浙江省慈溪市2024-2025學年高二上學期期末測試數(shù)學試卷 含解析

學年第一學期高二期末測試卷數(shù)學學科試卷說明：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分分.考試時間分鐘，不得使用計算器，請考生將所有題目的答案均寫在答題卷上.第Ⅰ卷（選擇題，共分）85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線l過點和，則l的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由兩點坐標可求得其斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率之間的關系可得結(jié)果.【詳解】易知直線l斜率為，設l的傾斜角為，則，由，可得.故選：D2.已知函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的定義對函數(shù)求導代入計算即可.【詳解】易知，所以.故選：A.第1頁/共20頁3.已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.51B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出公比后由等比數(shù)列的前項和公式得結(jié)論．【詳解】記公比為，則，即，所以，從而，故選：C．4.已知，，，，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出與的向量坐標，再根據(jù)投影向量的公式來計算.【詳解】已知，，，.；.計算和,.第2頁/共20頁根據(jù)投影向量公式，則投影向量為.故選：A.5.已知圓，圓，若圓與圓恰有三條公切線，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析可知，兩圓外切，根據(jù)圓與圓的位置關系可得出關于的等式，解之即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的標準方程為，則，可得，圓的圓心為，半徑為，因為圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切，且，由題意可得，即，解得.故選：B.6.已知在棱長為1的正四面體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設、、表示和，再利用數(shù)量積的運算律及夾角公式計算可得.【詳解】設，因為，，所以，第3頁/共20頁，所以，，，設向量與的夾角為，則直線和夾角的余弦值為．故選：D7.已知雙曲線的左焦點為作這條漸近線的垂線，垂足為A，交另一條漸近線于點B，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直關系求得直線的方程，解得兩點坐標即可求得比值.第4頁/共20頁【詳解】設左焦點為根據(jù)題意可知，所以直線的方程為，如下圖所示：聯(lián)立，可得，同理聯(lián)立，可得，因此.故選：B8.已知斐波那契數(shù)列滿足，.盧卡斯數(shù)列滿足，且，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用已知確定與的關系后判斷．第5頁/共20頁【詳解】由已知，，，因此，所以，從而，故選：C．36分在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知曲線，則（）A.當時，C是半徑為的圓B.當時，C是焦點在x軸上的橢圓C.當時，C是焦點在x軸上的雙曲線D.當時，C是兩條直線【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合圓、橢圓、雙曲線的方程特征逐項判斷即可.【詳解】對于A，當時，是半徑為的圓，A正確；對于B，取，，即，曲線是焦點在軸上的橢圓，B錯誤；對于C，當時，是焦點在x軸上的雙曲線，C正確；對于D，當時，是一條直線，D錯誤.故選：AC.10.已知數(shù)列的前n項和為，若，且對任意m，，都有，則（）A.B.C.D.數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】ABD【解析】第6頁/共20頁【分析】利用賦值法可計算得出AB正確，C錯誤，可證明得出數(shù)列是等差數(shù)列，求得即可判斷D正確.【詳解】由，且可得，即可得A正確；易知，又，即，因此，因此B正確；易知，可得C錯誤；令可得，即，所以可得數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，可得，因此，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列，可知D正確.故選：ABD如圖，已知正方體的棱長為4，P，Q分別是線段，上的動點，M是線段的中點，且滿足，過作平面，使得，則（）A.當時，平面B.當P為線段中點時，直線到平面的距離為C.直線與平面所成角的最大角的正弦值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】第7頁/共20頁【分析】根據(jù)已知構(gòu)建空間直角坐標系，A應用向量法判斷平面是否成立，B問題化為求到平面的距離，應用向量法求點面距，C、D設且，且，根據(jù)已知有在圓的四分之一圓弧上，向量法求線面角正弦值的含參表達式、向量數(shù)量積的坐標表示得含參表達式，應用三角換元求最值.【詳解】構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系，A：，則，且，又，所以，可得，則，此時，又，，，顯然、，則平面不成立，錯；B：且，，又，則，可得，所以，則，而，若是的一個法向量，則，令，則，而，顯然直線到平面的距離，即為到平面的距離，對；C：令且，且，，則，可得，且，由，，若是面的一個法向量，所以，令，則，所以直線與平面所成角的正弦值，第8頁/共20頁要使夾角最大，即最大，而在圓的四分之一圓弧上，令且，則，所以或時，最大，此時最大正弦值為，對；D：由C分析，則，所以，令且，則且，所以最小值為，對.故選：BCD置關系、求點面距、線面角、坐標表示數(shù)量積，綜合應用三角換元、圓的性質(zhì)求最值.第Ⅱ卷（非選擇題，共分）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共分）12.已知點和直線，則點P到l的距離為______.【答案】3【解析】【分析】代入點到直線距離公式計算可得結(jié)果.