《高等數(shù)學(xué)(下冊)》課件-第7章

第7章向量代數(shù)與空間解析幾何7.1空間直角坐標(biāo)系與向量的概念

7.2向量的數(shù)量積與向量積

7.3平面與直線

7.4曲面與空間曲線

7.1空間直角坐標(biāo)系與向量的概念

7.1.1空間直角坐標(biāo)系

在空間取三條相互垂直且相交于一點(diǎn)的數(shù)軸(一般單位長度相同)，其交點(diǎn)是這些數(shù)軸的原點(diǎn)，記為O.這三條數(shù)軸分別叫做x軸、y軸、z軸，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.一般將x軸和y軸放置在水平面上，那么z軸就垂直于水平面.z軸的正方向規(guī)定如下：從正面對z軸看，如果x軸的正方向以逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90°時(shí)，正好是y軸的正方向，那么這種放置法確定的坐標(biāo)系稱為右手直角坐標(biāo)系(如圖7-1(a)所示).這種確定右手直角坐標(biāo)系的方法通常形象地稱為右手螺旋法則，即伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向x軸，然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)90°指向y軸，此時(shí)大拇指的方向即為z軸正向.在三維空間直角坐標(biāo)系中，x軸稱為橫軸，y軸稱為縱軸，z軸稱為豎軸，三條坐標(biāo)軸中的任意兩坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面，這樣確定的三個(gè)平面統(tǒng)稱為坐標(biāo)面.即x軸與y軸所確定的坐標(biāo)面稱為xOy坐標(biāo)面，由x軸和z軸確定的平面稱為xOz平面，由y軸和z軸確定的平面稱為yOz平面.三個(gè)坐標(biāo)面將空間分成八個(gè)部分(如圖7-1(b)所示)，每個(gè)部分稱為一個(gè)卦限,分別記為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ.

取定了空間直角坐標(biāo)系后，就可以建立空間的點(diǎn)與有序數(shù)組之間的對應(yīng)關(guān)系.圖7-1設(shè)P為空間的一個(gè)已知點(diǎn)，過點(diǎn)P作垂直于xOy坐標(biāo)面的直線得垂足P'，過P'分別作與x軸.y軸垂直且相交的直線，過P作與z軸垂直且相交的直線，依此得x、y、z軸上的三個(gè)垂足M、N、R.設(shè)x、y、z分別是M、N、R點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo).這樣空間內(nèi)任一點(diǎn)P就確定了唯一的一組有序的數(shù)組x、y、z，用(x，y，z)表示.

反之，任給出一組有序數(shù)組x、y和z，它們分別在x軸.y軸和z軸上的對應(yīng)點(diǎn)為M、N和R.過M、N并在xOy坐標(biāo)面內(nèi)分別作x軸.y軸的垂線得交點(diǎn)P'，過P'作xOy坐標(biāo)面的垂線P'P，過R作P'P的垂直相交線得交點(diǎn)P.這樣一組有序數(shù)組就確定了空間內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)P，有序數(shù)組(x，y，z)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)(如圖7-2所示)，x、y、z分別稱為x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo).圖7-27.1.2向量及其線性運(yùn)算

1.向量的基本概念

向量是用代數(shù)方法研究幾何圖形的基本工具.現(xiàn)實(shí)世界中我們所遇到量可以分為兩大類：一類是數(shù)量(如質(zhì)量、溫度、長度、時(shí)間、面積和體積等)，這類量只有大小，沒有方向(也稱為標(biāo)量)；另一類不僅有大小，而且有方向(如力、力矩、速度和加速度等)，常稱這類量為向量(也稱為矢量).一般用黑體小寫字母來表示向量，如a、b、c等，有時(shí)為了書寫方便也用a、b、c等表示向量.在幾何上，常用有向線段來表示向量，起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B的向量記為AB(如圖7-3所示).圖7-3

2.向量的線性運(yùn)算

(1)加法.向量加法用平行四邊形法則，就是將向量的起點(diǎn)放在一起，以此為鄰邊來作平行四邊形，則稱從起點(diǎn)到對角頂點(diǎn)的向量為兩個(gè)向量的和向量.(如圖7-4(a)所示)由于向量可以平移，所以向量的和也可以用圖7-4(b)來表示，這種求向量和的方法稱為三角形法則.

