考場仿真卷01-2021年高考數(shù)學(xué)（理）模擬考場仿真演練卷（課標(biāo)全國Ⅱ卷）（解析版）

絕密★啟用前

2021年高考數(shù)學(xué)（理）模擬考場仿真演練卷

第一模擬

本試卷共23題（含選考題）。全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題

卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（2017?浙江湖州市?高三一模）已知集合尸="wRIx|<2},Q=集wR|-1?%?3}

則尸flQ=

A.[-1,2）B.（-2,2）C.（-2,3]D.[-1,3]

【答案】A

【詳解】尸={x|-2vx<2},所以PcQ={x|-lKx<2},故選A.

2.（2018?全國高三專題練習(xí)）若sin0?cos0v0,|cosq=cos8,則點(diǎn)在

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】因?yàn)閟inOcosOvO,|cosW=cosO,所以cos0>0,sinO〈O,所以0在第四象限,tanOvO,

」>0,所以P（tan。,」]在第二象限.故選B.

COS0Vcos9）

3.（2021?山東泰安市?高三期末）電影《流浪地球》中反復(fù)出現(xiàn)這樣的人工語音：“道路

千萬條，安全第一條，行車不規(guī)范，親人兩行淚”，成為網(wǎng)絡(luò)熱句.講的是“開車不喝酒，

喝酒不開車”.2019年，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指

導(dǎo)意見》，對綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢

疫總局下發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)，車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見

表.經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的散

點(diǎn)圖如圖所示，且該圖表示的函數(shù)模型=J【3）.假設(shè)該

90e-0-5t+14,x>2

人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過wAT）小時(shí)才可以駕車，則n的值為［）（參考數(shù)據(jù)：

lnl5*2.71,In30?3.40）

酒精含里(-g/100^1)

八

60

??

20?■.

????

........????一P

O246810121416

車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值

駕駛行為類別閾值(mg/100ml)

飲酒駕車[20,80)

醉酒駕車[80,+oo)

A.7B.6C.5D.4

【答案】B由散點(diǎn)圖可知，該人喝一瓶啤酒后的2個(gè)小時(shí)內(nèi)，其血液酒精含量大于20,

\n>2n~2

則令［90?產(chǎn)+14<20'即j-<—f

15

解得〃>21nl5=2x2.71=5.42，

?.?〃wN"，「?〃的最小值為6,故至少經(jīng)過6小時(shí)才可以駕車.故選：B.

4.（2021?山東高三專題練習(xí)）北宋時(shí)期的科學(xué)家沈括在他的著作《夢溪筆談》一書中

提出一個(gè)有趣的問題，大意是：酒店把酒壇層層堆積，底層擺成長方形，以后每上一層，

2

長和寬兩邊的壇子各少一個(gè)，堆成一個(gè)棱臺的形狀(如圖1),那么總共堆放了多少個(gè)

酒壇.沈括給出了一個(gè)計(jì)算酒壇數(shù)量的方法——隙積術(shù)，設(shè)底層長和寬兩邊分別擺放。，

匕個(gè)壇子，一共堆了"層，則酒壇的總數(shù)

5="+(々-1)。-1)+(々-2)9一2)+—+(〃-〃+1)(6—〃+1).現(xiàn)在將長方形垛

改為三角形垛，即底層擺成一個(gè)等邊三角形，向上逐層等邊三角形的每邊少1個(gè)酒壇(如

圖2),若底層等邊三角形的邊上擺放10個(gè)酒壇，頂層擺放1個(gè)酒壇，那么酒壇的總數(shù)

【分析】每一層酒壇按照正三角形排列，從上往下數(shù)，最上面一層的酒壇數(shù)為1,

第二層的酒壇數(shù)為1+2,第三層的酒壇數(shù)為1+2+3,

第四層的酒壇數(shù)為1+2+3+4.…，由此規(guī)律，

最下面一層的酒壇數(shù)為1+2+3+…+10,

所以酒壇的總數(shù)

1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220.故選：C.

