考研數(shù)學(xué)三隨機(jī)事件和概率

考研數(shù)學(xué)三隨機(jī)事件和概率

1.【單項(xiàng)選擇題】袋中裝有2n-l個白球，2n個黑球，一次取出n個球，發(fā)現(xiàn)

都是同一種顏色，則這種顏色是黑色的概率為

n

A.4n-T

B.3n-T

C.~3,

2_

D.T,

正確答案：D

參考解析：設(shè)A為取出n個球同一種顏色；B為黑色的球.

則所求概率為P（B|A）=粉碧.

C

P(A)=^,P(AB)=

(2n)!

C?”〃！〃！

所以P(B|A)=______

C*+C￡Ci+G.(2〃-D!?(2〃)！

n!(n—1)!〃！〃！

2n

?2n2_

3n3,

1+—

n

2.【單項(xiàng)選擇題】袋中有3個白球，4個黑球，從中任取出3個換進(jìn)3個白

球，再從中任取一球?yàn)榘浊虻母怕适?/p>

4

A.7,

5

B.~7,

33

C.49,

34

D.49,

正確答案：C

參考解析：

設(shè)步件八=最后任取出一球?yàn)榘浊?B,=開始從袋中取出的3個球中有i個白

球」=0J.2.3.顯然是完備事件組.

由全概率公式：P(A)=￡P(guān)(B,)P(AIB,)

C65.CIC\4,a333

。7c7c7c749,

故選(C).

3.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)當(dāng)事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，貝心).

A.P(C)=P(AB)

B.P(C)=P(AUB)

C.P(C)WP(A)+P(B)-1

D.P(C)^P(A)+P(B)-1

正確答案：D

參考解析：依題設(shè)，ABCC,故

12P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)》P(A)+P(B)-P(C),

即P(C)>P(A)+P(B)-1.

僅由ABCC.不能推出P(C)=P(AB)和P(C)=P(AUB).

3.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)當(dāng)事件A與B同時發(fā)生時，事件C必發(fā)生，貝h).

A.P(C)=P(AB)

B.P(C)=P(AUB)

C.P(C)WP(A)+P(B)-1

D.P(C)^P(A)+P(B)-1

正確答案：D

參考解析：依題設(shè)，ABUC,故

1》P(AU8)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-P(C),

即P(C)>P(A)+P(B)-1.

僅由ABCC,不能推出P(C)=P(AB)和P(C)=P(AUB).

4.【單項(xiàng)選擇題】對任意兩個事件A和B,若P(AB)=O,貝h).

A.P(A)P(B)=0

B.P(A-B)=P(A)

C..4A=0

D.AB=0

正確答案：B

參考解析：由P(AB)=0,得P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A).

5.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)P(A)>0,P(B)>0,P(A1B)=P(A),則下列選項(xiàng)不正確的是

().

A.A與B互不相容

B.A與B相容

C.P(B|A)=P(B)

D.P(.4|5)=P(.4)

正確答案：A

參考解析：由P(A|B)=P(A)知，A,B相互獨(dú)立，故C正確，力與3也相互獨(dú)

立，D正確.

因P(A)>0,P(B)〉O,且A,B相互獨(dú)立，知A,B必不互不相容，即相容，故B

正確.

6.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)O〈P(A)<1,O〈P(B)〈1且P(A|B)+P(/|5)=1,則

().

A.A與B互不相容

B.A與B相互獨(dú)立

C.A與B對立

D.A與B不相互獨(dú)立

正確答案：B

由1一P(A|B)=P(A|豆)曲P(A|B)=P(A|田.即

P(AB)=P(A^)=P(A)-P(AB)

參考解析：P(B)P(B)1-P(B)

故可得，P(AB)=P(A)P(B),即A,B相互獨(dú)立.

7.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A,B為任意兩個事件，且AC：B,P(B)>0,則下列選項(xiàng)

正確的是().

A.P(A)<P(A|B)

B.P(A)WP(A|B)

C.P(A)>P(A|B)

D.P(A)》P(A|B)

F確答案.R

由AU8?得AB=A,P(B)(1,故

P(A)

P(A|B)=P(AB)>P(A).

參考解析:P(B)P(B)

B正確.當(dāng)P(B)=1時，A不正確；當(dāng)P(B)<1時，C,D不正確.