由向量加法的定義可知，向量的加法滿足交換律、結(jié)合律.圖7-4

(2)向量與數(shù)的乘法.

定義7-1設(shè)a為一個(gè)向量，l為一個(gè)實(shí)數(shù)，向量a與數(shù)l的乘積是一個(gè)向量，記為la，并且規(guī)定：①｜la｜=｜l

｜

｜a｜；②當(dāng)l>0時(shí)，la與a同向；當(dāng)l<0時(shí)，la與a反向；③當(dāng)l=0時(shí)，la=0(零向量).

向量與數(shù)的乘法滿足下列運(yùn)律：

交換律：la=al

結(jié)合律：l(ma)=(lm)a=m(la).

數(shù)對向量的分配律：l(a+b)=la+lb.

向量對數(shù)的分配律：(l+m)a=la+mb.向量的加法運(yùn)算及向量與數(shù)的乘法統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.

設(shè)a是一個(gè)非零向量，常把與a同向的單位向量記為a°,那么a°= ，即得到一個(gè)與a同向的單位向量，而且±是與a平行的單位向量.

(3)減法.當(dāng)la中的l?。?時(shí)，－a與a的方向相反，模相等，稱－a為a的負(fù)向量(逆向量).引入負(fù)向量后，規(guī)定a與b的差為a－b=a+(－b)，向量的減法也可按三角形法則進(jìn)行,只要把a(bǔ)與b的起點(diǎn)放在一起，a－b即是由b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，如圖7-5所示.圖7-57.1.3向量的坐標(biāo)表示

1.向徑及其坐標(biāo)表示

起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)為M的向量 稱為點(diǎn)M的向徑(也稱為點(diǎn)M的位置向量)，記為r(M)或 (如圖7-6所示).圖7-6

2.向量 的坐標(biāo)表示

設(shè)M1(x1，y1，z1)，M2(x2，y2，z2)，則以M1為起點(diǎn)，以M2為終點(diǎn)的向量為

向量(如圖7-7所示). 均為向徑，所以

于是有以M1為起點(diǎn)，以M2為終點(diǎn)的向量 的坐標(biāo)表達(dá)式為圖7-7

例7-1

(1)求點(diǎn)A(1，2，3)的向徑的坐標(biāo)表達(dá)式.

(2)求以M1(2，1，9)為起點(diǎn)、M2(1，0，3)為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表達(dá)式.

解

(1)

(2)

3.向量的模

設(shè)在平面直角坐標(biāo)系Oxyz中，向量的模指向量的大小，由圖7-6可以看出 ，即任給一個(gè)向量i=a1

i+a2j+a3k，可將其視為以點(diǎn)M(a1，a2，a3)為終點(diǎn)的向徑，因此它的模為 .

4.空間兩點(diǎn)間的距離公式

空間兩點(diǎn)M1(x1，y1，z1)、M2(x2，y2，z2)之間的距離記為d(M1M2)，則

例7-2寫出以A(2，1，1)為起點(diǎn)，B(1，2，3)為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)表達(dá)式并計(jì)算A、B兩點(diǎn)間的距離.

解

5.用坐標(biāo)表示的向量運(yùn)算

設(shè)a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k，則有：

(1)a+b=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k.

(2)la=la1i+la2j+la3k.

(3)a－b=(a1－b1)i+(a2－b2)j+(a3－b3)k.

(4)

(5)

下面只就結(jié)論(5)給出證明.

證若a∥b，則存在一個(gè)數(shù)l，使得a=lb，即

a=a1i+a2j+a3k=lb1i+lb2j+lb3k所以a1=lb1，a2=lb2，a3=lb3，即

以上每步都是充分必要的，因此結(jié)論(5)是成立的.

例7-3已知向量a=｛1，2，3｝與向量b=｛m，n，9｝平行，求m、n的值.

解因?yàn)閍∥b，所以 ，故m=3，n=6.

例7-4求與a=i+2j+2k同向的單位向量.

解因?yàn)閍=i+2j+2k，所以

故 是與a同向的單位向量.

