2022北京門頭溝初三(上)期末數(shù)學(xué)(教師版)

1/12022北京門頭溝初三（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．已知，則下列比例式成立的是A． B． C． D．2．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A． B． C． D．3．已知的半徑為5，點(diǎn)到圓心的距離為8，那么點(diǎn)與的位置關(guān)系是A．點(diǎn)在上 B．點(diǎn)在內(nèi) C．點(diǎn)在外 D．無法確定4．在中，，，則的值是A． B． C． D．5．如圖，線段是的直徑，弦于，如果，那么等于A． B． C． D．6．如果將拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后得到一條新的拋物線，這條新的拋物線的表達(dá)式是A． B． C． D．7．如果與都在函數(shù)的圖象上，且，那么的取值范圍是A． B． C． D．任意實(shí)數(shù)8．如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值是A．3 B． C． D．4二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．如果，那么的值是．10．頤和園是我國現(xiàn)存規(guī)模最大，保存最完整的古代皇家園林，它和承德避暑山莊、蘇州拙政園、蘇州留園并稱為中國四大名園．該園有一個(gè)六角亭，如果它的地基是半徑為2米的正六邊形，那么這個(gè)地基的周長(zhǎng)是米．11．如果兩個(gè)相似三角形的相似比是，那么這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是．12．如圖，扇形的圓心角，半徑為．如果點(diǎn)、是的三等分點(diǎn)，圖中所有陰影部分的面積之和是．13．把二次函數(shù)化成的形式為．14．寫出一個(gè)圖象位于第一、三象限的反比例函數(shù)的表達(dá)式：．15．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有這樣的一個(gè)問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何？”其意思是：“如圖，現(xiàn)有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問該直角三角形所能容納的最大圓的直徑是多少？”答：該直角三角形所能容納的最大圓的直徑是步．16．函數(shù)的圖象如圖所示，在下列結(jié)論中：①該函數(shù)自變量的取值范圍是；②該函數(shù)有最小值；③方程有三個(gè)根；④如果，和，是該函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)一定有，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，23～26題每小題5分，第27～28題每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（5分）計(jì)算：．18．（5分）已知：如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，與不平行．添加一個(gè)條件，使得，然后再加以證明．19．（5分）已知：如圖1，在中，．求作：，使得是的外接圓．作法：①如圖2，作的平分線交于；②作線段的垂直平分線；③與交于點(diǎn)；④以點(diǎn)為圓心，以為半徑作圓．就是所求作的的外接圓．根據(jù)上述尺規(guī)作圖的過程，回答以下問題：（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：，，．的垂直平分線與交于點(diǎn)，，．（填推理的依據(jù)）．就是的外接圓．20．（5分）已知二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)值如下表：0123405（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）直接寫出該二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．21．（5分）已知：如圖，在中，，是邊上的高．（1）求證：；（2）如果，，求的長(zhǎng)．22．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若是坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且滿足，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．23．（6分）“永定樓”是門頭溝區(qū)的地標(biāo)性建筑，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了測(cè)量它高度的社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)．如圖，他們先在點(diǎn)處用高1.5米的測(cè)角儀測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向前行到達(dá)點(diǎn)處，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫椋笥蓝堑母撸ńY(jié)果保留根號(hào)）24．（6分）在美化校園的活動(dòng)中，某興趣小組借助如圖所示的直角墻角（墻角兩邊和足夠長(zhǎng)），用長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)矩形花園（籬笆只圍和兩邊）．設(shè)，．（1）求與之間的關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)矩形花園的面積為時(shí)，求的長(zhǎng)；（3）如果在點(diǎn)處有一棵樹（不考慮粗細(xì)），它與墻和的距離分別是和，如果要將這棵樹圍在矩形花園內(nèi)部（含邊界），直接寫出矩形花園面積的最大值．25．（6分）如圖，為的直徑，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的切線，為切點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線．（1）求該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)（用含的代數(shù)式表示）；（2）如果該拋物線的頂點(diǎn)恰好在軸上，求它的表達(dá)式；（3）如果，，三點(diǎn)均在拋物線上，且總有，結(jié)合圖象，直接寫出的取值范圍．27．（7分）在中，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接．（1）如圖1，當(dāng)為銳角三角形時(shí)，①依題意補(bǔ)全圖形，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系并證明；②用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，當(dāng)為鈍角時(shí)，依題意補(bǔ)全圖形并直接寫出線段，，的數(shù)量關(guān)系．28．（7分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，的半徑為1．如果將線段繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)線段所在的直線與相切，且切點(diǎn)在線段上，那么線段就是的“關(guān)聯(lián)線段”，其中滿足題意的最小就是線段與的“關(guān)聯(lián)角”．（1）如圖1，如果，線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，那么它的“關(guān)聯(lián)角”為．（2）如圖2，如果、，、，、．那么的“關(guān)聯(lián)線段”有（填序號(hào)，可多選）．①線段②線段③線段（3）如圖3，如果、，線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，那么的取值范圍是．（4）如圖4，如果點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且存在以為端點(diǎn)，長(zhǎng)度為的線段是的“關(guān)聯(lián)線段”，那么的取值范圍是．

