考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷3（共217題）

考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷3（共9

套）

（共217題）

考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷第1套

一、選擇題（本題共8題，每題1.0分，共8分。）

若隨機變量X服從參數(shù)為人的泊松分布，工服從參數(shù)為P的幾何分布，兒服從區(qū)間［0，口上

的均勻分布,工服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，則它們中具有“無記憶”性（PM>s+"*

=p\x>t\,sn>O）的隨機變量個數(shù)是

（A）I個.（B）2個.（C）3個.（D）4個,

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：

【分析】設所取的兩個數(shù)分別記作“，九并設事件4=l（x,y）l町

4右,0J<1,0<”曷從（0.1）中任取的兩個數(shù)，故

（才,,）與正方形區(qū)域。內(nèi)的點一一對應，其中o=l（x,y）I0<X

<I,0<y<I|.區(qū)域仇（右圖中陰影部分）內(nèi)的點（孫?。┮欢M足

町W仔.依幾何型概率公式

P3)=￡=高”;各”=5+全，

=獷2+】吟Q).

故選（C）.

設函數(shù)z=/(x,y)有連續(xù)的偏導數(shù)，則6坐=。受是存在可微函數(shù)g(u),使得

ay

/(?,/)=g(ax+勿)(而*0)的

(A)充分而非必要條件(B)必要而非充分條件

(C)充分必要條件(D)既非充分又非必要條件

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【分析】必要性可直接驗正對干充分性，引入變量U=3+”,U=Z,則Z=f(N,y)=/(”,匕亍”)

及X=%y=巴三絲只需驗證坐=0,即Z與“無關，只是14的函數(shù)，所以J(Q)=g(U)

0(fV

=g(ax+by).

【詳解】如果/(")=g(s+匕)，則今=(,%玄=/'從

亦a)

即得6號=。巳因此,6日■=a曰■是必要條件.

dxaycrxay

令u=ax+by,v-

則行X=v,r=匕請，z=/(?,/)

于是必=更?在+曳.亞=亞——史=2(6瓦-a

dvdxdvdydvdxbdybdi

所以，當6日=a左時，有白■=0.

Mdy(7V

即z=/(x,y)=/(也匕/)只是u的函數(shù),

即/(?,y)=&(a2+by).故選C.

對于二元函數(shù)f(*y),如果冬=0,則/與*無關,即/只是y的函數(shù).

(fx

設。是4。,平面以(1,1),(-1,1)和(-1,-1)為頂點的三角形區(qū)域，2是0的第一

象限的部分,且/(%,y)=(4,y)心力則

(A)J7(z,y)d%dy=j[f(xty)dxdy.

DDi

(B)^f(xty)dxdy=2^f(x,y)dxdy.

0Di

(C)jff(xty)dxdy=2^f(y,x)dxdy.

DDi

(D)(x.y)dxdy=[y,x)dxdy.[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：D

知識點解析：

【分析】先求出fa,y)的表達式,再利用二重積分的對稱性.

【詳解】由/(R,?);寸+]J/(x,y)dzdy=^+4,其中4=//(3/心打為常數(shù)，

。D

有4=^f<xty)dxdy=^[xyA]dxdy=24,

7>0

于是4=0,即大3,)=xy.

(A)、(B)、(C)三個選項中,左端項均為零，但右端項均不為零，故正確選項為(D).

【評注】一般地，若/(%.y)=g(4.y)+則令4=J/?(x,y)/(x,y)(/*<//,

DD

有/(*y)=g(x,y)+4兩邊冏乘以再在。上取二盤積分，可求得4從而

得/(3/的表達式，

4、

設4是3階矩陣.且A+iE(,=1,2,3)均不可逆,"是4的伴隨矩陣,則I(y4)eI=

(A)Y3.(B)-3f.(C9)(D)一9".

441616

[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【分析】由矩陣A+iE(i=1,2,3)不可逆，知IA+道1=0,即I-法-4I=0,

所以矩陣4的特征值是-1,-2,-3,那么IAI=-6.據(jù)有

?4A)，?=14-Al2=[(J)"”]=".