7.2向量的數(shù)量積與向量積

7.2.1向量的數(shù)量積

1.引例

在物理學(xué)中我們知道，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在恒力F的作用下，由A點(diǎn)沿直線移到B點(diǎn)，若力F與位移向量的夾角為θ，則力F所作的功為

在實(shí)際生活中，還有許多量可以表示成“兩個(gè)向量的模與其夾角的余弦之積”，由此，我們引入向量數(shù)量積的概念.

2.數(shù)量積的定義

定義7-2設(shè)a、b為兩個(gè)向量，且a與b之間的夾角為q(0≤q≤p)，則稱

｜a｜｜b｜c(diǎn)osq

為向量a與b的數(shù)量積(或點(diǎn)積)，記為a·b，即

a·b=｜a｜｜b｜c(diǎn)osq

由數(shù)量積的定義可知，向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律：

對于向量a、b及實(shí)數(shù)l，有

(1)交換律a·b=b·a.

(2)分配律a·(b+c)=a·b+a·c.

(3)結(jié)合律(la)·b=l(a·b)=a·(lb).

3.數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)向量a=x1i+y1j+z1k，b=x2i+y2j+z2k.則

a·b=(x1i+y1j+z1k)·(x2i+y2j+z2k)

=x1x2(i·i)+x1y2(i·j)+x1z2(i·k)

+y1x2(j·i)+y1y2(j·j)+y1z2(j·k)

+z1x2(k·i)+z1y2(k·j)+z1z2(k·k)

由數(shù)量積的定義知

i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=k·i=0

所以

a·b=x1x2+y1y2+z1z2

也就是說，兩向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積之和.同樣，利用向量的數(shù)量積定義可以求兩向量的夾角以及兩向量垂直的條件，即

設(shè)非零向量a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，且a與b之間的夾角為θ，則

若向量a={x1，y1，z1}與向量b={x2，y2，z2}的夾角為，則稱a與b垂直，由此可得下面的定理.

定理7-1向量a與b垂直的充要條件是a·b=0或x1x2+y1y2+z1z2=0

例7-5在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)三點(diǎn)A(5，－4，1)、B(3，2，1)、C(2，－5，0).證明：△ABC是直角三角形.

證明由題意可知

則

所以

即△ABC是直角三角形.

例7-6設(shè)向量a=a1i+a2j+a3k與x軸、y軸、z軸正向的夾角分別為a、b、g，0≤a，b，g≤p，稱其為向量a的三個(gè)方向角，并稱cosa、cosb、cosg為向量a的方向余弦，試證

，并且cos2a+cos2b+cos2g=1.

證因?yàn)閱挝幌蛄縤、j、k分別是與x軸y軸z軸同方向的單位向量，其坐標(biāo)表達(dá)式分別為i={1，0，0}，j={0，1，0},k={0，0，1}，于是有

且7.2.2向量的向量積

1.引例

設(shè)點(diǎn)O為一杠桿的支點(diǎn)，力F作用于杠桿上的點(diǎn)P處(如圖7-8所示)，F(xiàn)與的夾角為q，則求力F對支點(diǎn)O的力矩M.

解根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，力F對點(diǎn)O的力矩M是個(gè)向量，其大小為

力矩M的方向與及F都垂直，規(guī)定為：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向方向，然后讓四指沿小于p的方向握拳轉(zhuǎn)向F的方向，這時(shí)大拇指的指向就是力矩M的方向，即、F、M的方向依次符合右手螺旋法則.圖7-8

2.向量積的定義

定義7-3兩個(gè)向量a和b的向量積(也稱為叉積)是一個(gè)向量，記為a×b，并由下述規(guī)則確定：

(1)｜a×b｜=｜a｜·｜b｜sinq，其中，q為a向量與b向量的夾角.

(2)a×b的方向規(guī)定為a×b既垂直于a又垂直于b，并且按順序a、b、a×b符合右手螺旋法則(如圖7-9所示).

按照上述定義，作用在點(diǎn)P的力F關(guān)于點(diǎn)O的力矩M可表示為

例7-7試證a×la=0.

