2024-2025學(xué)年湖南省長沙市高一上冊10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題

2024-2025學(xué)年湖南省長沙市高一上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的、請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，3．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A． B．C． D．5．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．6．若且就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合個數(shù)為（

）A．15 B．16 C．64 D．1287．某班有學(xué)生56人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和英語小組的學(xué)生有32人，同時參加了英語小組和語文小組的學(xué)生有22人，同時參加了數(shù)學(xué)小組和語文小組的學(xué)生有25人．已知該班學(xué)生每人至少參加了1個小組，則該班學(xué)生中只參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組中的一個小組的人數(shù)最多是（

）A．20 B．21 C．23 D．258．已知集合P，Q中都至少有兩個元素，并且滿足下列條件：①集合P，Q中的元素都為正數(shù)；②對于任意，都有；③對于任意，都有；則下列說法正確的是（

）A．若P有2個元素，則Q有3個元素B．若P有2個元素，則有4個元素C．若P有2個元素，則有1個元素D．存在滿足條件且有3個元素的集合P二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分、部分選對的得部分分，有選錯的得0分．）9．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．10．已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的是（

）A．B．不等式的解集為C．D．的最小值為11．已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12．若函數(shù)f（x）＝－x2－2(a＋1)x＋3在區(qū)間(－∞，3]上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是．13．已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是．14．已知函數(shù)，若集合中有且只有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍是四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．已知集合，集合．(1)若，求；(2)若，求實數(shù)的范圍．16．如圖所示，某學(xué)校要建造一個一面靠墻的無蓋長方體垃圾池，垃圾池的容積為，為了合理利用地形，要求垃圾池靠墻一面的長為，如果池底每平方米的造價為200元，池壁每平方米的造價為180元（不計靠墻一面的造價），設(shè)垃圾池的高為，墻高，(1)試將垃圾池的總造價y（元）表示為的函數(shù)，并指出x的取值范圍；(2)怎樣設(shè)計垃圾池能使總造價最低？最低總造價是多少？17．已知，．(1)求證：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.18．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)，時，解關(guān)于的不等式；(2)當(dāng)時，對任意，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)當(dāng)，時，若點，均為函數(shù)與函數(shù)圖象的公共點，且，求證.19．已知集合A為非空數(shù)集.定義：(1)若集合，直接寫出集合S，T；(2)若集合且．求證：；(3)若集合記為集合A中元素的個數(shù)，求的最大值.1．C【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合,即可根據(jù)交集的定義求解.【詳解】由可得，故，故選：C2．D【分析】根據(jù)特稱命題的否定直接得出答案.【詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“，”的否定是為：，，故選：D.3．A【分析】由可得或，即可判斷.【詳解】由可得或，又或所以“”是“”的充分不必要條件.故選:4．C分別求得函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則，結(jié)合同一函數(shù)的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)和的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于C中，函數(shù)與的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，所以是同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).故選：C.本題主要考查了同一函數(shù)的判定，其中解答中熟記兩函數(shù)是同一函數(shù)的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．A【分析】探討函數(shù)的定義域、單調(diào)性，再逐一分析各選項判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為，選項C，D不滿足，因，則函數(shù)在，上都單調(diào)遞增，B不滿足，則A滿足.故選：A方法點睛：函數(shù)圖象的識別途徑：(1)由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置，由函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；(2)由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.6．A【分析】首先確定具有伙伴集合的元素有，，“和”，“和”四種可能，它們組成的非空子集的個數(shù)為即為所求.【詳解】因為，；，；，；，；這樣所求集合即由，，“和”，“和”這“四大”元素所組成的集合的非空子集．所以滿足條件的集合的個數(shù)為，故選:A.7．B【分析】設(shè)該班學(xué)生中同時參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組的人數(shù)為，只參加其中一個小組的人數(shù)為，根據(jù)題意列出方程即可.【詳解】如圖，設(shè)該班學(xué)生中同時參加了數(shù)學(xué)小組、英語小組和語文小組的人數(shù)為，只參加其中一個小組的人數(shù)為，則，即．因為，所以．故選：B.8．C【分析】若集合中有個元素，設(shè)，根據(jù)集合中元素的特性和題設(shè)條件進(jìn)行分析推導(dǎo)，可判斷出選項ABC；假若有個元素，設(shè)，再根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)分析，可得到中還有第四個元素，推出矛盾，從而可判斷出D選項.