故應選(C).

評注本題考查IAi=口入；.要知道行列式與將征值之間的關系.本題也可以用

(kA)'以及4與A?特征位之間的轉(zhuǎn)換來計算.

5、

設隨機變量X服從分布F(n,n).記p|=P|XN11如=P|XW11，則

(A)Pi>Pi-

(B)Pi<p2.

(C)Pi=p2.

(D)因自由度n未知，無法比較“與pz大小.【】

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【分析】本題要求利用F分布的性質(zhì):若X~F(m,n),則;~，("小)?

【詳解】題中隨機變StX服從F分布，應從F分布性質(zhì)入手.如果x~則

1/X~/(%m).由題中條件知m=兒于是彳與1/X都服從分布

事件建云11與+這II相等，因此PIX》"=Pl；w"=Pi-

又因X與5同分布，因此PI：W1|=P\X^\\=p].

AA

綜上分析知通=P2?故應選(G.

?.

"評注】應熟練*握，(“)分布」(n)分布和F(m,n)分布的定義與性版?j

6、設隨機變量x?N?，。2),其分布函數(shù)為F(x),又Y=F(X),貝產(chǎn)丫《力等于

().

A、1

1

B、2

1

C、3

1

D、彳

標準答案：B

知識點解析：

因為X?所以FCr)=。(與/)，于是丫=F(X)=取與與,

={-紅馬&梟等價于{U4。},即《x4〃.

故P(YE)}=P{X&〃)=4?，選(B).

7、設f(x)在x=xo的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且在該鄰域內(nèi)x,xo處「(x)存在，則

lim/(x)嶼A”是“/(小)—A

“―/，，的()

A、充分必要條件.

B、必要條件而非充分條件.

C、充分條件而非必要條件.

D、既非充分又非必要條件.

標準答案：C

limf(x)A

知識點解析：在所說前提及條件“L，?！毕?，由洛必達法則:

limW/3=lim叼二年工=lim/(x)=A,

一/X-XoA飛(JT-Xo)f所以r(xo)

至強A,從而知惠邑A"是"/Go)全岑A

—?！钡某浞謼l件.但不是必要條件，反例

“#0,

/(x)=彳1

如下：設10，”二°?本例滿足本題所說的前提(其中xo=O),

——cos-(x#O)?lim

f(x)=2xsin"”i「(x)不存在，而

/sin——0.

/(0)=lim--------------=limrsin-=0

I*14卻是存在的.所以

lim/(x)A”不是“/(G)A

“f,”的必要條件.

8、設隨機變量*⑺貝1」().

A、Y—x2(n)

B、y—x2(n―1)

C、y—F(n,1)

D、1,—F(l,n)

標準答案：C

知識點解析：根據(jù)t分布的性質(zhì)，X2~F(Ln),再根據(jù)F分布的性質(zhì)擊

因此Y二下小故應選擇C.

二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)

9、

設仁窯工；產(chǎn)中，可導，且“0)"，則,L=---------------

標準答案：3

知識點解析:

■f(0)?3?l,

［解析」定.￡?就二3e二且八0)xo,則常/(0)=5

10、

設y=y(%)是由方程，+y=sin(zr)確定的隱函數(shù)，且y(o)=0,則戶。)=?

標準答案：-1

知識點解析：

【分析】將方程兩端同時對與求導數(shù)，得

2xy'=(1-y')coR(x-.(*)

在(*)式中令*=0,又y(o)=o,即得y'(o)=y.

將(*)式兩端同時對n求導數(shù),又得

2+/*=-y*cos(x-y)-(1-y*)2sin(x-y),

在上式中令*=o,又y(0)=0,且y'(。)=?，即得/(0)=-1.

評注細心的讀者會發(fā)現(xiàn)，在本港求解過程中其實不必算出＜(0)的值，一樣能求出

/(0)=-1.

