考研數(shù)學(xué)三真題及答案解析

2011年考研數(shù)學(xué)(三)真題及答案詳解

選擇題

1.已知當(dāng)錯(cuò)誤!未找到引用源。xf0時(shí)，函數(shù)/(x)=3sinx—sin3x錯(cuò)誤味找到引用源。與cf是

等價(jià)無窮小，則

(A)左=l,c=4(B)k=l,c=-4

(C)錯(cuò)誤!未找到引用源。(D)攵=3,c=T

X2/(A-)-2/(X3)

2.已知/(x)在x=O處可導(dǎo)，且〃())=(),則1叫"、

(A)-2/(0)(B)-/(O)

(0f,(0)(D)0

3.設(shè)｛與｝是數(shù)列，則下列命題正確的是

(A)若X”"收斂，則Z(“2.-l+"2”)收斂

〃=1W=1

⑻若￡(%,“+”2”)收斂，則￡>,,收斂

n=ln=\

0000

(C)若收斂，則工(〃2"-|一〃2")收斂

〃=1M=1

(D)若名(%,I—"2")收斂，則收斂

zi=ln=\

nnn

4.設(shè)/=J<jlnsinx<〃,/=￡：lncotxar,K=[jncosAz/x,則/,</,K的大小關(guān)系是

(A)I<J<K

(B)I<K<J

(C)J<I<K

(D)K<J<1

5.設(shè)A為3階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣8,再交換B的第二行與第一行得單位矩陣.

100100

記勺=110,P2001，則A=

001010

(A)P,P2(B)P；'P2

(O鳥6(D)寸［

6.設(shè)A為4x3矩陣，7,%,不是非齊次線性方程組Ar=4的3個(gè)線性無關(guān)的解，匕,總為任意常

數(shù)，則Ar=Q的通解為

(A)+7)(B)+攵2(%_〃J

(C)^^+冗(小一7)+《(%—77\]⑺)^?^+%2(%-7)+石(%-7)

7.設(shè)耳(x),《(x)為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度/(力,力(x)是連續(xù)函數(shù)，則必為概率密

度的是

(A)/(x"(x)⑻2力(力耳(x)

(C)工(“月(x)(D)/(同瑞(力+力(力耳(耳

8.設(shè)總體X服從參數(shù)為;I(%>0)的泊松分布，X,,X2,,X“(〃N2)為來自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,

1〃1”T1

則對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量工=—Zx,.,T,=——yx,.+-x?

n77n-1~7n

(A)ET{>ET2,DT{>DT2

(B)ETX>ET2,DTt<DT2

(C)ET、<ETy,D7j>DT-,

(D)ET}<ET2,DTy<DT2

二、填空題

X

9.設(shè)/(x)=limx(l+3，)L則/(%)=____________

r->0

x

10.設(shè)函數(shù)z=(l+土)7,則龍=

y(1,0)

11.曲線tan(x+y+-)=e，在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為__________

4

12.曲線y=一],直線》=2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

13.設(shè)二次型=的秩為1，A中行元素之和為3,則/在正交變換下x=Q)，的標(biāo)

準(zhǔn)為

14.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,y)服從N(M，M；b2,b2；0),則E(xy2)=

三'解答題

15.求極限lim如2sin“7-1

7xln(l+x)

16.已知函數(shù)/(w,v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，/(1,1)=2是/(w,v)的極值，

Q2

z=/［(x+y),/(x,y)］。求豕狒Z

(U)

arcsin>/x+Inx,

17.求------y=-----ax

y/X

18.證明4arctanx-x+加一=0恰有2實(shí)根.

3

19.在［0,1］有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，/(0)=1,且Jj7'(x+y)^dy=JJ7'(x+y)^dy

D,

Dr={(x,y)|O<y</,0<x</}(0<?<1),的(x)的表達(dá)式。

rr

20.%=(1,0,l),a2=(0,l,l),%=(1,3,5)，不能由4=(1,a』)',區(qū)=(1,2,3)，用=(1,3,5)’

線性表出。①求4；②將月，河由《,4小線性表出。

1)(-11、

21.A為三階實(shí)矩陣，R(A)=2,且A00=00

JuL

、一1

(1)求A的特征值與特征向量(2)求A

22.