5.(2020?天津南開區(qū)?高三一模)若圓。的圓心在第一象限，圓心到原點(diǎn)的距離為逐,

且與直線4x-3y=0和X軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A.(x-l)2+(y-2)2=lB.(x-2)2+(y-l)2=1

C.(x-l)2+(y-2)2=5D.(x-2)2+(y-l)2=5

【答案】B

【分析】解：根據(jù)題意，設(shè)圓。的圓心C的坐標(biāo)為(利〃)(m>0,九>0),

由于圓C與X軸相切，則圓C的半徑

又由圓心到原點(diǎn)的距離為石，則有m2+〃2=5，

圓C與4x-3)，=0相切，則有7-,即:〃2=14〃2-3〃「，解得:機(jī)=2,“=1.

V42+3225

則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-2)2+(y-l『=l.故選：B.

6.(2020?全國高三專題練習(xí))已知｛%｝是等比數(shù)列，且

4+%+6+4+〃5=10，〃：+域+%2+4；+62=60,則4+04=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為,，且4工1,

則％+生+。3+。4+。5="~二10，

"q

+a2+a2+a2=(1-,)=60,兩式相除得

1-于

a：。—，0)“(I—4](1+/)q(l+g5)

[_q~\-q[+g]+g

又(q+4+6+4+6)一(4_,+〃3-〃4+4)=2(〃2+?4)=10-6=4,

所以生+4=2,故選：A.

7.(2019?全國高三月考(理))某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

4

D.4邛

A.4->/3B.2-石

【答案】C

【分析】該幾何體的直觀圖如下圖,

平面ACDJ_平面ABC,OE□平面ABC,

□AC。與ZXACB均是邊長為2的等邊三角形，BE=2,

點(diǎn)E在平面A3。上的射影落在ZA8C的平分線上，

所以O(shè)E_L平面ACD，

所以％3。=95.改乂6=1VE_ACD=}-xSACD*DE=gx辰小一1)

=1--，所以幾何體的體積為2-也.故選：C.

33

8.(2020?甘肅省岷縣第一中學(xué)(理))已知雙曲線工工=1(。>0,Z?>0)的兩

/b2

條漸近線與拋物線),2=2*(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A、8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn),

若從=3。"匚A08的面積為有，則〃=()

3

A.1B.-C.2D.3

2

【答案】C

【分析】由從=3/n4=3=2=6,即漸近線為y=±Jir,與拋物線的準(zhǔn)線交

aa

于A―￡,目。,B一4,一田△，所以A4O8的面積為，x4x石p=6,(〃>0),

I22JI22J22''

解得p=2故選C

9.(2021?全國高三其他模擬)已知某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該圖象所對應(yīng)的函

數(shù)可能是()

“、cos(7i-2x)

A./(x)=sin2xln|,v|B./(x)=—-L

.X

C./W=LTC7D./(x)=(x2-l)-ln|x|

ei

【答案】A

【分析】由圖象知，函數(shù)〃力關(guān)于原點(diǎn)對稱，即為奇函數(shù)；當(dāng)了?0,4)時(shí)，函

數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；

在y軸右側(cè)一點(diǎn)，函數(shù)值/(力<0,且在y軸右側(cè)一點(diǎn)，函數(shù)/(力遞減.

選項(xiàng)B中，函數(shù)4)=皿匕?=一2,r(x)=2xsin2x+cos2A>當(dāng)

XXx

xw(0,(卜，r(x)>0,故“力在XE(0,()上單調(diào)遞增，與圖象不符，不正確；

jn2(、

選項(xiàng)C中，函數(shù)f(x)=s：：，中,當(dāng)了w0,g時(shí)，2xe(O,^),則sin2x>0,而

eH-1k2J

|X|>0,^>1,即6兇一1>0,故/(x)>0,與圖象不符，不正確；

選項(xiàng)D中，/(x)=(x2-l)ln|^,滿足

/(-x)=[(-x)2-1In|-x|=(x2-1)-In|x|=/(x),即是偶函數(shù)，故與圖象

不符，不正確；

故由排除法只能說選A,而選項(xiàng)A中，函數(shù)/(x)=sin2x」n|X，滿足

/(T)=sin(-2x)ln|-x|=-sin2xlnk|=_/(%),即/(%)是奇函數(shù);當(dāng)丁￡(0,4)

時(shí)，2XE(0,8)口0,3%)，故sin2尢=0有兩根：2工=肛2],即尤二會乃，且1申=0

有一根：x=l,符合題意中XE(O,4)有3個(gè)零點(diǎn)；存在正數(shù)1,使得當(dāng)x?0,l)時(shí),

/(x)<0.故以上性質(zhì)均與圖象符合，可能是圖象對應(yīng)的函數(shù).