11、

0101i

設隨機變速x~j_j_,r-ii.且協(xié)方差cov(x.y)=看,則x與y的聯(lián)合分布為

TT22

標準答案:

［考點點撥］本題考查的知識點是:聯(lián)合分布與邊埠分書的關系.

［解析］由題設易知田=；,￡丫=V.又cov（XJ）=EXY-EXEY=EXY-±=：.故EXY=

4ZooL

由于xy僅取。與I兩個值,所以EXY=I'P\XY=1|=P\X=\,Y=1|=再根據(jù)聯(lián)合分布與邊

緣分布關系即可求出x與丫的聯(lián)合分布.

［評注］本題主要考交班合分布與邊爆分布的關系，我們知道，由聯(lián)合分布可以求出邊緣分布，反之不熟.

但是在給出邊嫌分布的條件下，如及再附加些條件，如相互效立、熱件分布或者某些概率依等，fi

可求出或合分布.

12、

設A是三階不可逆矩陣，。邛是三維線性無關列向R,滴足Aa=P，AP=a,且

A~A，則A=.

標準答案：

0'

A?1.

一1-

知識點解析：

分析A不可逆，IAI=0,A有人］=0

Aa=//,AQ=a，兩式相加,得A（a+少）=a+夕

兩式相減有A（ap）=（p-a）=-（a-。）,故有特征值七=Uh=-L（對應的特征

向枇為a+生。一㈤

A有三個不同的特征位,0,1,-1,從而知

0_

A~1

V-2-（I尸

13、級數(shù)W"'I的收斂域為.

標準答案：［2,4］

知識點解析：本題考查函數(shù)項級數(shù)的收斂域。首先令x—3=y，求出°+1的

收斂區(qū)間，再判斷兩端點處的斂散性，得出+l的收斂域，最后令x-3屬

于該收斂域，從而得出x的收斂域。令y=x—3,則級數(shù)化為

1_____y_i_|y?

當y=i時，771V,而級數(shù)收斂，因此4/+i收斂；當y=-1時,

y(-1)"

川+1是交錯級數(shù)，根據(jù)萊布尼茨判別法，該級數(shù)收斂。因此級數(shù)

V-L-y-

fAn2+l的收斂域為[-1.1],即.34一1，1]，xG[2,4]o綜上所述,級數(shù)

y/-yd廠

n+1的收斂域為[2,4]0

14、微分方程2x2y，=(x+y)2滿足定解條件y(l)=l的特解是.

工-田公金2arctan=Inx?

標準答案：x2

知識點解析：

題設方程可改寫為八十(1+5『，這是齊次微分方程，令y=xu,My,=城+%

代人即得

XU1-￥U--1-(1+u)2oXU=-y(1+u2).

分高變量得97=—2arclanu=In|x|+C.

1+u2X

從而原方程的通解為2arctan上=In|x|+C.它包含定義城分別為*>0與x<0的兩族函數(shù)

X

2arctan—=Inx?C,(x>0),2arctan—=ln(-x)?C,(x<0),

xx

將y⑴=1代入前者有2arctan1=C,即得C=.

故所求的特解為2arctan上=Inx+-J-.

x2

三、解答題(本題共9題，每題7.0分，共9分。)

15、

設/(x),g(x)在[0,1]上的導數(shù)連續(xù)，且/(0)=0,/(x))0,g'(")

0,證明：對任意a6[0，1]有

|g(x)f(x)dx+J/(x)g，(x)dx/(a)g(l).

標準答案：

【證法-】J：/(x)/(x)cLr=￡,/(x)dg(x)

■■/(x)g(x)|(j?

