考研數(shù)學(xué)公式大全考研同學(xué)

考研數(shù)學(xué)公式（全）

■平方關(guān)系:

sinA2(a)+cosA2(a)=1

tanA2(a)+1=secA2(a)

cotA2(a)+1=cscA2(a)

?積的關(guān)系：

sina=tana*cosa

cosa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=cosa*csca

seca=tana*csca

csca=seca*cota

?倒數(shù)關(guān)系：

tana-cota=1

sinacsca=1

cosaseca=1

直角三角形ABC中，

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊，

?三角函數(shù)恒等變形公式

?兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(a+p)=cosacosp-sina-sinp

cos(a-p)=cosacosp+sina-sinp

sin(a±p)=sina-cosp±cosasinp

tan(a+p)=(tana+tanp)/(1-tana-tanp)

tan(a-p)=(tana-tanp)/(1+tana-tanp)

?三角和的三角函數(shù)：

sin(a+p+Y)=sinacosp-cosY+cosa-sinpcosY+cosa-cospsinY-sina-sinp-sinY

cos(a+p+Y)=cosacospcosY-cosasinpsinY-sina-cosp-sinY-sina-sinpcosY

tan(a+p+Y)=(tana+tanp+tanY-tana-tanp-tanY)/(1-tana-tanp-tanp-tanY-tanYtan

a)

?輔助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

?倍角公式：

sin(2a)=2sina-cosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

?三倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)

cos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

?半角公式：

sin(a/2)=±^((1-cosa)/2)

cos(a/2)=±^((1+cosa)/2)

tan(a/2)=±^((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

?降幕公式

sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

?萬能公式:

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

?積化和差公式：

sina-cosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

cosa-sinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

cosa-cosp=(1/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]

sinasinp=-(1/2)[cos(a+p)-cos(a-p)]

?和差化積公式：

sina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

cosa-cosp=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-p)/2]

?推導(dǎo)公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cosA2a

1-cos2a=2sinA2a

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

?其他：

sina+sin(a+2TT/n)+sin(a+2TT*2/n)+sin(a+2TT*3/n)+......+sin[a+2iT*(n-1)/n]=0

cosa+cos(a+2Tr/n)+cos(a+2TT*2/n)+cos(a+2TT*3/n)+......+cos[a+2n*(n-1)/n]=0

以及

sinA2(a)+sinA2(a-2TT/3)+sinA2(a+2TT/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

三角函數(shù)的角度換算

[編輯本段]

公式一：

設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

sin(2kn+a)=sina

cos(2kir+a)=cosa

tan(2ku+a)=tana

cot(2kTT+a)=cota

公式二：

設(shè)a為任意角，TT+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(u+a)=-sina

cos(TT+Q)=-cosa

tan(ir+a)=tana

cot(TT+Q)=cota

公式三：

任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(—a)=-sina

cos(—a)=cosa

tan(—a)=-tana

cot(—a)=-cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到TT-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(IT—a)=sina

cos(IT—a)=-cosa

tan(IT—a)=-tana

cot(TT—a)=-cota

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2iT-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(2n—a)=-sina

cos(2TT—a)=cosa

tan(2TF—a)=-tana

cot(2TF—a)=-cota

公式六：

TT/2±a及3TT/2±Q與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(u/2+a)=cosa

cos(TT/2+Q)=-sina

tan(TT/2+Q)=—cota

cot(TT/2+Q)=-tana

sin(TT/2—a)=cosa

cos(TT/2—a)=sina

tan(TT/2—a)=cota

cot(TT/2—a)=tana

sin(3TT/2+Q)=-cosa

cos(3n/2+a)=sina

tan(3n72+a)=—cota

cot(3TT/2+Q)=-tana

sin(3TT/2—a)=-cosa

cos(3TT/2—a)=—sina

tan(3TT/2—a)=cota

cot(3TT/2—a)=tana

(以上k￡Z)

部分高等內(nèi)容

［編輯本段］

?高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得下

sinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2

tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

泰勒展開有無窮級(jí)數(shù)，eAz=exp(z)=1+z/1!+zA2/2!+zA3/3!+zA4/4!+...

+zAn/n!+...

此時(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。

?三角函數(shù)作為微分方程的解：

對于微分方程組y=-y";y=y"",有通解Q,可證明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。

補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)——雙曲函數(shù)，其擁有

很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。

特殊三角函數(shù)值

aO'30'45'60'90'

sina01/2也/2匕/21

cosa143/2d2/21/20

tana043/3143None

cotaNone1d3/30

(fgx)'=sec2x(arcsinx)'=/，

yi—x2

(ctgx\=-csc^x

(v1

(secxy=secx-tgx(arcCOST)=——.