參考答案一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)。1．【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：、由得，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、由得，故本選項(xiàng)正確；、由得，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、由得，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，比較簡(jiǎn)單．2．【分析】根據(jù)題目中二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可以直接寫出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：，此函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記：頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸是直線．3．【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上，則；點(diǎn)在圓外，；點(diǎn)在圓內(nèi)，即點(diǎn)到圓心的距離，即圓的半徑）．【解答】解：，點(diǎn)與的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．4．【分析】先利用正切的定義得到，則設(shè)，，利用勾股定理表示出，然后利用正弦的定義求解．【解答】解：，，設(shè)，則，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系：利用一個(gè)銳角的一個(gè)三角函數(shù)值表示出邊之間的關(guān)系，再利用勾股定理表示出第三邊，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求這個(gè)角的另兩個(gè)三角函數(shù)值．5．【分析】利用垂徑定理得出，進(jìn)而求出，再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得出答案．【解答】解：線段是的直徑，弦，，，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓周角定理以及垂徑定理等知識(shí)，得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．6．【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律，即可得出平移后拋物線的解析式．【解答】解：拋物線先向左平移2個(gè)單位得到解析式：，再向上平移3個(gè)單位得到拋物線的解析式為：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵．7．【分析】利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可．【解答】解：與都在函數(shù)的圖象上，且，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．【分析】連接，如圖，先解方程得，，再判斷為的中位線得到，利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，過圓心時(shí)，最大，如圖，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，最大，然后計(jì)算出即可得到線段的最大值．【解答】解：連接，如圖，當(dāng)時(shí)，，解得，，則，，是線段的中點(diǎn)，為的中位線，，當(dāng)最大時(shí)，最大，而過圓心時(shí)，最大，如圖，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，最大，，，線段的最大值是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．也考查了三角形中位線．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)設(shè)，，再代入計(jì)算可求解．【解答】解：由題意設(shè)，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)設(shè)參數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．【分析】由正六邊形的半徑為2，則米；由，得出是等邊三角形，則米，即可得出結(jié)果．【解答】解：如圖所示：正六邊形的半徑為2米，米，正六邊形的中心角，是等邊三角形，，米，正六邊形的周長(zhǎng)為（米；故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；解決正多邊形的問題，常常把多邊形問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形或直角三角形來解決．11．【分析】根據(jù)相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比解答即可．【解答】解：兩個(gè)相似三角形的相似比是，這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的關(guān)鍵．12．【分析】由題意可知、是弧的三等分點(diǎn)，通過平移可把陰影部分都集中到一個(gè)小扇形中，可發(fā)現(xiàn)陰影部分正好是扇形的，先求出扇形的面積再求陰影部分的面積或者直接求圓心角是20度，半徑是3的扇形的面積皆可．【解答】解：，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查扇形的面積問題，通過平移的知識(shí)把小塊的陰影部分集中成一個(gè)規(guī)則的圖形扇形，再求算扇形的面積即可．利用平移或割補(bǔ)把不規(guī)則圖形變成規(guī)則圖形求面積是常用的方法．13．【分析】根據(jù)配方法的操作整理即可得解．【解答】解：，，，所以，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的三種形式，主要利用了配方法．14．【分析】首先設(shè)反比例函數(shù)解析式為，再根據(jù)圖象位于第一、三象限，可得，再寫一個(gè)大于0的反比例函數(shù)解析式即可．【解答】解；設(shè)反比例函數(shù)解析式為，圖象位于第一、三象限，，可寫解析式為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)，（1），反比例函數(shù)圖象在一、三象限；（2），反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)．15．【分析】由勾股定理可求得斜邊長(zhǎng)，分別連接圓心和三個(gè)切點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，利用面積相等可得到關(guān)于的方程，可求得內(nèi)切圓的半徑，則可求得內(nèi)切圓的直徑．【解答】解：如圖：在中，，，，，，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，分別連接圓心和三個(gè)切點(diǎn)，及、、，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，，，解得，內(nèi)切圓的直徑為6步．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的內(nèi)切圓，連接圓心和切點(diǎn)，把三角形的面積分成三個(gè)三個(gè)角形的面積得到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行判斷．