8.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)A,B是兩個隨機(jī)事件，且O〈P(A)〈1,P(B)>0,

P(B|A)=P(B|J),則下列選項(xiàng)正確的是().

A.P(A|B)=P(J|B)

B.P(AIB)WP(d|B)

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(AB)WP(A)P(B)

正確答案：C

由P(B|A)=P(B|K),得

P(AB)P(BA)P(3)-P(AB)

參考解析:P(A)P(A)1-P(A)

故P(AB)=P(A)P(8),此時相互獨(dú)立?無以

P(AIB)=P(A).P(AIB)=P(A).

由于0<P(A)G,所以選項(xiàng)A,B不一定成立.

9.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)某人毫無準(zhǔn)備地參加一項(xiàng)測驗(yàn)，其中有5道是非題，他

隨機(jī)地選擇“是”或“非”，則該人至少答對1題的概率為().

正確答案：D

參考解析：

設(shè)A,=｛第i題答對｝.則P(A,)=j-(z=1,2,….5),由于是隨機(jī)選擇,故

p(u/,)=i-p(nA)=i-nm)=i-(i)5=|i.

10.【單項(xiàng)選擇題】有一根長為L的木棒，將其任意折成三段，記事件A=｛中

間一段為三段中的最長者｝,則P(A)=().

B.3

C.4

D.3

正確答案：B

參考解析：此問題是幾何概型.

設(shè)折得的三段長度依次為x,L-x-y,y,則樣本空間為

Q,={(x.>))04/&/.,04》《上，0&工+丁&乙}.

事件A相應(yīng)的子區(qū)域Q，應(yīng)滿足

OVzVL—JC-j,

0V?VL—JC—y,

即?！?((l??)|0VyVL-2],0VyVy(L-x)},

如圖13-2所示，可知。的面積為《1」.僅的面積為!L)故P(A)=!一=

L01r2

圖15-2

11.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)隨機(jī)事件A和B滿足關(guān)系式AUB=3iU方，則必有

A.A-B=0.

B.AB=0.

C.ABUJ5=Q

D.AUB=Q

正確答案：B

參考解析：

因?yàn)锳UB=4U氏所以AU(AUB)=AU(才UB).

即AUB=QUH=。.因而KU豆=AU8=n，AU豆=2

故XU豆=◎即AB=0.答案應(yīng)選(B).

12.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)隨機(jī)事件A與B相互獨(dú)立，且P(A-B)=0.3,

P(B)=O.4,則P(B-A)=

A.0.1.

B.0.2.

C.0.3.

D.0.4.

正確答案：B

參考解析：

A.B獨(dú)立，則A.B相互獨(dú)立涓,B也相互獨(dú)立.

0.3=P(A-B)=P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)J=0.6?P(A).

所以P(A)=0.5.

P(B-A)=P(BA)=P(B)P(A)=0.4?口一P(A)]=0.4-0.5=0.2.

答案應(yīng)選(B).

13.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)隨機(jī)事件A,B,滿足P(A)>0,P(B|A)=1,則

A.B=Q.

B.A-B=0.

C.P(A-B)=0.

D.P(B-A)=0.

正確答案：C

P(B|A)=處善=1.即P(AB)=P(A),所以

P(A-B)=P(A)一P(AB)=0

參考解析：答案應(yīng)選(C).

14.【單項(xiàng)選擇題】已知(KP(B)<1且PKA1UA2)|B]=P(AI|B)+P(A21B),則成立

A.P[(A.UA2)|^]=P(A1]A)+P(A2|B).

B.P(AIBUA2B)=P(AJB)+P(A2B).

C.P(A1UA2)=P(Al|B)+P(A2|B).

D.P(B)=P(A.)P(B|AJ+P(A2)P(BIA2).

正確答案：B

pr(A??人〉?一UA2)B]_P(A.BUA2B)

參考解析：PKAiUA2)|B3-------p(B)-----P(B-

Kn/AID\ID/AID\P(A|B).P(AB)

而P(A,|B)+P(A,IB)=+2

故P(A|U，&IB)=P(At|B)+P(A2IB),就有P(A/UIB)=P(4B)+P(A?B).

答案應(yīng)選(B).