證因?yàn)閍與la平行，所以其夾角q=0或p，從而sinq=0,因此

｜a×la｜=｜a｜｜la｜sinq=0

而模為零的向量為零向量，所以a×la=0.

定理7-2兩個(gè)非零向量平行的充要條件是它們的向量積為零向量.

3.向量積的坐標(biāo)表示

例7-8對單位向量i、j、k，求i×i、j×j、k×k、i×j、j×k和k×i.

解由向量積的定義可知

i×i=j×j=k×k=0

i×j=k，j×k=i，k×i=j

設(shè)向量a=x1i+y1j+z1k，b=x2i+y2j+z2k，則由向量積所滿足的運(yùn)算律及例7-8，得為了便于記憶，結(jié)合行列式的運(yùn)算，可將a×b表示成一個(gè)三階行列式，計(jì)算時(shí)只需將其按第一行展開即可，即

例7-9設(shè)向量a={1，－2，－1}，b={2，0，1}，求a×b.

解

例7-10求同時(shí)垂直于向量a=3i－6j+8k及x軸的單位向量.

解因?yàn)?/p>

a=3i－6j+8k

i=1i+0j+0k

所以，同時(shí)垂直于a和x軸的單位向量為 7.3平面與直線

7.3.1平面的方程

1.平面的點(diǎn)法式方程

若一個(gè)非零向量n垂直于平面p，則稱向量n為平面p的一個(gè)法向量.若n是平面p的一個(gè)法向量，則ln(l為任意非零實(shí)數(shù))都是平面p的法向量.設(shè)平面p過點(diǎn)M0(x0，y0，z0)，n=｛A，B，C｝為其一個(gè)法向量，下面推導(dǎo)平面p的方程.

設(shè)M(x，y，z)為平面p上的任一點(diǎn)(如圖7-10所示)，則 在平面p上，由于n⊥p，因此n⊥

.由兩向量垂直的充要條件，得n· ＝0.而

所以有

A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)=0 (7-1)

由于平面p上任意一點(diǎn)M(x，y，z)都滿足上述方程，而不在平面p上的點(diǎn)都不滿足該方程，因此該方程就是平面p

的方程.

由于方程是由定點(diǎn)M0(x0，y0，z0)和法向量n={A，B，C}所確定的，因而稱式(7-1)為平面p的點(diǎn)法式方程.圖7-10

例7-11求通過點(diǎn)M0(1，－2，4)且垂直于向量n={3，－2，1}的平面方程.

解由于n={3，－2，1}為所求平面的一個(gè)法向量，M0(1，－2，4)為平面上的已知點(diǎn)，所以，由平面的點(diǎn)法式方程可得，所求平面的方程為

3(x－1)－2·(y+2)+1·(z－4)=0

即 3x－2y+z－11=0

2.平面的一般式方程

將平面的點(diǎn)法式方程展開，得

Ax+By+Cz－(Ax0+By0+Cz0)=0

記D=－(Ax0+By0+Cz0)，則可化為

Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不全為零)(7-2)即任意一個(gè)平面的方程都是x，y，z的一次方程(三元一次方程).反過來，任意一個(gè)含有x、y、z的一次方程Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不全為零)都表示一個(gè)平面.

事實(shí)上，設(shè)M0(x0，y0，z0)是滿足方程的一組解，即

Ax0+By0+Cz0+D=0 (7-3)

式(7-2)減去式(7-3)，得

A(x－x0)+B(y－y0)+C(z－z0)=0

這正是過點(diǎn)(x0，y0，z0)且以{A，B，C}為法向量的平面方程.因此稱式(7-2)為平面的一般式方程.其中，{A，B，C}為該平面的一個(gè)法向量.

例7-12求過點(diǎn)O(0，0，0)、B1(0，0，1)、B2(0，1，1)的平面方程.

解因?yàn)辄c(diǎn)O(0，0，0)、B1(0，0，1)、B2(0，1，1)不在一條直線上，所以，這三點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面，令所求平面方程為

Ax+By+Cz+D=0

將三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入上式得

解得 D=0，C=0，B=0

于是得Ax=0(A≠0)，即x=0為所求平面方程.(請思考這里的A為什么不能等于0).

對于一些特殊的三元一次方程，應(yīng)該熟悉它們的圖形的特點(diǎn).