?/(l)g(l)—/(O)g(O)—[g(.x,)f，(.x')dx

■/(DgCl)-JgGl/Odx—Jg(jc)『(x)dx,

因/(z)2。?根據(jù)第一積分中值定理

fga)，《z)dx=g(ejy<x)dx=-/(。川，其中f€[a,l].又由/<x)>0,/(x)20,有

<(x),/(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,因比，g(D><<?./(1)>/(a).于是

Jg(x)//(x)dx+J/GO&Ldx

=￡g(x)/(j)dx+/(Dg(l)-J\(x>/(x>ir-x(e[/(])-/(a)]

=/(l)g(l)-g(0[/(l)-/(a)]>/<l)g(l)-g(l)[/(l)-/(a)]=g(l)/(a).

[證法二】設F(x)=[g(Q/(，)d，+[/⑺/⑺d—/(x)g⑴?工€E0.1].

則F(x)=g(x)/(x)-r(x)g(l)=r(z)lg(z)->f(l)J.

由于工€[0,1]時/(x)>0,/(力>0.因此，<。,即F(x)在[0,1]上單調(diào)遞減.

又F(D=￡g(r)/(r)dt+Jy(n/(f)d/-/(l)g(l).

而1：8a)/《‘)出=J"g(/)d/(n=&(力/(力|：-

=/⑴后⑴-￡/(“(,)&

故F(l)=0.所以，當z6[0,1]時.F(Z)20,于是對任意ae[0.1],有F(a)20,即

￡g(x)/(x)dx+￡/(x)x，(j-)c￡r》/(a)g(l).

知識點解析：暫無解析

16、

設a是線性方程組Ax=5的解，四，魚，…,。，是其導出組的基礎解系，令％=。+4，

七=a+氏，…，%=a+fit

證明：(】)a,y?n?,,,?%線性無關；

(2)方程組Ax-b的任一解7可表示為y=Aoa+kxyx+k2y2+…+ktyt.

其中自+自+…+%=1.

標準答案：

【分析】(1)用定義證明；(2)利用非齊次線性方程組解的結構進行分析即可.

(詳解］⑴設人()a?AJ7I+A必+…+A,y,?0,

將Y.=a+6,(i=U2,-J)代人,整理得

(Ao+A)+,,,+A,)a+人必+,,,+Xfic-0,①

用A左乘上式得，(入o+A1+…+\,)Aa=0,

而4a=b'0,所以Ao+A,+???+Af=0,②

代向①得，九4+AJ9,+…+入⑸=0.

由于向,4，…,四為基地解系，必線性無關，故

A,=0,A2=0.-.A,=0.③

將③代人②,得入。=。,故，,%線性無關.

(2)根據(jù)方程組解的結構，若>是4r=b的解，則

y=?+3++…+3

=a+&(Yi-a)?與(>2-a)+…+4,(%-a)

=(1--------k,)a++—+k,y,

令&o=1-A1-…-kf,則顯然有k0+kt+—+A,=1.

且y=%。+A1％+k:y2+…+k,yt.

.......?????????

：【評注】(2)的證明也可這樣考慮為Ax=0的解，故存在4，勺，…人使

y-?=3+k此+-+kfi,

即：y=a+A,(y,-a)+與(%-<?)+???+kt(y(-a)

=(1-h~Aja+4,7,+…+ktyt

=ka+k』+…+k,y,.

這里及=1一左-及-4，演足％+&+…+丸=I.

本題說明，若齊次歧性方程組Ax=0有，個線性無關的解，則卷齊次線性方程組Ax=b

?。有f+1個段性無關的解，且其任一解可由￡+1個段性無關解向上線性表示，只是表

示系數(shù)要求滿足其和力1的條件.

知識點解析：暫無解析

17、某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q尸叫2+bq+c,需求函數(shù)為q=a(。一p)，其中c>0為

固定成本，a,b,a,p均為正常數(shù)，0>b,q為需求量(需求量等于產(chǎn)量)，p為該

產(chǎn)品的單價.求產(chǎn)量q為何值時，利潤最大？

標準答案：利潤函數(shù)L(q尸pq—C(q)=(p—aq)q-(叫2+bq+c產(chǎn)(a+a)q2+(p—b)q-

B-b.

c.L'(q)=-2(a+a)q+(p—b).令L'(q)=O,得唯一駐點qo=2(a+a).由于L”(q尸

—2(a+a)<0,故當q=qo時，L(q)為極大值，同時也為最大值,所以Lmax(q尸一

(8—砂

(a+a)qo2+(P一b)qo-c=4(a+a)-c.

