高考數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)答題模板：專題19 高考立體幾何試題中的角度問題

專題十九高考立體幾何試題中的角度問題

---------知識(shí)尋源------------

【直線與平面所成的角】

直線與平面所成的角的定義：

①直線和平面所成的角有三種：a.斜線和平面所成的角：一條直線與平面a相交，但不和a垂直，這

條直線叫做平面a的斜線.斜線與a的交點(diǎn)叫做斜足，過斜線上斜足以外的點(diǎn)向平面引垂線，過垂足與

斜足的直線叫做斜線在平面a內(nèi)的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直

線和這個(gè)平面所成的角.b.垂線與平面所成的角：一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角。c.一

條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角為0°.

②取值范圍：0°wew90°.

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。

最小角定理：斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角（即線面角），是斜線和這個(gè)平面內(nèi)的所有直線所成角中

最小的角。

[求直線與平面所成的角的方法】

（1）找角：求直線與平面所成角的一般過程：①通過射影轉(zhuǎn)化法，作出直線與平面所成的角；②在三角形

中求角的大小.

⑵向量法：設(shè)PA是平面a的斜線，沒皿二向量n為平面a的法向量，設(shè)PA與平面a所成的

角為°,則-n夕=1（,（i>m

【異面直線所成的角】

異面直線所成角的定義：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)0,分別引直線a'〃a,b，〃b,則

把直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。

兩條異面直線所成角的范圍是（0°,90,],若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線

互相垂直。

在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)。是任取的，而和點(diǎn)0的位置無關(guān)。

【求異面直線所成角的步驟】

A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位

置上cB、證明作出的角即為所求角；C、利用三角形來求角。

【二面角】

半平面的定義：一條直線把平面分成兩個(gè)部分，每一部分都叫做半平面.

二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩

個(gè)半平面叫做二面角的面。

二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線

所成的角叫二面角的平面角。一個(gè)平面角的大小可用它的平面的大小來衡量，二面角的平面角是多少度,

就說這個(gè)二面角是多少度。二面角大小的取值范圍是[0,180°]o

直二面角：面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)

平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角。

求二面角的方法：（1）定義法.（2）三垂線法.（3）垂面法.（4）射影法.（5）向量法.

---------示范例題-----------

【2017年高考全國II卷，理19】

如圖，四棱錐尸力靦中，側(cè)面目。為等邊三角形且垂直于底面

ABCD,AB=BC=-AD,ZBAD=ZABC=90°,￡是陽的中點(diǎn).

2

（1）證明：直線CE〃平面陰8；

（2）點(diǎn)附在棱PC上,且直線期與底面力四9所成角為45°,求二面角M-48的余弦值.

【解析】（1）取P4的中點(diǎn)尸，連結(jié)

因?yàn)槭鞘５闹悬c(diǎn)，所以EF”,-lD.EF=-AD.^=ZABC=90。得BCIIAD,

*

又=所以所4友\四邊形BCE產(chǎn)是平行四邊形:CE"BF.

又3戶U平面PAB:CEU平面PAB:故CEII平面PAB.

（2）由已知得8AJLAO,以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，48的方向?yàn)閤軸正方向，,司為單位長，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-,

M

iJ

y

則A(0,0,0),5(1,0,0),C(1J,O),尸(0,l,G),PC=(1,0,-75),AB=(1,O,O),

設(shè)M(x,y,z)(0<x<l),則BM=(x-l,yyz),PM=(x,y-l,z-V3),

因?yàn)槿缗c底面ABCD所成的角為45°,而〃=（0,0,1）是底面力町的法向量，

所以卜=sin45°,/，=,即=0.①

yj（x-i）\y2+z22

又“在棱尸。上，設(shè)則x=，y=\，"舁同.②

X=1H------X=1-------

22

由①②解得?y=1(舍去)，,尸1

瓜瓜

z=-------z=—

所以M（l-，從而AM=（1-

設(shè)冽=%％z。)是平面月3M的法向量廁,?蘭=°，即卜2+2%+后。=0,

9tt-AB-0.1毛=°i

所以可取股=(0.->/6s2).于是cos("1：w)=?__rj-7=-

MIM5

因此二面角M-AB-D的余弦值為.

【考點(diǎn)】判定線面平行、面面角的向量求法

【點(diǎn)撥】（1）求解本題要注意兩點(diǎn)：①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，②利用方程思想進(jìn)

行向量運(yùn)算,要認(rèn)真細(xì)心、準(zhǔn)確計(jì)算.

