垂線 教案 2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊

分課時教學(xué)設(shè)計《2.1.2垂線》教學(xué)設(shè)計課型新授課√復(fù)習(xí)課口試卷講評課口其他課口教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容兩條直線互相垂直是相交線中的特殊情況，是學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何的基礎(chǔ)和重點之一，是學(xué)生學(xué)會運用幾何語言的起步階段，對養(yǎng)成學(xué)生良好而規(guī)范的幾何語言表達能力有著舉足輕重的作用，同時它也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中從一般到特殊的一個過程。本節(jié)課從觀察生活中的圖片入手，引出兩條直線互相垂直的概念，給出兩條直線互相垂直的符號表示，通過畫、折等操作活動進一步豐富對兩條直線互相垂直的認識，引導(dǎo)學(xué)生探索兩條直線互相垂直的一些性質(zhì)，給出點到直線的距離的概念。學(xué)習(xí)者分析在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)認識了平行線、相交線、角；在七年級上冊中，已經(jīng)對兩點確定一條直線、角及其分類有了一定的認識；上一節(jié)課又進一步學(xué)習(xí)了兩直線的位置關(guān)系、兩角互補、互余等概念，這些知識儲備為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)，使學(xué)生具備了掌握本節(jié)知識的基本技能。七年級學(xué)生好奇心強，對新鮮事物特別敏感，但注意力容易分散，因此，教學(xué)過程中創(chuàng)設(shè)的問題情境應(yīng)較生動活潑，直觀形象，從而引起學(xué)生的有意注意。教學(xué)目標1.理解垂線的有關(guān)概念、性質(zhì)及畫法；2.知道垂線段和點到直線的距離的概念，并會應(yīng)用它們解決問題；3.理解點到直線的距離，會判斷圖形中點到直線的距離，通過動手操作活動，探究歸納垂直的有關(guān)性質(zhì)；4.經(jīng)歷生動、有趣的動手操作過程，使學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)活動中，并在活動中感受成功的快樂。教學(xué)重點1.理解垂線、垂線段的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；2.掌握點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離.教學(xué)難點掌握垂線的性質(zhì)，并會利用所學(xué)知識進行簡單的推理.學(xué)習(xí)活動設(shè)計教師活動學(xué)生活動環(huán)節(jié)一：新知導(dǎo)入教師活動1：同一平面上的兩條直線有哪些位置關(guān)系?學(xué)生活動1：學(xué)生思考，積極舉手回答.活動意圖說明：通過設(shè)置問題，引發(fā)學(xué)生的回憶思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，自然切入本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.環(huán)節(jié)二：垂線及其相關(guān)概念教師活動2：觀察圖中的圖片，你能找出其中相交的線嗎?它們有什么特殊的位置關(guān)系?垂直、垂線：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足。通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直。如圖，直線AB與直線CD垂直，記作AB⊥CD；如圖，直線l與直線m垂直，記作l⊥m。其中，點O是垂足。通常用符號“⊥”表示兩條直線互相垂直。如圖，直線AB與直線CD垂直，記作AB⊥CD；如圖，直線l與直線m垂直，記作l⊥m。其中，點O是垂足。注意：垂直和垂線是兩個不同的概念，垂直是兩條直線的位置關(guān)系，是相交的一種特殊情況，特殊在夾角為直角，而垂線是一條直線.思考·交流：(1)如圖，O為直線AB上一點，∠AOC=∠BOC,那么OC與AB垂直嗎?為什么?(2)以下是小穎的思考過程，她的想法正確嗎?你知道她每一步的依據(jù)嗎?與同伴進行交流。我是這樣思考的:由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°，可得∠AOC=∠BOC=90°,所以O(shè)C⊥AB。小穎的想法正確。由∠AOC=∠BOC，且∠AOC+∠BOC=180°，(平角的概念)可得∠AOC=∠BOC=90°,(等量代換)所以O(shè)C⊥AB（垂直的定義）。(3)如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC嗎?為什么?與同伴進行交流。如果OC⊥AB，那么∠AOC=∠BOC.證明：因為OC⊥AB，由垂直的概念可得，∠AOC=∠BOC.嘗試·思考：(1)你能用折疊的方法折出互相垂直的直線嗎?試試看!用折疊的方法可以折出互相垂直的直線。(2)如果只用直尺，你能畫出下圖方格紙上已知直線的垂線嗎?你還能再畫出兩條互相垂直的直線嗎?學(xué)生活動2：學(xué)生觀察圖片，思考回答.學(xué)生與教師一起總結(jié)垂直、垂線等概念，會用數(shù)學(xué)符號表示兩條直線垂直。學(xué)生小組合作，思考回答。學(xué)生動手操作，之后回答問題。活動意圖說明：通過觀察圖片，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出垂線及其相關(guān)概念，培養(yǎng)學(xué)生觀察，歸納總結(jié)的能力；之后思考交流，讓學(xué)生理解垂線的一些性質(zhì)，加強對概念的理解；最后讓學(xué)生在操作和交流的過程中，積累有關(guān)兩條直線垂直的經(jīng)驗，發(fā)展有條理的思考；培養(yǎng)作圖能力，發(fā)展幾何直觀.