當(dāng)D=0時(shí)，方程為Ax+By+Cz=0，它表示一個(gè)通過原點(diǎn)的平面.

當(dāng)A=0時(shí)，方程為By+Cz+D=0，法線向量n=｛0，B，C｝垂直于x軸，方程表示一個(gè)平行于x軸的平面.同理，方程Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0，分別表示一個(gè)平行于y軸和z軸的平面.當(dāng)A=B=0時(shí)，方程為Cz+D=0或z=－D/C，法線向量n=｛0，0，C｝同時(shí)垂直x軸和y軸，方程表示一個(gè)平行于xOy面的平面.同理，方程Ax+D=0和By+D=0分別表示一個(gè)平行于yOz面和xOz面的平面.

當(dāng)A=B=D時(shí)，方程為Cz=0，即z=0，方程表示xOy坐標(biāo)面.

例7-13求通過x軸和點(diǎn)｛4，－3，－1｝的平面的方程.

解由于平面通過x軸，從而它的法線向量垂直于x軸，因此A=0，又由平面通過x軸，它必通過原點(diǎn)，于是有D=0.因此可設(shè)這平面的方程為

By+Cz=0

又因這平面通過點(diǎn)｛4，－3，－1｝，所以有－3B－C=0，即

C=－3B

代入所設(shè)方程并除以B(B≠0)，便得所求的平面方程為

y－3z=0

例7-14一平面通過兩點(diǎn)M1(1，1，1)和M2(0，1，－1)且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.

解設(shè)所求平面的一個(gè)法向量為

n=｛A，B，C｝

因

在所求平面上，它必與n垂直，所以有

－A－2C=0

又因所求的平面垂直于已知平面

x+y+z=0

所以又有

A+B+C=0

聯(lián)立以上兩式可得

A=－2C，B=C

由平面的點(diǎn)法式方程可知所求平面方程為

A(x－1)+B(y－1)+C(z－1)=0

將A=－2C，B=C代入上式，并約去C(C≠0)，得

－2(x－1)+(y－1)+(z－1)=0

整理得所求平面方程為

2x－y－z=0

3.平面的截距式方程

設(shè)平面p過點(diǎn)A(a，0，0)、B(0，b，0)、C(0，0，c)(a，b，c全不為零)，下面研究平面p的方程.

因?yàn)樗笃矫鎝的法向量同時(shí)垂直于與.因此可取與的叉積 作為該平面的一個(gè)法向量n，即

由于

因此即 n={bc，ac，ab}

因此所求平面p的方程為

bc(x－a)+ac(y－0)+ab(z－0)=0

化簡得

bcx+acy+abz=abc

由于a、b、c全不為零，將兩邊同除以abc，得該平面的方程為

此例中的A、B、C三點(diǎn)為平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，我們把a(bǔ)、b、c分別叫做該平面在x軸，y軸和z軸上的截距，因此上述方程稱為平面p的截距式方程.(7-4)由于過不在同一條直線上的三點(diǎn)可以唯一確定一個(gè)平面，而截距式方程又給出了平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，因此，當(dāng)平面方程非特殊方程時(shí)，為了畫出平面圖形，常常將平面的一般式方程化為截距式方程，然后利用平面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)確定該平面的圖形.

例7-15試畫出平面3x+2y+6z－12=0的圖形.

解先將所給平面的一般式方程化為截距式方程為

可知該平面與x軸、y軸和z軸的交點(diǎn)分別為(4，0，0)、(0，6，0)、(0，0，2)，所給平面可畫成以上述三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，如圖7-11所示.圖7-11

4.兩平面的夾角

為了描述兩平面間的關(guān)系，先引入兩平面夾角的定義.將兩個(gè)平面的法向量的夾角稱為兩個(gè)平面的夾角.

設(shè)兩平面p1、p2的方程分別為

A1x+B1y+C1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0

它們的法向量分別為

n1={A1，B1，C1}

n2={A2，B2，C2}

由向量數(shù)量積和兩平面夾角定義得，這兩平面的夾角q為(7-5)

例7-16設(shè)平面p1的方程為2x－y+2z+1=0，平面p2的方程為x－y+5=0，求p1與p2的夾角.

