西北大學量子力學 6.3 學習課件

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兩個角動量的耦合在同一個原子中，電子既有自旋角動量，又有軌道角動量，因此很自然的，總要討論兩個角動量之間的耦合。對于多粒子體系，只要粒子具有角動量，總存在角動量之間耦合的問題。而且，有許多問題，在耦合后得出的角動量表象中討論會更方便。1.角動量升降算符對和的共同本征函數(shù)，的本征值是，的本征值是，和是角動量量子數(shù)和相應的分量角動量量子數(shù)。顯然，在的共同表象中，和的設為軌道角動量算符,滿足對易子（6.3.1）

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兩個角動量的耦合矩陣元分別是（6.3.2）（6.3.3）引入算符和，令（6.3.4）（6.3.5）（6.3.6）則（6.3.9）上式表明，也是的本征函數(shù)，本征值為，因此與最多相差一個常數(shù)，即有

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兩個角動量的耦合即（6.3.7）（6.3.8）（6.3.10）（6.3.12）（6.3.11）同理，可以證明

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兩個角動量的耦合和是待定的常數(shù)。為了求出和，注意到矩陣元（6.3.13）（6.3.14）（6.3.15）（6.3.16）又因（6.3.17）即另外，由于和是厄米的，所以有（6.3.18）

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兩個角動量的耦合（6.3.19）將（6.3.18）代入（6.3.17）得或?qū)懗?/p>

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兩個角動量的耦合（6.3.20）即（6.3.21）（6.3.22）由（6.3.9），（6.3.12）及（6.3.20），我們最后得出利用這些結(jié)果，可以求出在和的共同表象中，和的矩陣元是

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兩個角動量的耦合（6.3.23）（6.3.24）應該指出，上述各式并非只對軌道角動量成立。對于軌道角動量，就是球諧函數(shù)，對于其它角動量，雖不是球諧函數(shù)，但只要滿足角動量定義（6.3.1）式，并把

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兩個角動量的耦合和理解為相應的角動量平方和角動量分量的量子數(shù)，（6.3.21）——（6.3.24）式恒成立。例如對電子自旋角動量，由（6.3.23）及（6.3.24）得（6.3.26）（6.3.25）因此有這正是自旋矩陣的泡利表示。

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兩個角動量的耦合2.無耦合表象和耦合表象討論兩個角動量和的耦合。和既可以是自旋角動量，也可以是軌道角動量或其它角動量。按定義，應有（6.3.27）（6.3.28）以及對易關系（6.3.29）（6.3.30）假定和是兩個獨立的角動量，因此有（6.3.31）

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兩個角動量的耦合是四個兩兩相互對易的算符，可以用它們的共同的本征函數(shù)系構(gòu)成一個表象，稱為無耦合表象。這個無耦合表象的基矢必定是的共同本征矢與的共同本征矢的乘積。即若（6.3.32）（6.3.33）則無耦合表象中的基矢是（6.3.34）現(xiàn)在轉(zhuǎn)而討論耦合表象。角動量和之和是（6.3.35）（6.3.37）而且和與等滿足下述對易關系：

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兩個角動量的耦合（6.3.36）容易證明，也是角動量，也滿足（6.3.39）（6.3.40）另外，顯然還有因為與向量的任何分量對易。同理（6.3.38）6.3

兩個角動量的耦合這些對易關系表明，這四個算符兩兩對易，它們具有共同的正交、歸一、完備、封閉的本征函數(shù)系。記相應的量子數(shù)的本征函數(shù)為，有（6.3.41）（6.3.42）顯然，總角動量量子數(shù)，它的分量量子數(shù)與有關，為了找出它們之間的關系，必須先將耦合表象和無耦合表象這兩個表象聯(lián)系起來。為此，將耦合表象的基矢6.3

兩個角動量的耦合（6.3.43）按無耦合表象的基矢展開：（6.3.43）式中的系數(shù)稱為矢量耦合系數(shù)或克萊布希-戈爾登系數(shù)。以算符分別作用于（6.3.43）式兩端（6.3.44）于是有（6.3.45）（6.3.43）可寫為（6.3.46）

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兩個角動量的耦合公式（6.3.43）或（6.3.46）其實就是將耦合表象和無耦合表象聯(lián)系起來的表象變換公式。表象變換是個幺正變換，克萊布希-戈爾登系數(shù)其實就是幺正變換的所對應的幺正矩陣的矩陣元。我們已經(jīng)找到了和之間的關系，進一步，現(xiàn)在來求量子數(shù)和之間的關系。由于的最大值依次為，而且，因此的最大值必然是（6.3.47）當同時給定時，無耦合表象中基矢的數(shù)目是個。由于表象變換不改變基矢的數(shù)目，所以，耦合表象的基矢的數(shù)目與