X01

P1/32/3

Y-101

P1/31/31/3

p(x2=r2)=i

求：(i)(x,y)的分布；(2)z=xy的分布；(3)pXY.

23.(X,丫)在G上服從均勻分布，G由x—y=O,x+y=2與y=0圍成。

①求邊緣密度人(x)；②求人［y(x|y)

2011年全酶士研究生入學(xué)辨-考i檄學(xué)三試題答案

■、運(yùn)德(1?8小跪砌蝴4分，共32分.杉悔崎出的四儲(chǔ)項(xiàng)中，只有也

項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在倒螂汨定位置匕)

⑴【答案】?.

3sinx-sin3.r..3sinx-sinjoos2r-oosA-sin2r

［解析］t因i為Ph/m-----7-----=hm

="m吵&小jloos司=帚《\2*

DerCT

2222

3-(2cosx-1j-2cosx4-4cosxr4sinx

=hm----------j-7-------=Inn----——二hm———

DCl-I)CX~X3

4,

=liimd—―，，=1.

所以c=4次=3一小邂?.

⑵【答案】(B).

X2/(X)-2/(X3)

［嘟］Um-<

fx

山口⑴-打⑼―2/⑺+2/(0)

fx3

3XX3

=7(0)-2/(0)=-/(0).

故答案選(B).

⑶【球】(A).

【解析】方法I：數(shù)解傲的ft質(zhì)：收斂級(jí)數(shù)任苞潦加括號(hào)后U敗斂，故(A)正確

方法2：mm舉反例.

?(B)?M?=(-I)\這時(shí)￡(%』+“”)二》收斂,但￡%=￡>1)"發(fā)散，故選項(xiàng)

//=!M=I/>=l

(B)m

選啾)颯=且二這時(shí)豆=汁亡收斂,但￡(/)=卻發(fā)散，故

選項(xiàng)⑹錦洪

選T頁⑹取=1,這時(shí)。惱，但豆=￡1發(fā)放，故i邳頁①)錯(cuò)誤故

?=lmlJT內(nèi)

正確答案為(A).

(4)【答案】(B).

【解析】因?yàn)?)<x<￥時(shí)，0<sin.r<cosx<l<cot.r,

4

乂因Inx是單調(diào)遞增的函數(shù)所以InsinxcInoosx<Incot.r.

⑸【答案】(D).

【解析】由于將力的第2歹物倒第I歹獷糊眸從故

’100、

A1I0=B,

<001>

即/=〃，4=4中.

由于殛Bf犍2行砌3行得單位為眄，故

〃00、

001B=E,

、。10>

即/濟(jì)=其故8=?=g.m/=鳥中，Aki(i)).

(6)【答案】。.

【解析】由于%為/是小=尸的3彳啜性無關(guān)的H所以彷一你彷一/是小=0的兩

彳翎!無鄭解，即加=0的椒琳系中至少172飲也鎖做％所以U用滁(A)、(B)選隊(duì)

又JR為月紜2=0,所以殳干是4=0的幅不是曲=小側(cè)!，肺滁(I))選項(xiàng)，

事實(shí)匕由于q,彷，7是4T=6的：個(gè)線性無關(guān)的解，所以2—%%-4是4V=0的兩

個(gè)線性無關(guān)的解，即布=0的基料解系中至少行2個(gè)線性無關(guān)的解，亦即3-「(4)之2,故

r(A)<\.由于/W。，所以尸(⑷之1,故加4)=1.這樣，4c=0ftWfiP?系中正好有2個(gè)

線性無關(guān)的解，Mt知7-%/F是"=0的個(gè)擷1解系.

因?yàn)橥忉?不是6=￡的解，所以的；=以4A=夕，因此力必詈=4，所以"色

是力丫=夕的個(gè)甘解.

山?躋次緲昉程m仰食構(gòu)可知所=俳偵i解為

衛(wèi)詈■+雙%-%)+%(%一用)?

