山東省棗莊市薛城區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)診斷試題高二數(shù)學(xué)2025.01本試卷共4頁，滿分為150分，考試時間120分鐘．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求直線的斜率，根據(jù)公式求傾斜角.【詳解】直線方程可化為，所以直線的斜率為：，即，又，所以.故選：C2.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于（）A. B.3 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】由拋物線方程直接得焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程即可求解.【詳解】由題意拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程分別為，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離等于3.故選：B.3.已知等差數(shù)列的首項為1，若成等比數(shù)列，則（）A.-2 B.4 C.8 D.-2或4【答案】B【解析】【分析】設(shè)出公差，根據(jù)成等比數(shù)列，得到方程，求出，檢驗后得到答案.【詳解】由題意得，，且，設(shè)公差為，則，解得，若，則，，滿足要求，若，則，不合要求，舍去，故.故選：B4.設(shè)，向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直求出，再求出的坐標(biāo)后即可求其模.【詳解】由，得，解得，所以，則，所以.故選：D.5.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到x軸的距離為（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合空間直角坐標(biāo)系，數(shù)形結(jié)合利用勾股定理求解點(diǎn)到x軸的距離.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，過作平面，垂足為，則軸，在坐標(biāo)平面內(nèi)，過作軸，與軸交于，由，則，，由，平面，平面，則軸平面，平面，則軸，故即點(diǎn)到x軸的距離，則.故選：D.6.已知雙曲線,則C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A. B. C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線方程,根據(jù)雙曲線的對稱性,取其中一個焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線即可,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出結(jié)果即可.【詳解】解:由題知雙曲線,即,故焦點(diǎn)坐標(biāo)為,漸近線方程為:,即,由雙曲線的對稱性,不妨取焦點(diǎn)到漸近線的距離,故焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.故選:B7.已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，則切線長的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求得圓心的軌跡方程為圓，得到圓上到點(diǎn)的最大距離為，結(jié)合圓的切線長公式，即可求解.【詳解】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，因為圓的半徑為，且過點(diǎn)，可得，即，即圓心的軌跡表示以為圓心，半徑為1的圓，可得，則圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為，又由切線長公式，可得切線長的最大值為.故選：A.8.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且為正整數(shù)）．則（）A.－1 B.1 C. D.【答案】C【解析】分析】將進(jìn)行整理，可以求出其通項公式，再代入可得答案.【詳解】由，，故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列的前項和為，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.數(shù)列是遞增數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】利用數(shù)列中與的關(guān)系得數(shù)列為等比數(shù)列，再逐一判斷即可.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)時，由，即，又，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，，對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，則，故數(shù)列遞增數(shù)列，故D正確.故選：AD.10.如圖，是雙曲線與橢圓的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)A是在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，若，則（）A.雙曲線的漸近線為 B.的離心率為C.的方程為 D.的面積為【答案】BD【解析】【分析】設(shè)雙曲線的方程為，橢圓的方程為，根據(jù)已知，結(jié)合雙曲線以及橢圓的定義求出的值，即可得出A、B、C；根據(jù)余弦定理以及正余弦之間的關(guān)系求出的值，即可根據(jù)三角形的面積公式，得出答案.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，橢圓的方程為，則，，所以，，，，所以公共焦點(diǎn)為，，，所以，.由圖象易知，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，所以，.根據(jù)橢圓的定義可得，，所以，，，所以橢圓的方程為，橢圓的離心率為，故B項正確，C項錯誤；對于A項，根據(jù)雙曲線的方程易知，雙曲線的漸近線方程為，故A項錯誤；對于D項，由余弦定理可知，.又，所以，所以，，故D項正確.故選：BD.11.在棱長為1的正方體中，點(diǎn)滿足，，則（）A.當(dāng)時，的最小值為B.當(dāng)時，有且僅有一點(diǎn)滿足C.當(dāng)時，有且僅有一點(diǎn)滿足到直線的距離與到平面的距離相等D.當(dāng)時，直線與平面所成角的大小為定值【答案】ACD【解析】【分析】對于A項：應(yīng)用空間向量知識可判斷：點(diǎn)的軌跡為線段，再應(yīng)用正方體表面展開的方法，即可判斷的最小值為；對于B項：應(yīng)用空間向量判斷滿足的點(diǎn)的個數(shù)；對于C項：應(yīng)用空間向量求出點(diǎn)滿足到直線的距離與到平面的距離；再解即可判斷；對于D項：應(yīng)用空間向量求出直線與平面所成角的正弦，即可其大小為定值；【詳解】對于A項：當(dāng)時，,因為，設(shè),所以四邊形為平行四邊形（如圖所示），點(diǎn)的軌跡為線段.將正方體上底面如圖展開，構(gòu)成矩形，當(dāng)三點(diǎn)共線時，即，故A正確；對于B項：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則.當(dāng)時，，又因為，，所以恒成立，所以，則總成立，故B錯誤；對于C項：因為，所以點(diǎn).因為，，所以點(diǎn)到直線的距離為，因為，所以；取平面的法向量為，因為，所以點(diǎn)到平面的距離為，又因為，所以，由得，因為，所以，所以，則，所以點(diǎn)且唯一.故C正確；對于D項：因為，可取平面的法向量為設(shè)直線與平面所成角為，則，又因為，所以，所以直線與平面所成角為（定值）.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點(diǎn)在拋物線上，則點(diǎn)到拋物線的焦點(diǎn)的距離為_________．【答案】3【解析】【分析】只需把點(diǎn)代入方程，就可解得，即可知焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式就可以算出答案.【詳解】由題意得：，解得，所以拋物線，即焦點(diǎn)坐標(biāo)是，即.故答案為：3.13.數(shù)列滿足，則_________．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)遞推公式變形得到，再根據(jù)等差數(shù)列的定義求數(shù)列的通項公式，變形后求的值.