故選：A.

6

10.（2019?河南高三月考（理））已知四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,

AB=AD=CD,BC//AD,NA5C=6O。，是等邊三角形，若四棱錐

P-ABCD休積的最大值9百.則球。的表面積為（）

A.56萬B.54〃C.52乃D.50%

【答案】C

【分析】由題意知，當(dāng)四棱維P—ABCO體枳最大時(shí)，平面R43上平面488,

設(shè)A7%5的邊長為〃，在等腰梯形48CZ）中，

易知AB=4）=C￡>=a,又NA8C=6O。，可得BC=2a,

所以等腰梯形48。的面積S=Jx（〃+2〃）x正4==亙

平面PAB平面力88時(shí)，棱錐的高即為NPAB的高為@，

2

所以四棱錐尸-A3co體積最大值為

v13026a33yr

V=—x---ax----=-a=9。3，

3428

解得a=2，

取8C的中點(diǎn)。「因?yàn)锳BAC與MDC是直角三角形，

所以梯形ABCD的外接圓圓心是邊BC的中點(diǎn)。|；

又是等邊三角形，其外接圓圓心。2是等邊△物8的中心.

分別過Oi，。2作梯形44CO、AP4A所在平面的垂線，

則兩垂線的交點(diǎn)O即是四棱錐P-ABCO的外接球球心，

則四棱錐尸—A3CO外接球的半徑為：

R二畫=加&」+的「=+1=后

所以球。的表面積為4切?2=524.故選：C.

11.（2021?河北石家莊市?高三一模）若/（X）圖象上存在兩點(diǎn)A,B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則

點(diǎn)對［4,可稱為函數(shù)/（x）的“友情點(diǎn)對”（點(diǎn)對［A回與［B,A］視為同一個(gè)“友情點(diǎn)對”）

《x>0

若f（x）=J/'~恰有兩個(gè)“友情點(diǎn)對”，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

ax2,x<0

A.1—,0)B.0,—C.(0,1)D.(—1,0)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，若要求“友”青點(diǎn)對“，可把x<0時(shí)的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,

研究對稱過去的圖像和xNO時(shí)的圖像有兩交點(diǎn)即可，

y=ax2(x<0)關(guān)于原點(diǎn)對稱的解析式為y=-ax2(x>0),

考查y=上的圖像和y=-ax2(x>0)的交點(diǎn)，

ex

可得工=一辦2,。=一二_,令g")=一三

exee

所以x￡(0,l),g\x)<0,g(x)為減函數(shù),

12.(2020?江西高三期中(理))若數(shù)列｛《,｝滿足：對任意只有有限個(gè)正整數(shù)

陽，使得4〈〃成立，記這樣的根的個(gè)數(shù)為(4)’,則得到一悠閑的數(shù)列｛(〃”)“｝,例

如，若數(shù)列｛q｝是1,2,3,…，〃，…，則得數(shù)列(%)*是0,1,2,〃—1,…，

已知對任意的〃eN"，勺=〃2,則((goi5)*j=()

A.20142B.2014C.20152D.2015

【答案】C

【分析】因?yàn)?〃=/，故滿足/(〃的正整數(shù)小的個(gè)數(shù)為不等式〈〃的整數(shù)解的個(gè)

8

當(dāng)M￡（（Z-1）2?2],關(guān)于用的不等式初2〈〃的整數(shù)解的個(gè)數(shù)即為&一1,

故4：="1,其中〃€（（"1）2,日，

故｛"｝中項(xiàng)的大小為2-1共有公一億一1）2=2"1項(xiàng).

將｛。：｝列舉如下：°，1」[22,2,2,2,???,4-1次-1,???,無-1,???口

I?352*-1

而（（％）J）*即為。<2015中。：的個(gè)數(shù).

由□可得a；<2015中a：的個(gè)數(shù)為1+3+5+…+（2x2015-1）=20152.

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.（2019?安徽淮北市?淮北一中高三月考（理））已知夾角為1?的跑位向量5,則

慳一3萬|=.

【答案】幣

【分析】由〃石=忖卡卜05^=3,

則12a—3^|=J（2a_3B）=^4p|—12a-5+9|^|=J4-6+9=>/7

故答案為：幣.