15.【單項(xiàng)選擇題】

若A,B為任意兩個隨機(jī)事件,且滿足條件P(AB)》P(A)；P.L則

A.A=B.

B.A,B互不相容.

C.P(AB)=P(A)P(B).

D.P(A-B)=O.

正確答案：D

參考解析：

P(AB)》P(A)，P(B),即2p(AB)》P(A)+P(B),

也就有P(AB)》P(A)+P(B)-P(AB)=P(AU8).顯然P(AB)<P(A(JB)

所以必有P(AB)=P(AUB)，也必有P(AB)=P(A)=P(B)=P(AUB).

P(A-B)=P(A)—P(AB)=0.答案應(yīng)選(D).

16.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)事件A,B互不相容，且O〈P(A)<1,則有().

A.P(B|A)+P(A)P(B|H)=P(B)

B.P(B|J)-P(A)P(B|J)=P(B)

C.P(B|U)+P(A)P(B|H)=P(￡)

D.P(B|d)-P(A)P(B|H)=P(4)

正確答案：B

參考解打：因?yàn)锳,B即相容，近以吆AB)=O,于是有

P(B|不一P(A)P(B|A)=P(B|A)P(A)=P(AB)=P(B)-P(AB)=P(B)

選(B).

17.【單項(xiàng)選擇題】以下命題正確的是().

A.若事件A,B,C兩兩獨(dú)立，則三個事件一定相互獨(dú)立

B.設(shè)P(A)〉0,P(B)>0,若A,B獨(dú)立，則A,B一定互斥

C.設(shè)P(A)>0,P(B)>0,若A,B互斥，貝IJA,B一定獨(dú)立

D.A,B既互斥又相互獨(dú)立，則P(A)=0或P(B)=0

正確答案：D

參考解析：當(dāng)P(A)>0,P(B)》0時，事件A,B獨(dú)立與互斥是不相容的，即若A,

B獨(dú)立,則P(AB)=P(A)P(B)>0,則A,B不互斥，若A,B互斥,則P(AB)=OW

P(A)P(B),即A,B不獨(dú)立，又三個事件兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立，D正確。

18.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)事件A,B,C兩兩獨(dú)立，則事件A,B,C相互獨(dú)立的充

要條件是().

A.A與BC相互獨(dú)立

B.AB與A+C相互獨(dú)立

C.AB與AC相互獨(dú)立

D.A+B與A+C相互獨(dú)立.

正確答案：A

參考解析：在A,B,C兩兩獨(dú)立的情況下，A,B,C相互獨(dú)立等價于

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)等價于P(A)P(BC),所以正確答案為A。

8

19.【填空題】設(shè)兩個相互獨(dú)立事件A與B至少有一個發(fā)生的概率為“，A發(fā)

生B不發(fā)生與B發(fā)生A不發(fā)生的概率均為a,則a=

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

2

參考解析：9

【解析】

將已知條件的數(shù)量關(guān)系寫出，應(yīng)用概率性質(zhì)，通過解方程即可求得a.

已知P(AB)=P(A)P(B).且P(AU8)==P(B-A)=a.

從P(A-B)=P(B-A)得到P(A)-P(AB)=P(B)-P(AB),故P(A)=P(B).

由P(AUB)=J得到

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=2P(A)-[P(A)『=|

V

021~一r?

解得P(A)=(P(A)=舍去),a=P(,W)=P(A)P(B)=P(A)P(A)=

20.【填空向,

假設(shè)隨機(jī)變量X,,X2，X，,X,相互獨(dú)立且都服從(M分布:P{X,=設(shè)=6P{X,=

0)=l-p(i=l,2,3,4,已知二階行列式):的值大于零的概率等于)，則

X3Xt4

P=_____?

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：2

【解析】

記4=々V2=X】X「XzX3,則。應(yīng)使

A3Xi

P{^>0}=P{X,X,-X2X3>0}=P{X,X(>X2X3}=Y

由于X僅能取1或0,且相互獨(dú)立?故任件

(X1X4>X2X3}={X1X4=1,X2X3=0}

所以1=P(X,=l,X4=l.X2=0,X3=0}+巴X1=1,X)=1,蒞=0,X:t=1)

4

+P1X嚴(yán)1,X；=1,X2=l,Xj=0)

=p2(l—/>)2+/>3(1—p)+/>3(1-/>)=p2(l—p2)=

=>p*-p2+j=(/>'-7)=0

w'

故》=_!_=坦

P招2.

