考研數(shù)學二二重積分

考研數(shù)學二二重積分

1.【單項選擇題】

設(shè)函數(shù)f(R,y)連續(xù)，則二次積分Ldz|f(x,y)dy=

JJsmx

*!

dyJ(x.y)dx.

A.Jr*.irmin\

riC,

dy/(r,?)d.r.

B.I0J;r-?rc?nv

fir

dy/(z,y)cLr.

C.

?1f?-arcwny

D」M/(?z.y)dz.

正確答案：B

參考解析：原二次積分的積分區(qū)域為（圖內(nèi)陰影部分）

?sin才4j＜1

D：＜兀

7t

注意到當.?￡1"。兀］時?函數(shù)）=sin7的反函數(shù)應(yīng)為1=兀一

arcsin?.故有

2.【單項選擇題】

設(shè)區(qū)域D是+爐《1在第一、四象限的部分JCr,y）在D上連續(xù)，則二重積分

|T/（jr?＞）dxdjr=

D

/（工，?。┐?

A.

?i

B..-i

?/一1

c.2f(7,y)dy

D.J三J

正確答案：B

區(qū)蕨D是以1為半徑的圓在.r軸的右邊的部分,所以

rrirJ\-J

/(i.jOd.rdy=dy/(jr,y)d.r

參考解析：T'J

3.【單項選擇題】

設(shè)D={(1,3)Ix2+，2Lx2+y49,74Gy,》《百1},則arctan—cb=

JJX

7t°

A.￥,

TC2

B.T,

7t

c.T,

7?

D.3,

正確答案：B

參考解析?引入極坐標(廠.6)令.z=rcosB.y=rsin8、則

D=(r.O)IJ《夕且arctan'=",故

o6Ix

Ilarctan-^-ck=8d8rdr=」佶一))X：(9-1)=1

JJxJfJi2\936/26

【單項擇題】雙紐線所圍成的區(qū)域面積可表示為().

4.J'(x?+y2)2=x2-y2

產(chǎn)

2cos26d6

A.J0

產(chǎn)

4cos26d。

B.JO

什_____

2，cos2。d0

C.J0

jj,(COs2^)2d^

D.

正確答案：A

參考解析：

雙紐線（?？+/）2=/_y2的極坐標形式為/=cos2仇再根據(jù)對稱性，有

A=4X彳]r[二產(chǎn)的=2r「二cos26d6,選(A).

5.1單項選窟題】°

設(shè)平面區(qū)域D：l4/+y244,/Cr,y)是區(qū)域D上的連續(xù)函數(shù)，則!|/(—『)drdy等于

D

()?

27rlr/"(r)dr

fl.Jt

B2n[r/(r)dr—r/(r)dr

2njr/"(r)dr

C.Ji

2K[rf(r2)dr—rf(r2)dr

D.Jn.

正確答案：A

參考解析：【解】

(Tr_______f2?f2f?

/(/J+3/)dzdy=dGr/(r)dr=2Kr/(r)dr.選(A).

JJ.JoJ1J1

n

6.【單項選擇題】正方形((，y)II1141，IyI&D被其對角線劃分為四

個區(qū)域D&a=1.2,3,4),如圖1-14-1所示=『ve，d/dy,則

max{[*}=().

IW4

B.12

C.13

D.14

正確答案：A

參考解析：

如題圖所示.被積函數(shù)/(上0)=*，為y的奇函數(shù)都關(guān)于/軸對?稱.因

此/?=匕=0.

在D訥泗，》0；在D3內(nèi)ye，40.因此人>0J<0,可知maxUJ=心故選(A).

7.【單項選擇題】

設(shè)D為由丫=1：-4和y=0所的區(qū)域?/=]p￡r+y)(irdv?則

A.1=0

B.I>0

C.KO

D.I的正負與k有關(guān)

正確答案：C

參考解析：

D關(guān)尸》軸時稱?h關(guān)于/為奇函數(shù)?故匕Ld.y-Q.又在D內(nèi),yVO,故Z<0.

8.【單項選擇題】設(shè)D是xOy平面上以A(l,1),B(-l,1),C(-1,-1)為頂點

的三角形區(qū)域，D1是

D在第一象限的部分?則/=(.Jty+cosxsiny)?Lrdy=().