(cscxY=-cscx-ctgx/、，i

(arctgx)=------

(ax\=axIna1+x

,、，1

(log“x)'=一(arcctgx)=------r

xlna1+JT

J，gMr=-ln|cosx|+Cdx=jsec2xdx-tgx+C

cos2x

Jctgxdx=]n\smx|+C

dx=jcsc2xdx--ctgx+C

Jsecxcbc=]n\secx+tg^+Csin2x

jsecx-tgxdx=secx+C

Jcscxdx=In|cscx-c/gM+C

rdx1x.|cscx-ctgxdx=-cscx+C

——^=-arctg-+C

Ja+xaa

axdx^—+C

dx1,x-aIn。

=——In--+--C--

x-a2ax+ashxdx=chx+C

dx1,a+x八

———=——In-----+Cchxdx=slu+C

a-x72aa-x

dx22

=arcsin—+CJj.:x2=ln(x+Vx±a)+C

J/a

nK

22i

In=jsin"xdx=fcos"xdx=-----In_2

00〃

.____________________2__________

Jyjx1+crdx=—y)x2+a2+—ln(x+-Jx2+a2)+C

2-x2dx--^Ja2-x2+—arcsin—+C

22a

導(dǎo)數(shù)公式:

基本積分表：

三角函數(shù)的有理式積分:

,2u1—〃2X,2du

sinx=------cosx=------------ax------------r

l+〃~l+〃~1+w2

一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:

雙曲正弦:'「sinx?

lim-------=1

2X

雙曲余弦:Mx=e'+',lim(l+與=e=2.718281828459045...

100

2x

雙曲正切:位3也=。-*'

chxex+ex

arshx=ln(x+Vx2+1)

tzrc/zx=±ln(x+Vx2-1)

21-x

三角函數(shù)公式:

■誘導(dǎo)公式：

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

180°-asina-cosa-tga-ctga

1800+a-sina-cosatgactga

270°-a-cosa-sinactgatga

270°+a-cosasina-ctga-tga

360°-a-sinacosa-tga-ctga

360°+asinacosatgactga

a+￡a-B

sin(a±4)=sinacos夕土cosasin°sina+sin0=2sin-------cos

2-------2

cos0±P)=cosacos/?￥sinasinp

..a+.a-p

tgattg(3sina-sinp-2cos—^-sin—

tg(a±/3)

l+tga-tg/3ca+0a-'

cos?+cos/>o=2cos-----cos-----

c，g(a力滔廠22

ctgp±ctgacostz-cosZ?=2sin^—^-sin―—―

22

■和差角公式:'和差化積公式:

?倍角公式:

sin2a=2sinacosa

sin3a=3sina-4sin3a

cos2a=2cos2a—1=l-2sin2a=cos?a-sin2a

+octg2a-\cos3a=4cos%-3cosa

ctgla=—2--------

2ctga-3次。一次3a

tg3a=^——J

2tga1-3%2a

tgla=

1一吆2a

?半角公式:

.a

sin—=±

2

a,1-C0S6Z1-coscrsina

吆一=±J----------=-----------=-----------

2V1+C0S6Zsina1+cosa

?正弦定理：，L=—L=，=2R?余弦定理：C?=a2+h2-2ahcosC

sinAsinBsinC

71

■反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=--arccosxarctgx=--arcctgx

2

高階導(dǎo)數(shù)公式一萊布尼茲(Leibniz)公式:

(〃“")=￡G：""1網(wǎng)

k=0

=u(")v+nu("~')v'+皿心"2、“+...+如-1)-(〃/+1)匕3)+???+〃網(wǎng)

2!k\

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:

拉格朗日中值定理：/3)-./■(&)=

■TC)

柯西中值定理JS)一"")

F(b)—F(a)FC)

當(dāng)F(x)=x時(shí)，柯西中值定理就孰格朗日中值定理,

曲率:

弧微分公式：ds=Jl+y'2dx，其中y，=fga

|普卜a:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；As：MM弧長。

平均曲率宣

Aada

M點(diǎn)的曲率：K=lim

加―。Nsds7a+/2)3'

直線：K=0;

半徑為a的圓：K=L

a

定積分的近似計(jì)算:

bh-n

矩形法:J/(x)*—^(y0+必+…+X,-1)

a

梯形法J/(x)q夕:g(y()+K)+yi+…+yn~\}

a

拋物線法：jf(x)?^—^[(yo+yn)+2(%+乂+…+y.2)+4(弘+%+…+)]