21.【填空題】如果X與Y分別表示將一枚硬幣連擲8次中出現(xiàn)正面向上與反

面向上的次數(shù)，則t的一元二次方程t2+Xt+Y=0有重根的概率為—.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

【解析】

代數(shù)方程J+X/+丫=0有重根等價于判別式△=￥-4丫=0,即代=4y.

由題設(shè)條件知X?48,外丫=87.所以方程有重根

P{X2=4Y}=P{Xl=4(8-X)}=P{X?+4X-32=0}

=P((X+8)(X—4)=0}=P{X=4}+P{X=-8}=Q(1)8.

22.【填空題】設(shè)P(A|B)=P(B|A)=二，P(A)=3,則P(AUB)=

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1

【解析】

由已知，得

P(AB)=P(A)P(B|A)=(x]=5，

326

又P(AB)=P(B)P(A|B),知P(B)=故

o

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=(+!—?=5.

3362

j.1

22.【填空題】設(shè)P(A|B)=P(B|A)=2,P(A)=3,則P(AUB)=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1

【解析】

由已知，得

P(AB)=P(A)P(B|A)==《，

326

又P(AB)=P(B)P(A|B),知P(B)=1,故

o

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=5+1-5=!.

3362

23.【填空題】已知事件A,B相互獨(dú)立且互不相容，則min{P(A),

P(B)}=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：0

【解析】

由已知,P(A)20,P(B)20,P(AB)=P(A)P(B)=0,故P(A),P(B)中至少有一個

為0,所以min{P(A),P(B)}=0.

￡2

22.【填空題】設(shè)P(A|B)=P(B|A)=2,P(A)=3,則P(AUB)=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1

【解析】

由已知，得

P(AB)=P(A)P(B|A)=4-X4-=

326

又P(AB)=P(B)P(A|B),知P(B)=故

o

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=(+5—?=5.

3362

23.【填空題】已知事件A,B相互獨(dú)立且互不相容，則min{P(A),

P(B)}=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：0

【解析】

由已知,P(A)20,P(B)20,P(AB)=P(A)P(B)=O,故P(A),P(B)中至少有一個

為0,所以min{P(A),P(B)}=0.

24.【填空題】設(shè)事件A,B,C滿足P(A)=P(B)=P(C)=l/4,P(AB)=P(BC)=0,

P(AC)=1/8,則A,B,C三個事件中至少出現(xiàn)一個的概率為.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：5/8

【解析】

由ABCuAB,知P(ABC)WP(AB)=0,所以P(ABC)=0,

故所求概率為P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-

P(BC)+P(ABC)=174+1/4+1/4-0-1/8=5/8

25.【填空題】設(shè)P(A)=0.1,P(B|A)=0.9,P(B|.4)=0.2,則P(A|B)=.

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正確答案：

參考解析：3'

【解析】

由條件概率公式?有PCA|B)=岑攙⑴.又

r(o)i(r5)

P(B)=PCABUAB)=P(AB)+P(AB)

=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)

=0.1X0.9+(1-0.1)X0.2=0.27.

故P(A|B)=y.

26.【填空題】設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(d)=0.3,P(B)=0.4,P(A-B)=0.5,

則P(B|AUB)=.

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正確答案：

參考解析：T-

【解析】

由條件概率公式，有

P(B|AU田=期0理=9幽山吧

P(AUB)P(AUB)

=P(AB[=P(A)-P(AB)

P(AUB)-P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)二P(A-B)_0.2_1

P(A)+P(B)-P(A-B)-078-T*

27.【填空題】設(shè)在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相等，若已知A

19

至少出現(xiàn)一次的概率為二？，則A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p=.

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正確答案：

參考解析：T-

【解析】

依題設(shè)，本題為伯努利概型.設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為P,事件A發(fā)生

的次數(shù)為k(k=0,1,…，n),則

A至少發(fā)生一次的概率P依21)=1一(1一2尸,解得，=1一力一？一＞1}.

