考研數(shù)學三二次型

考研數(shù)學三二次型

1.【單項選擇題】

l

已知二次型xAx=2x\+知+上+21r2乃和JBy=/+31,則二次型矩陣A和B

A.相似且合同.

B.相似但不合同.

C.合同但不相似.

D.不合同也不相似.

正確答案：C

參考解析：xTAx=2^?+(亞+Z3>與yrBy=y：+3v.

有相同的正、負慣性指數(shù).A與B一定合同.

A-200

又|AE-A|=0A-1-1=A(A-2)2,

0-1A—1

A的特征值是2.2.0.B的特征值是1,3,0,從而A和8不相似.

2.【單項選擇題】二次型f(xi,X2,X3AX1X2+X2X3+X1X3的矩陣為().

II00,

010

A.|001

正確答案：B

011

22

02?知B正確.

212

1①3

10

參考解析:22

3.【單項選擇題】

,1[2

設4=2與3=3合同，則合同變換矩陣P=().

3]1

[1001

001

A.100

oor

1oo

B.Io10.

01O,

100

C.Io01.

oor

100

D.!00

正確答案：B

參考解析：

依題意,A的二次型/=i；+2X+3W在可逆線性變換1=Py下化為/=24+

3江+￡?故該變換為

=Ovj+Og+.

=沙+0j2+。、3，

=Oy1+北+0”，

01V0or

即00yz，故P=1oo.

10,了3°10,

4.【單項選擇題】設A是n階方陣，將?A的第i列與第j列互換，再交換第i

行與第j行得到B,貝h).

A.A與B等價、相似且合同

B.A與B相似、合同但不等價

C.A與B相似但不合同

D.A與B等價但不相似

正確答案：A

參考解析：A的第i列與第j歹(J、第i行與第j行交換，相當于右乘、左乘初等

矩陣，即

B=

又E?!==Ej“，故B=E..AE..J=E[AE,”=,所以A與B等價、相似且

合同.

5.【單項選擇題】二次型f(x-X2,

X3)=1r+k―卜’—"七一卜:的規(guī)范形為().

A.f=-

正確答案：A

參考解析：判定規(guī)范形，只要確定二次型的秩及正、負慣性指數(shù)，可以通過求

二次型矩陣A的特征值來確定.廠的矩陣為

1-22,

A=-24—4?由

2-44

XE—AI=A'(A—9)=0,

得入尸9,3=3=0,所以r(A)=l,正慣性指數(shù)p=l,負慣性指數(shù)q=0,故A正

確.

6.【單項選擇題】二次型f⑶，X2,X3)=X|X2+X2X3的正、負慣性指數(shù)分別為

().

A.p=l,q=l

B.p=l,q=2

C.p=l,q=0

D.p=0,q=2

正確答案：A

參考解析：求正、負慣性指數(shù)，可通過標準形(規(guī)范形)或特征值得到，已知二

次型廠中沒有平方項，先作可逆線性變換產(chǎn)生平方項，再化為標準形或求其矩

陣的特征值.

11=%+卯[11o]

令，嚴=%一32,矩陣1-1?？赡?則

f=(y+%)(?-%)+(w—山)％=乂一加—山坎.

用配方法化為標準形，得,

/=(M+:?3)一卜+:州)，

f_,1f,I

Z|=y+yja，I07

令1,1矩陣八可逆，故二次型為/=《一《?所以戶=l,q=L

zz=加+萬其，比上01

?I

號=泗，I。01.

7.【單項選擇題】A是n階實對稱矩陣，則A合同于矩陣B的充分必要條件是

().①r(A)=r(B),②A與B的正慣性指數(shù)相等,

③A與B均正定矩陣，④B是實對稱矩陣.

A.①成立

B.④成立

C.①②④均成立

D.③成立

正確答案：C

參考解析：首先④是必要條件.

若A與B合同，則存在可逆矩陣c,使得C『AC=B,故r(A)=r(B),且正、負慣性

指數(shù)不變，即pA=pB,反之，若r(A)=r(B),且pA=pB,由于

pA+qA=r(A),pB+qB=r(B),

故qA=qB,所以A與B合同.