（2）設(shè)以〃分別為平面。，B的法向量，則二面角。與＜如或互補(bǔ)或相等，故有Icos外=

m-n

cos<m,n>二麗?求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

答題思路

【命題意圖】高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查以應(yīng)用為主，重點(diǎn)考查利用空間向量求異面直線所成的角、直線與

平面所成的角、二面角及空間想象能力、運(yùn)算能力及分析問題解決問題的能力.

【命題規(guī)律】高考試題立體幾何解答題通常分2問，第一問一般是證明線面位置關(guān)系,第二問多是求求異

面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角，該問一般是利用空間向量求解，從近幾年高考試題來看，

該題屬于得分題，第一問失分的主要原因是步躲不規(guī)范,第二問失分的主要原因是運(yùn)算失誤.

【答題模板】解答本類題目，以2017年試題第二問為例,一般考慮如下三步：

第一步：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-x），z,確定

A,B,C（1,1,O）,P,PC,A8坐標(biāo)

第二步：求出兩平面法向量的坐標(biāo)先確定〃=（0,0,1）是底面靦的法向最，

再設(shè)加=（%,%,z°）是平面的法向量,根據(jù)《求得期二（0,-后,2）.

m-AB=0,

第三步：利用公式求二面角根據(jù)確定二面角M-A8-O的余弦值.

【方法總結(jié)】

1.直線的方向向量與平面的法向量的確定

（1）直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量.

（2）平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)是平面a內(nèi)兩不共線向量，〃為平面a的法向量，則求法向量

n?a=0,

的方程組為

n-5=0.

2.利用向量法證明立體幾何問題，可以建坐標(biāo)系或利用基底表示向量；建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，要根據(jù)題

中條件找出三條互相垂直的直線.

3.兩條異面直線所成角的求法

設(shè)a,6分別是兩異面直線人心的方向向量,則

人與無所成的角0a與6的夾角B

范圍嗚］[0,n]

a?b

求法CDS。一1]1?I,7COSP—III.i

\a\\b\\a\\b\

用向量法求異面直線所成角的般步驟：（1）選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系；（2）確定異面

直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定異面直線的方向向量；（3）利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；（4）

兩異面直線所成角的余弦等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值.

4.直線與平面所成角的求法

（1）分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）；

（2）設(shè)直線，的方向向量為屬平面。的法向量為"，直線/與平面。所成的角為明a與〃的夾角為B,

39n

則sin§=|cosB|='1~n~~r.

an

5.求二面角的大小

⑴如圖①，力氏切分別是二面角。一/一。的兩個(gè)面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小°=〈就為）.

（2）如圖②③,熱分別是二面角。一1一尸的兩個(gè)半平面。，力的法向量，則二面角的大小。滿足cos

I=Icos<Z71,rh）I,二面角的平面角大小是向量n與雁的夾角（或其補(bǔ)角）.

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量

的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

6.利用向量求空間角的詳細(xì)步驟

第一步：建立空間直角坐標(biāo)系.

第二步：確定點(diǎn)的坐標(biāo).

第三步：求向量（直線的方向向量、平面的法向量）坐標(biāo).

第四步：計(jì)算向量的夾角（或函數(shù)值）.

第五步：將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角.

第六步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.

7.用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個(gè)具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性,這種方法可把復(fù)雜的推

理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運(yùn)算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由“形”轉(zhuǎn)“數(shù)”

的轉(zhuǎn)化思想.

8.易借警示

（1）兩條異面直線所成的角可以通過這兩條直線的方向向量的夾角來求，但二者不完全相同，兩異面直線所

成角的取值范圍是（0,J，而兩向量所成角的取值范圍是［°，“］，所以當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取

其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角.

⑵利用空間向量求直線與平面所成的角,注意:才是所求線面角的正弦值.

(3)求二面角要根據(jù)圖形確定所求角是銳角還是鈍角.

(4)生空間向量求解立體幾何問題易錯(cuò)點(diǎn)是在建立坐標(biāo)系時(shí)不能明確指出坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸，導(dǎo)致建系不

規(guī)范.

(5)將向量的夾角轉(zhuǎn)化成空間角時(shí)，要注意根據(jù)角的概念和圖形特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,否則易失分.