由已知,P依＞1}=改,"=3,故》=1-J1-.=y-

28.【填空題】在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個數(shù)x,y,則xyW'D的概率為.

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正確答案：

2(1十足2)

參考解析：9r2;?

【解析】

設(shè)事件

A=1(xy)|人&K，0VzV1,0V*V1),

i9yj

D={(/.?)iOViVl.OVyVl}.

則事件A的樣本位于區(qū)破J中.如圖15-1陰影部分所示,由幾何概

型公式

P⑷=S4n=&9乂1+r^?^J>=|9(/l+.ln-Q)\.

圖15-1

29.【填空題】某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為

P(O<p<l),則此人第6次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為.

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正確答案：

參考解析：5P'(I-p”

【解析】

依題設(shè)，可知第6次射擊命中且前5次射擊恰好命中1次，故前5次射擊中恰

有1次命中的概率為5P(bp)J5P(bp)",第6次射擊恰好第2次命中的概率為

P,5p(l-p)-5p'(l-p)

30.【填空題】設(shè)甲、乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.5

和0.4,已知目標(biāo)被命中，則它是乙射中的概率為

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：/

【解析】

設(shè)人=｛甲射擊一次命中目標(biāo)｝,B=｛乙射擊一次命中目標(biāo))，由已知，所求概率為

P(BiAUB)=RB(AUB))___

UPCAUB)P(AUB)

其中AUB表示目標(biāo)被命中.又

P(AUB)=P(A)+P(B)-巴AB)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=0.5+0,4-0,5X0.4=0.7.

故尸(B|AUB)=1^=4.

31.【填空題】設(shè)P(A)；0.5,P(B)=0.7,則P(AUB)的最大值與最小值分別是

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1,0.7

【解析】

解由P(A)+P(B)=0.5+0.7〉。此時ABW0,所以P(AB)的最小值為0.2,

故P(AUB)的最大值為1.又當(dāng)AUB或A：DB,會使最小，本題應(yīng)取AUB*P(A

UB)=P(B)=0.7為最小值.

32.【填空題】設(shè)A,B是兩個隨機(jī)事件，O<P(B)<1,AB=AB,則p(_4

|B)+P(A|B)=.

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正確答案：

參考解析：2

【解析】

由AB=A8,知(AB)(AB)=AABB=0,而(AB)(AB)=AB=AB,所以

AB=0,又由對偶律=AUJ=0,故AU8=。(。表示全集)，從而A與B為對立

事件(因AB=0),于是A=B,A_=B,故_

P(AIB)+P(A耳)=2.

33.【填空題】設(shè)進(jìn)行一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率均為P,則在試驗(yàn)

成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率為.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：4P2(1-P),

【解析】令人=｛試驗(yàn)成功2次之前已經(jīng)失敗3次)，A5=｛第5次試驗(yàn)成功｝,

B尸｛試驗(yàn)4次失敗3次).依題設(shè)，As與&獨(dú)立，且A=ASB3,而

33

P(B3)=clp(l-p)=4p(l-p),P(AS)=p,

23

故P(A)=P(A5B3)=P(AS)?P(BJ=4p(l-p).

34.【填空題】已知10部手機(jī)中有7個合格品和3個次品，每次任取一個作測

試，測試后不放回，直到將3個次品都找到為止，則需要測試7次的概率為

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

2_

參考解析：15.

【解析】

用古典概型計算，測試7次，就是從10件手機(jī)中不放回地抽取7件，故基本事

件總數(shù)為A?。.設(shè)A=(7次測試后3個次品都已找到｝,故存在兩種情況：第一

種情況是在前6次測試中有2次找到次品，而在第7次測試時找到最后一個次

品；第二種情況是前7次測試均為合格品，最后剩下的3件就是次品.所以A

所包含的基本事件數(shù)為C?A-3!+C-7!,故

34.【填空題】已知10部手機(jī)中有7個合格品和3個次品，每次任取一個作測

試，測試后不放回，直到將3個次品都找到為止，則需要測試7次的概率為

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

2_

參考解析：15.