③是充分條件.

22

8.【單項選擇題】設n元二次型f(xi,X2,…，xn)=(xi+aix2)+(x2+a2x3)+^-

+(x“+a岡產(chǎn)其中a(i=l,2,…，理)均為實數(shù)，若二次型正定，貝h).

A.1+(T)”—電…%華0

n+I",

B.1+(-1)aia2,an=0

C.1-(T)“"aa…aWO

n，1,,,

D.1+(-1)aia2an=O

正確答案：A

參考解析：

由正定二次型的定義,知/E…5）正定的充分必要條件是對任意

工2，,”工，有/⑶，?，…工）》0,其中當且僅當方程組①只有零解時等號成立.

71+?支2=。，

Ijr2+a2m=0,

???①

【工.+冊工1=0.

方程組①只有零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式不為零,即

1a\0??,00

0102*,,00

*(*?*

****?*=1+(-1)"”幻心…a”r0,

000,,,1

a”00,1,01

因此，當1+（—7…狐H0時,對任意不全為0的I”.R，…，工,都有/（?心,…工）〉0,

故正定,A正確.

9.【單項選擇題】

11—10300’120

設B=-110.c=020,D=-210,則與矩陣

001000001

110

A=11O不合同的矩陣的個數(shù)為（）.

[001]

A.3個

B.2個

C.1個

D.0個

正確答案：C

參考解析：

由于A是實對稱矩陣,故與A合同的矩陣也必為實對稱矩陣,顯然矩陣B,C均是實

對稱矩陣，矩陣D不是實對稱矩陣,由此可知,A與D不可能合同.

又由X'Ax=I；+工：+/+2工1工2=（11+12尸+工；，

可知A的正、負慣性指數(shù)分別為p=2,q=o.

r2T

同理,由xBx=j|+.i'-,r5—2JIX2=（xi-12）+Jj?xCx=+2/；,可知矩

陣B.C的正、負慣性指數(shù)相同，即p=2、q=0.

綜上可知，矩陣A與矩陣B,C均合同,C正確.

10.【單項選擇題】設A,B為正定矩陣，C是可逆矩陣，下列矩陣不是正定矩

陣的是（）.

A.CTAC

B.A'+B1

C.A*+B*

D.A-B

正確答案：D

參考解析：顯然四個選項中的矩陣都是實對稱陣，因為A,B正定，所以AIT

及A*,B*都是正定的，對任意XWO,XT(C「AC)X=(CX)TA(CX)>O(因為C可逆，所

以當XWO時,CXWO),于是C「AC為正定矩陣，同樣用定義法可證，A-+BT與

A*+B*都是正定矩陣，D正確。

11.【單項選擇題】n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是().

A.A無負特征值

B.A是滿秩矩陣

C.A的每個特征值都是單值

D.A-是正定矩陣

正確答案：D

參考解析：A正定的充分必要條件是A的特征值都是正數(shù)，(A)不對；若A為正

定矩陣，則A一定是滿秩矩陣，但A是滿秩矩陣只能保證A的特征值都是非零

常數(shù)，不能保證都是正數(shù)，(B)不對；(C)既不是充分條件又不是必要條件；顯

然⑻既是充分條件又是必要條件，選(D).

12.1單項選擇題】設n階矩陣A與對角矩陣合同，則A是().

A.可逆矩陣

B.實對稱矩陣

C.正定矩陣

D.正交矩陣

正確答案：B

參考解析：因為A與對角陣B合同，所以存在可逆矩陣P,使得P「AP=B,從而

A=(PT)HBP-1=(P')TBF',A'=[(pT)TBPT=(P")BPT=A,B正確。

13.【單項選擇題】

/200/210、

設A=05—4120?則A與3().

'003/

—45

A.合同且相似

B.相似但不合同

C.合同但不相似

D.既不相似又不合同

正確答案：C

參考解析：【解】

顯然A,B都是實對稱矩陣MIAE-A1=0,得A的特征值為人=1"=2,h=9,

由"E-B|=0,得B的特征值為3=1"=A=3/月為MB慣性指數(shù)相等,但特征值

不相同,所以A,B合同但不相似,選(C).