真題練習(xí)

1.【2017年高考全國I卷，理18］如圖，在四棱錐尸-458中，45〃8中，且44/>=/8尸=90「

(1)證明：平面P4AI平面2VM

(2)若Q4=PQ=AB=ZX?,ZAPD=90°,求二面角4一依—C的余弦值.

【解析】(1)證明：???44P=N8P=9(r

APALAB,PDLCD

又???AB〃CD,APD1AB

又???P￡>n%=Q，PD、尸Au平面PAO

???A3_L平面PAO,又ABu平面PA8

工平面PA81.平面PAO

(2)取AO中點(diǎn)O,8C中點(diǎn)E,連接PO,OE

??,AB￡CD

，四邊形ABC。為平行四邊形

???OE/AB

由（1）知，A8_L平面PAO

，OE_L平面尸人。，又尸O、A。u平面PA。

AOE1.PO,OEA.AD

又?：PA=PD,：,POLAD

:?PO、OE、A。兩兩垂直

???以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一型

設(shè)PA=2,???O（-收,0,0）、網(wǎng)立,2,0）、P（0,0,Q）、C（一行,2,0）,

PD=（-V2,0,-75）.方=（75,2,-應(yīng)）、冊(cè)=（-2應(yīng),（）,（））

設(shè)5=（K,y,Z）為平面尸8C的法向量

n-PB=O

由，

G而=0

令，-1，則2=亞，X=。，可得平面P8C的一個(gè)法向量G=(o,1，艱)

VZAPD=90°,：.PD1PA

又知AB±平面PAD,PDu平面PAD

：.PDA.AB,又/<40河=人

APD_L平面PA6

即而是平面PAB的一個(gè)法向量，PD=(-42,0.-V5)

由圖知二面角……為鈍角，所以它的余弦值為罟

2.【2017年高考全國HI卷，理16】〃，方為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC

所在直線與

中/華-資*源%庫a,。都垂直，斜邊AB以直線4C為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論:

①當(dāng)直線AB與。成60。角時(shí)，AS與人成30。角；

②當(dāng)直線A8與。成60。角時(shí)，與〃成60。角；

③直線A8與a所成角的最小值為45°；

④直線A8與。所成角的最大值為60°.

其中正確的是________(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào))

【答案】②?

【解析】由題意知，a、b、4c三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖.

不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1,

故IACI_1,卜用=近，

斜邊A8以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，則A點(diǎn)保持不變,

B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓.

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以8為x軸正方向，CB為)，軸正方向,

CA為z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

則。(1,0,0),4(0,0,1),

直線"的方向單位向量。=(0,1,0),\a\=\.

8點(diǎn)起始坐標(biāo)為(0J0),

直線b的方向單位向量6=(1,0,0),|^|=1.

設(shè)B點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)B'(cosHsinaO),

其中。為"。與CO的夾角，0e[0,2n).

那么A8'在運(yùn)動(dòng)過程中的向量4&=(-cos6,-sinej),|4B'|=&.

設(shè)AB'與。所成夾角為ae[0,/,

|(-cos^,-sin<9J)-(0,l,0)|也.A/2

人」.卜叫22

故。€《，自，所以③正確，④錯(cuò)誤.

設(shè)AB'與b所成夾角為尸w[。，，]，

AB'b

cos/3=—ji-----

h^AB,

_|(-cos^,sin^,1)?(1,0,0)|

=RM

V2,

=—?cose?

當(dāng)A&與a夾角為60。時(shí)，即ag

|sin^|=5/2cosa=V2cosy=V2-^=.

?二cos2^+sin2^=l>

,,小加

..|cos^|=—.

:.COSP-乎ICOSe1=g?

?.?左嗚J.

???〃=],此時(shí)48'與人夾角為60°.

???②正確，①錯(cuò)誤.

3.【2017年高考北京卷，理16】

如圖，在四棱錐產(chǎn)5中，底面4效9為正方形，平面為〃_1平面力靦，點(diǎn)加在線段用上，切力/平面也a

PA=PFR,AB=4.

(I)求證：M為期的中點(diǎn)；

(II)求二面角力物力的大??；

(III)求直線.吃與平面皮*所成角的正弦值.