【詳解】易知點P到l的距離為.第9頁/共20頁故答案為：313.已知數(shù)列滿足，若，，則的前n項積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由遞推公式可得數(shù)列周期，從而根據(jù)周期性得出前項積的最大值.【詳解】因為，所以，兩式相除得，即，故數(shù)列的周期,由，，可得，設的前項積為，所以當時，，當時,取最大值為.當時，，當時,取最大值為.當時，，當時,取最大值.綜上所述，的前n項積的最大值為.故答案為：14.上一點作該橢圓的切線，切線方程為.”設橢圓，PP的切線l分別與坐標軸交于M、N兩點，若時，（O為坐標原點）的面積取到最小值，則C的離心率為______.【答案】.【解析】【分析】由切線方程求得與坐標軸的兩交點坐標，利用基本不等式可得當時面積第10頁/共20頁取得最小值，再根據(jù)余弦定理計算可得，再由等面積法可知，可得，可求得離心率.【詳解】由題可知滿足，切線與兩坐標軸交點為，如下圖所示：易知的面積為，又，即，因此，當且僅當示，即時，等號成立；又因為，即，解得；易知的面積為，又，即可得，所以，可得，所以.即C的離心率為.第11頁/共20頁故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用基本不等式求得面積最小時的交點坐標，再由余弦定理由三角形面積公式計算得出的關系式，可求得離心率.四、解答題（本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù).（1）若，求；（2）若在處的切線與直線垂直，求a.【答案】（1）（2）或.【解析】1）根據(jù)導數(shù)的運算來求得正確答案.（2）根據(jù)斜率的關系列方程，化簡求得的值.【小問1詳解】因為，所以.【小問2詳解】因為，所以，由題意知，，即，所以，所以或.16.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面平面，，，.第12頁/共20頁（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】1）利用面面垂直性質(zhì)以及勾股定理，結(jié)合線面垂直判定定理可得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系并利用空間向量求得兩平面的法向量，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】因為平面平面，平面平面，，所以平面，所以；在中，，，，所以，所以，即；又因，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，平面，，建立以A為原點，，，分別為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，如下圖所示：第13頁/共20頁則，，，所以，，設平面的一個平面法向量，則，即，所以??；同理可得，平面的一個法向量；所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知直線，圓，點在上，點在上.（1）若一條光線沿著直線從右上往左下射出，經(jīng)軸反射后，與相切，求；（2）若，，求點的坐標，使有最小值，并求出這最小值.【答案】（1）（2），最小值等于.【解析】1）求出反射光線所在直線的方程，求出圓心到反射光線所在直線的距離，即為的值；（2關于直線的對稱點、為線段與直線的交點時，取最小值，聯(lián)立直線和直線的方程，可求出點的坐標，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意知，入射光線與軸交于點，反射光線的斜率為，所以反射光線所在的直線方程為，第14頁/共20頁因為圓心，所以圓心到反射光線所在直線的距離等于，即.【小問2詳解】設點關于直線的對稱點為，則，解得，即，所以，因為，，所以的最小值等于，當且僅當點、為線段與直線、圓的交點時，取最小值，直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以當點時，的最小值等于.第15頁/共20頁18.已知拋物線的焦點為F，點在C上，且.（1）求C的方程；（2）若M，N是C上的兩個不同動點（M在x軸上方，N在x.（?。┣笞C：直線過定點P；的斜率為kP的直線交C于RS兩點，求四邊形面積的最小值.【答案】（1）（2【解析】1）根據(jù)焦半徑公式可得，可求拋物線方程；（2過定點P；（ⅱ）依題意聯(lián)立直線和拋物線方程利用韋達定理求出四邊形面積的表達式，再結(jié)合基本不等式可求得面積最值.【小問1詳解】因為，所以，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】（?。┰O直線的方程為，，，聯(lián)立得，顯然，且，，易知，所以；因為第16頁/共20頁，所以或過定點.的方程為，，，，示：由得，，則，，所以，則R，S到直線的距離和因為直線RS的直線方程為，所以，所以，由得，，即，，所以，所以，令，，則在上單調(diào)遞增，所以當，即時，.19.若數(shù)列滿足：（為“差增數(shù)列”第17頁/共20頁增數(shù)列，存在整數(shù)k，同時滿足以下兩個條件：①對任意，都有成立；②存在，使得成立，則稱數(shù)列為差增數(shù)列的“下限數(shù)列”.（1）已知數(shù)列是差增數(shù)列，若，試寫出項數(shù)為5的差增數(shù)列；（2）已知等差數(shù)列是公差為d的正項數(shù)列，其前n項和為，等比數(shù)列是公比為的非常數(shù)數(shù)列，且；（ⅰ）試判斷數(shù)列是否為“差增數(shù)列”，并說明理由；（ⅱ）若，且，，成等比數(shù)列，則是否存在以數(shù)列為“下限數(shù)列”的差增數(shù)列？若存在，求q的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1），，，，（2為“差增數(shù)列”4.【解析】1）由“差增數(shù)列”的定義以及質(zhì)數(shù)概念即可求得結(jié)果；（2n項和公式得出“差增數(shù)列”的定義即可得出結(jié)論；，“下限數(shù)列”和“差增數(shù)列”的定義對參數(shù)進行分類討論，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】根據(jù)“差增數(shù)列”的定義可得，，，，；【小問2詳解】（?。┮驗?，則首項，公差，所以，，因為第18頁/共20頁，即對任意且恒成立，故數(shù)列為“差增數(shù)列”.（ⅱ）因為，則，且