14.（2021?黑龍江齊齊哈爾市?高三一模（理））安排5個(gè)黨員（含小吳）去3個(gè)不同小

區(qū)（含M小區(qū)）做宣傳活動(dòng)，每個(gè)黨員只能去1個(gè)小區(qū)，且每個(gè)小區(qū)都有黨員去宣傳，

其中至少安排2個(gè)黨員去“小區(qū)，但是小吳不去M小區(qū)，則不同的安排方法數(shù)為

【答案】44

【分析】首先人數(shù)分配可以是“3+1+1”和“2+2+1”兩種情況，至少安排2個(gè)黨員去M小

區(qū)，故M小區(qū)安排3人或2人，小吳不去M小區(qū)，故：

若M小區(qū)安排3人，除小吳外還有4人，按照“3+1+1”分配，則有C：用=8種；

若M小區(qū)安排2人，除小吳外還有4人，按照“2+2+1”分配，則有C：C；$=36種.

故不同的方法數(shù)為8+36=44種.

故答案為：44.

15.（2020?黑龍江高三月考（理））設(shè)ZwC,若z2+z+l=。，則

z+z+z+z=?

【答案】-2

【分析】(z-l)(z2+z+l)=z3-l=O

3

Z=b故Z20JZ3X672.Z=Z

又z2(z2+Z+l)=0

故Z，+Z?+Z?=0

故Z44-Z3=-Z2=Z+1

z2017+z2018+z2020+z2021=z2017(l+z+z3+z4)=Z刈7(1+z+1+z)

=z(2+2z)=2(z+z?)=-2

故答案為：?2

16.(2021?新疆高三其他模擬)設(shè)有下列四個(gè)命題：

Pi：空間中兩兩相交的三個(gè)平面，若它們的交線有三條，則這三條交線必相交于一點(diǎn).

〃2：過空間中任意一點(diǎn)作已知平面的垂線，則所作的垂線有且僅有一條.

〃3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線互為異面直線.

p4：若直線/u平面直線加〃平面。，則直線加與直線/一定不相交.

則下述命題中所有真命題的序號是.

□PlV〃4；□(nPi)Ap2；□p2A(np3)；).

【答案】□□口

【分析】對于命題Pl,兩兩相交的三個(gè)平面，若它們的交線有三條，則這三條交線可

能互相平行，如三棱柱的三個(gè)側(cè)面就是兩兩相交的三個(gè)平面，它們的三條交線互相平行,

P\為假命題；

對于命題P2,若過空間中任意一點(diǎn)可作已知平面的兩條垂線，則兩條垂線平行，與兩

直線過同一點(diǎn)相矛盾，則知這樣的垂線有且僅有一條，P2為真命題；

對于命題〃3,空間中兩條直線的位置關(guān)系只有相交、平行或異面，空間兩條直線不相

交，這兩條直線可能是平行的，也可能是異面直線，生為假命題：

對于命題若直線加〃平面a,則直線機(jī)與平面。不相交，

10

又直線/u平面。，所以直線陽與直線/一定不相交，P4為真命題.

綜上可知，P?,P4為真命題，Pl，〃3為假命題，

，PlV〃4為真命題，(―W])八〃2為真命題，P2A(~^3)為真命題，(一。3)人(~^4)為

假命題.故答案為：□□□.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必

考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.(2021?全國高三專題練習(xí))如圖，在四邊形ABCO中，CD=36BC=百，

(1)求N3OC；

(2)若NA=q，求△A3。周長的最大值.

【答案】(1)y；(2)12

6

【分析】(1)在△8CO中，Qcos/CBD=-：，

萬3包

.//BC-sinNCBD1

..sinZBDC=--------------=-----盧—=—

CD3G2

71

又???NC8D為鈍角，為銳角，?..NBDC="

6

(2)在△8CO中，由余弦定理得

8c一_7+附-27_不

2BCBD25x3g

解得：87）=4或6。=一5（舍去）

在△ABD中，ZA=。，設(shè)AB=x,AD=y

G+AO-BO?，+/]61

由余弦定理得cos4即/+產(chǎn)-16=孫

2ABAD

整理得：（x+y）2-16=3D，又/>0,y>0

利用基本不等式得：@+耳2_]6=3孫.3（7）,即G；y）〈16,

即（x+y）2?64,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=4H寸，等號成立，即（工+城儂=8,

所以（AB+AO+3。）=8+4=12

V/max

所以AA3D周長的最大值為12

18.（2021?全國高三專題練習(xí)（理））為了調(diào)查某地區(qū)全體高中生的身高信息（單位：cm）,

從該地區(qū)隨機(jī)抽取高中學(xué)生100人，其中男生60人，女生40人.調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)

60

2,…60）和必=1,2,…40）,劉和”分別表示第i個(gè)男生和第7個(gè)女生的身高.經(jīng)計(jì)算得

=10500,24；=1838400,2%=6600,=1090200.