39

【解析】

試題分析：(I)設(shè)交點(diǎn)為石，連接ME,因?yàn)榫€面平行，尸。〃三面M4c根據(jù)性質(zhì)定理，可知

線線平行，即POGME,E為3。的中點(diǎn)，所以M為尸5的中點(diǎn)；(II)因?yàn)槠矫鍾5，平面，四C。，

PA=PD,所以取3的中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法先求兩平面的法向量，為和

萬，再根據(jù)公式8S＜河萬〉，求二面角的大小，(HI)根據(jù)(II)的結(jié)論，亙接求si“斗。5＜流歷＞.

試題解析：解：(I)設(shè)AC,8。交點(diǎn)為E,連接ME.

因?yàn)镻?！ㄆ矫鍹AC,平面MAC平面尸BD=ME,所以尸O〃ME.

因?yàn)锳BCO是正方形，所以E為8。的中點(diǎn)，所以M為PB的中點(diǎn).

(II)取AO的中點(diǎn)0,連接OP,0E.

因?yàn)镻A=PO,所以。P_LAO.

又因?yàn)槠矫鍼AOJ■平面A3C。，且OPu平面P4。，所以。P_L平面48CO.

因?yàn)镺Eu平面A8CO,所以。尸_LOE.

因?yàn)锳BCD是正方形，所以。E1AO.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一盯z,則尸(0,0,&),￡＞(2,0,0),8(—2,4,0),

80=(4,—4,0),PD=(2,0,-V2).

n-BD=04x-4y=0

設(shè)平面BOP的法向量為〃=(x,y,z),則《，即

n?PD=02x-V2z=0

令％=1,則y=l,2=0.于是〃=(1』,后).

平面尸A￡>的法向量為0二(0,1,0),所以cos<〃.p>_nP_J_

\n\\p\2

由題知二面角8-P￡>-A為銳角，所以它的大小為四.

3

(III)由題意知M(—1,2,，)，0(2,4,0),A/C=(3,2,-

設(shè)直線MC與平面BDP所成角為a,則sina=|cos<n,MO|=IfL”宜=漢&

\n\\MC\9

所以直線MC與平面尸所成角的正弦值為:二.

9

【考點(diǎn)】1.線線，線面的位置關(guān)系；2.向量法.

【點(diǎn)撥】本題涉及到了立體幾何中的線面平行與垂直的判定與性質(zhì)，全面考查立體幾何中的證明與求解，

意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；利用空間向量解決立體幾何問題是一種成熟的方法，要注

意建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

4.【2017年高考天津卷,理17】

如圖，在三楂錐尸力回中，用_1_底面力完，NBAC=90°.點(diǎn)〃，E,“分別為榜為，PC,8。的中點(diǎn)，必是

線段仞的中點(diǎn)，PA=AC=4fAB=2.

(I)求證：楸'〃平面BDE；

(II)求二面角小￡歸￥的正弦值；中/華-資*源/庫

(Ill)已知點(diǎn)，在棱刃上，且直線期/與直線應(yīng),所成角的余弦值為“，求線段力，的長.

21

【答案】(1)證明見解析(2)巫E(3)-或1

2152

【解析】試題分析：本小題主要考查直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查用空間

向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.首先要建立空間直角坐標(biāo)

系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),證明線面平行只需求出平面的法向量，計(jì)算直線對(duì)應(yīng)的向量與法向量的數(shù)量積為0,

求二面角只需求出兩個(gè)半平面對(duì)應(yīng)的法向量，借助法向蚩的夾角求二面角，利用向量的夾角公式，求出異

面直線所成角的余弦值，利用已知條件，求出，破的值.

試題解析：如圖，以力為原點(diǎn)，分別以48,AC,AP方向?yàn)閤軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)

系.依題意可得

A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),4(0,0,1),N

(1,2,0).

(I)證明；DE=(0,2,0),DB=(2,0,一2).設(shè)〃=(x,y,z),為平面瓦國的法向量，

則〃°E=0,即(2y=°.不妨設(shè)z=i,可得〃=(1,0,1).又(1,2,-1),可得MN〃=O.

n-DB=0[2x-2z=0

因?yàn)镸N<z平面BDE,所以劭W/平面BDE.

（II）易知%=（L0,0）為平面CEM的一個(gè)法向量般4,z）為平面瓦M(jìn)V的法向蚩，則1兒?一=-Q

兒,MV=0

{，-2V-z一=0。不妨設(shè)…可得m）.

因此有8S<%,叫入「一之，于是sin<〃>幾

|叫||2|V2121

所以，二面角C-與的正弦值為零.