解兩平面的夾角即為其法向量的夾角，設(shè)p1的法向量為n1，p2的法向量為n2，則n1=｛2，－1，2｝、n2=｛1，－1，0｝，所以

即 為兩平面p1與p2的夾角.7.3.2直線的方程

1.直線的一般式方程

空間中任意兩個(gè)平面不平行則相交，因此直線可看成是兩個(gè)不平行平面的交線，所以將兩個(gè)平面方程聯(lián)立起來所得到的方程組就表示空間直線的方程.

設(shè)兩個(gè)平面的方程為

p1：A1x+B1y+C1z+D1=0

p2：A2x+B2y+C2z+D2=0

則(7-6)

2.直線的點(diǎn)向式方程

如果一個(gè)非零向量s與直線l平行，則稱向量s為直線l的方向向量.

設(shè)M0(x0，y0，z0)是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，s={m，n，p}為l的一個(gè)方向向量，下面求直線l的方程.

設(shè)M(x，y，z)為直線l上的任一點(diǎn)，由于 在直線l上，所以 而 的坐標(biāo)為{x－x0，y－y0，z－z0}，因此有(7-7)

3.直線的參數(shù)式方程

與平面解析幾何中類似，直線l上點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z還可以用另一變量t(t為參數(shù))的函數(shù)來表示.

如果設(shè)

則有

稱式(7-8)為直線的參數(shù)式方程.(7-8)

例7-17設(shè)直線l過兩點(diǎn)A(－1，2，3)和B(2，0，－1)，求直線l的方程.

解直線l的一個(gè)方向向量為，則

由直線的點(diǎn)向式方程可得l的方程為

例7-18試將直線的一般式方程

化為直線的點(diǎn)向式方程和參數(shù)式方程.

解先求直線上一點(diǎn)M0，不妨設(shè)z=0，代入一般式方程中，得

解之，得

x=2，y=3

即M0(2，3，0)為直線上的一點(diǎn).

再求直線的一個(gè)方向向量s.由于直線與兩個(gè)平面的法向量n1，n2都垂直，其中，n1={2，－1，3}，n2={3，2，－1},因此可取

即

s={－5，11，7}

于是，該直線的點(diǎn)向式方程為

令可得該直線的參數(shù)式方程為

如同平面一樣，兩直線間的位置關(guān)系完全由其方向向量決定，因此，兩直線平行(垂直)的充要條件是其方向向量互相平行(垂直).

例7-19已知直線L1： ，L2： ，判定L1與L2的關(guān)系.

解由于L1與L2的方向向量分別為s1={1，－4，1}，s2={3，1，1}.

因此L1與L2的夾角φ滿足

故 ，可知L1與L2垂直.7.3.3直線與平面的位置關(guān)系

直線與它在平面上的投影直線之間的夾角

或 ，稱為直線與平面的夾角(如圖7-12所示).設(shè)直線L的方程為 ，平面p的方程為Ax+By+Cz+D=0，則直線L的方向向量為s={m，n，p}，平面p的法向量為n={A，B，C}，設(shè)直線L與平面p的法線之間的夾角為q，則 或 所以有圖7-12

例7-20判定下列各組中直線與平面間的位置關(guān)系

(1) ，平面p：4x－2y－2z=3.

(2) ，平面p：x+y+z=3.

(3) ，平面p：3x－2y+7z=8.

解只需判定直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系.

(1)L的方向向量s={－2，－7，3}，平面p的法向量n={4，－2，－2}.由

s·n=(－2)×4+(－7)×(－2)+3×(－2)=0可知L∥p.由于M0(2，－2，3)在直線L上，將M0的坐標(biāo)代入p的方程可得

4×2－2×(－2)－2×3=6≠3

即M0(2，－2，3)不在平面p上，因此得直線L平行于p.

(2)L的方向向量s={3，1，－4}，平面p的法向量n={1，1，1}.由

s·n=3×1+1×1+(－4)×1=0

可知L∥p.由于M0(2，－2，3)在直線L上，將M0的坐標(biāo)代入p的方程可得

2+(－2)+3=3

可知M0(2，－2，3)在平面p上，因此直線L在平面p上.

