2024-2025學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市高一上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)為A B. C. D.2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.3.直線和直線，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則（）A. B.或C. D.或5.在中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，則（

）A. B. C. D.6.已知圓圓心到直線距離是，則圓M與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.相交 C.內(nèi)含 D.內(nèi)切7.設(shè)點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn),分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),且的重心為G，若則的面積為（）A. B. C. D.8.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓．后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡(jiǎn)稱“阿氏圓”）．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.若直線：，：，：，且，，則（）A. B.C.，之間的距離為 D.，的交點(diǎn)坐標(biāo)為10.已知空間四點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A. B.C. D.點(diǎn)到平面的距離為11.已知直線與圓O：交于點(diǎn)M，N，若過點(diǎn)M和的直線與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)M和的直線與x軸交于點(diǎn)D，則（）A.面積的最大值為2 B.的最小值為4C D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知空間向量，，，則向量與的夾角為__________．13.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離相等，則直線的方程為__________.14.已知，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15.分別求出適合下列條件的方程：（1）已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是.求外接圓的方程.（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.16.已知的頂點(diǎn)所在直線方程為，角平分線所在直線的方程為，求（1）點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線方程.17.如圖，繞邊BC旋轉(zhuǎn)得到，其中，平面ABC，∥．（1）證明：平面ACD；（2）若二面角的平面角為，求銳二面角平面角的正弦值．18.甲、乙、丙、丁四只球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)小組賽（每?jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)），比賽分三輪，每輪兩場(chǎng)比賽，第一輪第一場(chǎng)甲乙比賽，第二場(chǎng)丙丁比賽；第二輪第一場(chǎng)甲丙比賽，第二場(chǎng)乙丁比賽；第三輪甲對(duì)丁和乙對(duì)丙兩場(chǎng)比賽同一時(shí)間開賽，規(guī)定：比賽獲勝的球隊(duì)記3分，輸?shù)那蜿?duì)記0分，打平兩隊(duì)各記1分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少進(jìn)行排名，積分相同的隊(duì)伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊(duì)伍小組出線.假設(shè)四只球隊(duì)水平相當(dāng)，即每場(chǎng)比賽雙方獲勝、負(fù)、平的概率都為.（1）三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為X，求；（2）若前二輪比賽結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四個(gè)球隊(duì)積分分別為3、3、0、6，問甲能小組出線的概率.19.已知圓與直線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為.（1）求值；（2）求面積；（3）若圓與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上異于的任意一點(diǎn)，直線、分別交于兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)變化時(shí)，以為直徑的圓是否過圓內(nèi)的一定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.2024-2025學(xué)年廣西壯族自治區(qū)南寧市高一上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知是虛數(shù)單位，化簡(jiǎn)為A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則求解即可.【詳解】.故選：C2.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出給定直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】直線的斜率，則該直線的傾斜角為.故選：B.3.直線和直線，則“”是“”（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】由題意先求出的充要條件，然后根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可.【詳解】由題設(shè)，解得或.故，.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B.4.已知直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則（）A. B.或C. D.或【正確答案】B【分析】求出直線在坐標(biāo)軸上的截距，再利用面積公式解方程可得.【詳解】令，得；令,得．故與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，解得.故選：B5.在中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，，則（