（皿）依題意,設(shè)冊(cè)力（0~44）,則，（0,0,h）,進(jìn)而可得NH=（—1,T"），BE=（-2,2,2）.由已知,

得Icos<NH,BE>1=I.8也=124—2|也,整理得10力21/?+8=0,解得〃=§,或/?='.

I^VWHBE\"2+5x262152

所以，線段仍的長為色或工.

52

【考點(diǎn)】直線與平面平行、二面角、異面直線所成的角

【點(diǎn)撥】空間向量是解決空間幾何問題的銳利武器，不論是求空間角、空間距離還是證明線面關(guān)系利用空

間向量都很方便，利用向量夾角公式求異面直線所成的角又快又準(zhǔn)，特別是借助平面的法向量求線面角，

二面角或點(diǎn)到平面的距離都很容易.

5.【2017年高考山東卷，理17］如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形A8CQ（及其內(nèi)部）以A3邊

所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120。得到的，G是。尸的中點(diǎn).

（I）設(shè)尸是CE上的一點(diǎn)，且AP_L8E,求NC8P的大小;

(II)當(dāng)AB=3,AD=2,求二面角E—AG—C的大小.

【答案】（I）ZCBP=30°.（II）60c.

【解圻】試題分析：（I）利用,鏟一班…四一荏，

證得平面,四產(chǎn)，

利用BPu平面，超P,得到3E_3P,結(jié)合/以。=120?？傻?。尸

（II）兩種思路，一是幾何法，二是空間向量方法，其中思路一：

取比的中點(diǎn)H,連接EH,GH,CH.

得四邊形3印。為菱形，

得到AE=GE—AC-GC=+2,=-^3.

取NG中點(diǎn)連接五M,CM,EC.

得到￡V_L*G,CM±AGf

從而4EMC為所求二面角的平面角.

據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)即得所求的角.

思路二：

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE,BP,84所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直.角坐標(biāo)系.

寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面AEG的一個(gè)法向量m=（%,y,zj平面ACG的一個(gè)法向量〃二（占,力，22）

9

ni?n|

計(jì)算cos<m,n>=-------=一即得.

|w||n|2

試題解析：（I）因?yàn)閄P-3E…加工BE,

且s,XPU平面,四尸，J5rM尸=，，

所以3H_L平面尸，

又艮Pu平面ABP,

所以BE_L3產(chǎn)，又NE5C=120。，

@此NCB尸=30。

（II）解法一：

取EC的中點(diǎn)“，連接E”，GH,CH.

因?yàn)?EBC=120。，

所以四邊形BEHC為菱形，

所以AE=GE=AC=GC==舊.

取AG中點(diǎn)M,連接EM,CM,EC.

則EM_L4G,CM1AG,

所以ZEMC為所求二面角的平面角.

又AM=1,所以EM=CM=J13—1二26.

在ABES,由于/E3C=120。，

由余弦定理得EC?=22+22-2X2X2XCOS120O=12,

所以EC=26，因此AEMC為等邊三角形，

故所求的角為60°.

解法二:

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE,BP,3月所在的直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題意得乂(0,0,3)E(2,0,0),41,抬,3),C(-l，7l0),故石=(20,—3),芯=Q0：O),

CG=(2s0s3),

設(shè)冽=(再,為,NJ是平面」4EG的一個(gè)法向量.

m-AE=02xi-3z=0

可得,1s

m-AG=0%+底1=0,

取z1=2,可得平面,4￡G的一個(gè)法向量

設(shè)〃=(x2,y2,z2)是平面ACG的一個(gè)法向量.

由卜尾=。可得卜+回2=。，

n-CG=02為+3z,=0,

取Z2=-2,可得平面ACG的一個(gè)法向量n=(3,-73,-2).

-Inn1

所以cos<，n,n>=--------=—.

\fn\\n\2

因此所求的角為60。.

【考點(diǎn)】1.垂直關(guān)系.2.空間角的計(jì)算.

【點(diǎn)撥】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面

與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用幾何法、

空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理

能力'轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運(yùn)算能力等.