【解析】

用古典概型計算，測試7次，就是從10件手機(jī)中不放回地抽取7件，故基本事

件總數(shù)為A?。.設(shè)A=(7次測試后3個次品都已找到｝,故存在兩種情況：第一

種情況是在前6次測試中有2次找到次品，而在第7次測試時找到最后一個次

品；第二種情況是前7次測試均為合格品，最后剩下的3件就是次品.所以A

所包含的基本事件數(shù)為C?C?A；?3!?C?7!,故

C?C：?A；-3!+G?7!=2

'A7151

35.【填空題】在n重居嘉利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為P,則事件A發(fā)生奇

數(shù)次的概率為.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：:口—(1一2”1.

【解析】

設(shè)A={〃次試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次),A2=(〃次試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次},則

P(A,)=C?qi+C"廣3+c>5qT+…，

P(A2)=—+C%2qi+c/廣，+…,

其中q=1—/>?故

P(Ai)+P(Az)=(p+q)"=1，

P(A2)-P(A,)=(q-pV=(1一2八”，

兩式相減，得所求概率為P(At)=l[l-(l-2p)"l

36.【填空題】已知事件A與B相互獨(dú)豆，P(A)=a,P(B)=b.如果事件c發(fā)生

必然導(dǎo)致事件A與B同時發(fā)生，則A,B,C都不發(fā)生的概率為.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：(1-a)(l-b)

【解析】

所求的概率為P(不EC),已知“事件C發(fā)生必導(dǎo)致A、B同時發(fā)生”,顯然是用于

化簡ABC的.事實(shí)上已知CUAB,故麗=AUBUC,由吸收律知dBC=AB,又A與

8獨(dú)立,故所求的概率為P(；TBC)=P(AB)=P(A)P(B)=(l-a)d-b),

36.【填空題】已知事件A與B相互獨(dú)立，P(A)=a,P(B)=b.如果事件c發(fā)生

必然導(dǎo)致事件A與B同時發(fā)生，則A,B,C都不發(fā)生的概率為.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：(1-a)(l-b)

【解析】

所求的概率為P(不EC),已知“事件C發(fā)生必導(dǎo)致A、B同時發(fā)生”,顯然是用于

化簡ABC的.事實(shí)上已知CUAB,故麗=AUBUC,由吸收律知dBC=AB,又A與

8獨(dú)立,故所求的概率為P(；TBC)=P(AB)=P(A)P(B)=(l-a)d-b),

37.【填空題】已知甲袋有3個白球、6個黑球，乙袋有5個白球、4個黑

球.先從甲袋中任取一球放入乙袋，然后再從乙袋中任取一球放回甲袋，則甲

袋中白球數(shù)不變的概率為.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

芻

參考解析：15

【解析】

記A="經(jīng)過兩次交換，甲袋中白球數(shù)不變”,B="從甲袋中取出的放人乙袋的

球?yàn)榘浊?，('=“從乙袋中取出放入甲袋的球?yàn)榘浊?,則A=BCU我',

那么,P(A)=P(BC)+P(反)=P(B)P(C|B)+P(B)P(C|B)

_3665_8

-yxyio+IxT6-i5,

38.【填空題】一射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行4次射擊.若至少命中一次的概

率為15/16,則該射手對同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行4次射擊中至少沒命中一次的概率

為?

請著看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

15

參考解析：16

【解析】

可以把射擊看成獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)每次射擊命中率為P,則不中率為1-P.記A=

“四次中至少命中一次"，B="四次中至少沒中一次”.

則—4="四次中一次都沒中”,顯然P(—A)=l-P(A)=1-^=41

10ID

獨(dú)立射擊四次都沒中,P(不)=(1一/?):即(1一/0'=('解得P=1—/>=

現(xiàn)求P(B),P(B)=1-P(B),P(B)為四次都中的概率.

P(B)=p'=],故P(B)=1—J=T7.

16In16

39.【填空題】一實(shí)習(xí)生用同一臺機(jī)器接連獨(dú)立地制造3個同種零件，第i個

1

P，------

零件是不合格品的概率2,3),以X表示3個零件中合格品的

個數(shù)，貝IP{X=2)=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

11

參考解析：24

【解析】

X=2,就由兩個合格品，一個不合格品組成，有三種情況

第一個為次品J??第二個為次品J?y???第三個為次品J?4",4?