）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由平面向量的基本定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是線段上一點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線，所以，解得.故選：A6.已知圓的圓心到直線距離是，則圓M與圓的位置關(guān)系是（）A.外離 B.相交 C.內(nèi)含 D.內(nèi)切【正確答案】C【分析】首先由圓心到直線距離是列式求出的值，進(jìn)而可得圓心的坐標(biāo)以及圓的半徑，比較兩圓圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對(duì)值的大小關(guān)系即可求解.【詳解】圓即圓的圓心半徑分別為，圓的圓心半徑分別為，因?yàn)?，解得或（舍去），從而，所以，因?yàn)?，所以圓M與圓的位置關(guān)系是內(nèi)含.故選：C.7.設(shè)點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn),分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn),且的重心為G，若則的面積為（）A. B. C. D.【正確答案】B分析】先求出，再由求解．【詳解】如圖所示：由橢圓的定義知，，而，得，而，得，在中，由余弦定理得，，所以，得，根據(jù)三角形的重心性質(zhì)，可知，，故，所以，故選：B8.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓．后來(lái)人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡(jiǎn)稱“阿氏圓”）．在平面直角坐標(biāo)系中，已知，直線，直線，若為的交點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由已知可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，得到的軌跡方程為，由阿氏圓性質(zhì)找到點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，問題轉(zhuǎn)化為求解到兩定點(diǎn)距離之和最小即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，由，斜率為，由，斜率為，，綜上，.又，直線恒過，，直線恒過，若為的交點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，則圓心為的中點(diǎn)，圓的半徑為，故的軌跡方程為，即，則有.又，易知O、Q在該圓內(nèi)，又由題意可知圓上一點(diǎn)滿足，取，則，滿足.下面證明任意一點(diǎn)都滿足，即，，又，.所以，又，所以，如圖，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且位于之間時(shí)，等號(hào)成立即最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.若直線：，：，：，且，，則（）A. B.C.，之間的距離為 D.，的交點(diǎn)坐標(biāo)為【正確答案】BCD【分析】通過直線的位置關(guān)系列方程求解即可判斷AB，代入兩平行直線距離計(jì)算公式判斷C，聯(lián)立直線方程求得交點(diǎn)坐標(biāo)判斷D.【詳解】由及得，解得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；則：，：，又：即，所以，之間的距離為.故選項(xiàng)C正確；由得，所以，的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD10.已知空間四點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A. B.C. D.點(diǎn)到平面的距離為【正確答案】AD【分析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，空間的距離公式和共線向量坐標(biāo)關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離的向量運(yùn)算公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，結(jié)合題意可得，因?yàn)椋?，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，結(jié)合題意可得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，結(jié)合題意可得，，不共線，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，結(jié)合題意可得，設(shè)平面的法向量為，則，，令，則，所以點(diǎn)到平面的距離為，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.11.已知直線與圓O：交于點(diǎn)M，N，若過點(diǎn)M和的直線與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)M和的直線與x軸交于點(diǎn)D，則（）A.面積的最大值為2 B.的最小值為4C. D.若，則【正確答案】ACD【分析】利用面積公式可判斷A；設(shè)，數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合重要不等式可判斷B；利用M的坐標(biāo)表示出直線坐標(biāo)，從而可得C、D坐標(biāo)，然后直接求解可判斷C；利用韋達(dá)定理可判斷D.【詳解】A項(xiàng)：因?yàn)橹本€與圓O交于點(diǎn)M，N，所以，所以，當(dāng)，即，時(shí)，面積的最大值為2，A正確；B項(xiàng)：設(shè)，則，，所以，因?yàn)?，所以．所以，即，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)：當(dāng)直線MB斜率存在時(shí)，則直線．令，可得，故．直線，令，可得，所以．故；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，，則，綜上所述，為定值，C正確；D項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，聯(lián)立消去y可得，則，，則，D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知空間向量，，，則向量與的夾角為__________．【正確答案】##【分析】根據(jù)求得，利用夾角公式求得向量與的夾角.【詳解】解：依題意，所以，所以，由于，所以向量與的夾角為.故.13.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離相等，則直線的方程為__________.【正確答案】或【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可根據(jù)直線有無(wú)斜率求解.