%

A.0

2/rydxdy

B.

2Icos?sin1ydidy

C."

4(.xy+cosxsin,y)<Lrdy

D.*

正確答案：C

參考解析：依題意，D如圖所示

J=口+cosxsin>Odzdy=IJ/ydidy+"cosxsinjclrdy=L+I2.

對于un關(guān)于y軸對稱,外關(guān)于工為奇函數(shù),故『jydj-dy=o.

D|U%

同理lj工ydrdy=0.于是L=0.

OjUDt

對于L，D,UD?關(guān)于上軸對稱,cosHsin1y關(guān)于y是奇函數(shù)?故cosisiny&rdy=0.

o3uo4

□UD?存于y軸對稱,cosisiny不于才是偶函數(shù),故

cos/sinydjrdy=2IcosxsinvdLrd.v-

故c正確.

9.【單項選擇題】

AT,crcr

li=l|co>J6▼d/dy./：=||cos(x:y2)dxd>?I=I|COM(jr:-y:”(￡rd『.

其中D：x2+y2^b則().

A.L>l2>13

B.L<I2<I3

C.L>L>L

D.LX"

正確答案：B

j

在D:o<x+y<i上.有

參考解析：,>1>+

且cosZ在％.])上為單調(diào)減少函數(shù),故

0&cos\//+-&cos(.r:+J)&cos(-y2)*.

所以rVLV/，B正確.

10.【單項選擇題】積分//(rcos6,rsin0)rdr=

A./G?y)<Lr

B.

Q^

D.

正確答案：D

參考解析：此題是極坐標下的二次積分化為直角坐標下的二次積分，關(guān)鍵是正

確畫圖，如圖5—28所示.

圖528

由??知04才

r=CO5=rc

即y二丘二？?故/i業(yè)

11.【填空題】

設(shè)a〉OJ(i)=gCr)=I：D表示全平面，則『/(.r)g(y-i)drdy=

10,其他JJ

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正確答案：

參考解析:a2

【解析】

在由04工41,04丫一工41所確定的區(qū)域口內(nèi)JQ)晨y—1)=/?其余

為零.設(shè)口的面積為S,則//(幻晨3一1)cLrd》=|ia2d.rd^=a2S=a2.

*1:

計算|di1，-廠？dy=________.

12.【填空題】JoJrx/1+.V3

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正確答案：

參考解析：T(^-1)

【解析】

交換積分次序得

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正確答案：

2

參考解析：3

【解析】交換積分次序得

r-irc?my?sinx■?2

2

cos21rdjr=cosjrdjrdycos21rsinjrdr=—

?rouny00o3

dy=

14.【填空題】A/1+y3

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正確答案:

參考解析:

ygJfG.

AT/J0/1+y

-i

出普9-3~

15.【填空題】

設(shè)區(qū)域D=|—14工41,-14]41},則二重積分|.r-j|dzdj=

JJ

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正確答案：

8

參考解析：3

【解析】

用直線y=x將D分為上、下兩部分，分別記為D”D,則

i2

1-3|drdy=jj*

z-3|d/dy+(y—.r)d.rdy+(1-y)didy

%

/X/>

rI4

-1

dx(y-/)dy+dv(x—y)d.r

-1-1

1r1ri8

(1—工/&r+(1—x)2d.r

2JJ-------J,3

22

16.【填空題】設(shè)D：x+y^4,Xx》0,y20,f(x)在［0，+8）上連續(xù)且取正

值，則

/=1U聲型變4d廣______.

F〃（力+〃（y）

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正確答案：

口46

參考解析：

【解析】

如圖所示，D關(guān)于直線y=x堆成，所以

1[TPa/TIT+b，71亦、a/HSO+b//77T1,,

2JjiLy/JTx)+，/RT>/7(3o+//TTY」

aZ>ITjia"Vb1a+力

二—yHd.rd,y=-y-?-it?2r=—7-K.