4d44o4

D/Y_9l.123113121111,11

2342342s4481224,

40.【填空題】設(shè)袋中有黑，白球各1個，從中有放回地取球，每次取1個，

直到二種顏色球都取到時停止，則取球次數(shù)恰好為3的概率為.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1

【解析】

本題為古典概型?用概率公式P(A)=

n計算：恰好取3次停止，每次有2種不同贏色，又有放回的，所以總的情況

n=23=8.

加計算:第3次取得顏色一定不同前2種顏色,這樣第3次顏色有2種可能,而前2次必同

色且與第3次不同色，共有2種.

2I

P(A)=可=丁

40.【填空漁】設(shè)袋中有黑，白球各1個，從中有放回地取球，每次取1個，

直到二種顏色球都取到時停止，則取球次數(shù)恰好為3的概率為.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：1

【解析】

本題為古典概型?用概率公式P(A)=會

n計算：恰好取3次停止，每次有2種不同贏色，又有放回的，所以總的情況

n=2：'=8.

一計算:第3次取得顏色一定不同前2種顏色，這樣第3次顏色有2種可能，而前2次必同

色且與第3次不同色，共有2種.

八.21

P(A)=

41.【填空題】設(shè)P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,則P(A+B)=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：因?yàn)镻(A-B)=P(A)-P(AB),所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8

42.【填空題】設(shè)P(A)=0.4,且P(AB)=P(二方)，則P(B)=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：____

參考解析：因?yàn)镻(AB)=P(A+3)=1一P(A-B).

所以P(AB)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),

從而P(B)=1-P(A)=O.6.

43.【填空題】設(shè)事件A,B,C兩兩獨(dú)立,滿足=ABC=0,P(A)=P(B)=P(C),且

P(A+B+C)=9/16,則P(A)=.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：由P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

且ABC=。，P(A)=P(B)=P(C),得

3P(A)-3P②(A)=9/16,解得P(A)=1/4或者P(A)=3/4,

因?yàn)锳uA+B+C,所以P(A)WP(A+B+C)=9/16,故P(A)=l/4。

44.【解答題】設(shè)A”即…，4為行個相互獨(dú)立的事件,且P(Aj=Pk(k=l,

2,…，n),求下列事件的概率：

(I)A=(n個事件全不發(fā)生｝;

(II)B=｛n個事件不全發(fā)生｝;

(III)C=(n個事件中至少有一個發(fā)生).

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：解(I)n個事件全不發(fā)生，即n個事件的對立事件同時發(fā)生，故

Mn

P(A)=P(入氏…瓦)=JJP(瓦)=TT(1-d)?

(II)n個事件不全發(fā)生，即行個葡牛中至多有；1個發(fā)生，故

P(B)==］一］1八?

上,1)-1

(II)

P(O=P(A｝UAU-UA,)=1-P(nA*)=1-TT<1-%)?

45.【解答題】對某一目標(biāo)依次進(jìn)行了三次獨(dú)立的射擊，設(shè)第一、第二、第三

次射擊命中的概率分別為0.4,0.5和0.7,求：

(I)三次射擊中恰好有一次命中的概率；

(II)三次射擊中至少有一次命中的概率.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：解設(shè)Ai=(第i次命中｝(i=l,2,3),B為恰有一次命中，C為至少有

一次命中，

則

B=A,A2A.(UA,A?A.UA,A2A3.C=A,UA2UA.(.

(I)由已知，A匕空，A：［相磔立且互不相⑤越

P(B)=P(AiA2A3)+P(A,A2A3)+P(AtA2A3)

=P(Al)P(A,)P(A3)-hP(At)P(A2)P(A3)-bP(At)P(A2)P(A3)

=0,4X0,5X0.3+0.6X0,5X0.3+0.6X0,5X0.7=0.36.

(ID

P(C)=P(A][包=l-PCA,UA2UA3)

=1—P(AiA2A3)=1-P(A,)P(A2)P(AJ)

=1—0.6X0.5X0.3=0.91.

46.【解答題】有三個盒子，第一個盒子中有3個黑球、1個白球，第二個盒子

中有2個黑球、3個白球，第三個盒子中有3個黑球、2個白球.

(I)任取一個盒子，再從該盒子中取出一個球，求這個球是白球的概率；

(II)已知取出的是白球，求此球?qū)儆诘谌齻€盒子的概率.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：解(I)

設(shè)人=｛取出的是白球),B3｛取到第i只盒子)，i=l,2,3.

