高考數(shù)學第二輪專題微專題二-立體幾何中的動態(tài)問題

微專題二立體幾何中的動態(tài)問題04

立體幾何中的動態(tài)問題的主要題型有點在某直線或平面上運動和平面的旋轉(zhuǎn)與翻折等形成的幾何問題,此類問題在變化過程中總蘊含著某些不變的因素,因此要認真分析其變化特點,尋找不變的靜態(tài)因素,從靜態(tài)因素中,找到解決問題的突破口.在解題中,當用定性分析比較難或繁瑣時,可以引進參數(shù),通過構建方程、函數(shù)或不等式等進行定量計算,以算促證.微點1

動點例1(1)如圖W2-1,大擺錘是一種大型游樂設備,常見于各大游樂園.游客坐在圓形的座艙中,面向外.通常大擺錘以壓肩作為安全束縛,配以安全帶作為二次保險.座艙旋轉(zhuǎn)的同時,懸掛座艙的主軸在電機的驅(qū)動下做單擺運動.今年五一,小明去某游樂園玩“大擺錘”,他坐在點A處,“大擺錘”啟動后,主軸OB在平面α內(nèi)繞點O左右擺動,平面α與水平地面垂直,OB擺動的過程中,點A在平面β內(nèi)繞點B作圓周運動,并且始終保持OB⊥β,B∈β.已知OB=6AB,在“大擺錘”啟動后,給出下列結論:圖W2-1

C

(2)如圖W2-2所示,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,底面ABCD為梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠BPC,滿足上述條件的四棱錐頂點P的軌跡是(

)A.線段

B.圓的一部分C.橢圓的一部分

D.拋物線的一部分B

圖W2-2(2)如圖W2-2所示,在四棱錐P-ABCD中,AD⊥平面PAB,BC⊥平面PAB,底面ABCD為梯形,AD=4,BC=8,AB=6,∠APD=∠BPC,滿足上述條件的四棱錐頂點P的軌跡是(

)A.線段

B.圓的一部分C.橢圓的一部分

D.拋物線的一部分B

圖W2-2(3)如圖W2-3,正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱的長度均相等,D為AA1的中點,M,N分別是棱BB1和棱CC1上的動點(含端點),且滿足BM=C1N,當M,N運動時,下列結論中不正確的是 (

)A.在平面DMN內(nèi)總存在與平面ABC平行的直線B.平面DMN⊥平面BCC1B1C.三棱錐A1-DMN的體積為定值D.△DMN可能為直角三角形D圖W2-3

圖W2-3

B

圖W2-4(2)(多選題)如圖W2-5所示,在矩形ABCD中,AB=2AD,E為AB的中點,將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A1DE(A1?平面ABCD),構成四棱錐A1-ABCD.若M,O分別為A1C,DE的中點,則△ADE在翻轉(zhuǎn)過程中,下列說法正確的是 (

)A.與平面A1DE垂直的直線必與直線BM垂直B.異面直線BM與A1E所成的角是定值C.一定存在某個位置,使DE⊥MOD.三棱錐A1-ADE的外接球半徑與棱AD的長的比值為定值ABD圖W2-5

D

圖W2-6

C[解析]由題意知△CC1B為等腰直角三角形,又因為∠ACB=90°,所以∠A1C1B1=90°,即A1C1⊥B1C1.因為CC1⊥平面A1C1B1,所以CC1⊥A1C1,又CC1∩B1C1=C1,所以A1C1⊥平面BCC1B1,故∠A1C1B=90°.將△BCC1沿BC1旋轉(zhuǎn),使C與A1,C1,B在一個平面內(nèi),且C與A在BC1兩側(cè),連接A1B,圖W2-7

C

圖W2-7

D

D

D

B

C

圖W2-8

D[解析]如圖,設G,H,I分別為CD,CC1,C1D1的中點,連接EG,BG,B1H,HI,IB1,CD1,則EG∥CD1,又A1B∥CD1,∴EG∥A1B,則A1,B,E,G四點共面.由正方體的性質(zhì)可知HI∥GE,B1I∥BG,又HI∩B1I=I,GE∩BG=G,圖W2-9