14.【填空題】

巳知三元二次型xAx=,r)-5T?+#+2g/2+2?5+2姐13的秩為元且人=

(2,1.2)T是A的特征向量,則二次型xTAx的正慣性指數(shù)p=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案:

參考解析：1

【解析】

二次型矩陣

1a1'

a—5b

.1b1.

由Aa=布.有

1\lir2"-2-

a—5b1=1

Ab1J12.2

可得

2+a+2=2A

?2a—5+2b=入

2+3+2=2A

解得a=I)=2,Ai=3.再由秩

r(A)=2nAI=O-^A?=0

那么3+0+3=1+(-5)+l63=-6

可見正慣性指數(shù)戶=1.

在求出a=6=2后,也可由配方法

x'Ax=Xi_5J：2+JJ+4XIX2+2zijj4-4x2x3

2

=zj+2z)(2J：2+4)+(2?+工3>-5xj+-+4121r3—(2.r2+x3)

3

=(X]+2x2+xj)—94.

從而求出正慣性指數(shù).

15.【填空題】

,11-2*

已知矩陣4=1-21與二次型WBx=3云+ad的矩陣B合同，則a的

一211.取值

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：a<0

【解析】

矩陣A與B合同㈡XTAX與丫丁3丫有相同的正、負慣性指數(shù).

A—1—12

IAE-A|=-1A+2-1=A(A-3)(A+3)

2-1A-1

可見，A=1以=1.因此x1Bx=3、+ar：的加==1時，矩陣A和B合同,所以a<

0即可.

16.【填空題】

二次型/（?，5，X）=2為g+41d3在正交變換下的標準形是.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：-5/5^2

【解析】

二次型矩陣A=心12"

00,則

00.

A-1~2A

I述—A|=-1A0=-1

-20A0

矩陣A的特征值是。，一60故正交變換下標準形為舟；一6。

17.【填空題】

（1997,3）若二次型f（x\,方，工3）=2zi+—+工：+2為12+處工3是正定的，則t的

取值范圍是.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：（一晚,后）

【解析】

二次型矩陣

-210'

1

.11

A4一V

1

顯然其一階、二階順序主子式均大于。,而

2100-1

1V=1-1/2>0

1

即1V2,所以/e(-72,72).

18.【填空題】已知二次型f(x”X2,

X3)=一工\?+,h；--"八-h'、正定，則a的取值范圍為

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：_2<a<l

【解析】

1a—1

二次型/的矩陣為4=a42.由已知.A的順序主子式分別為

-124

△i=1>0,&='a.=4->0,

a4

1a—1

4=a42=-4(a-l)(a+2)>0,

—124

得-2<a<2且-2〈a〈l,故-2<a〈l.

19.【填空題】

1001

若3階實對稱矩陣4與8=003合同，則二次型/Ax的規(guī)范形為.

030

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答塞：

參考解析：71+%一乂?

【解析】

求規(guī)范形的關(guān)鍵是確定正、負慣性指數(shù).由A,B合同，知pA=pB,qA=qB.由

A—100

AE-B1=0A-3=(A-l)(A2-9)=0.

0-3A

得B的特征值為h=1疝=3,At=一3,故pB=2,仇=1,即有4=2q=1,所以規(guī)范

形為y2\+.V2-yl.

20.【填空題】設A是n階矩陣，方程組Ax=b有唯一解，則二次型xT(A『A)x的

正慣性指數(shù)為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案:

參考解析：n

【解析】

由已知，Ax=b有唯一解，故Ax=0只有零解.

即Yxr().有阻R0.故父(A")x=(甚)T(AX)〉0,所以二次型正定，于是二次型

的正慣性指數(shù)為比

21.【填空題】設A是3階實對稱矩陣，二次型x'Ax經(jīng)過正交變換x=Qy后的標

準形為。裙導點J*,則二次型x7A*X的規(guī)范形為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：一乂一抬+v-

【解析】

由x「Ax經(jīng)正交變換下的標準形，知A的特征值為入產(chǎn)入2=1,入3=-1,且|A|=1X

IX(-1)=-1.