D

17.【填空題】

ririri

設(shè)八r)在［0.1］上連續(xù)?且I/(i)dx?A?則/-I<Lr|f(x)f(y)dy

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正確答案：

A;

參考解析：'

【解析】

令Fix)=/(y)d?則Fz(x)=—/(上).故

JJ

1dj

=￡f(x)f(y)dy=J/()dJ/(y)dy

=-[F(x)d[F(x)2=-4-F2(x)i=冬.

J04104

18.【填空題】

,_____ff,A

設(shè)D：-】&jr40.1—/I-J4&y4-1?則/=!7-

?7,vGr：+

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正確答塞:

參考解析：

【解析】

D如圖所示，用極坐標有竽《女—42"

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正確答案：

13萬

參考解析：144

【解析】

D關(guān)于直線y=工對稱,由輪換對稱性,有

1=0借+]辰打=/1[+]+]+圻&3

DD

=f(T+f啊+產(chǎn)出打=7(7+7)/肛&=密.

D

設(shè)D：x:+y'&2?r.則/=|T(2J+3v)dxd>=?

20.【填空題】

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正確答案：

參考解析：2n

【解析】

I—J由J(2rcos6,3r?mO}rdr

=I；(與co，"+8col，?，in，)d"

-芋「co/g+0-VXTXTXT-2X

3Jft34ZZ

21.【填空題】

設(shè)D=(Cr?y)?則limJ|Je1*■**',cos(jr+y>djdy■_______；

i+'T>

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正確答案：

參考解析：1

【解析】

由于e1--cos(z+y)z在D上連續(xù).故由二重積分的中值定理,可知

22

|cos(x+1y尸dzdy=e*，(cos($4-iy))?t,

n

其中(9”wD.當，一(r時.有(8〃~*(o?o)?故

原式=lim-i?e1"/(co.(g+?),)?/"L

i*t

設(shè)D：0<z4_y42“.貝ij/="[sin(x—y)dxdy=

22.【填空題】

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正確答案：

參考解析：4兀

【解析】

積分區(qū)域D如圖5-29所示，為去掉絕對值符號，用y=x+-將D劃分為D1

故/=s?in(x—y)|ctrdy

***

=Il0-?tn(x-y)jdLrdy+|Tsin(x-y)<Lrdy

D)西

=dy|[-syn(1-y)]<Lr+|dy\[-sard1-y)]dz+[dy|sinQ-y)(Lr=41n

設(shè)D：L+J<1,則/=Ilv2djdy=.

23.[填空題]

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正確答案：

雙ub'

參考解析：!"

【解析】

由于D為橢圓形區(qū)域，故用廣義極坐標進行計算.

令xarcos=Arsin6.則D：二?1■&】.變?yōu)镈、0Wr久1,0<21r?其變換

0b

雅可比行列式為

JiJi

*?V)Hr卻ucos0-arsin

fSBSB!?=ubr?

<?y:6sin96rcoft0|

dr卻|

ITfir/，.r_A

,:1JdrM|&“br*?ubrAr':

故l|y(Lrdiy■(Arftinff)

24.【填空題】曲線d=2a2cos20（a〉0）所圍圖形的面積為.

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正確答案：

參考解析：2a2

【解析】

rflr2“：《>828?知32&20.故一;苞；.'￡y苧.由對稱性.可知

所求面枳為

A|djrdy=4|曲|rdr4a：cosZOt^O=2<r.

25.【填空題】球體x?+y2+z2=R2（R〉0）被圓柱面x2+y2=Rx所截得含在圓柱面內(nèi)的

立體的體積為.

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正確答案：

參考解析：T（f-T）R-

【解析】

xOy坐標面上方部分立體如圖5—33所示，則

V=4/JR?一[2—y?cLrdy

D

，外一r2?rdr

=4R'C(1—sin0d8=-y.

26.【填空題】rWl與rWl+cos9所圍平面區(qū)域的形心坐標為

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正確答案：

參考解析："x-:8'>

【解析】

如圖5—34所示，由對稱性，知y=0.又由于

故形心里標為(罌二噌?0卜

\3Ov-4o/

27.【解答題】

設(shè)D={I1,+y：《I?x2+y2V2X20)?計算/=1ydLrd?