【詳解】當(dāng)直線有斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，到直線的距離相等，則，解得，所以直線方程為，即，當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，則直線方程為，此時(shí)到直線的距離均為3，符合題意，綜上可得：或，故或14.已知，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，若點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【正確答案】6【分析】取中點(diǎn)，則，問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求OP的最小值即可.【詳解】如圖：取中點(diǎn)，因?yàn)?，圓的半徑為2，所以，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，.，由點(diǎn)到直線距離公式，得：，所以，所以.故6四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。15.分別求出適合下列條件的方程：（1）已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是.求外接圓的方程.（2）焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用斜率判斷出，從而確定外接圓為以線段AB為直徑的圓，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，和線段AB的長(zhǎng)度，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得解.（2）由焦點(diǎn)坐標(biāo)，確定焦點(diǎn)位置，設(shè)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，利用橢圓定義求出，結(jié)合和，求得，從而得解.【小問1詳解】三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線的斜率，直線的斜率，則，即，外接圓是以線段AB為直徑的圓，而線段的中點(diǎn)為，半徑，所以外接圓的方程是【小問2詳解】由于橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，已知焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上一點(diǎn)，由橢圓的定義可知，因此，又因?yàn)?，所以，因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知的頂點(diǎn)所在直線方程為，角平分線所在直線的方程為，求（1）點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程即可求解交點(diǎn)坐標(biāo)，（2）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱，求解關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，即可由兩點(diǎn)求解直線方程.【小問1詳解】聯(lián)立兩直線方程，所以【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，由于是角的角平分線，故在直線上，故直線方程為，即17.如圖，繞邊BC旋轉(zhuǎn)得到，其中，平面ABC，∥．（1）證明：平面ACD；（2）若二面角的平面角為，求銳二面角平面角的正弦值．【正確答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得，結(jié)合線面垂直的判定定理分析證明；（2）作輔助線，根據(jù)三垂線法分析可知二面角的平面角為，可得，結(jié)合（1）分析可知銳二面角平面角為，運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】由題意可知：，且，平面，所以平面ACD.【小問2詳解】過作，垂足為，連接，即，因?yàn)槠矫鍭CD，平面ACD，則，且，平面，則平面，由平面，可得，可知二面角的平面角為，且，可得，由（1）可知：，則銳二面角平面角為，且∥，可知，可得，所以銳二面角平面角的正弦值為.18.甲、乙、丙、丁四只球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)小組賽（每?jī)蓚€(gè)隊(duì)比賽一場(chǎng)），比賽分三輪，每輪兩場(chǎng)比賽，第一輪第一場(chǎng)甲乙比賽，第二場(chǎng)丙丁比賽；第二輪第一場(chǎng)甲丙比賽，第二場(chǎng)乙丁比賽；第三輪甲對(duì)丁和乙對(duì)丙兩場(chǎng)比賽同一時(shí)間開賽，規(guī)定：比賽獲勝的球隊(duì)記3分，輸?shù)那蜿?duì)記0分，打平兩隊(duì)各記1分.三輪比賽結(jié)束后以積分多少進(jìn)行排名，積分相同的隊(duì)伍由抽簽決定排名，排名前兩位的隊(duì)伍小組出線.假設(shè)四只球隊(duì)水平相當(dāng)，即每場(chǎng)比賽雙方獲勝、負(fù)、平的概率都為.（1）三輪比賽結(jié)束后甲的積分記為X，求；（2）若前二輪比賽結(jié)束后，甲、乙、丙、丁四個(gè)球隊(duì)積分分別為3、3、0、6，問甲能小組出線的概率.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）設(shè)甲的第i場(chǎng)比賽獲勝記為，第i場(chǎng)比賽獲平記為，第i場(chǎng)比賽獲輸記為，計(jì)算可得出答案；（2）分類1：若第三輪甲勝丁，另一場(chǎng)比賽乙勝丙，可得甲出線的概率；另一場(chǎng)比賽乙平丙或乙輸丙，得出甲出線的概率；分類2：若第三輪甲平丁，另一場(chǎng)比賽乙輸丙，得出甲出線的概率，另一場(chǎng)比賽乙平丙，可得甲出線的概率；分類3：若第三輪甲輸丁，另一場(chǎng)比賽乙輸丙，得甲出線的概率，由三種情況可最終得甲出線的概率.【詳解】（1）設(shè)甲的第i場(chǎng)比賽獲勝記為，第i場(chǎng)比賽獲平記為，第i場(chǎng)比賽獲輸記為，.（2）分類1：若第三輪甲勝丁，則甲、乙、丙、丁四個(gè)球隊(duì)積分變6、3、0、6，另一場(chǎng)比賽乙勝丙，這時(shí)甲、乙、丁積6分，丙積0分，所以要抽簽決定，抽中前兩名的概率為，這時(shí)甲出線的概率為，另一場(chǎng)比賽乙平丙或乙輸丙，這時(shí)甲一定出線，甲出線的概率為；分類2：若第三輪甲平丁，則甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?、3、0、7，另一場(chǎng)比賽乙輸丙，則甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?、3、3、7，甲一定出線，甲出線的概率為，另一場(chǎng)比賽乙平丙，則甲、乙、丙、丁積分變?yōu)?、4、1、7，所以要抽簽決定，抽中前兩名的概率為，這時(shí)