定積分應(yīng)用相關(guān)公式:

功：W^Fs

水壓力：F=p?A

引力：2等次為引力系數(shù)

1b

函數(shù)的平均值$=Jfkx)dx

b-a

f2(t)dt

空間解析幾何和向量代數(shù):

空間2點(diǎn)的距離：d=|M%|=）（/一%）2+。2-M）2+（Z2-Z1）2

Pr/“（q+G）=Pr四+Pr必2

=|同.b卜05。=“也++a也，是一個(gè)數(shù)量

兩向量之間的夾角cos6=I%%+a也：a也

ijk

c=axb=axay4,同=同而卜山/例：線速度：v=wxr.

.by么

4ay%

向量的混合積E拓司瓦by瓦巾x斗同cosa,a為銳角時(shí),

%J%

代表平行六面體的體積

平面的方程：

1、點(diǎn)法式：A（x-xo）+B（y-yo）+C（z-zo）=O,其中而={4臺(tái),。},%^,九*。）

2、一般方程：Ax+By+Cz+D=O

3、截距世方程）+工+三=1

abc

平面外任意一點(diǎn)到該祠的距離：4=左庠色士芻士0

7A2+B2+C2

x=x+mt

空間直線的方程二殳=匕%=三且=f,其中§={〃7,〃,0}滲數(shù)方程1=＞0。+小

mnp

[z=zQ+pt

二次曲面：

222

1、橢球面3+4+一1

a2b2c2

22

2、拋物面l—F--=z,（p,q同號(hào)）

2p2q

3、雙曲面：

222

單葉雙曲面當(dāng)+4—==1

CTb~c~

222

雙葉雙曲面:-4+3=1（馬鞍面）

abc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

人，蛇八,Sz.dz,,du,du,du,

[戒jy：dz——dx~\----dydu——dx-\-----dy-\-----dz

dxdydxdydz

全微分的近似計(jì)算：AzHdz=fr(x,y)Av+fy(x,y)Ay

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

dzdudzdv

z=/[w(r),v(r)]

dtdtdvdt

dzdudzdv

z=f[u(x,y),v(x,y)]

dudxdvdx

當(dāng)〃=u(x,y),v=v(x,y)時(shí)，

.du.du,5v.5v.

du=——ax+——atydv=—dx-\-----dy

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：

隱函數(shù)F(x,y)=O,曳=-&,右^=。(-生)+。(-二).史

2

dxF、dxdxF、.dyFydx

RzFAzF

隱函數(shù)F(x,y,z)=O,—=-^,絲=_」

dxF.dyF.

dF

隱函數(shù)方程組°j_a(F,G)du

G(x,y,w,v)=O5(w,v)dG

du

曳

1d(F,G)a&-vS(￡G)

ax/d(x,v)d(u,x)

a￥w1d(F,G)a-va(F,G)

a\(5yd(u,y)

微分法在幾何上的應(yīng)用:

X=＜p（t）

空間曲線y=〃0）在點(diǎn)M（x°,yo，z。）處的切線方程與々=

/八。伉）“依）。）

z-a）（t）00

在點(diǎn)M處的法平面方程:d?o）（x-Xo）+/?o）（y—yo）+0Go）（z—Zo）=O

若空間曲線方程為"（"'，'"戶。,則切向薊=｛。’?，凡以工

（）

]Gx,y,z=OGyG:G:G、'G,Gv

曲面77(x,y,z)=0上一點(diǎn)M(Xo，yo，Zo),則：

1、過此點(diǎn)的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),F2(x0,y0,z0)}

2、過此點(diǎn)的切平面方程工(%,yo，z())(x—Xo)+&(%,%,z())(y-%)+￡(%,)o，Zo)(z-Zo)=0

3、過此點(diǎn)的法線方程：入—=——=—」一

工（Xo，＞o，Zo）G（Xo，yo，Zo）工（%，%*0）

方向?qū)?shù)與梯度：

函數(shù)z=/（x,y）在一點(diǎn)p（x,y）沿任一方向/的方向?qū)?shù)為幺=或cOS/+或sin夕

dloxdy

其中夕為X軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)z=/（x,y）在一點(diǎn)p（x,y）的梯度：gray（x,y）=^i+g]

oxdy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系;^g=grad/（x,y＞。，其中。=cospj+sin°?],為/方向上的