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參考解析：由{/+1=2i解"交點

八?號),根分區(qū)域D如圖5-18所示,瓜

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參考解析:用x?+y2=L即r=l將D劃分為D1與D2,如圖5—19所示,則

=[(1—r)rdrd^—0(1—r)rdrd0

4%

=2I],(1—r)rdrd0—f](1—r)rArAO

=7T.5___1_7：_11__5-

一五十§_了一歹—36_240

29.【解答題】

設(shè)DU&ix,y20?計算/=I,一/'/必打.

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D如圖3-2】所示?由二2J得

參考解析:

交點A(J

—cLrd>

rdr

-1O12X

■§21

1rfr.

=—sin0ln(1+r*)dG

ZJoLi

=yj*[ln(1+4cos汩)一In2jsinOdd

U?COM01.八一.

-1([ln(1+4〃)In2_d〃

2

=!〃ln(1+4u)—2u+arctan2u"一-yin2

2-」十4

=-ypn—1+arctan2—.

30.【解答題】

設(shè)：工?《.計算/=『口+

D0442Oy<2x+y[ctrdy?其中[1+I+裊示不

超過1+z+y的最大整數(shù).

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參考解析：如圖5—22所示，直線x+y=i(i=l,2,3,4）將D分為4個區(qū)域

Dk(k=l,2,3,4),則

m522

口+1+y]=k(k=1.2.3.4).

故1=[1+x+yjdxdy

=JJIcLrdy+||2dxdy+(]Sd.rdj+ij4dzdy=H

。%5D,

31.【解答題】

(\丁尸14工43,亭由工=3立

設(shè)/(x,j)=1=0,

0.箕他.

y-3所圍.計算/-(/(x^)dxd^

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則

.J；(1+cos20)dd=K+6--3瓜

54

計算/gdzdy.其中D由下列雙紐線所圍.

32.【解答題】4

22222

(I)(x+y)=2(x-y);

(II)(x2+y2)2=2xy.

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參考解析:(I)雙紐線(x2+y2)-2(x2-y2)如

圖5-26所示，由于D關(guān)于x軸對稱，xy關(guān)于y是奇函數(shù)，故

/=(Lryd-rdy.0.

圖5*26

(II)雙紐線6+y2)2=2xy如圖5-27所示,由于D關(guān)于原點對稱,而xy=(-x)(-

y),故

n5-27

I=[ycLrdy=2『rydzdMDi是D在第一象限的部分)

JUJJ

DD,

rysn?i

=2jddjr3cos夕sin0dr=—.

設(shè)D：|川《1.042.計算/■『IY-rdxdyj

33.【解答題]

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參考解析：由y=x?將D劃分為D1與D2,如圖5—35所示，則

r…=…2X（/c2—？2+1了1\）=4165*

設(shè)可導函數(shù)/（外滿足lim△2=1,求極限

JT

r

Lk/

34.【解答題】

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L）+2歲孫

-V/—*

「，匚/l----.77rT

=2/（，工+1r）d1y------2

參考解析：

設(shè)可導函數(shù)/(x)滿足lim△生=1.求極限

X

[也Jv/777[/（，）+2y]dy

lim

34.【解答題】

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f；-----Jjt'+f=U

=2/（[e+.z）dy一…尸--------------

參考解析:

KItm

7

35.【解答題】

1X0.

求函數(shù)F(r)的表達式.

z=0?

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參考解析：積分區(qū)域D如圖5—39所示，用極坐標.當t#0時,

sin8F(r

p.Pc1p

=r*dr—IF(r)dr=—l1—|F(r)dr?

Jo3Jo

即Fit)-j?-rF(r)dr.①

①式兩邊同時時(求導.幅F'd)=r-FO.BP_3+F")-r?縝式為一階線性做

分方程,解得

F⑺ICe^dz十(,2,+2+Ce\

由已知F(0)=0?得C=-2.故F(n=r-2/4-2-2e*.

36.【解答題】

x/*(x)djrf1(x)<Lr

設(shè)/《力是連續(xù)正值函數(shù),且單網(wǎng)減少.證明?爺---------4爺--------.

x/(x)dx/(x)<Lr

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參考解析：所證不等式變形為

/二|jrf1(x)d.i/(z)cLr—xf(j*)<Lr|f1(j,)(Lr(0?