【詳解】若有2個元素，設(shè)，則，因為至少有個元素，所以中除外至少還有一個元素，不妨設(shè)，，則，若，則且，所以，與假設(shè)矛盾，所以，所以或，當(dāng)時，則，所以，若，則，與矛盾，所以，同理可知，所以此時，；當(dāng)時，則，所以，若，則，與矛盾，所以，同理可知，此時，；由上可知，當(dāng)有2個元素，則有個元素，有個元素，有個元素，故A錯誤，B錯誤，C正確；不妨假設(shè)有個元素，設(shè)，則為互不相等的正數(shù)，由③可知：，又因為為互不相等的正數(shù)，所以也為互不相等的正數(shù)，由②可知：都是集合的元素，因為為互不相等的正數(shù)，所以都是不等于的正數(shù)，所以，又因為為互不相等的正數(shù)，所以，考慮到和，若，則為互不相等的正數(shù)，又因為，所以，所以是與不相等正數(shù)，因為都是集合的元素，所以集合中至少有個元素，這與假設(shè)矛盾，因此考慮的情況，所以，同理可得，所以，所以，這與集合中元素的互異性矛盾，所以有個元素不可能成立，故D錯誤；故選：C.關(guān)鍵點點睛：本題考查元素與集合的關(guān)系以及集合運(yùn)算后集合中元素個數(shù)的判斷，本題的難點在于如何通過假設(shè)推導(dǎo)出矛盾，解答過程中主要利用集合中元素的互異性去檢驗元素，從而達(dá)到確定集合中元素個數(shù)的目的.9．D【分析】由于，不妨令，，代入各個選項檢驗，只有正確，從而得出結(jié)論．【詳解】解：由于，不妨令，，可得，，故A不正確．可得，，，故B不正確．可得，，，故C不正確．故選：D．10．AB【分析】利用二次不等式解與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式，逐一分析判斷各選項即可得解.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以是方程的兩根，且，故A正確；所以，解得，所以，即，則，解得，所以不等式的解集為，故B正確；而，故C錯誤；因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，等號成立，與矛盾，所以取不到最小值，故D錯誤.故選：AB.11．BC【分析】利用基本不等式直接判斷A；利用基本不等式求得的最大值可判斷B；利用基本不等式“1”的代換可判斷C；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D；【詳解】，且，，對于A，利用基本不等式得，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為，故A錯誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值為，故C正確；對于D，利用二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，，，故D錯誤；故選：BC12．(－∞，－4]求出二次函的對稱軸，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，確定對稱軸的位置，即可求解.【詳解】∵f（x）＝－x2－2(a＋1)x＋3的開口向下，對稱軸方程為，要使f（x）在(－∞，3]上是增函數(shù)，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4，∴實數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4]．故答案為:(－∞，－4].本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.13．．【分析】由題意得恒成立，結(jié)合二次不等式恒成立對a進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解．【詳解】由題意得恒成立，當(dāng)時，恒成立，滿足題意；當(dāng)時，，解得．綜上．故．14．【分析】先將集合的元素個數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式的自然數(shù)解的個數(shù)，再分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍問題，再結(jié)合函數(shù)的圖象進(jìn)行求解.【詳解】由中有且只有兩個元素，得有且只有兩個自然數(shù)解，即有且只有兩個自然數(shù)解，令，則，令，作出的圖象（如圖所示），又因為，，所以.故答案為.15．(1)(2)【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集運(yùn)算可得結(jié)果；（2）根據(jù)條件對集合A分類討論，分別求出實數(shù)的范圍.【詳解】（1）由時，集合，，所以，（2）當(dāng)，即時，集合A=?，符合，當(dāng)A≠?時，由，有，解得，綜上可知，若，則的范圍是.16．(1)詳解見解析(2)當(dāng)垃圾池的高為m、寬為3m時，垃圾池總造價最低為10800元.【分析】利用長方體垃圾池的容積及長與高表示寬，再求各面面積，得出總造價，利用均值不等式求最值.【詳解】（1）無蓋長方體垃圾池的容積為，長為，高為m，則寬m，，即，.（2），當(dāng)且僅當(dāng)取等號，即.所以當(dāng)垃圾池的高為m寬為3m時，垃圾池總造價最低為10800元.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）用單調(diào)性的定義證明即可.（2）由在區(qū)間上的單調(diào)性易得值域.【詳解】（1）令，則，又，，，即，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.18．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）即解不等式，分、、且討論，解不等式可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，求得的最大值可得答案；（3）由得，化簡方程得，令，結(jié)合一元二次不等式求解可得答案.【詳解】（1）當(dāng)，時，即解不等式，可得，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，得，即解，解得；當(dāng)且時，得，解得，綜上所述，不等式的解集為；（2）當(dāng)時，可得，，對任意，關(guān)于的不等式恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，即當(dāng)時，的最大值為0，所以，所以實數(shù)的取值范圍；（3）由，可得，可得，因為點，均為函數(shù)y=fx與函數(shù)y=gx圖象的公共點，可得，，兩式相減得，因為，所以，可得，令，則，整理得，解得，所以.關(guān)鍵點點睛：第三問解題的關(guān)鍵點是化簡方程得，令，結(jié)合一元二次不等式求解可得答案.19．(1)，(2)證明見解析(3)1350.【分析】（1）根據(jù)新定義直接求出；（2）首先根據(jù)定義得出，然后由，得出結(jié)論，再驗證也是中元素即得；（3）設(shè)滿足題意，其中利用最大的和最小的構(gòu)造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0與最大的元素得到，然后構(gòu)造一個集合，由得出的范圍，求得中元素個數(shù)可以為1350，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）由已知，則，；（2）由于集合且，所以T中也只包含四個元素，因為即且，