教學(xué)設(shè)計-1.4 極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限

《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)設(shè)計授課內(nèi)容：極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限授課教師：授課單位：完成時間：授課信息授課內(nèi)容授課時長1.4極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限4學(xué)時授課形式授課時間理論課授課對象授課地點(diǎn)內(nèi)容分析極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限是高等數(shù)學(xué)極限理論的關(guān)鍵部分。其前承數(shù)列與函數(shù)極限基礎(chǔ)，后啟導(dǎo)數(shù)、積分知識。在體系中打破定義局限，靈活判定極限，助力復(fù)雜極限求解。同時，能培養(yǎng)學(xué)生邏輯和抽象思維，是從基礎(chǔ)向微積分過渡的關(guān)鍵。學(xué)情分析1.知識基礎(chǔ)：已完成極限概念和極限的四則運(yùn)算的學(xué)習(xí)；2.認(rèn)知能力：具備基本的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)；3.學(xué)習(xí)特點(diǎn)：動手能力強(qiáng)，但學(xué)習(xí)積極性不高；獨(dú)立思考能力較弱，團(tuán)隊合作意識有待提高。教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：1.學(xué)生能夠理解并掌握夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則。2.熟練運(yùn)用兩個重要極限進(jìn)行極限計算。能力目標(biāo)：1.通過對準(zhǔn)則和極限的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。2.在解題練習(xí)中，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。素質(zhì)目標(biāo)：1.體會數(shù)學(xué)知識的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。2.培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界準(zhǔn)則的理解與應(yīng)用。2.兩個重要極限的證明及應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：1.夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則應(yīng)用中條件的把握。2.兩個重要極限在復(fù)雜函數(shù)極限計算中的靈活運(yùn)用。教學(xué)方法任務(wù)驅(qū)動法、講授法、引導(dǎo)探究法、練習(xí)法教學(xué)設(shè)計課前任務(wù)→導(dǎo)入新課（5min）→講授新課（53min）→鞏固提高（27min）→歸納總結(jié)（3min）→布置作業(yè)（2min）→課后拓展課程思政設(shè)計在回顧數(shù)列極限和函數(shù)極限定義，引出極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限時，提及數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中無數(shù)數(shù)學(xué)家對極限理論的探索與完善，如柯西、魏爾斯特拉斯等。他們經(jīng)過長期的鉆研和不懈的努力，才構(gòu)建起如今嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論體系，以此激勵學(xué)生在學(xué)習(xí)中要具備堅持不懈、勇于探索的精神，面對困難不輕易放棄。教學(xué)過程課前環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)課前任務(wù)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖課前導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)新課，完成課前小測試。1、發(fā)布任務(wù)：課前兩天學(xué)習(xí)通發(fā)布任務(wù)，并提醒學(xué)生接收任務(wù)；2、跟蹤提醒：通過學(xué)習(xí)通觀測任務(wù)完成情況，及時督促提醒，把握學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)；3、課前評價：根據(jù)學(xué)習(xí)通上傳及互評結(jié)果，遴選課中展評的優(yōu)秀任務(wù)，有機(jī)融入課中教學(xué)活動。按時完成課前任務(wù)，明確本節(jié)課個人學(xué)習(xí)難點(diǎn)。1、鍛煉自學(xué)能力：自主預(yù)習(xí)，掌握易點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)；