6.【2017年高考浙江卷9】如圖，已知正四面體〃-力國(所有棱長均相等的三棱錐)，P,Q,〃分別為

AB,ECS上的點(diǎn)、，AP=PB,也=空=2,分別記二面角〃-必*-0,D-PQ-R,〃-的平面角為。，

QCRA

B,y,貝ij

A.Y《BB.C.yD.r<a

【答案】B

【解析】

試題分析：設(shè)。為三角形43C中心，則。到P。距離最小，。到網(wǎng)距離最大，。到火。距離居中，而高

相等，因此av/<￡,所以選3.

【考點(diǎn)】空間角(二面角)

【點(diǎn)撥】立體幾何是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，也是高考重點(diǎn)考查的考點(diǎn)與熱點(diǎn).這類問題的設(shè)置一般有線

面位置關(guān)系的證明與角度距離的計(jì)算等兩類問題.解答第一類問題時(shí)一般要借助線面平行與垂直的判定定

理進(jìn)行；解答第二類問題時(shí)先建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的坐標(biāo)形式及數(shù)量積公式進(jìn)行求解.

7.【2017年高考江蘇卷22］如圖，在平行六面體仍5-力由G〃中，加」平面力85,且力廬力方2"4=6,

ZA4￡>=120°.

(1)求異面直線46與4G所成角的余弦值；

(2)求二面角B~A\D-A的正弦值

【答案】(1)-(2)—

74

【解析】解：在平面/仇力內(nèi)，過點(diǎn)力作如以L49,交優(yōu)于點(diǎn)￡

因?yàn)?41一平面45CD,

所以AAi—AD.

如圖，以｛近:而:Qi｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系4序.

因?yàn)?=40=2,44尸相，-1)=120。

則的Q0)：8函TO)RO二"(30：0)40：0心工(出/赤.

⑴不=出「1「亞冠=(&而,

■nd!~TD~TT\4BTC]我

因此異面直線小B與力。所成角的余弦值為■!".

⑵平面AM的一個(gè)法向量為AE=(73,0,0).

設(shè)機(jī)=(x,y,z)為平面物]〃的一個(gè)法向量,

又鄧=(瓜-1,-6),麗=(-13,0),

m-AB=0,y/3x-y-y/3z=0,

則彳_即1廠

m-BD-0,I-V3x+3y=0.

不妨取產(chǎn)3,則y=e,z=2,

所以in=(3：0：2)為平面3A]D的一個(gè)法向蚩,

u而/Tr\4E?”1(yjs.0.0)-(3.\^.2)3

從而cos{AEm)=--------=———』——---=-.

's7\AEm\小義44

設(shè)二面角B-AtD-A的大小為6,貝ijcos6=：.

因?yàn)?e[0;7T],所以sin6=Jl-cos*=(.

因此二面角力4。力的正弦值為也.

4

【考點(diǎn)】空間向量、異面直線所成角及二面角

【點(diǎn)撥】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐

標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；

第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.

8.[2017寧夏石嘴山市二?！咳鐖D，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的多面體中,AF1平面ABCD,DE1平面

n

ADIIBC,AB=CDZABC=-

ABCD，3，BC=AF=2AD=4DE=4?

(l)請(qǐng)?jiān)趫D中作出平面a,使得DE<=a旦BFIIa并說明理由;

(2)求直線EF和平面BCE所成角的正弦值.

【解析】(D如圖取BC中點(diǎn)P連接PD,PE：則平面PDE即為所求的平面a：

顯然:以下只需證明BF.平面\

BC=2AD,ADIIBC

9

ADIIBP且AD=BP

???四邊形ABPD為平行四邊形，

.-.ABHDP

又ABC平面PDE,PDu平面PDE,

r.ABH平面PDE.

?.?AF1平面ABCD,DE1平面ABCD,

.?.AF||DE.

又AH平面PDEDEU干面PDE

AF||平面PDE,

y?AFC平面ABFABC平面ABFABnAF=A

平面AB"平面PDE

又BFU平面ABF,

.?.BF||平面PDE,gpBFII平面a.

(2)過點(diǎn)A作AG1AD并交BC于G,

?.?AF±平面ABCD,

/.AFIAG,AF1AD即AG,AD,AF兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，以AG,AD,AF所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz.

在等腰梯形ABCD中，?.?4ABG=60°,BC=2AD=4,

.?.BG=1,AG=業(yè)

則B(J,-IQ),C(4,3,O),

?.?AF=4DE=4,.?.E(O,2,1),F(O,O,4),

.?辰=(0,4,0)底=(?需31).