【解答】解：如圖：①函數(shù)中，分母不能為0，所以函數(shù)自變量的取值范圍是，故①符合題意．②如圖所示，函數(shù)沒有最大值，沒有最小值，故②不符合題意．③如圖所示，函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，所以方程有三個(gè)根，故③符合題意．④如圖所示，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，故④不符合題意．綜上所述，正確的結(jié)論有①③個(gè)．故答案為：①③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象和性質(zhì)，函數(shù)與方程的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共68分，第17～22題每小題5分，23～26題每小題5分，第27～28題每小題5分）解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，分別化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：原式．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．18．【分析】由本題圖形相似已經(jīng)有一個(gè)公共角，再找一組對(duì)應(yīng)角相等或公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可．【解答】解：添加條件為：，理由：，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．19．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證明即可．【解答】解：（1）如圖，即為補(bǔ)全的圖形；（2）證明：，，是的垂直平分線．的垂直平分線與交于點(diǎn)，，（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等），．就是的外接圓．故答案為：是的垂直平分線，垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．20．【分析】（1）利用表中數(shù)據(jù)和拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則可設(shè)頂點(diǎn)式，然后把代入求出即可；（2）利用拋物線的對(duì)稱性寫出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把代入得，解得，拋物線解析式為；（2）拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，而拋物線的對(duì)稱軸為直線，拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，即該二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．21．【分析】（1）由于，，從而可證明；（2）由勾股定理可求出，易證，所以，從而可求出的長(zhǎng)度．【解答】解：（1），是邊上的高，又，（2）在中，，，．由勾股定理得，【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．22．【分析】（1）把的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得的值，即可得到函數(shù)解析式；（2），則在以為圓心，以為半徑的圓上或在以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓上，圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是．【解答】解：（1）點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上．點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．反比例函數(shù)的解析式是．（2）方法一：，，點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)設(shè)，，，解得；當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，設(shè)，，解得；當(dāng)點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則．點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．方法二：過點(diǎn)作軸，軸，如圖，①當(dāng)在原點(diǎn)時(shí)，滿足，則點(diǎn)；②當(dāng)在軸上時(shí)，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，③當(dāng)在軸上時(shí)，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．23．【分析】證明米，在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，即可解決問題．【解答】解：由題意得：米，米，，，，，，，米，在中，，，．（米，（米，米．即永定樓的高為米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，本題的突破點(diǎn)是證明，屬于中考?？碱}型．24．【分析】（1）根據(jù)矩形面積長(zhǎng)寬求解．（2）令，解一元二次方程求解．（3）由點(diǎn)在矩形內(nèi)部可得的取值范圍，將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解．【解答】解：（1），，，，，與的關(guān)系式為．（2）令，則，解得或，長(zhǎng)為或．（3）點(diǎn)在矩形內(nèi)部，，解得．，當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，時(shí)，取最大值為，答：花園面積最大值為195．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出等式，掌握二次函數(shù)求最值的方法．25．【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得到，由等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)，由等量代換即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中位線定理得到，設(shè)，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）連接，，，是的切線，為切點(diǎn)，，，，，；（2），，，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．26．【分析】（1）解析式化成頂點(diǎn)式即可求得對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意△，解得，即可得到拋物線的表達(dá)式為；（3）根據(jù)題意得到或，解不等式組即可．【解答】解：（1），該拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）拋物線的頂點(diǎn)恰好在軸上，方程有兩個(gè)相等的根，△，解得或（不符合題意，舍去），拋物線的表達(dá)式為；（3），拋物線開口向上，、、為該拋物線上三點(diǎn)，且總有，拋物線的對(duì)稱軸為直線，或，解得或．的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．【分析】（1）①依題意補(bǔ)全圖形，由直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出②