/=1j=ij=\

（1）請根據(jù)以上信息，估算出該地區(qū)高中學(xué)生身高的平均數(shù)）和方差$2；

（2）根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為該地區(qū)高中學(xué)生身高X服從正態(tài)分布N3,標(biāo)），用[作

為"的估計(jì)值，用$2作為標(biāo)的估計(jì)值.若從該地區(qū)高中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記4表示

抽取的4人中身高在（171,184.4）的人數(shù)，求4的數(shù)學(xué)期望.

附：□數(shù)據(jù)。，d.」〃的方差s2=—（r；-？■）2=一（Zd一〃尸），u若隨機(jī)變量x服從

nni=i

正態(tài)分布N3,層），則P@-KXv〃+o）=0.6827；?！?2（7<六"+2。）=0.9545：

P（/i-3a<X</i+3（r）=0.9973；y/45-6.7.

【答案】（1）z=171,?=45；（2）1.909.

【分析】（1）由題意，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，

12

6040

可得該地區(qū)高中學(xué)生身高的平均數(shù)_10500+6600、

z=-----------:-------=--------------------=171(cm)

100100

]「6040_/

由方差的計(jì)算公式，可得1=赤=45444.

1001/=]j=i

(2)由(1)知5=171,/=45，即〃=171,5=45,

可得該地區(qū)高中學(xué)生身高X?JV(171,45),

09545

又由尸(171<X<184.4)=P("<X<〃+2cr)='=0.47725,

根據(jù)題意，可得隨機(jī)變量J?8(4,0.47725),

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式，可得數(shù)學(xué)期望為石(J)=4x0.47725=1.909.

19.(2020?沙坪壩區(qū)?重慶南開中學(xué))已知橢圓C：，+￡=1(。>6>0)的右焦點(diǎn)尸

與拋物線G的焦點(diǎn)重合，&的中心與。2的頂點(diǎn)重合.過戶且與工軸垂直的直線交G

于A，B兩點(diǎn)，交4于。，D兩點(diǎn)，且|8|=1|4回.

(□)求G離心率；

(□)若G的四個(gè)頂點(diǎn)到02的準(zhǔn)線距離之和為12,求G與。2的標(biāo)準(zhǔn)方程.

1r2v2

【答案】(n)(L)C,:—+^-=l,C：y2=8x

2116122

【分析】(口)設(shè)歹(c,0)「.。2：/=4。九

令％=。,則鼻+'yy=I,.*,y2=乂,\y\=—.'JA8|=^―

ab~a~aa

令x=c,貝ijJ=4c.2,.?)|=2c.1CO|=4c

因?yàn)閨cq=gMM，所以

4c=—x^—:.2(a2-c2)=3ac2e2+3e-2=0v0<e<I?.e=—；

3a2

1lX2V2

（口）根據(jù)（□）e=—:.a=2c,Z?=V3cC,:—7+—7=1

214c23c2

g的準(zhǔn)線方程為

因?yàn)镚的四個(gè)頂點(diǎn)到的準(zhǔn)線距離之和為12,

所以c+c+（c+a）+（—c+a）=12c=2,々=4,b=2G

r21,2

C.:一+—=hG:y2=8x

,16122

20.（2019?四川成都市?成都經(jīng)開區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開學(xué)考試（理））在三棱柱ABC-AiB.Ci

中，側(cè)面ABBIAI為矩形，AB=2,巧，D是AAi的中點(diǎn)，BD與ABi交于點(diǎn)O,

（1）證明：BCHAB）；

（2）若OC=OA,求直線CD與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）半.

【解析】：（1）要證明可證明力當(dāng)垂直于BC所在平面BCD,已知CO垂直于側(cè)

面ABB14，所以CO垂直于A4,只要在矩形4881&垂直與A當(dāng)即可，可利用角的關(guān)系

加以證明：（2）分布以O(shè)D,OBi，OC所在的直線為％y,z軸，以。為原點(diǎn)，建立空間直角

坐標(biāo)系，求出而，平面力BC一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可得出結(jié)論.