依題設(shè)，P(B,)=由全概率公式?得

3

P(A)=^P(B.)P(A|B,)=1x+｛+

(H)由(I)及貝葉斯盛，得

_L乂2

IP(B)P(AIB)358

P'"A)=-3e-3==25.

12

47.【解答題】設(shè)A,B是兩個隨機(jī)事件，證明：1-P(4)-P(方)WP(AB)WP(A

UB)WP(A)+P(B).

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：證

由P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB),而P(AB)20,故

P(AUB)&P(A)+P(B).

而ABUAU從所以

P(AB)<P(A(JB).

又由1-P(五)-P(^)=1-[1-P(A>]-[I-P(B)]

=P(A)4-P(B)-1

=P(AB)+P(A(JB)-1

=P(AB)-[I-P(AUB)]

<P(AB).

綜上所述,命題得證.

48.【解答題】設(shè)甲盒中有4個紅球和2個白球，乙盒中有2個紅球和4個白

球，擲一枚均勻的硬幣，若正面出現(xiàn)，則從甲盒中任取一球，若反面出現(xiàn)，則

從乙盒中任取一球，設(shè)每次取出的球觀看顏色后放回原盒中.

(I)若前兩次都取得紅球，求第三次也取得紅球的概率；

(II)若前兩次都取得紅球，求紅球都來自甲盒的概率.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：解(I)設(shè)?={第i次取得紅球)(i=L2,3),Bj={第j次擲硬幣出現(xiàn)

正面)(j=l,2,3).

依題設(shè)，易知Bj為第j次從甲盒中取球.將“擲一次硬幣，再由硬幣出現(xiàn)的結(jié)

果從相應(yīng)的盒中取出”看作一次試驗(yàn)，則每次試驗(yàn)是重復(fù)的，且相互獨(dú)立，所

以它們的結(jié)果A“A2,A3是相互獨(dú)立的,且P(AJ=P(AJ,i=l,2,3,故所求概

率為

P(A3|A1A2)=P(A3)=P(A1).又由全概率公式，得

P(A1)=P(氏)P(A"B)+P(B?)P(A+=

1t26262

故P(Ai|A|A2)=1.

(H)由于兩次試驗(yàn)意獨(dú)立重復(fù)的，所以AB與A2B2是相互獨(dú)立的，且

P(A2B2)=P(A|B1)=P(BOP(AiIB,)=1x4=V-

400

由條件概率公式，得，

只公A、__P(4B)P(兒片)_±

AA,)_P(A|A2)_P(A))P(A,)9,

\~2)

49.【解答題】設(shè)一批產(chǎn)品中有15%的次品，進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)抽樣檢驗(yàn)，若抽取

20個樣品，則抽出的20個樣品中，可能性最大的次品數(shù)是多少？并求其概率.

請查看答案解析后對本題進(jìn)行判斷：答對了答錯了

參考解析：解設(shè)X={抽取20個樣品中的次品數(shù))，則X?B(20,0.15).所求問

題是，當(dāng)k為多少時，

P{X=k}=CioX0.15*X(1—0.15)21(4=0,1,-.20)最大.

設(shè)當(dāng)k=k時,P(H=k}息大,則有

P{X=3}>P(X=-X=屈[P{X=居+1)?

考慮任意兩項(xiàng)的比值，

20-

P(X=HC|oXO.15*XO.85*_(20—%+1)X0.15

P{X=1-1}-CTX0.15-00.85?1-"0.85X1

則P[X=下>P[X=1),當(dāng)且僅當(dāng)k4(20+1)X0.15=3.15,

同理,P{X=I>P<X=%+1),當(dāng)且僅當(dāng)仁》(20+1)X0.15-1=2.15.故當(dāng)

P{X=k}P大時決=3,且P(X=3)=。X0.153X0.85rx0.2428.

50.【解答題】設(shè)事件A,B相互獨(dú)立，A,C互不相容，且P(A)=0.4,

P(B)=O.3,P(C)=0.4,P(B|C)=0.2,求下列概率：

(I)P(AUB)；

(II)P(C|AUB)；

(III)