(7)【答案】(D).

蹄析】迦頁(D)

「[/(x)K(x)+_4(x)￡(x)拉=[[6伏盛⑴+尬四夕⑴]

=「d/⑶弋(x)]=￡(x)l(x)C=l.

所以/再(x)+，「(x)為概率密度.

(8)【答案】(D).

【解析】因?yàn)椋?乂,…,4口只為

**9

所以“(％)=2,"%)=/1,從而有

1ff1ff1

￡（7；）=￡（-&）=-￡0%）=-?￡（x）=E（x）=4

nT\77n

1/i-l1\1M1

—；%+-%=—^（￡%）+-E（X）

〃一Igl，77〃一I/?1n

=￡＜（￥）+1￡（出=。+1[.

nIn）

因?yàn)?＜1+_,所以￡：（7；）＜￡億）.

乂因?yàn)殡姡?"4%）=摻."."加=：。（制=，.

中;）5W》+*）=舟?哮”號(hào)3）

A.

由于當(dāng)〃22時(shí)，/＜高+,，所以。(1)＜力(4了

二、填例(9-14力題砌漉4分，共24分，麟稚馱等蟹擷血置匕)

(9)【答案】?x(l+3r).

x「J1呀

【解析】因?yàn)?(x)=linix(l4-3r)^=xlini(1+4產(chǎn)=x?e”,

所以，，(x)=*(l+3x).

(10)【答案】(l+21n2)(小一砂).

【解析】z=(l+2)，=ev\

x

與也=。+x與-41+與+土上祟。審X

1no+與」.上，

axy

yyyi+^~7yy1+5

.y.y

所以,省=21n2+l.—=-l-2ln2,

今(1.1)困E

從而蜀⑴)=(l+21n2卜大一(l+21n2)的或咻=(l+21n2)(tA?-加.

(11)【答案】y=^2x.

【解析】=律的兩端對(duì)X求導(dǎo)，有

2x+y+f?(i+y')=e'y，

4J

將x=0,片0代廿式,有—L_(i+y)=y,皤訓(xùn)幽=-2,

oos2-

4

故照方徵：y=-2x.

4

(12)【答案】二》.

3

【解析】如圖2所

/=乃I"小

4

=乃,卜2T小=一乃?

3

圖2

(13)【答案】3".

【解析】因?yàn)榱Φ母鱢j元素Z和為3,所以/1=31,故3為刎M的斷H匯

JJ

由.用=1為例眸/有兩個(gè)檸征tf［為零，從而4=34=4=0.

由于,二?欠型花H,交蛾卜狗劉形前面的您唧為」知慚對(duì)'朔加解施猿所必次型在

止交期嚇1‘佛前形為3寸.

(14)【答案】

【解析】根據(jù)題意，蒯投量(x,y)服從八，(“從","；0).因?yàn)?=o,所以由

與擊卜態(tài)分布的性腦陰軸段最x,y獨(dú)也所以從而有

￡(")=以加風(fēng)尸)="［戈/)+屈⑺卜〃年+/卜

三、做落題(15心小匾共94分.請(qǐng)將解答寫在管蹩指定位置上解答疲寫出文字說

明、證明潮域演算步驟)

(15)(本題滿分10分)

……Jl+2sinx-x-I..Vl+2sinx-x-I

【解析］Inn-—~--=hm-------；-------

i(xln(l+x)z°x-

1c,

――一?2cosx-1

T加2，l+2sinx-------

■i>2r

cosx-Vl+2siii.r

=hm----,

2rVl+2sinx

cosx-V1+2sin.r

=Inn----------------------

I2x

.cos.r

-sinx-..；

lim----------、"+2sinx

72

cosx

2jl+2sinx

=4,

(16)(本題滿分10分)

猴晰】==/：[(x+y),/(x,y)J+/n(x+_y),/(x,訓(xùn)?/(%>?)

ax.