知識點解析：哲無解析

18、某機械工程師為了解多臺同種儀器的精準度，抽取其中n臺對某零件的同一物

理量0各檢測一次，得到的測量結果分別為X1，X2,…，Xno記錄n次測量結果

的誤差分別為匕:%一工(i=l,2,…，n),其概率密度為

隊),0<y<6.

其他。，假設Xi的絕對誤差為z,二|x,-M]

0.(I)求Zi

的概率密度；(II)利用Z1，Z2，…，Zn求未知參數(shù)。的矩估計量@：(ID)求。的

數(shù)學期望和方差。

標準答案：(I)已知匕=%-*(?=1，2「?，幾)的概率密度為

/(y洌=段"

°，其他。設Zi的分布函數(shù)為Fzi(z)。當zVO時，顯然

Fzi(z)=O；當zNO時，

々(z)=P|Z,Wz)二P||匕|Wz1=P|-z<y,Wz|=f—(P-y)dy,

人力因此可得Zi

"z,(z).像D，0々<%

az

的概率密度為°，其他c(11)隨機變量2的數(shù)學期

望是

E(Z)=J/(z⑻dz=j.與什z)山=《凈L?r=p

用樣本均值2=?￡%代替上式中的￡(Z),可得。的矩估計量。=2Z=2￡Z|C

niat

（in/的數(shù)學期望

）=2哈不卜2￡（幻=2亭仇

。的方差

。（加。仔￡z）=叫十￡z,）=料Z）TE（ZXE（Z）『|,

其中［￡（Z）］2唱［=?,

E⑺“J/Q⑼擊=（/償d&*（方知:哥.

代人0（。）可得0（0）=7（^2-7）

知識點解析：本題主要考查求未知參數(shù)的矩估計量以及期望和方差的求解。第一問

根據(jù)誤差和絕對誤差的關系求Zi的分布函數(shù)，對分布函數(shù)求導后得概率密度；笫

三問直接利用連續(xù)型隨機變量的期望和方差的計算公式對矩估計量務求期望和方

差。

19、己知A是3階矩陣，a；,a2,a3是3維線性無關列向量，且Aai=3ai+3a2—

2（X3，Aa2=-a2，Aa3=8ai+6a2—5a3.⑴寫出與A相似的矩陣B；（口）求A的特

征值和特征向量；（HI）求秩r（A+E）.

3

由于,。2，。3)=(?|?3。2-2of3,-a2,8a|+6a2~5a5)

308-

=(,,。2?。3)3-I6

-20-5-

令P=(5,%.。力，因,.a2.?3線性無關，故P可逆.

-308'

記6=3-16,則有=5,即4與5相似.

標準答案：(I)-20(口)

A-30-8

由|AE-b|=-3A+1-6=(A+1兒

204+5

可知矩陣5的特征值為?l.?1,-1,故矩陣4的特征值為-l,-1,-l.

對于矩陣跖由

-40-8-

?E?B=-30-6.得特征向《(0,1,0)1(-2.01)匚

204

那么由Ba=4a即(尸14尸)。=4a,得4(Pa)=A(Pa).所以

是4的特征向做，于是4屬于特征值-1的所有特征向量是

士仁+42(-酎1+。3)，其中0，1不全為。.

(H1)由4-5有4+E~5+E.故r(A+￡)=r(5+E)=1.

知識點解析：暫無解析

1_

設隨機變量x?N2,在X=X(XWR)的條件下，Y的條件概率密度為fYix(yIX尸

Ae"',郝.

20、求常數(shù)A：

標準答案：利用規(guī)范性

1fyix(.yIx>d>dy=A4,得到A

知識點解析：暫無解析

21、求Y的概率密度fY(y)；

=A（x）/nx（yIx）=-e‘尸"〉?￡R

R

）!

