2023屆高考數(shù)學一輪復習-第3講-圓的方程

第3講圓的方程考向預測核心素養(yǎng)以考查圓的方程為主，與圓有關的軌跡問題、最值問題也是考查的熱點．題型主要以選擇題、填空題為主，要求相對較低，但內(nèi)容很重要，有時也會在解答題中出現(xiàn).直觀想象、數(shù)學運算[學生用書P216])一、知識梳理圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)常用結論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF＞0.))3．點與圓的位置關系平面上的一點M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關系：(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi)．二、教材衍化1．(人A選擇性必修第一冊P85練習T1(2)改編)圓心為(1，－1)且過原點的圓的方程是()A．(x＋1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x－1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2解析：選C.因為圓心為(1，－1)且圓過原點，所以該圓的半徑r＝eq\r(12＋（－1）2)＝eq\r(2)，則該圓的方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.2．(人A選擇性必修第一冊P89習題2.4T8改編)若Rt△ABC的斜邊的兩端點A，B的坐標分別為(－3，0)和(7，0)，則直角頂點C的軌跡方程為()A．x2＋y2＝25(y≠0) B.x2＋y2＝25C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D.(x－2)2＋y2＝25解析：選C.線段AB的中點坐標為(2，0)，因為△ABC為直角三角形，C為直角頂點，所以點C到點(2，0)的距離為eq\f(1,2)|AB|＝5，所以點C(x，y)滿足eq\r(（x－2）2＋y2)＝5(y≠0)，即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．3．(人A選擇性必修第一冊P88練習T2(3)改編)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是________．解析：方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化為(x＋a)2＋(y＋a)2＝1－a，它表示圓，需滿足1－a＞0，故a＜1.答案：(－∞，1)4．(人A選擇性必修第一冊P85練習T2)點M(3，－6)到圓(x－3)2＋(y＋2)2＝16上點的最大距離為________．答案：8一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．()(2)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．()(3)過不共線的三點一定有唯一的一個圓．()答案：(1)√(2)×(3)√二、易錯糾偏1．(忽視方程表示圓的條件致誤)若方程x2＋y2－4x＋2y＝a表示圓，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－∞，－5) B.(－5，＋∞)C．(－∞，0) D.(0，＋∞)解析：選B.方程化為標準方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝a＋5，有a＋5＞0，所以a＞－5.故選B.2．(不能等價變換方程致誤)(2022·煙臺月考)方程|y|－1＝eq\r(1－（x－1）2)表示的曲線是()A．一個橢圓 B.一個圓C．兩個圓 D.兩個半圓解析：選D.由題意知|y|－1≥0，則y≥1或y≤－1，當y≥1時，原方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)為圓心，1為半徑，直線y＝1上方的半圓；當y≤－1時，原方程可化為(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)為圓心，1為半徑，直線y＝－1下方的半圓．所以方程|y|－1＝eq\r(1－（x－1）2)表示的曲線是兩個半圓．故選D.3．(錯用點與圓的位置關系判定致誤)點(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：因為點(1，1)在圓的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案：(－1，1)[學生用書P217]考點一圓的方程(自主練透)復習指導：回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程．1．設A(2，－1)，B(4，1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是()A．(x－3)2＋y2＝2 B.(x－3)2＋y2＝8C．(x＋3)2＋y2＝2 D.(x＋3)2＋y2＝8解析：選A.線段AB的中點坐標為(3，0)，圓的半徑r＝eq\f(|AB|,2)＝eq\f(\r(22＋22),2)＝eq\r(2)，則以線段AB為直徑的圓的方程為(x－3)2＋y2＝2.故選A.2．圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為()A．x2＋y2－2x－3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0 D.x2＋y2＋2x－3＝0解析：選C.由題意設所求圓的方程為(x－m)2＋y2＝4(m>0)，則eq\f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq\f(14,3)(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故選C.3．(2022·內(nèi)蒙古巴彥淖爾月考)在平面直角坐標系中，點O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，則△OAB的外接圓方程是________．解析：設△OAB的外接圓方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由點O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圓上可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,4＋16＋2D＋4E＋F＝0，,36＋4＋6D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,D＝－6，,E＝－2，))故△OAB的外接圓方程為x2＋y2－6x－2y＝0.答案：x2＋y2－6x－2y＝04．(2022·福州模擬)已知圓C過點A(6，0)，B(1，5)，且圓心在直線l：2x－7y＋8＝0上，則圓C的方程為________．解析：設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（6－a）2＋（0－b）2＝r2，,（1－a）2＋（5－b）2＝r2，,2a－7b＋8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝2，,r2＝13，))故所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝13.答案：(x－3)2＋(y－2)2＝13求圓的方程的兩種方法(1)直接法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出圓的方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．[提醒]解答圓的有關問題，應注意數(shù)形結合，充分運用圓的幾何性質(zhì)．考點二與圓有關的最值問題(多維探究)復習指導：求解此類問題常利用數(shù)形結合思想或函數(shù)思想．角度1借助幾何性質(zhì)求最值已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求eq\f(y,x)的最大值和最小值．【解】原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，eq\r(3)為半徑的圓．