又A,的特征值為與=-1,4=一1,?，=1,故/>A.=1*/A，=2,所以X，A'X

AiAjAi

的規(guī)范形為一工一抬+/

22.【填空題】

1a-1

已知二次型/Ax矩陣A=a3-2，則二次型表達式為

~1—20

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：工：+36+2ariZ2-27113-

【解析】

二次型矩陣是唯一的,％是平方項工；的系數(shù),即是混合項工￡的系數(shù)的一半.

故xAx=x;+3J，-\-2ai\Xi—2JIXI—4J?ZI

23.【填空題】

J

已知二次型xAx—ax\+2^2+&r+6xixt+2工?4的秩為2.則a=

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：0或5

【解析】

~a3O-

二次型矩陣4=321

_01-

二次型的秩為2,即矩陣A的秩「(A)=2.

a30c

32

由A|=321=2a:-10a,且A中有二階子式WO.

01a

???a=0或a=5時?二次型的秩為2.

24.【填空題】

設二次型2]；+3+/+2工1工2+。72力的秩為2,則“=.

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正確答案：

參考解析：

210]

11—

該二次型的矩陣為A=2，因為該二次型的秩為2.所以|A|=0,解

,0%V

得a=±J2.

25.【解答題】已知A是3階矩陣，滿足A2-2A-3E=0,

(1)證明A可逆，并求A"

(2)如|A+2E|=25,求|A-E|的值.

⑶證明ATA是正定矩陣.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：(1)

由A2-2A=3E,有A?=E.

聽以A可逆且A'=m(A-2E).

(2)

設A是A的特征值基對應的特征向量，即AaAa-a#0.

由.4二2A—3E=O有六一2久—3=0,

A的特征值為3或—1,那么A+2E的特征值是5或1.

由|A+2E|=25,從而A的特征值只能是3.3,—1.

于是；A—EI=2?2?(-2)=-8.

@(ATA)T=AT(AT)T=A：A,即A)是對稱矩陣.

由A可逆?對/UA=A1EA知A「A與E合同.

從而Al是正定矩陣.

26.【解答題】設二次型f(x”X2,

(I)求一個正交變換x=Qy,將f化為標準形；

(II)利用配方法，將f化為標準形.

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參考解析：解(I)

'22-2

二次型/的矩陣為A=25—4.由

-2-45

A-2-22

IAE-A|=-2A-54=(A-1)2(A-10)=0,

24A-5

得A的特征值為=Aj=1?A,=10.

對久?=■=1,由(E—A)x=0,解得①=(2,1,2)、a=(-2,2.1)'；

對筋=10,由(10E-A)x=0,解得g=(1,2,-2)T.

由6與的已正交,將01曲,小單位化，得

TTT

y,=y(2,l,2),弋=|(-2,2,1),y3=1(1,2,-2),

VVV

令。=(%，y，y)，則。為正交矩陣，x=2v為正交變換?標準形為/=4一￡+1。丸

(II)用配方法.

f=2zi++Gm-4?13-812。

=2x\+4zi（J2—電）+5g+5無-8X2J3

=2[/+2zj（工2—A）+（12—13）2-（工2—口>]+5x2+5—-8X3X3

2

=2[（為+父2一13）—（工2—13>]+5也+5忌-8Z2

=2（?+12—*3）2-2（*―+5x1+5*-8X2X3

=2（為+12-尸+3x]+3工-41213

=2（4+4-的”+3!―一鏟2」+（鏟3）一（鏟1]+34

=23+72一為產(chǎn)+3卜2-（■13）+yXj.

M=?+12-石，fl1-1,

令（52=12—，矩陣。1可逆,則/=2工+3弼+J娓

?JJV

佻=13，.001

27.【解答題】

已知二次型/=+3-+3W+2acr（a〉0）,經(jīng)過正交變換化成標準形

乂十2?+5它?求參數(shù)a及所用的正交變換.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解

2001

二次型/的矩陣為A=03a，則|AE-A|=O-2）（解一61+9—1）.