/r（y）=「"/Cr,y）業(yè)=「"le"?G）"

J-8KJ-bK

—~cT,->/2n?[=,y￡R

標準答案：X2后

知識點解析：暫無解析

22、求概率p（'r<v3x=[3

/yx（J外工產(chǎn)（T”~eR

標準答案：叩號'TH工S&工擊乜7

知識點解析：暫無解析

I2T2）

5a3

23、設a=（l,1,-1）丁是人=一1b一2的一個特征向量.（I）確定參數(shù)

a,b的值及特征向量a所對應的特征值；（II）問A是否可以對角化?說明理由.

標準答案：（I）

p—2+1+2=0,

由Aa=入。，得；一5+4一”+3=0,解得力=-3,〃=0,1=—1.

-6-A-2-0,（口）由|ZE—

AI=（入+1）3=0,得入=-］是三重特征值.因為r（-E—A）=2,所以￡=-1對應

的線性無關的特征向量只有一個，所以A不可以對角化.

知識點解析：暫無解析

考研數(shù)學（數(shù)學三）模擬試卷第2套

一、選擇題（本題共8題，每題1.0分，共8分。）

1、

設/Gr）為不恒等于零的奇函數(shù)，且，（0）存在，則函數(shù)gCr）=§（）.

（A）在”=0處左極限不存在（B）有跳躍間斷點x=0

（C）在x=0處右極限不存在（D）有可去間斷點工工0

A□

A、

Ra

c、0

D、0

標準答案：D

知識點解析：

【解析】由/(1)是奇函數(shù)有"0)=0.因為/(0)存在，所以

f(0)=limfW二一°，=lim=limg(z).

又因為z=0是g(z)的間斷點，且limg(%)=/(0),所以2=0是gGr)的可去間斷點.故

應選(D).

2、

廣義積分J：哼空業(yè)

(A)發(fā)散.(B)收斂,且積分值為手-yln2.

(C)收斂，且積分值為￡+/ln2.(D)收斂，且積分值為多一ln2.

AS

RS

D、

「0

標準答案：c

知識點解析：

【分析】直接用分部積分法計算即可.

廣?+『蛔號吧

=f+F7aT7)=f+r(十一缶產(chǎn)

=+,n=,n=+,n2

TTTT?|1T~TlTl*

3、

已知隨機變量X服從［-1,1］上均勻分布.則X和IXI

(A)相互獨立且不相關(B)不相關旦不相互獨些

(C)相關但不獨立(D｝相關但相互獨立

A、

B、

C、

D、

標準答窠：B

知識點解析：

【分析】由乂V=fx?4<h=0,EXIXI=fxIxI=0.故cov(A,,IA'I)=0.

-r-l2J-i2

即X和IXI不相關.另外由于{lW<撲{--1-<X<抒且P(*<*)<H

P(x<ynlVI<4)=〃(lXI<<y)p(lXI<和IXI是不獨

立的.從而應選(H).

4、

12a-

已知A=1a+11H是3階非零矩陣，且AS=0,那么

?a21-

(A)a=1時1的秩必為1.(B)a=1時的秩必為2.

(C)。=-3時,8的秩必為1.(D)a=-3時.8的秩必為2.

[1

A、

B、

C、

D、

標準答案：C

知識點解析：

【分析】由A8=0,可知r(A)+r(8)這3.

若。=1,易見r(4)=1、那么r(3)石2,故武8)=1與r(A)=2均有可能，所以(A).

(B)都不正確.

若a=-3,可求出r(A)=2,那么r(Q)C3-r(A)=1.又因矩陣5非零，有r(B)2

1,從而必有r(8)=1.故應選(C).

評注對于=0,另一個觀點為1的列向量是齊次方程組Ax=0的解.

%a=1時，

121-rl2

4二121一?00

-121--000」

Ax=。的呆圍解系是(-2,1.0)T,(-1.0,l)L

-2-20--12-「-2-01

圻以110000100,???等形式均可以是矩陣兄

000-?1010-

其秩可以是1也可以是2.

