2022年上海市楊浦區(qū)高三下高考二模數(shù)學(xué)試題-帶詳解

楊浦區(qū)2021學(xué)年度第二學(xué)期期中考試線上質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)學(xué)科2022.4.14考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙寫上姓名、考號(hào)，并將核對(duì)后的條形碼貼在指定位置上.2.本試卷共有21道題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果.1.已知，則=_________.2.函數(shù)的反函數(shù)為_(kāi)_______.3.若直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)_____________.4.若（虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，則________.5.已知，，則行列式的值等于________.6.已知，，則________.7.在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，5位學(xué)生成績(jī)?nèi)缦拢?8、85、、82、69，他們的平均成績(jī)?yōu)?0，則他們成績(jī)的方差等于________.8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為_(kāi)________.9.若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于，則展開(kāi)式中的系數(shù)是________.10.三行三列的方陣中有9個(gè)數(shù)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是_______．(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)11.已知拋物線，斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，且滿足，則直線l的方程為_(kāi)_____.12.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，則的取值范圍是___________.二、選擇題（本題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.設(shè)，則“且”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.數(shù)列{}為等差數(shù)列，且公差，若，，也是等差數(shù)列，則其公差為（）A.1gd B.1g2d C.lg D.1g15.橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上（P不與，重合）且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（）A.[，] B.[，]C.[，1] D.[，1]16.定義域是上的連續(xù)函數(shù)圖像的兩個(gè)端點(diǎn)為、，是圖像上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線交線段于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)可以重合），我們稱的最大值為該函數(shù)的“曲徑”，下列定義域是上的函數(shù)中，曲徑最小的是（）A. B.C. D.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，線段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且AB⊥CD，取劣弧BC上一點(diǎn)E，使，連結(jié)PE.已知，.（1）求該圓錐體積；（2）求異面直線PE、BD所成角的大小.19.已知函數(shù)，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.21.如圖，有一塊扇形草地OMN，已知半徑為R，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地ABCD作為兒童樂(lè)園使用，其中點(diǎn)A、B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN（1）若點(diǎn)A為弧MN的一個(gè)三等分點(diǎn)，求矩形ABCD的面積S；（2）當(dāng)A在何處時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大值為多少？22.已知橢圓C：，過(guò)定點(diǎn)T（t，0）的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，其中.

（1）若橢圓短軸長(zhǎng)2且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，），求橢圓方程；（2）對(duì)（1）中的橢圓，若，求△OPQ面積的最大值；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t關(guān)系；如果不存在，說(shuō)明理由.24.已知a為實(shí)數(shù)，數(shù)列{}滿足：①；②.若存在一個(gè)非零常數(shù)，對(duì)任意，都成立，則稱數(shù)列{}為周期數(shù)列.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）求證：存在正整數(shù)n，使得；（3）設(shè)是數(shù)列{}前n項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)a滿足：①數(shù)列{}為周期數(shù)列；②存在正奇數(shù)k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，說(shuō)明理由.

楊浦區(qū)2021學(xué)年度第二學(xué)期期中考試線上質(zhì)量評(píng)估數(shù)學(xué)學(xué)科2022.4.14考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必在答題紙寫上姓名、考號(hào)，并將核對(duì)后的條形碼貼在指定位置上.2.本試卷共有21道題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置填寫結(jié)果.1.已知，則=_________.【1題答案】【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的模的坐標(biāo)表示，求得答案.【詳解】由，則，故答案為：2.函數(shù)的反函數(shù)為_(kāi)_______.【2題答案】【答案】【解析】【分析】由解得，把與互換即可得出．【詳解】由解得，即，把與互換可得：．的反函數(shù)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反函數(shù)的求法，考查方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3.若直線和互相垂直，則實(shí)數(shù)_____________.【3題答案】【答案】6【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件求解．【詳解】因?yàn)橹本€和互相垂直，所以，所以．故答案為：6．4.若（虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方程根，則________.【4題答案】【答案】1【解析】【分析】可知也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，從而利用韋達(dá)定理求得．