0a3

由已知正交變換下的標準形為工+2分+5工,故A的特征值為

Ai=1,入2~2，左=5,

所以|IE-A|=0.即4—a：=0.得a=2（a>0）.

對■=】，由（IE—A）x=0.得a1=（0,1.—1）1；

T

XtA2=2,由（2E-A）x=0,得效=（1,0.0）；

對k=5,由（5E—A）x=0,得g=（0,1.1）’.

顯然?.妣,a,已兩兩正交,單位化得

%=-1）T,y=（1,0,0）T,r=4（0.1,1）T.

令。=（y,.y.%），則。為正交矩陣,x=。），為所求正交變換.

28.【解答題】證明：n階矩陣A正定的充分必要條件是存在可逆矩陣P,使得

A=PTP.

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參考解析：證

（充分性）對VxK0,則PxN。（因P可逆,Px=（）只有零解）,

x.4x=xPPx=（Px）r（Px）>0.

由二次型正定的定義,知小艙是正定的，故A正定.

(必要性)由A正定，所以A的特征值九＞0(i=12…且存在正交矩陣。,使得

A=幺。?=Q

取1>=Q『,則A=P卬.

29.【解答題】設二次型f(x”X2,

TV

X3)=XAX='-+2g工工丫r的正負慣性指數(shù)都是i.

(I)求a的值；

(II)求可逆線性變換*=8丫,將f(xi,x2,xj化為標準形.

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參考解析：解(I)

二次型的矩陣為4=1a.一1.由已知p+q=2=r(A),故

|A|=-(a-l)2(a+2)=0,得a=l或a=-2.

當a=l時、r(A)=l,不合題意，故a=-2,所以

[1121

A==1—2—1.

2-11]

(II)由(I)知，二次型為

J\jC\0X3)=T|-2a]+M+21172+,5為—212工、.

由配方法，得

,q,.r3)=z；+2i](T2+2力)+(必+24>一(肛+2.r()*—

2xz+6一21"3

=(?+12+2電)2—3^2—6^21J-31；

=(X,+12+2xj)2—3(d+2工2工3+后)

=(X|+工2+2^3)2—3(^2+劭)2.

伊=?+12+2口112]

令jy：=&+八，即^二口,其中c=011，且?？赡妫?/p>

Iy3=為?001J

[112]

x=C1y=Io11

,001J於，

)3J

[1-1-1y

即01-1然為所求可逆變換,所以

001

f-x/U”(，.(C1j)rACy

=yT(L)1C7y.

il00]

令B=U】，則BMB=A=0-30，標準形為乂-3蘇

Io0

0J

30.【解答題】

T

設3階實對稱矩陣A=(劭卜3有特征值入=心=2,且2>“=1,。=(1,0,-2)H一

是方

程組A*x=4a的解向量.

(1)求矩陣人；

(II)求正交變換x=Qy,將二次型f(x”X2,X3)=x，Ax化為標準形.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析：解(I)由已知A*a=4a,等式兩邊同時左乘A,得AA*a=4Aa,即

|A|a=4Aa,①

故Aa=-Lj-i-a.又

2%=1==Ai+A2+A3=2+2+k，

得人=-3,于是有A=A1A2A=-12.

由①式得Aa=-3?,A；=-3對應的特征向量為a=a=(1.0.-2)T.

由A是實對稱矩陣.令％=Aj=2對應的特征向量為x=(0,工,/、)'則Fa=0,

T

即?—2抬=0,解得a；=(0.1.0),a2=(2.0.1)1.

由A(a,a<a)=(Aia；a).得

A=(AiOilA^OjtAa)(&，a?，a：尸

04-31fO21,102]

=200100020.

102601-220—2J

(II)由于ai,a2已正交,所以只需將ai,a2,a3單位化，得

令0=(72￥),為正交矩陣,x=0y為所求正交變換.標準形為2yi'+2￡

31.【解答題】設二次型f(xi,X2,…,Xn)=M，H5+"M-(xi+x2+…

+XM.

