浙江省臺州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題 含解析

學(xué)年浙江省臺州市高一上學(xué)期1月期末質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題?85分在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1若冪函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則（）A.81B.C.3D.【答案】C【解析】【分析】用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，計(jì)算出的值即可．【詳解】設(shè)冪函數(shù)，則，所以，所以故選：C.2.已知函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，，，，則函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有（）A.1個B.2個C.3個D.4個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理，判斷函數(shù)值的符號，然后判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)即可．【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且，，，，根據(jù)根的存在性定理可知，在區(qū)間和內(nèi)至少含有一個零點(diǎn)，故函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)至少有2個.故選：B3.“且”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件第1頁/共13頁【答案】A【解析】【分析】按照充分必要條件的判斷方法判斷，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判斷得到正確答案，【詳解】當(dāng)且時，成立，反過來，當(dāng)時，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件的判斷，重點(diǎn)考查基本判斷方法，屬于基礎(chǔ)題型.4.已知扇形的圓心角為1rad，面積為8，則扇形的弧長為（）A.8B.4C.D.【答案】B【解析】【分析】先由扇形的面積公式可得半徑，進(jìn)而由弧長公式可得答案.【詳解】設(shè)該扇形的弧長為l，圓心角為，半徑為r，由，可得，解得，故.故選：B.5.若，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知結(jié)合求出、，即可求【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，?頁/共13頁解得：，或，因?yàn)椋?，此時可得，則，故選：D.6.將函數(shù)的圖象向左平移y的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖象平移得到偶函數(shù)，即，即可求【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到偶函數(shù)的圖象，所以，求得，又，故的值為.故選：B7.設(shè)，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)換底公式、對數(shù)運(yùn)算及不等式的性質(zhì)來比較大小.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，因?yàn)榈?頁/共13頁所以，所以故選：C.8.光從一種介質(zhì)斜射入另一種介質(zhì)時，傳播方向通常會發(fā)生改變，這種現(xiàn)象稱為光的折射.光在折射過程中，入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值是一個常數(shù).例如，一束光線從空氣斜射入水時，會發(fā)生折射現(xiàn)象，并滿足（其中是入射角，是折射角）當(dāng)入射角增加增加，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用題干所給定義，列式，結(jié)合兩角和與差的正弦公式，可得結(jié)果.【詳解】已知光從空氣斜射入水時，滿足即.當(dāng)入射角增加時，設(shè)此時入射角為+，折射角變?yōu)?，根據(jù)折射定律有：，即++，因?yàn)?，將代入可得+++由于<<，的值在0到1之間，，，第4頁/共13頁當(dāng)時，+而當(dāng)時所以.故答案為：A.二、多選題：本題共3小題，共分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及作差法判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，若，則，正確；選項(xiàng)B，若，則，錯誤；選項(xiàng)C，，則，所以，正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，則，所以，正確故選：ACD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的值域?yàn)锽.函數(shù)的最小正周期為C.在上單調(diào)遞減D.的圖象關(guān)于對稱【答案】AD【解析】【分析】應(yīng)用輔助角公式化簡三角函數(shù)式，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)、代入法判斷對稱中心，即可得各項(xiàng)的正誤.【詳解】由，第5頁/共13頁對于A，因?yàn)椋实闹涤驗(yàn)?，正確；對于B，因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋瑒t函數(shù)的最小正周期為，錯誤；對于C，當(dāng)時，，在給定區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，錯誤；對于D，因?yàn)椋瑒t的圖象關(guān)于對稱，正確.