eq\f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3).所以eq\f(y,x)的最大值為eq\r(3)，最小值為－eq\r(3).1．本例中，求y－x的最大值和最小值．解：y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6).所以y－x的最大值為－2＋eq\r(6)，最小值為－2－eq\r(6).2．本例中，求x2＋y2的最大值和最小值．解：x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值．又圓心到原點的距離為eq\r(（2－0）2＋（0－0）2)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).角度2利用函數(shù)關系求最值(2022·廈門模擬)設點P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2，0)，B(－2，0)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________．【解析】由題意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，當y＝4時，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12.【答案】12求與圓有關的最值問題的兩種思路(1)利用圓的幾何性質(zhì)求解，要理解以下代數(shù)式的幾何意義：①形如u＝eq\f(y－b,x－a)型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；②形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．(2)根據(jù)已知條件列出相關的函數(shù)關系式，再根據(jù)關系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法求最值．|跟蹤訓練|1．設點P(x，y)是圓(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0，2)，B(0，－2)，則|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最大值為________．解析：由題意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(4x2＋4y2)＝2eq\r(6x－5).由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以當x＝5時，|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值為2eq\r(6×5－5)＝10.答案：102．已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一點，且點Q(－2，3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值．解：(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圓心C的坐標為(2，7)，半徑r＝2eq\r(2)，又|QC|＝eq\r(（2＋2）2＋（7－3）2)＝4eq\r(2)，所以|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(y－3,x＋2)表示直線MQ的斜率k.設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因為直線MQ與圓C有交點，所以eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(y－3,x＋2)的最大值為2＋eq\r(3)，最小值為2－eq\r(3).考點三與圓有關的軌跡問題(綜合研析)復習指導：理解軌跡方程的意義，會用定義法和相關點法求簡單的軌跡方程．已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)(一題多解)直角頂點C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．【解】(1)方法一：設C(x，y)，因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.因為AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．方法二：設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)．所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)設M(x，y)，C(x0，y0)，因為B(3，0)，M是線段BC的中點，由中點坐標公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．與圓有關的軌跡問題的四種求法|跟蹤訓練|已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝9，過點A(2，3)作圓C的任意弦，則這些弦的中點P的軌跡方程為__________________．解析：設P(x，y)，圓心C(1，1)．因為P點是過點A的弦的中點，所以eq\o(PA,\s\up6(→))⊥eq\o(PC,\s\up6(→)).又因為eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，3－y)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)．所以(2－x)·(1－x)＋(3－y)·(1－y)＝0.所以點P的軌跡方程為(x－eq\f(3,2))2＋(y－2)2＝eq\f(5,4).答案：(x－eq\f(3,2))2＋(y－2)2＝eq\f(5,4)[學生用書P362(單獨成冊)])[A基礎達標]1．(鏈接常用結論1)以A(3，－1)，B(－2，2)為直徑端點的圓的方程是()A．x2＋y2－x－y－8＝0 B.x2＋y2－x－y－9＝0C．x2＋y2＋x＋y－8＝0 D.x2＋y2＋x＋y－9＝0解析：選A.圓的方程為(x－3)(x＋2)＋(y＋1)(y－2)＝0，整理得x2＋y2－x－y－8＝0，故選A.2．若點P(5a＋1，12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()A．|a|＜1 B.a＜eq\f(1,13)C．|a|＜eq\f(1,5) D.|a|＜eq\f(1,13)解析：選D.因為點P在圓(x－1)2＋y2＝1的內(nèi)部，所以(5a＋1－1)2＋(12a)2＜1，即|a|＜eq\f(1,13).3．(2022·河北省昌黎縣匯文二中月考)點在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，0))連線的中點的軌跡方程是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3))eq\s\up12(2)＋y2＝4 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))eq\s\up12(2)＋y2＝1C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－3))eq\s\up12(2)＋4y2＝1 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(1,2)解析：選C.設圓x2＋y2＝1上點為(x0，y0)，所求點為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0＋3,2)，,y＝\f(y0＋0,2)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝2x－3，,y0＝2y，))所以(2x－3)2＋4y2＝1，即所求軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.4．已知圓C過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，5))，點M，N在圓C上，則△CMN面積的最大值為()A．100 B.25C．50 D.eq\f(25,2)解析：選D.設圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，6))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，5))代入可得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(52＋4D＋6E＋F＝0，,8－2D－2E＋F＝0，,50＋5D＋5E＋F＝0，))解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－20.故圓C的一般方程為x2＋y2－2x－4y－20＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝25，故△CMN的面積S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CM))eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(CN))sin∠MCN＝eq\f(1,2)×5×5sin∠MCN≤eq\f(1,2)×5×5×1＝eq\f(25,2).所以△CMN面積的最大值為eq\f(25,2).5．(2022·豫南五校聯(lián)考)自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為()A．8x－6y－21＝0 B.8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D.6x－8y－21＝0解析：選D.由題意得，圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖．因為|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以點P的軌跡方程為6x－8y－21＝0.故選D.6．若不同的四點A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，D(a，3)共圓，則a的值是________．解析：四點共圓，設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25＋0＋5D＋0＋F＝0，,1＋0－D＋0＋F＝0，,9＋9－3D＋3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－\f(25,3)，,F＝－5，))所以圓的方程為x2＋y2－4x－eq\f(25,3)y－5＝0，將D(a，3)代入得a2－4a－21＝0.解得a＝7或a＝－3(舍去)．答案：77．動點P到點A(8，0)的距離是到點(2，0)的距離的2倍，那么點P的軌跡方程為________．解析：設P(x，y)，根據(jù)題意有2eq\r(（x－2）2＋y2)＝eq\r(（x－8）2＋y2)，整理得x2＋y2＝16.答案：x2＋y2＝168．已知圓C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，當m變化時，圓C上的點與原點O的最短距離是________．解析：圓C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圓心為C(2，－m＋4)，半徑r＝1的圓，則|OC|＝eq\r(22＋（－m＋4）2)，所以當m＝4時，|OC|的最小值為2，故當m變化時，圓C上的點與原點的最短距離是|OC|－r＝2－1＝1.答案：19．求圓心在直線2x＋y－3＝0上，且過點A(5，2)，B(3，－2)的圓的方程．解：設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．因為所求圓過點A(5，2)，B(3，－2)，連接AB，則圓心一定在線段AB的垂直平分線上．易得線段AB的垂直平分線方程為y＝－eq\f(1,2)(x－4)．又圓心在直線2x＋y－3＝0上，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)（x－4），,2x＋y－3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,3)，,y＝\f(5,3)，))所以圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(5,3))).又圓的半徑r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(2,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,3)))\s\up12(2))＝eq\r(\f(170,9))，所以所求圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(170,9).10．已知點A(－3，0)，B(3，0)，動點P滿足|PA|＝2|PB|.(1)若點P的軌跡為曲線C，求此曲線的方程；(2)若點Q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經(jīng)過點Q且與曲線C只有一個公共點M，求|QM|的最小值．解：(1)設點P的坐標為(x，y)，則eq\r(（x＋3）2＋y2)＝2eq\r(（x－3）2＋y2)，化簡可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即為所求．(2)曲線C是以點(5，0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示．由題意知直線l2是此圓的切線，連接CQ，則|QM|＝eq\r(|CQ|2－|CM|2)＝eq\r(|CQ|2－16)，當|QM|最小時，|CQ|最小，此時CQ⊥l1，|CQ|＝eq\f(|5＋3|,\r(2))＝4eq\r(2)，則|QM|的最小值為eq\r(32－16)＝4.[B綜合應用]11．(多選)(2022·蚌埠質(zhì)檢)已知圓C關于y軸對稱，經(jīng)過點(1，0)且被x軸分成兩段，弧長比為1∶2，則圓C可能的方程為()A．x2＋(y＋eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3) B.x2＋(y－eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3)C．(x－eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3) D.(x＋eq\r(3))2＋y2＝eq\f(4,3)解析：選AB.由已知圓心在y軸上，且被x軸所分劣弧所對圓心角為eq\f(2π,3)，設圓心(0，a),半徑為r，則rsineq\f(π,3)＝1，rcoseq\f(π,3)＝|a|，解得r＝eq\f(2,\r(3))，即r2＝eq\f(4,3)，|a|＝eq\f(\r(3),3)，即a＝±eq\f(\r(3),3)，故圓C的方程為x2＋(y±eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(4,3).12．設P為直線3x－4y＋11＝0上的動點，過點P作圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為________．解析：圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為C(1，1)，半徑r＝1，根據(jù)對稱性可知，四邊形PACB的面積為2S△APC＝2×eq\f(1,2)|PA|r＝|PA|＝eq\r(|PC|2－r2)，要使四邊形PACB的面積最小，則只需|PC|最小，|PC|最小時為圓心到直線l：3x－4y＋11＝0的距離d＝eq\f(|3－4＋11|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(10,5)＝2.所以四邊形PACB面積的最小值為eq\r(（|PC|min）2－r2)＝eq\r(4－1)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)13．已知實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋(y－1)2＝1，則z＝eq\f(y＋1,x)的最大值與最小值分別為________和________．解析：由題意，得eq\f(y＋1,x)表示過點A(0，－1)和圓(x－2)2＋(y－1)2＝1上的動點(x，y)的直線的斜率．當且僅當直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值．設切線方程