【詳解】是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，，，解得，，，故.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及實(shí)系數(shù)方程的性質(zhì)應(yīng)用，考查方程思想和運(yùn)算求解能力．5.已知，，則行列式的值等于________.【5題答案】【答案】【解析】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosx，進(jìn)而可求secx的值，再計(jì)算行列式的值即可得解．【詳解】∵sinx，x∈（，π），∴cosx，secx，∴sinxsecx+1（）+1．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了行列式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6.已知，，則________.【6題答案】【答案】【解析】【分析】求出與中不等式的解集分別確定出與，找出兩集合的交集即可．【詳解】集合中不等式，當(dāng)時(shí)，解得：，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，解得：，無(wú)解，，集合中不等式變形得：，即，解得：，即，則.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的求解、集合的交運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7.在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，5位學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?8、85、、82、69，他們的平均成績(jī)?yōu)?0，則他們成績(jī)的方差等于________.【7題答案】【答案】38【解析】【分析】由平均值求出，再根據(jù)方差公式計(jì)算方差．【詳解】∵5位學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?8、85、、82、69，他們的平均成績(jī)?yōu)?0，，解得：，，則他們成績(jī)的方差等于38.故答案：38．【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)和方差的定義，考查數(shù)據(jù)處理能力，求解時(shí)注意方差與標(biāo)準(zhǔn)差的區(qū)別.8.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為_(kāi)________.【8題答案】【答案】7【解析】【分析】畫出可行域，通過(guò)平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此來(lái)求得的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，，即，由圖可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.故答案為：9.若展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和等于，則展開(kāi)式中的系數(shù)是________.【9題答案】【答案】15【解析】【分析】令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和，解得．再利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】令，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為：，解得．的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，解得．展開(kāi)式中的系數(shù)為：．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意指定項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.10.三行三列的方陣中有9個(gè)數(shù)，從中任取三個(gè)數(shù)，則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是_______．(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)【10題答案】【答案】【解析】【分析】先計(jì)算從9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)共有種不同的取法，再求三個(gè)數(shù)任意兩個(gè)數(shù)不在同一行或者同一列的事件數(shù)，利用對(duì)立事件及古典概型計(jì)算公式求解即可.【詳解】從9個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)共有種不同的取法，若三個(gè)數(shù)任意兩個(gè)數(shù)不在同一行或者同一列，共有種不同取法，設(shè)事件M為“這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)數(shù)位于同行或同列”，則事件M包含的取法共有種，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式得．故答案為：11.已知拋物線，斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)Q關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)P關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，且滿足，則直線l的方程為_(kāi)_____.【11題答案】【答案】【解析】【分析】設(shè)直線方程并聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利用得到相應(yīng)等式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)，即可求得答案.【詳解】由題意可知,且，故設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線可得：，，設(shè)，則，且，由于，故，就，解得，故直線l的方程為，故答案為：12.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，則的取值范圍是___________.【12題答案】【答案】【解析】【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值，則，其中，所以，，解得，由，可得，因?yàn)榍?，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.設(shè)，則“且”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【13題答案】【答案】B【解析】【分析】取特殊值推導(dǎo)充分性，利用不等式性質(zhì)推導(dǎo)必要性即可.【詳解】充分性：當(dāng)，，滿足且，但且不成立，故充分性不成立；必要性：當(dāng)且時(shí)，根據(jù)不等式性質(zhì)得，且成立，故必要性成立.綜上所述：“且”是“且”的必要不充分條件.故選：B.14.數(shù)列{}為等差數(shù)列，且公差，若，，也是等差數(shù)列，則其公差為（）A.1gd B.1g2d C.lg D.1g【14題答案】【答案】D【解析】【分析】利用，，是等差數(shù)列，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，求出，進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，是等差?shù)列，所以，所以，又因?yàn)榍夜?