01

單位向量。

g是graeXx,＞）在/上的投影。

01

多元函數(shù)的極值及其求法：

期(%，%)=力(工0，%)=°，令:/?(Xo，%)=A,fXy(x0,y0)=B,fyy(xo,yo)=c

AC-B2〉o時(shí)＜0，（/，為）？[及北

A＞0,（%,y°）為極小值

則：｛AC—B2＜O時(shí)，無極值

AC—Im時(shí)，不確定

重積分及其應(yīng)用:

jjf(x,y)dxdy=f{rcosO,rsm6)rdrd0

DDf

dzdz\

曲面z=/(x,y)的面積A=JJdxdy

Ddx

平面薄片的重心：元=也Dy__D_____________

y

MjJ「(x,yMcrM^p[x,y)d(y

DD

平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對于x軸/〈=JJy2P（x.yMb,對于y軸/v=JJx2p（x,y）db

DD

平面薄片（位于toy平面）對z軸上質(zhì)點(diǎn)M（0,0,a）,（a>0）的引力：F={Fx,Fy,F:},其中:

居=川o(x，y)x『―JJ'，>))『￡=-/叫

D{x2+y2+a2yD(x2+y2+a2)2D{x2+y2+a2y

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):

x=rcosO

柱面坐標(biāo)：y=rsin^,jjjf(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,O,z)rdrdddz,

z=zQ

其中：尸(r,6,z)=/(rcos6,rsin6,z)

x=rsin(pcos0

球面坐標(biāo)，y=rsin^sin^,dv=rd(p-rs\n(p-dO'dr=r2s\n(pdrd(pd9

z=rcos(p

2TTnr(。，)

jj|/(x,y,z)dxdydz=jjjF(r,(pf)戶sM(pdrd(pde=Jd0^d(pjF(r,(pf)，sin^Zr

Qcooo

重心：‘=抑卜加匕尸春妒M，2=卷妒刖,其中M=x=JJJpdv

Q

22

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：/,.=J”（y+z2）〃y,/?=jjj（X+Z）/^V,4=J0(/+y2)*u

QQc

曲線積分:

第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：

設(shè)/Xx,y）在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為/=*"）,（a《云夕）,則:

J/(x,y)ds=j\/Io(r),^(r)]Jo'2?)+"'2?)df(a</3)特殊情況《

Lay=M）

第二類曲線積分(對坐標(biāo)的曲線積分)：

卜="),則:

設(shè)L的參數(shù)方程為

P

JP(x,y)dx+Q(x,y)dy=J{PSQ),"⑺]°'Q)+⑺,-?)]/?)}dt

兩類曲線積分之間的：jPdx+Qdy=卜Pcosa+Qcos]3)ds,其中a和力分別為

LL

L上積分起止點(diǎn)處切向醐方向角。

格林公式：Jj—^-)dxdy-，Pdx+Qdy格林公式:“-^^)dxdy=§Pdx+Qdy

當(dāng)P=-y,Q=x,BP：--—=2tbj",得至ij￡＞的面積：/4=jjdxdy=—Ixdy-ydx

drdy2{

?平面上曲線積分與路彳疣關(guān)的條件：

1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；

2、P(x,y),Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且吆=名。注意奇點(diǎn)，如：0,0),應(yīng)

oxdy

減去對此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積

在義="時(shí)，Pdx+Qdy才是二元函數(shù)w(x,y)的全微分，其中：

oxdy

(3)

“(x,y)=JP(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常設(shè)％=y()=0。

(?Wo)

曲面積分:

對面積的曲面積分jj/(x,y,z)ds=JJf[x,y,z(x,y)]J1+z；(x,y)+zj(尤,y)dxdy

E%

對坐標(biāo)的曲面積分JJP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中:

ax,y,z)dxdy=±jj7?[x,y,z(x,y}]dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào);

%

x,y,z)dydz=±|JP[x(y,z),y,z]dydz,取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào)；

ED”

羽y,z)dzdx=±JJQx,y(z,x),zjdzdx取曲面的右側(cè)時(shí)取。

0。(f

%

兩類曲面積分之間的：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=^(Pcosa+Qcos/?+Rcosy)ds

zz

高斯公式:

