七位數(shù)中，偶數(shù)排在一起，奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)