故選：AD已知，都是定義在R上的函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C.存在，使得D.若是增函數(shù)，則是增函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】利用求函數(shù)值判斷ABC，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷D即可.【詳解】對于選項(xiàng)A，，則，故A正確；對于選項(xiàng)B：，，則，故B正確；對于選項(xiàng)C，若存在使得，則，由于是增函數(shù)，對于不同的x值，的值不同，因此不存在滿足條件的，故C錯誤；對于選項(xiàng)D，若是增函數(shù)，則時，，由，可得，，由于且，所以，即是增函數(shù)，選項(xiàng)D正確.故選：ABD.第6頁/共13頁【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于D選項(xiàng)關(guān)鍵點(diǎn)是利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷解題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)求解.【詳解】解：由，令，得，所以函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，故答案為：13.已知，則_________.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?4.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量單位：與時間單位：間的關(guān)系為k__________5h消除了的污染物，那么污染物減少需要花費(fèi)__________小時精確到參考數(shù)據(jù)：【答案】①.②.57【解析】【分析】代入數(shù)據(jù)，根據(jù)指對互化，即可求解.第7頁/共13頁【詳解】因?yàn)檫^濾過程中廢氣的污染物含量P與時間t間的關(guān)系為，所以時，；設(shè)要消除的污染物，至少需要的時間t小時，由題意得，故答案為：；57.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.求值：（1）（2）【答案】（1）；（2）1.【解析】1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡求值.【小問1詳解】；【小問2詳解】原式16.已知集合，（1）若時，求（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.第8頁/共13頁【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)函數(shù)定義域求法求得集合B，由此求得（2）由知，列不等式來求得a的取值范圍.【小問1詳解】，或，【小問2詳解】由知，，①當(dāng)時，，②當(dāng)時，，；③當(dāng)時，，不滿足題意.所以a的取值范圍為17.已知函數(shù)是奇函數(shù).（1）求a的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性并請說明理由;（2）對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1），函數(shù)在R上單調(diào)遞增，理由見解析；（2）【解析】1）由求得a，然后驗(yàn)證即可，再利用函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性；（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得恒成立，應(yīng)用基本不等式求右側(cè)最值，即可得結(jié)果.【小問1詳解】第9頁/共13頁因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以有，得則，有，符合題設(shè)，所以，即，，，且，則，因?yàn)樗院瘮?shù)在R上單調(diào)遞增.【小問2詳解】由題設(shè)及奇函數(shù)性質(zhì)知對任意恒成立，因?yàn)樵赗單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)，當(dāng)時取等號，所以k的取值范圍為18已知，，，，（1）請寫出以x軸的非負(fù)半軸為始邊，射線OA為終邊的角的集合;（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn).①當(dāng)，時，求點(diǎn)C坐標(biāo);②若，，求【答案】（1）；（2）①；②第10頁/共13頁【解析】1）根據(jù)題意，射線OA為終邊的角的集合是所有與終邊相同的角，即可得答案；（2）①根據(jù)題意，利用余弦和正弦的和角公式計(jì)算和，可求得點(diǎn)C坐標(biāo)；②根據(jù)題意和差公式得到，即可求解.【小問1詳解】由在角的終邊上，所以射線OA為終邊的角的集合為；【小問2詳解】①由題知，，，，，，所以，，②由題知，，則由，知，故，所以，即，又，所以，所以19.給定函數(shù)，，都在，，也是某個三角形的三邊長，則稱為“保三角形函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否為“保三角形函數(shù)”，并說明理由;第11頁/共13頁（2）若是“保三角形函數(shù)”，求的最小值;（3）若函數(shù)同時滿足以下條件：①；②在區(qū)間上單調(diào)遞增；③對任意，，都有證明：函數(shù)是“保三角形函數(shù)”.【答案】（1）是，理由見解析（2）1（3）證明見解析【解析】1）利用“保三角形函數(shù)”定義判斷即可；（2）由是“保三角形函數(shù)”，得，由題意可證m的最小值為1；（3）由“保三角形函數(shù)”及函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可證明函數(shù)是“保三角形函數(shù)”.【小問1詳解】不妨假設(shè)，有，此時，，，且有，所以，，可以構(gòu)成某三角形的三邊，所以是“保三角形函數(shù)”.【小問2