【詳解】由題意，易知，由，兩邊取倒數(shù)得，即，所以數(shù)列是首項，公差為2的等差數(shù)列，所以，即，則.故答案為：.14.已知正四面體ABCD的棱長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，用過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截正四面體ABCD的外接球O，當(dāng)時，截面的面積的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】作出輔助線，找到球心的位置，利用半徑相等列出方程，求出外接球半徑，再分析出時，三點(diǎn)共線，此時過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面球心，此時截面面積最大，截面面積為，求出和兩種情況下，由等體積法求出球心到平面的距離相等，均為，此時截面面積最小，求出截面圓半徑，從而得到截面面積的取值范圍.【詳解】過點(diǎn)作⊥平面，則點(diǎn)在中線上，且，球心在上，連接，因為正四面體ABCD的棱長為6，所以，，由勾股定理得，設(shè)外接球O的半徑為，設(shè)，則，由勾股定理得，即，解得，時，三點(diǎn)共線，此時過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面過球心，此時截面面積最大，截面面積為；當(dāng)或時，此時球心到截面的距離較大，當(dāng)時，過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面即為平面，由對稱性可知，此時球心到平面的距離等于到平面的距離，即，當(dāng)時，，連接，交于點(diǎn)，則，由于為等邊三角形，故，則，故，，由勾股定理得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，解得，由于，故點(diǎn)到平面的距離為，故與時，點(diǎn)到平面的距離相等，均為，故平面截正四面體ABCD的外接球的半徑為，則截面面積為，綜上，截面的面積的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置.對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點(diǎn)的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知直線：與垂直，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的一般式方程；（2）若與圓：相交于兩點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由直線的方程和垂直關(guān)系可得的斜率為，由點(diǎn)斜式方程整理可得結(jié)果；（2）求出圓心C到直線的距離為，再由圓的弦長公式即可求得.【小問1詳解】由直線：，可得斜率，因為，所以直線的斜率為，又因為直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】由圓C：，可得圓心，半徑，則圓心C到直線：的距離為，又由圓的弦長公式可得弦長16.已知遞增等差數(shù)列的前項和為．（1）求和；（2）數(shù)列滿足，求的前項和；（3）若，求數(shù)列的通項公式．【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列公式，列出方程組，求得，進(jìn)而可得通項公式和前項和；（2）根據(jù)對數(shù)式化指數(shù)式求得，進(jìn)而求的前項和；（3）方法一：錯位相減法求；方法二：化簡得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列公差為，由，解得或（舍去），所以，；【小問2詳解】由，即，得，，所以為首項為1公比為2的等比數(shù)列，；【小問3詳解】方法一：，由（2）知，所以，，兩式相減得；方法二：.17.如圖，在直三棱柱中，已知分別為和的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）判斷與是否垂直，并說明理由；（3）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）垂直，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）應(yīng)用線面平行判定定理證明即可；（2）空間向量法得出即可判斷證明；（3）空間向量法求解出法向量再計算二面角余弦即可求解；【小問1詳解】連接，由于分別和的中點(diǎn)，則又因為平面平面，因此平面【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，則，則平面，由于，則，因此，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，．所以．所以與垂直．【小問3詳解】，設(shè)平面的一個法向量為，所以，取則設(shè)平面的一個法向量為，，所以，即取，則．設(shè)與平面所成角為，則即平面與平面與所成角的余弦值為．18.已知數(shù)列，若等比數(shù)列，則稱具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列具有性質(zhì)，求；（2）若，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；（3）數(shù)列具有性質(zhì)，求．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，成等比數(shù)列，列式運(yùn)算得解；（2）根據(jù)數(shù)列的新定義運(yùn)算證明；（3）根據(jù)題意可得，即，得數(shù)列是等比數(shù)列，運(yùn)算得解.【小問1詳解】由題意可知成等比數(shù)列．則即，，解得.【小問2詳解】；，數(shù)列是以6為首項，以2為公比的等比數(shù)列，故數(shù)列具有性質(zhì)．【小問3詳解】由數(shù)列具有性質(zhì)，則為等比數(shù)列，因為所以，故數(shù)列為以2為首項以2為公比的等比數(shù)列．則，于是，即，由．則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問解題的關(guān)鍵是利用數(shù)列性質(zhì)求出數(shù)列的通項，構(gòu)造證明數(shù)列是等比數(shù)列，得解.19.已知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，兩個焦點(diǎn)與短軸一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過作點(diǎn)直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，（i）在軸上存在一點(diǎn)，使得兩條直線恰好關(guān)于軸對稱，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）再過該點(diǎn)作軸的垂線與交于點(diǎn)，過作直線與平行，交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，求的值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由題可知，再由條件兩個焦點(diǎn)與短軸一個端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形可知，結(jié)合求解，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）（i）設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線和橢圓，由韋達(dá)定理得到兩根的關(guān)系，設(shè)，由，可求解點(diǎn)的坐標(biāo)；（ii）根據(jù)平行得到斜率相等，可以寫出直線的方程，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，聯(lián)立直線得到點(diǎn)的坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)之間的關(guān)系即可.【小問1詳解】依題意得，解得，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】（i）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，整理得，其中，則，設(shè)，因恰好關(guān)于軸對稱，所以，即，即，即，整理可得，則，即得，即，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為；（ii）對于直線的方程，令，得，所以點(diǎn)