(1)求二次型￡區(qū)，X2,…，Xn)=xTAx的秩;

(II)求可逆矩陣P,使得P"P=A,并求二次型的正慣性指數(shù).

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

參考解析:解(I)f(Xi，X2，…,參

=(n-1)X]4-(n-1)工；+,,?+(?/—1)Z,-2x\ii-2為4——

2?心-21213-,—2121“-???-2111"，

故二次型的矩陣為

?1—1-1—1—1—1

-1n—1―1-1—1

—1—1M-1—1—1

A=?????■

??????

-1—1-1…"一1一1

一1-1—1???-11

注意到A的各行元素之和均為0,利用初等變換得

n-1—1???一10ll00???00

—1w-1—1—100n0??00

-1-1n—1-1000n00

Af????*—?***■*

???????**?*■?**■*

-1—1-1???n-10000???n0

,-1-1―1-10000-00.

所以r"1)=M—1.

入

(II)由XE-A|=0,解得A的特征值為X1-2二…—Xn-1=n,3=0.

對入1=入2=*“=入n-i=n,解(nE-A)x=0,得A的特征向量為

a.=0=.…?a.T=

(

對兀=0,解(OE-A)X=O,得A的特征向量為%=(1,1,-,1)T.

令P=(%則P可逆，使得PAP=A.

由A的特征值為h=L=…=久1=〃>0,入=。,收二次型的正慣性指數(shù)為M-1.

32.【解答題】

r(K+3)支1+此+2]3=。，|'312

設方程組26=0,有非零解,且A=1k-2是正定

(A-3)-c—3工：+H,=0229矩

陣.

(I)求k的值；

(II)設x=(xi,X2,x3)\求x,x=l時，x’Ax的最大值.

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參考解析：解(I)由已知，齊次線性方程組有非零解，故其系數(shù)行列式為零,

即

A+312k12

2kk-11=k111=MA+l)(4-3)=0.

k-3—3k0-3

解得戈=0,—1或3.又由于A正定,故%〉0(正定的必要條件),所以A=3,由

A-3-1-2

|AE-A|=-1A-32=(A-l)(A-4)(A-10),

—22A-9

可知A的特征值為貓=1山=44=10,全大于0,故力=3為所求.

(II)

因A為實對稱矩陣，故存在正交矩陣P,經(jīng)正交變換x=Py化二次型X「Ax為標準

形,于是yy=y'P'Py=(Py)1(Py)=xx=1,所以

x1Ax=—+4^2+IOJFJ&10(工+y；+.)=10X1=10,

即最大值為10.

33.【解答題】設n階實對稱矩陣A只有兩個不同的特征值人尸1和入2,且A屬

于人尸1的特征向量僅有k(l,0,…，0,1尸(忌#0).

(1)求矩陣人；

(II)當入2滿足什么條件時，A是正定矩陣.

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T

參考解析：解(I)設入2對應的特征向量為x=(x”X2,…，xn),由A是實對稱

矩陣，得

xTa?=0,其中a,=(1O…OIK,即為+工”=。.解此方程,得L對應的特征向前為

0O,

[0*]ri]

10*°

a>=0?a二1?…a?=0a=：

*

■*10

,0.,0.0.,1,

顯然乩=1與兒對應的〃一1個特征向批已兩兩正交,則單位化得正交矩陣

00…0

10-o

01...o

Q=**?

*?■?

00…1

00???o

故QA。=A=diag(A2,…山,1),于是

1,,)(】-心)

7(1+A)

W2w

00

■

A=SQ」=0AQ「=:■*

00

)(1f)

y(l+A)

【z2

(H)由于A是實對稱矩陣，所以A正定的充要條件是其特征值全大于0,故人

2>0.

34.【解答題】設A是實對稱矩陣,證明：A可逆的充要條件是存在方陣B,使

得AB+B『A為正定矩陣.