2、優(yōu)化教學(xué)策略：依據(jù)課前任務(wù)完成情況掌握學(xué)情，調(diào)整優(yōu)化教學(xué)策略。課中環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖導(dǎo)入新課回顧復(fù)習(xí)：極限的四則運(yùn)算；特殊類型極限的求解方法。帶領(lǐng)學(xué)生回顧上節(jié)課重點(diǎn)知識：極限的四則運(yùn)算法則、特殊類型極限的求解。積極復(fù)習(xí)，為學(xué)習(xí)本節(jié)新課打下基礎(chǔ)。承前啟后，為學(xué)習(xí)新知奠定基礎(chǔ)。引入新知：通過回顧數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義，提出問題：如何更簡便地判斷極限是否存在以及求解極限？1.給出數(shù)列和函數(shù)形式的夾逼準(zhǔn)則，結(jié)合數(shù)軸和具體的函數(shù)圖像，直觀地解釋準(zhǔn)則的含義：當(dāng)一個函數(shù)（或數(shù)列）被另外兩個函數(shù)（或數(shù)列）夾住，且在某一變化過程中，這兩個夾住的函數(shù)（或數(shù)列）極限相等，那么中間函數(shù)（或數(shù)列）的極限也存在且等于這個相等的值。2. 闡述單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)遞增有上界的數(shù)列必有極限，單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限。通過生活中的實例，如存錢罐存錢（存錢數(shù)單調(diào)遞增且有存錢罐容量這個上界）來幫助學(xué)生理解。1.認(rèn)真觀察圖像和數(shù)軸，跟隨老師的思路，思考函數(shù)（或數(shù)列）被夾住以及極限相等的情況，理解準(zhǔn)則的幾何意義。2.結(jié)合生活經(jīng)驗，積極思考并舉例，分享自己生活中遇到的類似單調(diào)有界的情況，加強(qiáng)對準(zhǔn)則的感性認(rèn)識。1.首先是豐富學(xué)生判斷極限存在的手段，讓學(xué)生明白除了利用極限定義，還能從函數(shù)（或數(shù)列）的相互關(guān)系入手判斷極限。2.通過生活實例幫助學(xué)生理解，能拉近數(shù)學(xué)知識與生活的距離，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實用性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣。引入新知：給出一特殊類型的極限，讓學(xué)生們判斷類型，并思考上節(jié)課所學(xué)的方法適用與否；類似地，再給出同種類型的其他極限。2、指出求解像這種含三角函數(shù)的“0/0”型的極限需要學(xué)習(xí)——第一個重要極限。積極動手、積極思考積極回答。教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，創(chuàng)設(shè)問題情境，引發(fā)學(xué)生的思考和探究欲望，循序漸進(jìn)地引出新知。探究新知第一重要極限介紹第一個重要極限，以及第一個重要極限的等價形式、一般形式，強(qiáng)調(diào)一個重要極限的適用情形；2、引導(dǎo)學(xué)生們應(yīng)用第一個重要極限及其推論求解例題。認(rèn)真學(xué)習(xí)第一個重要極限，清楚適用場景，邊聽邊記；在教師的引導(dǎo)下應(yīng)用所學(xué)完成例題求解。教師主導(dǎo)，學(xué)生主體，引導(dǎo)探究與講授相結(jié)合，高效講解本節(jié)課核心新知。第二重要極限詳細(xì)講解復(fù)利計算原理，通過PPT展示不同結(jié)算周期下本息和的變化過程。引導(dǎo)學(xué)生觀察結(jié)算次數(shù)不斷增加時，本息和的變化趨勢，引出極限。提問學(xué)生：“生活中還有哪些類似復(fù)利增長，隨著某個因素變化而趨近于某個值的現(xiàn)象？”鼓勵學(xué)生積極思考并分享，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生從生活實際中理解極限概念。3.介紹這個無理數(shù)的背景和意義，強(qiáng)調(diào)它在數(shù)學(xué)和自然科學(xué)領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用，如在指數(shù)增長模型、概率統(tǒng)計等方面的應(yīng)用，拓寬學(xué)生的知識面，讓學(xué)生了解這個極限的重要性和實用性。4.依次講解極限等常見變形形式，通過等式變換詳細(xì)展示變形過程，讓學(xué)生明白不同形式之間的內(nèi)在聯(lián)系。認(rèn)真聆聽教師對于理論知識的講授，特別注意等價無窮小的應(yīng)用陷阱；在教師的引導(dǎo)下應(yīng)用所學(xué)完成例題求解，體會這一技巧的便利性。鞏固提高第一重要極限的應(yīng)用；

2、第二重要極限的應(yīng)用；。分類型、分層次設(shè)置練習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的求函數(shù)極限的方法進(jìn)行鞏固練習(xí)，已達(dá)到真正內(nèi)化的效果。認(rèn)真聆聽教師對例題的講解；獨(dú)立完成練習(xí)題，并積極回答，并做好總結(jié)整理。使學(xué)生及時鞏固所學(xué)。課堂小結(jié)本節(jié)課重點(diǎn)、要點(diǎn)內(nèi)容總結(jié)。和學(xué)生一起回顧與強(qiáng)調(diào)本節(jié)課重點(diǎn)知識，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)效果。認(rèn)真總結(jié)，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強(qiáng)化課堂學(xué)習(xí)效果。課后環(huán)節(jié)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖拓展任務(wù)課后思考：等價無窮小的替換是否是萬能的？1、發(fā)布任務(wù)2、指導(dǎo)協(xié)助了解情況并給予指導(dǎo)。接受任務(wù)，查閱課本與資料，認(rèn)真完成。延拓本次課內(nèi)容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學(xué)，又起到預(yù)習(xí)作用。教學(xué)評價（1）評價構(gòu)成課程堅持強(qiáng)化過程性評價、探索增值性評價的評價改革要求，著眼于學(xué)生長期發(fā)展需要的滿足，將終結(jié)性評價與過程性評價相結(jié)合，側(cè)重過程性評價。（2）評價要素過程性