，所以，可得，所以公差，故選：D.15.橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在C上（P不與，重合）且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（）A.[，] B.[，]C.[，1] D.[，1]【15題答案】【答案】B【解析】【分析】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，列出，，進(jìn)而，最后得到直線斜率的取值范圍【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，，，于是，故.∵∴.故選:B.16.定義域是上的連續(xù)函數(shù)圖像的兩個(gè)端點(diǎn)為、，是圖像上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直于軸的直線交線段于點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)可以重合），我們稱的最大值為該函數(shù)的“曲徑”，下列定義域是上的函數(shù)中，曲徑最小的是（）A. B.C. D.【16題答案】【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知中函數(shù)的“曲徑”的定義，逐一求出給定四個(gè)函數(shù)的曲徑，比較后，可得答案．【詳解】當(dāng)y＝f（x）＝sinx時(shí)，端點(diǎn)A（1，），B（2，），直線AB的方程為y，故||＝sinx，當(dāng)x時(shí)，||的最大值為1，即該函數(shù)的“曲徑”為1，當(dāng)y＝f（x）＝x2時(shí)，端點(diǎn)A（1，1），B（2，4），直線AB的方程為y＝3x﹣2，故||＝3x﹣2﹣x2，當(dāng)x時(shí)，||的最大值為，即該函數(shù)的“曲徑”為，當(dāng)y＝f（x）時(shí)，端點(diǎn)A（1，2），B（2，1），直線AB的方程為y＝﹣x+3，故||＝﹣x+3，當(dāng)x時(shí)，||的最大值為3﹣2，即該函數(shù)的“曲徑”為3﹣2，當(dāng)y＝f（x）＝x時(shí)，端點(diǎn)A（1，0），B（2，），直線AB的方程為yx，故||＝xxx，當(dāng)x時(shí)，||的最大值為，即該函數(shù)的“曲徑”為，故函數(shù)y＝x的曲徑最小，故選：D．【點(diǎn)睛】本題以新定義﹣﹣函數(shù)的曲徑為載體，考查了函數(shù)的圖象，函數(shù)的最值，難度中檔．三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.如圖，圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，線段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且AB⊥CD，取劣弧BC上一點(diǎn)E，使，連結(jié)PE.已知，.（1）求該圓錐的體積；（2）求異面直線PE、BD所成角的大小.【17題答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用勾股定理和圓錐體積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)異面直線所成角的定義，結(jié)合正弦定理和余弦定理進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由勾股定理可知：，所以圓錐的體積為：；【小問(wèn)2詳解】過(guò)做，所以是異面直線PE、BD所成的角（或其補(bǔ)角），因?yàn)榫€段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且AB⊥CD，所以，即，而，所以，因此，在中，由正弦定理可知：，，由余弦定理可知：，所以，即異面直線PE、BD所成角的大小為.19.已知函數(shù)，其中.（1）若不等式的解集是，求m的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.【19題答案】【答案】（1）－1；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，根據(jù)韋達(dá)定理，直接求解即可（2），，可得，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，即可得到的取值范圍【小問(wèn)1詳解】的解集是，得到的解集是，所以，，所以，【小問(wèn)2詳解】令，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，即有，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，令，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，可得，因?yàn)榕c有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的圖像性質(zhì)，得或，進(jìn)而可得答案為：21.如圖，有一塊扇形草地OMN，已知半徑為R，，現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地ABCD作為兒童樂(lè)園使用，其中點(diǎn)A、B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN（1）若點(diǎn)A為弧MN的一個(gè)三等分點(diǎn)，求矩形ABCD的面積S；（2）當(dāng)A在何處時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大值為多少？【21題答案】【答案】（1）;（2）當(dāng)A在弧MN的四等分點(diǎn)處時(shí)，．【解析】【詳解】（1）如圖，作于點(diǎn)H，交線段CD于點(diǎn)E，連接OA、OB，，，（2）設(shè)則，，即時(shí)，，此時(shí)A在弧MN的四等分點(diǎn)處答：當(dāng)A在弧MN的四等分點(diǎn)處時(shí)，22.已知橢圓C：，過(guò)定點(diǎn)T（t，0）的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，其中.（1）若橢圓短軸長(zhǎng)為2且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（－1，），求橢圓方程；（2）對(duì)（1）中的橢圓，若，求△OPQ面積的最大值；（3）在x軸上是否存在點(diǎn)S（s，0）使得∠PST=∠QST恒成立？如果存在，求出s，t的關(guān)系；如果不存在，說(shuō)明理由.【22題答案】【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】【分析】（1）由題意可得，求出，再將點(diǎn)（－1，）的坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設(shè)直線為，設(shè)，將代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，從而可表示出，再把前面的式子代入化簡(jiǎn)可求得其最大值，（3）由題意設(shè)直線為，設(shè)，將直線方程代入橢圓方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由∠PST=∠QST，得，，結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)即可得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】由題意得，得，所以橢圓方程為，因?yàn)辄c(diǎn)（－1，）在橢圓上，所以，得，所以橢圓方程為【小問(wèn)2詳解】由題意設(shè)直線為，設(shè)，由，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)