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參考解析：證

(必要性)因A可逆.取5=A,由A是實對稱矩陣，有

AB+BTA=AAI+(A)7=E+E=2E.

顯然AB+B”是正定的.

(充分性)由已知AB+/A正定,根據(jù)正定的定義，對Vx#0.有

XT(AB+BTA)X>0.

而xT(AB-BA)x=x'ABx+xli=xTA(Bx)+(Bx)TAx=2xABx=2(Ax)Bx,

即對Vx10,有2(AX)TBX>(),故AXH0,所以A可逆.

35.【解答題】設二次型f(xi,X2,x3)=2XIX2+3X2X3+4XIX3,求可逆線性變換

x=Py,使得f(x”x2,X3)化為標準形，并求二次型的秩及正、負慣性指數(shù).

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參考解析：解

產(chǎn)1=V+山，[110

令4=V一丁2，則X=1-10y.故

=g，1.001J

,12，13)=2y\-2yl+7y%+》2y3

2/1\2

=2(v+了

J3_2(%一了-64

7口

物=y+r，10

4

再令1則y=2?故可得標準形為/=26一26一66.

Z2=%一彳％，017

Z3=必，001

所用可逆線性變換為

10_3_'

110T11~2

X=1一101

011一1-2

001,T

,001,

001.

二次型的秩為3,正、負慣性指數(shù)分別為1和2.

36.【解答題】

設A為3階實對稱矩陣.二次型/(力皿,力)=x'.U在正交變隼x=心F的標準

形為-Y+2/+”)其中0的第1列為,且|A|=-4.

7sv3\/o'

(I)求a的值；

(11)求正交矩陣0.

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參考解析：解(I)

由二次型在正交變換x=Qy下的標準形為一VI-2/-ay,知矩陣A的值分別

為入1=-1,入2=2,入3=a.又由|A|=入1入2入3=(T)X2Xa=-4,得a=2.

(ID

由正交矩陣。的第1列為，可知特征值入=-1對應的特征向坡為

tt\=（1.1.1）T.

令a=（Hi，］2,劭）'是—=>=2對應的特征向置，則由

a：‘a(chǎn)二1】+此+?=0，

/II\T

解得a=（1,-1.0）1a=y-1是兒=不對應的特征向量,且a：a正交.

\wwf

將a】，a；,a單位化.得

111

--

一

|71372716

一

2=,1一

用為所求的正交矩陣.

|737。2

12

一

一

一

|73百

37.【解答題】

1

I13

設二次型/（孫，］2,23）=*［八乂，仃儲）=1,又8=1-10且AB=O.

'000，

⑴求正交矩陣Q,使得在正交變換X=QY下二次型化為標準形.

⑵求矩陣A.

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參考解析：（1）

1八1'

由AB=O得A1=0,A—1=0,即％=1.a2=-1為人=0的兩個線性

W'0'W0'

無關(guān)的特征向址,從而人=0為至少二重特征值，又由tr(A)=l得儲=1.

即儲=久2=0,入3=L

IX\\

令八=1對應的特征向量為，

aa=0,叫+1,=0,

因為AT=A,所以I即

a'a5=0,Ji—J2=0.

/0

解得八=1對應的線性無關(guān)的特征向址為a=0

'1

0

/1\]0\

人1,

令。==1?r，力=0，所求的正交矩陣為。=

現(xiàn)20

01

x??Qy

且x7x『端

(2)

/°00、/O001/00?)■

由。7。=o00得A=2000Q「=00

'o0J'00V'o0

38.【解答題】

設二次型/(四

j,)=(a—1).r；+(a-1)J*.+2x\4-2JjX2(a〉0)的秩為2,

⑴求a；

⑵用正交變換法化二次型為標準形.

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參考解析：(1)

/a—11

A=1a—1因為二次型的秩為2.所以?一.

、002/

(2)

I11°\

A=11。|,由A|=0得儲=22=2,入3=0.

002'

1/0\

當久=2時,由(2E—A)X=0得4=2對應的線性無關(guān)的特征向址為%=1?Q一0；

'0