)dv=gPdydz+Qdzdx+Rdxdy=g(Pcosa+Qcosft+Rcosy)ds

9憔胃+稱z

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：div哈絲+義+理,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div"O,則為消失…

dxdydz

通量:A-nds=JJAnds=(Pcosa+Qcos/?+Rcosy)ds,

zz

因此，高斯公式又可寫成:JJJdivAJvAads

Q2

斯托克斯公式—曲線積分與曲面積分的關(guān)系:

rr.3/?隨、」」QF

---)dydz+(—［更)dzdx+-—)dxdy=fPdx+Qdy+Rdz

*dydzdzdxdxdy*

dydzdzdxdxdycosacos/?cos/

上式左端又可寫成gaddddd

dx8ydz叩z6xdydz

pQRPQR

dRcdP_dRdQdP

空間曲線積分與路徑賽的條件3Q

dy3z,dzdxdx

ijk

_a__5__a_

旋度：rotA=

dxdydz

PQR

向量場4沿有向閉曲線T的環(huán)流量，Pdx+Qdy+Rdz^^A-Ids

r

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):

等比數(shù)歹汽+4+夕2+???+/1=匕《

i-q

等差數(shù)歹!J：l+2+3d----\-n=("+1)"

2

調(diào)和級(jí)數(shù)a+'+’H----1■，是發(fā)散的

23n

級(jí)數(shù)審斂法:

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法——根植審斂法(柯西罰別法)：

「＜1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

設(shè)：p=lim'Ju~,則夕＞1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

"TOO

2=1時(shí)，不確定

2、比值審斂法:

「＜1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

設(shè)：p=hm^-^

,則夕〉1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

“TOOTJ

-n

P=1時(shí)，不確定

3、定義法：

s”=%+〃2+…+存在，則收斂；否則制:。

交錯(cuò)級(jí)數(shù)W1-〃2+〃3-“4+…(或-〃1+〃2-〃3+…＞0)的審斂法----萊布尼茲定理:

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿國u?氤＞u*

那么級(jí)數(shù)收斂且其和＜人,其余項(xiàng)G的絕對偏“＜un+l

、“一＞00

絕對收斂與條件收斂:

⑴〃]+〃2~*-----…，其中〃〃為任意實(shí)數(shù)；

⑵同+同+間+…+履+…

如果(2)收斂，則⑴肯定收斂，且稱為絕對攵斂級(jí)數(shù);

如果(2)發(fā)散，而(1)收斂，則稱⑴為條件收斂級(jí)數(shù)。

調(diào)和級(jí)數(shù)》3發(fā)散，而24廠收斂；

級(jí)數(shù)無《收斂；

P＜1時(shí)發(fā)散

P級(jí)數(shù)

,p〉l時(shí)收斂

幕級(jí)數(shù):

,3?/兇＜1時(shí)，收斂于j-

1+x+x+X'+?,■+X+??,(1—X

\國21時(shí)，發(fā)散

對于級(jí)數(shù)(3)4+研+“2》2+…+a“x"+…，如果它不是僅在原點(diǎn)I攵斂，也不是在全

的＜7?時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存ER,使時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

\k|=R時(shí)不定

時(shí)，R」

求收斂半徑的方法：設(shè)im%L=p,其中q，4用是⑶的系數(shù)，貝j2=(?寸，R=+oo

”\p=+8時(shí),R=0

函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù)：

2)

函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：/(x)=/(x0)(x-x0)+^^(x-x0)+...+/-^.(x-xor+-

2!n!

余項(xiàng)：4=匯*1。一/嚴(yán),/3可以展開成泰勒級(jí)數(shù)白流要條件是：111114=0

(〃+1)!"B

x0=0時(shí)即為麥克勞林公式：/(幻=/(0)+/(0)x+匯…+亡"+…

2!〃！

一些函數(shù)展開成塞級(jí)數(shù)：

(1+幻",=1+〃優(yōu)+^^2+...+陽(加一1)一5一〃+1)3+...(_]＜尤＜1)

2!〃！

Yr5/I

sinx=x---+:------+(-1)〃7-------+???(-co＜x＜+oo)

3!5!(2〃-1)!

歐拉公式：

e比+廠

cosx=-------

.f2

eIA=cosx+zsinx或〈

.e^ix—e-i.x

sinx=-------

2

三角級(jí)數(shù):

0Q00

/(f)=4+ZA,,sin(〃&+(pn)=U+Z(a〃cos?u+asinnx)

n=\2”=i

其中，a0=a\,an=A“sin(pn,bn=A,,cos夕“，cot=x。

正交性：l,sin,r,cosx,sin2x,cos2x…sin〃x,cos〃x…任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘楣E[-TZ'㈤

上的積分=0。

傅立葉級(jí)數(shù):

Q8

/(%)=—+(ancos幾v+sinnx)f周期=2乃

2n=l

1元

=-J/(X)COSAUJX(?=0,1,2--.)

其中F

]元

二一Jf(x)sinnxdx(〃=1,2,3…)

萬2

1++