M=<：[(x+y)，/(x+y))i

乜/[(x+?)曲⑴

+[ZiT(x+y)，/(x+H]t4'[(x+MJ(x+y)U(xy)]?m，M

乜'[(x+yM(x+M)￡(利)

曲于/(1,1)=2為/(”,v)fiWi,故/(U)=%'(U)=0,

所以'會(huì)=￡：(Z2)+￡'G2)?啟(?.

(17)(本題滿分10分)

【解析1令則x=/\小=＞注，所以

片噂+%=產(chǎn)產(chǎn)涮=2](皿加+、叫

=2/arcsin/-2+2/?Inr-2j?-W

=2/-arcsin/+/

J后

=2/?arcsin/+2>/1-廣4-2/In/2-4/+C

=2VxarcsinVx+2\/xlnx+2Vb^-4\/x+C

(18)(本題滿分10分)

UG晰】設(shè)/(x)=4arctanx-x+與一,

則&)=工_1=(6—項(xiàng)?+外,

1+rl+r

令/*(-'?)=o，解得駐1點(diǎn)％=后毛=-Vs.

所以，當(dāng)X<-V§時(shí)，f\x)<0,故/(x)單調(diào)遞減當(dāng)一7§<X<石時(shí)，，(x)>(),

故/(x)單調(diào)遞增：W|X>V§時(shí)，/(x)<0,故/(x)單調(diào)遞減

又當(dāng)XW(YO,-7§)U(-^,白)時(shí)/(x)>0,旦/(4)=0,故xe(yo,君)時(shí)只有

個(gè)零占.

乂/(招)=攵-2>/5>0，Hm/(x)=lim(4arctanx-x+”一、后=-<?<0，由冬

點(diǎn)定理川知，存花玉4石,甸，使/(-%)=0；

所以，方程4arctanx-x+絲-石=0恰行兩刻I

3

(19)(榷膨f10分)

【解制0/⑺小力=$7⑺，

42

JJ八x+y滋力=［去］7(x+j，)。，

=雙，)一

由題設(shè)有

匕明端求導(dǎo)，整理得

(2-/)/(Z)=2/(Z),

為變量可分離微分方里解存

TA

4

帶入“0)=1,得C=4.月似，/(x)=—^,0<x<l.

⑵））（本題滿分11分）

【解析】⑴由于《烏烏不能由鳳丹,4線悌東,秋片以0,%%%）進(jìn)行初修行

jl1310r

(凡月，總%%%)=?24013

J

3115,

(\301、1I3i01

01I20II-1I2

、02a-3\014；100?-5|2-10)

當(dāng)a=5時(shí)，r（4A，⑷=2or（片區(qū)44）=3,如寸，《帝鼬鳳旦屋瑛表示，出

%%4不能由片,自,4線性態(tài)J<.

⑴）對(duì)（&&&44&）進(jìn)fj初曲j變I奐:

0“113、

(%%%￡,4月)=0131124

15；I35J

q0”113、<101|113、

->03;I240I3>I24

、04；022><001|-10-27

00!215

0oi4210

01；-10-27

故用=羽+軌,-6,用=@+次，4=必+l（kz,一%.

（2D（本題滿分11分）

?MI-11

【解析】⑴由于/00=00,設(shè)q=(LQ-/%=(L(M)r,則

=（飛烏），即必=/，而《wQqw0,知A的特征值為

4=T4=i,對(duì)掰懈征向量分別為女召（勺#0）,A24K，o）.

由于/(/)=2,故14=0,所以4=0.

由足物實(shí)對(duì)確陣故不卜眼征信對(duì)通常征向%羽田卜交設(shè)4=0處;邨幽［

Q

=HP演一天=0,

=aU

再+再=0.

服此方勵(lì)，得/=（o,i,o）,故4=0對(duì)應(yīng)的mi澗量為40（&川）.

（ID由產(chǎn)不同特征值對(duì)施橢征向埼已經(jīng)正交,只需單位化:

月嘲￡（LQT"嚙弓(1,0,1)，月;昌二(0,1,0)'.

J1、

令0=(44閭，則040=A=1

Ioj

A=Q0

(梃田

P42J-vn-----

、22

Ty°A及n及

=001

22

苒立0