由定枳分的值與枳分變或的字管無關(guān).故

/■萬|<￡i|—x/(x)/*(^)+yf:(y)f(x)—yf(.jdv

其中DtOVi”為1E方形.

由f(x)單調(diào)減少，知［f(x)-f(y)］與(x-y)異號,而f(x)>0,f(y)>0,根據(jù)二重

積分的性質(zhì)，知IW0,即所證不等式成立.

37.【解答題】設(shè)f(x)在［0,1］上是連續(xù)正值函數(shù)，且f(x)單調(diào)減少，D：0W

xWl,OWyWl,

證明：(1)/(?)［/(才)—/(_y)］cLrd_y<0.

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參考解析：積分區(qū)域D如圖5—43所示，D關(guān)于直線y=x對稱，由輪換對稱性，

6/0）/（?）［/（工）—/（j）］dxdj

D

=Iyf（y）f（H）［/（y）一/（x）］＜Lrdv

??

1（T一、~、..一..I

——|f—/（y）］+W（y）/（i）［/（y）—/（”）］）業(yè)dy

——|T/（x）f（y）（x—,＞［/＜］）—/（y）］cLrdy.

一??

年已知，〃工）〃腦＞0,考虎到f（r）難調(diào)我少.故（*-y）［/（/）/（山］V0?于是

|x/（x）/（》）［/（］）—/（y）JcLrd^y40?

JU

38.【解答題】

設(shè)/（x）在力㈤上非負可導?且單胃增加.（3。為。=（.r.y）a＜z-h.

0&ya/（i）的形心?證明：了》）（a+6）.

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參考解析：依題章，只需證明

『曲『皿『'力『-山

X二4--1~~奈77-=%------------＞-y＜?+6）?p為常數(shù)?

即證明jJ/(x)cLr—―-(a+6)|/(jr)dj20.令

ft]0

F(f)=工/(x)<Lr——(a+，)/(x)(Lr?/6[a?b]?

J.wJ?

1jff

則r(t)■■ff(t)—5-(<i4-r)/(f)—y/(x)<Lr.

44J?

F*(t)--1-(t-a>Z(f)>0,

故F⑺郎*增加.又F(a)=0?所以Fr(t)>F'Q)=0?即Fit)"謝埔加.

又F(a)?0?故F(f)》F(a)=0.即72：(a+6).

39.【解答題】

設(shè)D是由曲線'-1*C°Sr，(0</<2w)與)軸所網(wǎng)平面區(qū)域?計算

ly=，-sint

1—(21+y)(Lrdy.

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參考解析：積分區(qū)域D如圖5—47所示，在直角坐標下，D={(x,y)|0WyW2

n,OWxWx(y)}.

1=1-8",確定.

這里Z=Z（y）由參數(shù)方程

y=t—sint

(2x+y)djcdy=|2”(Lrdy+lydxdy.

又jj21ckrdy2xdx=Jjc2(y)dy

:，

{xCy(/)J}2?y'(r)d，=

o.

—cost

y?/-sin/

f：w.*in，獷市

(1—cosfMdr=

8-161sinAdu

0I

=32X-1xYX-1-X-^?5ir.

16?2Isinudu

*1*

ydjrdy=y?1(y)dy

Q

y(t)?x(/)?y,(t)d/

1?

《，-qinf)(l-COB/):d/

y■，-9m，

(“+雙sinu)(1+cosuYAu

x

(u+sinM>(1+cosM)-du+ir(1+cosu)dt4

-0+>r（1+cosu>:dw（利用奇函數(shù)》

一■

=2x(14-cosu):dwcos1-ydu

16猶|cos's一—16xX,X得X/=31

40.【解答題】

設(shè)函數(shù)/(.r)€C[a.Q.且/(x)>O.D為區(qū)域a4/46.證明:

，了&dy》（6-a）*.

n/（*）

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參考解析：因為積分區(qū)域關(guān)于直線y=x對稱，

心力可黑裊",于是,

所以打(y)dxdj.

D」D，J