設(shè)平面BCE的法向量n=(x,y,z)：

.n-BC=04y=0

由‘nBE=O得-\3x*3y+z=0

取x=、&可得平面BG的一個(gè)法向蚩「=(\3,O.3)

設(shè)直線EF和平面BCE所成角為e,

yVEF=(0,-2,3),

|患x0+0x(-2)+3x3|3相

sin0=|cos<n,EF>|

^3+9x^/4+926,

3回

故直線EF和平面BCE所成角的正弦值為26.

9.【2017東北三省三校第二次聯(lián)考】如圖，四棱錐S-ABC。中，底面ABCO是邊長為4的正方形，平面

S4Q_L平面SCO,SA=SD=2>/2.

（1）求證：平面S4Q_L平面ABCQ；

（2）E為線段DS上一點(diǎn),若二面角S-BC-E的平面角與二面角D-BC-E的平面角大小相等，

求SE的長.

【解析】（I）???平面S4O_L平面SCO,￡>C_LAO,??.￡>C_L平面SA。；OCu底面46。。，,平面

SADL^ABCD（H）取AO中點(diǎn)M,連接SM

SA=AD^>SM1AD,又因?yàn)槠矫鍿AO_L底面A8CO,所以SM_L平面A8CO以“為原點(diǎn)，

加。,48,知5方向分別為％乂2軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系平面43。。的法向量〃]=（0,0,1）,平面

BCS的法向量〃2=（x,y,z）,S（0,0,l）,3（—l,2,0）,C（l,2,0）,BC=（2,0,0）,BS=（1,-2,1）則

2x=0

?,?2=(0,1,2)設(shè)。E=4DS=(-22,0,22),所以E(2-24,0,24)

x-2y+z=0

由上同理可求出平面BCE的法向量%=（°，42）

由平面BCD、BCS與平面BCE所成的銳二面角的大小相等可得???4=2遙-4

I咄引同,同‘

ASF=1072-4V10

1

QA=AB=-PD=1

10.[2017內(nèi)蒙古包頭市十校聯(lián)考】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD_L平面ABCD,PD〃QA,2

（1）證明：平面PQC_L平面DCQ；

（2）求二面角Q—BP—C的余弦值.

【解析】⑴依題意有Q(LLO)C(WD：P(020).

則DQ=(1,1,0),DC=(OAD.PQ=(1-LO).

所以PC?DC=O,PQDC=0.

即PQ±DQ:PQ±DC.故PQx平面DCQ

又PQu平面PQC,所以平面?QC±平面DCQ.

(2)依題意有B(1,0,1),

CB=(1,O,O),BP=(-1,2-1).

nCB=Ox=0,

設(shè)n=(x,y,z)是平面pBC的法向量:則BP=0,r?2y-z=0.

因此可取

BP=0,

設(shè)m是平面PBQ的法向量則m-PC=0.

-K

m=(1,1,1).所以cos<m,n>=-

可取5

.'IS

故二面角Q-BP-C的余弦值為S'

11.【2017重慶市一中一模】在四邊形4BCO中,對(duì)角線AC,BO垂直相交于點(diǎn)。，且

OA=O8=OD=4,OC=3.將ABCD沿BD折到ABED的位置，使得二面角E—60—A的大小為

90°(如圖).已知。為E。的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段48上，且AP=J5.

（1）證明：直線PQ//平面ADE；

（2）求直線3。與平面AOE所成角。的正弦值.

【解析】由題ZAOE=90。，故OA,OBQE兩兩垂直,從而可建立如圖直角坐標(biāo)系O-孫z,則

B（0,4,0）,￡（0,0,3）,D（0,-4,0）,A（4,0,0）.

⑴由題知同=或：故益=4善:又與=（T4：0）：故我=（-LLO）,從而尸（3］。,又0：0弓

故而=；-31,|）設(shè)平面功上的法向量為；；=（元斗）易得麗=（4,40）：讀=（0,4.3）：由

?_____何彳；八取x=3何?丹二。：—：，）：因外ZP0=O：故直線尸。門平面

hJ）E=0l4y+3z=0

（2）由（1）可知1=（3「3：4）為平面HDE的法向量:又麗=（0：-&0）,故

si"小s<a血卜耦=前=小國.

7T〃

12.【2017遼寧錦州質(zhì)檢一】在四棱錐尸—4BCZ）中，ZDBA=-tAB=CD,APA8和△尸8。都是邊

2

長為2的等邊一:角形,設(shè)P在底面ABCD的射影為0.

p

(2)求二面角A—PB—C的余弦值.