環(huán)節(jié)三：垂線的畫法及性質(zhì)教師活動3：嘗試·交流：(1)如圖，點A在直線l上，你能用三角尺過點A畫直線l的垂線嗎?你能畫出多少條?如果點A在直線l外呢?你是怎樣做的?與同伴進行交流。點A在直線l上只能畫一條垂線點A在直線l外只能畫一條垂線垂線的畫法：（1）一靠:將三角尺的一條直角邊靠在已知直線上，即一條直角邊與已知直線重合．（2）二過:移動三角尺，使三角尺的另一條直角邊經(jīng)過已知點．（3）三畫:沿已知點所在的直角邊畫線，則這條直線就是經(jīng)過已知點畫的已知直線的垂線．垂線的性質(zhì)：同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。注意：（1）此基本事實的前提是在同一平面內(nèi)，所過的點可以在直線上，也可以在直線外；一條直線的垂線有無數(shù)條，但過一點只能作一條.(2)如圖，點P是直線l外一點，PO⊥l，點O是垂足。點A，B，C在直線l上，比較線段PO，PA，PB，PC的長短，你發(fā)現(xiàn)了什么?發(fā)現(xiàn)：線段PO最短。垂線的性質(zhì)：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。點到直線的距離：如圖，過點A作直線l的垂線，垂足為B，線段AB的長度叫作點A到直線l的距離。在圖中，哪條線段的長度可以表示點P到直線l的距離?OP的長度可以表示點P到直線l的距離。學(xué)生活動3：學(xué)生先嘗試動手操作，之后教師進行演示.學(xué)生與教師一起總結(jié)垂線的畫法及垂線的性質(zhì)，同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。學(xué)生觀察，猜想回答。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，得出垂線的另一性質(zhì)：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。學(xué)生理解點到直線的距離的概念并會進行判斷。活動意圖說明：通過學(xué)生動手操作，總結(jié)出垂線的性質(zhì)，理解點到直線的距離的概念，提高作圖能力和技巧，培養(yǎng)數(shù)學(xué)語言表達能力和總結(jié)能力，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣。板書設(shè)計課題：2.1.2垂線1.垂線及其相關(guān)概念：2.垂線的畫法：3.垂線的性質(zhì)：4.點到直線的距離：課堂練習(xí)【知識技能類作業(yè)】必做題：1.下列各圖中，過直線l外的點P畫l的垂線CD，三角板操作正確的是（D）2.如圖,點O在直線BD上,已知∠1=20°，OC⊥OA,則∠BOC的度數(shù)為(B)A.20°B.70°C.80°D.90°3.如圖,小華同學(xué)的家在點P處,他想盡快到達公路邊去接從外地回來的外婆,他選擇沿線段PC去公路邊,他的這一選擇用到的數(shù)學(xué)知識是（D）A.兩點確定一條直線B.兩點之間直線最短C.兩點之間線段最短D.垂線段最短4.如圖,直線AB,CD,EF都經(jīng)過點O,且AB⊥CD,∠COE=35°,求∠EOB,∠BOF的度數(shù).解：因為AB⊥CD，所以∠BOC=90°.因為∠COE=35°，所以∠EOB=90°-35°=55°，所以∠BOF=180°-55°=125°.選做題：5.如圖，OA⊥OB，∠BOC=30°，OD平分∠AOC,則∠BOD的大小是(B)A.20°B.30°C.40°D.60°6.設(shè)點P是直線l外一點，PQ⊥l，垂足為點Q，點T是直線l上的一個動點，連接PT，則（C）A.PT≥2PQB.PT≤2PQC.PT≥PQD.PT≤PQ【綜合拓展類作業(yè)】7.如圖所示，碼頭、火車站分別位于A，B兩點，直線a和b分別表示鐵路與河流.從火車站到碼頭怎樣走最近，畫圖并說明理由；（2）從碼頭到鐵路怎樣走最近，畫圖并說明理由；解:（1）如圖，沿線段BA走.理由：兩點之間線段最短.（2）如圖，沿線段AC走.理由：垂線段最短.課堂總結(jié)1.垂直、垂線的概念：兩條直線相交成四個角，如果有一個角是直角，那么稱這兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足。2.垂線的畫法：一靠、二過、三畫3.垂線的性質(zhì)：同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。4.點到直線的距離：如圖，過點A作直線l的垂線，垂足為B，線段AB的長度叫作點A到直線l的距離。作業(yè)設(shè)計【知識技能類作業(yè)】必做題：1.如圖,AO⊥OB,若∠AOC=49°,則∠BOC的度數(shù)是(C)A.30°B.40°C.41°D.49°如圖,AC⊥BC,∠C=90°,線段AC、BC、CD中最短的是(C)A.ACB.BCC.CDD.不能確定3.如圖，已知OA⊥m，OB⊥m，所以O(shè)A與OB重合，其理由是（C）A.過兩點只有一條直線B.過一點只能作一條垂線C.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直D.垂線段最短選做題：4.如圖，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，點P可以在直線BC上自由移動，則AP的長不可能是(A)A．2.5B．3C．4D．55．如圖,點O在直線AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,則∠BOD的大小為(A)A.30°B.40°C.50°D.60°【綜合拓展類作業(yè)】6.如圖,直線AB,CD相交于點O,OM⊥AB.(1)若∠1=40°,求∠BOD的度數(shù)；(2)如果∠1=∠2,那么ON與CD互