西北大學(xué)量子力學(xué) 5.7 學(xué)習(xí)課件

5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則利用上一節(jié)中含時(shí)微擾理論的一些基本公式，本節(jié)將具體計(jì)算幾種情況下的躍遷幾率。常微擾的躍遷幾率假定微擾是個(gè)常數(shù)，并且只在時(shí)間間隔內(nèi)起作用，則體系在時(shí)處在態(tài)，在時(shí)躍遷到態(tài)的幾率振幅是（5.7.1）（5.7.2）為進(jìn)一步簡(jiǎn)化（5.7.2）式，可用函數(shù)的公式（5.7.3）5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則當(dāng)時(shí)，可將（5.7.2）式化為（5.7.4）躍遷速率是（5.7.5）5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則應(yīng)該指出，對(duì)于實(shí)際問題；由于自由度一般不只一個(gè)，因此能級(jí)總有簡(jiǎn)并。能量相同并不意味著只有一個(gè)狀態(tài)。特別是，如果躍遷的末態(tài)是散射態(tài)，它相應(yīng)的能譜是連續(xù)譜。應(yīng)該討論的實(shí)際情況是，從能量為的態(tài)到能量處于的所有狀態(tài)的躍遷幾率。為此，假定末態(tài)的態(tài)密度是，其中表示除能量外的其他守恒量，則在能量間隔，簡(jiǎn)并態(tài)態(tài)間隔的態(tài)密度是，相應(yīng)的躍遷幾率是（5.7.4）（5.7.5）式表明，對(duì)于常微擾，經(jīng)過足夠長時(shí)間后，它的躍遷速率與時(shí)間無關(guān)。而且躍遷過程滿足能量守恒定律，只在初態(tài)能量與末態(tài)能量相等時(shí)，躍遷幾率才不為零。5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則不失普遍性，選，且足夠小時(shí)，（5.7.6）是近似為（5.7.6）（5.7.7）（5.7.8）5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則（5.7.8）式稱為費(fèi)米黃金規(guī)則。它對(duì)討論粒子的躍遷具有特別重要的意義。（5.7.8）式中態(tài)密度的具體形式取決于末態(tài)的具體形式。周期微擾的躍遷幾率記微擾為（5.7.9）式中是與時(shí)間無關(guān)的算符，是周期性微擾的角頻率。無微擾體系的薛定諤方程是（5.7.10）5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則得（5.7.11）式中躍遷幾率是（5.7.12）5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則式中（5.7.13）（5.7.14）由（5.7.12~14）式可見，當(dāng)時(shí)，的分母和分子都為零，利用函數(shù)極限的洛必達(dá)法則，可知隨時(shí)間增加，因而當(dāng)時(shí)起重要作用。同理當(dāng)時(shí)起重要作用。這表明，項(xiàng)在時(shí)達(dá)到共振，項(xiàng)在時(shí)達(dá)到反共振。5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則另一方面，注意到函數(shù)在處有極大值，在為零，而次極大的峰值遠(yuǎn)低于主極大的峰值。如圖所示。從圖中我們也可以看出當(dāng)時(shí)，函數(shù)趨于函數(shù)，這是只有在處變成無窮大，其他各處均為零。5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則容易看出，滿足（5.7.12）式的具有以下性質(zhì)當(dāng)時(shí)，起主要作用的是，可略去；當(dāng)時(shí)，起主要作用的是，可略去。在外的其他區(qū)域，近似為零。在共振區(qū)和反共振區(qū)中，可近似表示為（5.7.15）5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則當(dāng)時(shí)，（5.7.16）躍遷速率為（5.7.17）5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則由（5.7.16）可見，躍遷過程滿足能量守恒。當(dāng)且盡當(dāng)周期微擾的頻率滿足時(shí)，才能發(fā)生躍遷。而且，當(dāng)微擾作用時(shí)間足夠長后，躍遷速率與時(shí)間無關(guān)。由（5.7.16）還可以得出（5.7.18）表示從態(tài)躍遷到態(tài)的幾率，相反。比較（5.7.4）與（5.7.16）可見，當(dāng)周期性微擾的頻率趨于零時(shí)，（5.7.16）過渡到（5.7.4）。這一結(jié)果表示當(dāng)頻率趨于零時(shí)，周期微擾過渡到常微擾，這是很自然的。5.7躍遷幾率和費(fèi)米黃金規(guī)則非周期微擾的躍遷幾率若在時(shí)間間隔內(nèi)加入非周期微擾，將作傅立葉展開（5.7.19）（5.7.20）躍遷幾率振幅是從態(tài)到態(tài)的躍遷幾率是（5.7.21）（5.7.22）（5.7.22