【解析】(1)證明：???△尸?”和△尸RD都是邊長為2的等邊三角形，

；.PA=PD=PB,0為尸在底面的射影，NA80二2所以。為乙48詡外心且。為AD中點(diǎn)，

2

???BD=BA???80_LAO,由‘宓破四可得四邊形ABCD為平行四邊形，AD//BC：,BO1BC又?:

PO1面AUCZ),則PO工BC又BOcPO=。,/.BC±面尸06,PBu面FOB/.BC±PB

(2)以點(diǎn)。為原點(diǎn)，以O(shè)B，0D，。尸所在射線分別為X軸，丁軸，z軸建系如圖，

..AS-2imiOlO,0，0)H'O,-&，0)C|'&,2逝，0)

0'o,72,oj

\，，可求

P|0

p0=y[2，°，點(diǎn)j威，Z,01麗=|f,0,&}3C=|0,2V2,Oj

設(shè)面R3的法向量為"WX'J'Z)則

/麗一0/前一0彳導(dǎo)-0X-4=0—近工-0

取xf得J'=T：Z=1,

故〃=。，-13)

設(shè)面P8C的法向量為泄=(''$'則

m-BC=0,泄?BP=0,得s=0,—>/2z—y/lt=0,

取11,則"1,故羽=0,03),

--mnJ6

cos<m>7tx尸舊=.

于是HH3,

由圖觀察知x-尸a-c為鈍二面角，

*

所以該二面角的余弦值為3.

13.12017遼寧莊河市四模】如圖，四棱錐尸—A8C7)中，底面A8CO是矩形，平面R4DJ.平面ABC。,

且APAD是邊長為2的等邊三角形，尸。=,點(diǎn)M是尸。的中點(diǎn).

(1)求證：PA平面M3。；

kFI

(2)點(diǎn)尸在PA上，且滿足竺=上，求直線。M與平面/8。所成角的正弦值.

FP2

【解析】(1)連4。交BD于點(diǎn)￡,連ME，因?yàn)樗倪呅蜛BC。是矩形，所以點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，又點(diǎn)

M是PC的中點(diǎn)，:.PAME，又PAa平面MBREA/u平面MB。，所以PA平面MB。.

⑵取XD的中點(diǎn)。貝」尸。_勿：又平面尸,也一底面J5C，平面尸，De底面，四CD=40做

產(chǎn)。，平面,西。，連接。。：在RdPOC中：OC=HPC：-P0?=而，所以在RtAOOC中:

DCS-DO,=3，以。為原點(diǎn)：。兒?！辍．a(chǎn)所在直線分別為“軸：y軸：z軸建立空間直角坐

標(biāo)系則Z(L0,0)*(L3,0)必-1￡0)0(-130),尸(0,0,/)所-仁等)設(shè)廠(—)，則由

AF=-AP得(七一Lwzo)=7(T0，WJ即Fj70：二-j：設(shè)平面廣友?的法向蚩麗=(x,y：z)，則

3313JI

-2x-3y=0

mBD=0

得｛1也，令x=3,y=—2，貝壯二一56，故m=（3,—2,—5石），又

mBF=0——x-3y+——z=01

33

。知二化3,也，設(shè)直線OM與平面FBD所成角為6，則

I222J

/\向QMl99J286

sinO=cos(m,DM)=-L~L=----==——,故直線DM與平面FBD所成角的正弦值為

'/同2何叵286

9>/286

286

14.12017黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)仿真模擬】如圖，在四棱錐P-ABCD中,平面以〃1.底面ABCD,其中底面ABCD

為等腰梯形,力〃〃%PA=AB=BC=CD=2yPD=T^yPA工PD,。為陽的中點(diǎn).

(I)證明：?！ㄆ矫鍼AB；

(II)求直線如與平面附右所成角的正弦值.

【解析】

(I)證明如圖所示:取PA的中點(diǎn)工連接QX,

BN瓜aPAD中,Ry=.W,PO=0D：

1

所以03ND,且Q^2AD.

在△月陽中，PA=2,PD=2\[^tPA1PD,

________1

所以49=麗甲^=4,而比三2,所以BC=2AD.

又BC//AD,所以QN〃BC,且QN=BC,

故四邊形BC0V為平行