當a=—3時，

22-3-

A--211

L-3、000■

Ax=0的息礎解系是(1,1,1)、故矩庫H的形式只能是tu其中不仝

(.*,...?：二

?■

為0.??I.、..；，.-,??'

5、

下面結論正確的是：

(A)設〃=/(X)在No處連續(xù)，而V=g(x)在Xo處不連續(xù),則函數(shù)y-f(x)g(x)在XQ

處一定不連續(xù).

(B)設〃=/(X)在No處連續(xù)，而V=g(x)在處不連續(xù),則函數(shù)_y=/(X)+g(x)在Ro

處一定不連續(xù).

(C)設〃=/(I)在?處連續(xù)，而笠=g(“)在“0=/Go)處不連續(xù)，則宓合函數(shù)y=

g(/(z))在Z0處一定不連續(xù).

(D)以上皆不正確.

[]

A、

B、

C、

D、

標準答案：B

知識點解析：

分析(A)令八/三。則了三0,在的處連續(xù).

(B)由于limy=lim[/(x)-g(z)]

LX。X-Z0

lim/(z)=/(x)而limg(z)Hg(%o)

0L%

從而limyWy(z(j),在處y=/(x)+g(x)不連續(xù).

L*01

(C)令“=f(x)M“o,則y=g(/(x))=g(UQ)因而在XQ處連續(xù).

r-TT1,、,則級數(shù)七(一I)一。.

6、設an>0,且當n—>8時，a1]?水1+〃)?->()

A、條件收斂.

B、絕對收斂.

C、發(fā)散.

D、斂散性由具體的an決定.

標準答案：D

知識點解析：舉例說明斂散性由具體｛an｝決

設%=ln(14n)，顯然與(―條件收斂'.

設&=仄?1+(-1》5,顯然當〃-8時,人~品7萬,且4>。.

而(一】尸/=^￡一十?

因為￡鼎高條件收斂，￡十發(fā)散'所以就導詈一9]發(fā)收

7、設總體X服從參數(shù)為入伍>。)的泊松分布，X”X2,Xn+I為來自總體X的

簡單隨機樣本.記1=建53則E(T)=().

A、X

B、2X

C、X2

D、2產(chǎn)

標準答案：B

知識點解析:因為X?%(人).所以E(Xi)=D(Xi)=3則

E(T)=6已￡(X+-XI?]=十￡E[(Xi]一X>]

=}￡(D(X田一XJ+[E(X-i-X.)了}

=[*[D(X出)+D(X,)]=}￡2/=2九

"iI故應選B.

8、如果向量b可以由向量組a”。2，…，（13線性表示，則（）.

A、存在一組不全為零的數(shù)k2i，.k2，…，1<3使b=kiai+k2a2+…+k3a3，成立

B、存在一組全為零的數(shù)ki，k2?...?k使b=k]ai+k2a2+...十k3a3成立

C^存在一組數(shù)k],ki，...?k,使b=kiai+k2a2+…+k3a3成立

D、對b的線性表達式惟一

標準答案：C

知識點解析：由向量線性表示的定義而得.

二、填空題（本題共6題，每題分，共6分。）

9、

oo/?I12?

級數(shù)I一上一的收斂域為__________.

之J（I+“）4"

標準答案：（-3,5）

知識點解析：

8n

【分析】先設二=（1-I）：將原級數(shù)化為2-~.再求收斂半徑.繼而判定端點

的斂散性.

級數(shù)產(chǎn)的"=漫—二二即當：時.級數(shù)

c2=O(Z〃T?HI)418_____J_____4"I=16-1)”<4

(n+2)4

Z（：：：）%收斂.也即IX-1I<4,-3<X<5時,原級數(shù)收斂.當*=-3時.￡

十（_4泡）力二巴N$1發(fā)朧當X=5時?8區(qū)”4M產(chǎn)=28f發(fā)散.