(3)L的方向向量s={3，－2，7}，平面p的法向量n={3，－2，7}，則

s=n

可知

L⊥p 7.4曲面與空間曲線

7.4.1曲面方程的概念

定義7-4如果曲面S上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(x，y，z)=0，而不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足這個(gè)方程，則稱方程F(x，y，z)=0為曲面S的方程，稱曲面S為此方程的圖形.

例7-21求球心在C(x0，y0，z0)、半徑為R的球面方程.

解設(shè)M(x，y，z)是球面上任一點(diǎn)，則

即兩邊平方，得

(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=R2 (7-9)

顯然，球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該方程，而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足該方程，所以上式就是以C(x0，y0，z0)為球心、R為半徑的球面方程.特別地，以坐標(biāo)原點(diǎn)為球心、R為半徑的球面方程為

x2+y2+z2=R2

7.4.2曲面方程的建立

1.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面

直線L沿定曲線C平行移動(dòng)所形成的曲面稱為柱面.動(dòng)直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準(zhǔn)線，如圖7-13所示.圖7-13下面我們只討論準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上，而母線垂直于該坐標(biāo)面的柱面.

設(shè)一個(gè)圓柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線C：x2+y2=R2為xOy平面內(nèi)的圓，求該圓柱面的方程.設(shè)點(diǎn)M(x，y，z)為圓柱面上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M作平行于z軸的直線與xOy坐標(biāo)面的交點(diǎn)M0(x，y，0)一定在準(zhǔn)線C上，所以不論點(diǎn)M坐標(biāo)中的z取什么值，它的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y必定滿足C的方程x2+y2=R2；反之，不在圓柱面上的點(diǎn)，它的坐標(biāo)不滿足這個(gè)方程，于是所求柱面方程為x2+y2=R2(如圖7-14所示).必須注意，方程x2+y2=R2在平面直角坐標(biāo)系中，表示一個(gè)圓；而在空間直角坐標(biāo)系中，表示一個(gè)母線平行于z軸的圓柱面.類似地，方程y2+z2=0表示母線平行于x軸的圓柱面，方程x2+z2=0表示母線平行于y軸的圓柱面.圖7-14由上面的推導(dǎo)可以看出，一般地，如果柱面的準(zhǔn)線是xOy面上的曲線f(x，y)=0，那么以此曲線為準(zhǔn)線，而母線平行于z軸的柱面方程就是f(x，y)=0.類似地，在空間直角坐標(biāo)系中，方程f(y，z)=0表示母線平行于x軸的柱面，方程f(x，z)=0表示母線平行于y軸的柱面.

除了圓柱面外常見的柱面有：

橢圓柱面：圖7-15雙曲柱面：圖7-16拋物面：x2=2py(如圖7-17所示).圖7-17

2.旋轉(zhuǎn)曲面

一條平面曲線G繞同一平面內(nèi)的一條定直線L旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.曲線G

稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線，定直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸，簡稱軸.

下面我們舉例說明母線在某個(gè)坐標(biāo)面上，它繞某個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)曲面.

例7-22設(shè)母線G

在yOz平面上，它的平面直角坐標(biāo)方程為

F(y，z)=0

證明G

繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面S的方程為

證設(shè)M(x，y，z)為旋轉(zhuǎn)曲面上的任一點(diǎn)，并設(shè)M點(diǎn)是由曲線G上的點(diǎn)M0(0，y0，z0)繞z軸旋轉(zhuǎn)到一定角度而得到的(如圖7-18所示).因而z=z0，且點(diǎn)M到z軸的距離與M0到z軸的距離相等.而M到z軸的距離為 ，M0到z軸的距離為 ，即

又因?yàn)镸0在曲線G上，即F(y0，z0)=0，于是得

即旋轉(zhuǎn)曲面上任一點(diǎn)M(x，y，z)的坐標(biāo)滿足方程

其次，若點(diǎn)M(x，y，z)的坐標(biāo)滿足方程F(± ，z)=0，則不難證明

M∈S

于是，該旋轉(zhuǎn)曲面的方程為圖7-18

例7-23求xOy平面上的雙曲線 繞x軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.

解由