試題解析：證明：由題意，因?yàn)锳BBiAi是矩形，

D為AAi中點(diǎn)，AB=2,AAi=2>/2,AD=V2,

所以在直角三角形ABB1中，tanDABiB=^■萼，

在直角三角形ABD中，tan1ABD=%W，

所以DABiBRABD,

又nBABi+口ABiB=90。，□BABi+nABD=90°,

所以在直角三角形ABO中，故BOA=90°,URBDOABi，又因?yàn)镃O側(cè)面ABBiAi,

14

ABi側(cè)面ABBIAI,所以COABi所以，ABi□面BCD,因?yàn)锽CZ2面BCD,

所以BCABi.

(□)解：如圖，分別以O(shè)D,OBi，OC所在的

直線為x,y,z軸，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角

坐標(biāo)系，則A(0>--0)?B(~,0>0),

33

C(0,0,爭,Bi(0,乎,0),D(%0,0),

又因?yàn)槲?2而，所以Ci(日，苧，爭

所以近=(普孚0),科(0,專學(xué),西=唔攀馬，

CD=吟,0,-爭，

設(shè)平面ABC的法向量為正(x,y,z),

'VSV5骨

—+~y=o

則根據(jù)1/1可得元=(1,VL■e)是平面ABC的一個(gè)法向量,

馬+當(dāng)=0

V3z3

設(shè)直線CD與平面ABC所成角為a,則sina=半，

所以直線CD與平面ABC所成角的正弦值為雷.

21.(2021?河北石家莊市?高三一模)已知函數(shù)/(x)="XSmX,且方程=0在

COSAk

27r3產(chǎn)

T7上有解.

(U)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(□)設(shè)函數(shù)g(力=(〃+l)sinx-xcosx卜wg兀卜」最大值為G(a),求函數(shù)

G(a)的最小值；

…z3萬2百一、42342

【答案】(口)—?>.；(□)-----F-----71-

4324

,,,_/、、幾\rsinx2434

【分+析r】：(口)設(shè)/(力=?x￡

cosx

一(sinx+xcosx)cosx-(-xsinx)(-sinx)__sinxcosx+x__sin2x+2x

ra)=cos2xcos2x2cos2x

sm2x+2x>-l+2x>0,□/,(x)<0,即/(x)單調(diào)遞減

(_3乃

3g2G

。的取值范圍為濟(jì)T--

r

(1：］)由已知(g(x)=(tz4-l)cosx-(cosx-xsinx)=t/cosx+xsinx,

設(shè)/z(x)=g'(x)=acosx+xsinx,則

//'(%)=-^sinx+sinx+xcosx=xcosx-(tz-l)sinx,

當(dāng)xw時(shí)，〃(耳<0即8’(同單調(diào)遞減；

>0,g'(乃)=一。<0,由零點(diǎn)存在性定理必存在唯一?！躲?，乃滿

I/)

足g'5)=0,

當(dāng)“￡質(zhì)引時(shí)，g'(x)>0即g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)工￡(飛,燈)時(shí)，g'(x)<0即g(x)

單調(diào)遞減;

八一廝sinx(兀、

由acos^o+XoSin題=0=a=--------0,xw—,乃

cosx012)

得

々sin/..x0

G(〃)=g(x)max=8(%)=(。+1)?%-%85%=1------sinx0-xQcosxQ=sinx0------

cosx0Jcos^

由第()問可知函數(shù)/(x)='si'”,xw(二"，4］單調(diào)遞減，即當(dāng)〃￡——,--—71

cosx\2)43

2乃34

時(shí)，XG

oT'l"

、幾口/\"x—乙冗371

設(shè)〃(x)=sinA：------,xe—,—

cosx34

cosx-x(-sinx)cosx(cos-x-l)-xsinxcosx(-sin2x)-xsinx

"(x)=cosx---------\------=-------------------=-------------------

cos~xcos~xcos~x

16

-sinx(sinxcosx+x)-sinx(sin2x+2x)

<0

cos2X2cos2x

34

所以〃（可單調(diào)遞減，H（x）.=H區(qū)瀉,

mn24

綜上，函數(shù)g（x）的最大值G⑷的最小值為孝+乎乃