D

圖W2-9

B圖W2-10

B圖W2-10

C

5.已知三棱錐P-ABC滿足PA⊥底面ABC,在△ABC中,AB=6,AC=8,AB⊥AC,D是AC上一點,且AD=3DC.球O為三棱錐P-ABC的外接球,過點D作球O的截面,若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為40π,則球O的表面積為(

)A.72π B.86πC.112π D.128πC

5.已知三棱錐P-ABC滿足PA⊥底面ABC,在△ABC中,AB=6,AC=8,AB⊥AC,D是AC上一點,且AD=3DC.球O為三棱錐P-ABC的外接球,過點D作球O的截面,若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為40π,則球O的表面積為(

)A.72π B.86πC.112π D.128πC

A圖W2-11[解析]因為動點P滿足B1P⊥BD1,所以動點P的軌跡為過點B1且與直線BD1垂直的截面與正方體的交線(除去點B1).連接B1A,B1C,AC,BD,則AC⊥BD,AC⊥DD1,且BD∩DD1=D,所以AC⊥平面DD1B,又因為AC?平面B1AC,所以平面DD1B⊥平面B1AC,易得BD1⊥平面B1AC,

A圖W2-11

7.已知△ABC是由具有公共直角邊的兩塊直角三角板(Rt△ACD與Rt△BCD)組成的三角形,如圖W2-12所示.其中,∠CAD=45°,∠BCD=60°,現(xiàn)將Rt△ACD繞斜邊AC旋轉(zhuǎn)至△D1AC處(D1不在平面ABC上).若M為BC的中點,則在△ACD旋轉(zhuǎn)的過程中,直線AD1與DM所成的角θ的取值范圍是 (

)A.(30°,45°) B.(30°,45°]C.(30°,60°] D.(30°,60°)D圖W2-12[解析]作AP∥DM,則∠PAD1=θ.AD1的軌跡形成以AC為軸線,以90°為軸截面頂角的圓錐的側(cè)面(不含在平面ABC內(nèi)的兩條母線).如圖所示.當點D1可以在平面ABC內(nèi)時,由題意知當點D1與點N(點N在平面ABC內(nèi))重合時,∠PAD1取得最大值,最大值為45°+15°=60°;當點D1與點D重合時,∠PAD1取得最小值,最小值為30°.所以滿足題意的θ的取值范圍為(30°,60°).故選D.

C圖W2-13[解析]當點M為平面A1B1CD與體對角線AC1的交點時,由題意知B1C⊥BC1,DC⊥BC1,可得BC1⊥平面A1B1CD,因為平面A1DM即是平面A1B1CD,所以BC1⊥平面A1DM,因為BC1?平面BC1D,所以存在點M,使得平面A1DM⊥平面BC1D,所以①正確;連接A1B,由BD∥B1D1,A1D∥B1C,且A1D∩BD=D,B1D1∩B1C=B1,可得平面A1BD∥平面B1D1C,則當M為平面A1BD與AC1的交點時,可得DM∥平面B1CD1,所以②正確;圖W2-13

圖W2-13在點M從AC1的中點向著點A運動的過程中,S1從1減少到趨于0,即S1∈(0,1],S2從0增大到趨于2,即S2∈[0,2),在此過程中,必存在某個點M使得S1=S2,所以④正確.綜上可得①②④是正確的.故選C.圖W2-13

D[解析]對于A,假設存在點F∈AE,使得在翻折過程中BF∥平面A'CD,連接AA',A'B,則BF∥平面A'CA,如圖1所示,因為BF?平面A'BA,平面A'BA∩平面A'CA=A'A,所以BF∥A'A,但在平面A'BA內(nèi),BF與A'A是相交的,故假設不成立,即不存在點F∈AE,使得在翻折過程中BF∥平面A'CD,故A錯誤