所以級數(shù)￡上不志的收斂域為（一3?5）.

二工''w0u,若/□）在》=0處的二階導致存在則“

設/⑴=

ax'+2x+1,v>0

標準答案：2

知識點解析：

【分析】用定義計算/"（（））.

由于r（o）存在.則/（x）在太=o處必連續(xù),且有

r（x）=2戶.KWO/（o）=2

則

/.(0)=lim"+2)-2=2a

x-o+x

2V2X-2

f.(0)=lim-~~-

Y-n-V

由于「0）存在,則廠（0）=T（0）,得a=2.

11、

無窮級數(shù)￡,二--------------------

標準答案：2e

知識點解析：

【分析】利用已知函數(shù)的察級數(shù)展開式求和-=￡三

【詳解】==￡閨

=±1(n-D!+A(?-D!

=￡(n-2)!+￡(n-1)!

OEA+i

【評注】無窮級數(shù)的求和問題可考慮的方法有：定義法、利用巳效函數(shù)的暴級數(shù)展開火以及

轉(zhuǎn)化為某級數(shù)再逐項求導或積分等.

設總體x服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，乂％為取自總體x的一組簡單隨機樣本，則

當“T8時，隨機變量,依概率收斂于.

標準答案：e2

知識點解析：

【分析】若總體X的A階原點矩￡(f)=1,2.…)存在，則根據(jù)辛欽大數(shù)定律，

當nt8時，有At=上j,k=1,2,—.

若g是連續(xù)函數(shù)，則進一步有

P

g(44,…4)——3.如，…小士)?

利用上述結果,即可方便地得出本題的結論.

【詳解】由題設，知EX==1,于是EX?=DX^[EXV=2.根據(jù)大數(shù)定律，有

4=十石尤」~*2,從而有---故應填J.

女評注】大數(shù)定律在數(shù)學三武卷中遷從未命題考查過,但大敬定律的條件和結論遷是值得注意的.

I..................:.....................................................

13、微分方程(x+y)dy+(y+l)dx=O滿足y(1)=2的特解是.

X-----—+

標準答案：2(y+l)y+1

曲?十4____y

知識點解析：將方程改寫為力'+】、+】，將x看成函數(shù)，此為x對y的一

階線性方程，代入通解公式，得

工=e加(-J*田小+C)=卡(―專+C)-+舟

再由初始條件:工=】時，廣2,得C=5,所以.一萬招+品.

14、已知實二次型「-(X],X2，X3)=a(xF+X22+X32)+4x]X2+4x]X3+4X2X3經(jīng)正交變換

x=Py可化成標準形f=6y]2，則0=.

標準答案：2

知識點解析：由題設，原二次型的標準型為f=6y,則二次型相應矩陣的秩等于1,

且相應特征值為6,0,0,設原二次型的相應矩陣為A,則

a22'-2

A2a20

22a-Ln-202-3當時2時，可化為/01」此時rAN2；當a=2

111

000

時，可化為L。o0」此時rA=l.由此得出a=2.

三、解答題（本題共9題，每題1?0分，共9分。）

15、

某公司在兩不同地區(qū)銷售同一種產(chǎn)品，兩地區(qū)的需求函數(shù)分別是：

P?=2O-2Q.P2=14-Q,（F是價格,Q是銷售母）.而銷售產(chǎn)品的總成本是C=2Q+6.同：

價格Pi、R為何時，可使總利澗最大？最大利潤是多少（設價格單位是萬元）？

標準答案：

解總利泄L=QP+Q：）-6

+Q2FJ-2（Q1

=P,（10-+Pj（14-P2）-20（10-+（14-P0］-6

=一空+IIPL4+16P2-54

令Lj=11-P,=0,LZP,=16-2PZ=0,得唯一駐點：P=ll.P2=8

故當Pl-11（萬元3P2=8（萬元）時利潤最大，最大利潤是L=70.5（萬元）

知識點解析：暫無解析

16、設