江西省撫州市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

撫州市2024-2025學(xué)年度上學(xué)期學(xué)生學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測高一數(shù)學(xué)試題卷說明：（1）本卷共有4頁，19小題，滿分150分，考試時間120分鐘．（2）答案須寫在答題卡相應(yīng)的位置上，不得在本試題卷上作答，否則不給分；（3）所有考試結(jié)束3天后，考生可憑準(zhǔn)考證號登錄智學(xué)網(wǎng)（）查詢考試成績，密碼與準(zhǔn)考證號相同．一、單項(xiàng)選擇題：共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，僅有一項(xiàng)符合題目要求．1.若集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧?，集合，因此?故選：C.2.已知，那么是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合充分條件、必要條件的概念，根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，又在R上單調(diào)遞減，所以，由能推出，反之不成立，可能，此時不存在，所以是的充分不必要條件.故選：A.3.2024年10月1日是中華人民共和國建國75周年，為弘揚(yáng)愛國主義精神，共同感受黨的偉大歷程，撫州市第一中學(xué)高一年級決定從每班隨機(jī)抽取5名學(xué)生參加“祖國在我心”知識競答.若高一某班有50名學(xué)生，將每一學(xué)生從01到50編號，從下面所給的隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，則選取的第四個編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.14 B.02 C.43 D.07【答案】D【解析】【分析】利用隨機(jī)數(shù)表法列舉出前四名學(xué)生的編號，可得結(jié)果.【詳解】由隨機(jī)數(shù)表法可知，前四名學(xué)生的編號依次為：、、、，因此，選取的第四個編號為.故選：D.4.若冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.【詳解】由題意可得，解得，則，由可得，可得，解得或，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.5.已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn)，且點(diǎn)在直線上，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程，可得出、所滿足的關(guān)系式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】對于函數(shù)且，由，可得，此時，，即點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故選：B.6.波恩哈德·黎曼（1866.07.20~1926.09.17）是德國著名的數(shù)學(xué)家.他在數(shù)學(xué)分析、微分幾何方面作出過重要貢獻(xiàn)，開創(chuàng)了黎曼幾何，并給后來的廣義相對論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ).他提出了著名的黎曼函數(shù)，該函數(shù)的定義域?yàn)椋浣馕鍪綖椋?，下列關(guān)于黎曼函數(shù)的說法不正確的是（）A.B.關(guān)于的不等式的解集為C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)黎曼函數(shù)的定義域分類對函數(shù)進(jìn)行分析，再對每一個選項(xiàng)逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.【詳解】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時，，當(dāng)時，，而，當(dāng)時，，若是無理數(shù)，則是無理數(shù)，有，若是有理數(shù)，則是有理數(shù)，當(dāng)（、為正整數(shù)，為最簡真分?jǐn)?shù)），則（、為正整數(shù)，為最簡真分?jǐn)?shù)），此時，綜上，時，所以選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，若或或內(nèi)的無理數(shù)，此時，顯然不成立，當(dāng)（、為正整數(shù)，、互質(zhì)），由，得到，整理得到，又、為正整數(shù)，、互質(zhì)，所以或均滿足，所以，關(guān)于的不等式的解集為，選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C，取，，則，而，所以選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D，當(dāng)或或?yàn)闊o理數(shù)且或或?yàn)闊o理數(shù)時，，顯然有，當(dāng)，（、、、是正整數(shù)，、是最簡真分?jǐn)?shù)）時，，，故，當(dāng)，時，，有，當(dāng)，時，，，有，當(dāng)為無理數(shù)，時，，有，綜上，所以選項(xiàng)D正確.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是:通過給出一個新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的:遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決.7.若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意，都有，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)可知為常數(shù)，利用換元可得到關(guān)于的方程，可解出的值，從而求解.【詳解】對任意，都有，且函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，為常數(shù)，設(shè)，則，，與在上單調(diào)遞增，有唯一解，解得，，.故選：D.8.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時，，若對于，都有恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由和當(dāng)時可以逐次推出，，上的解析式，根據(jù)每個區(qū)間上的函數(shù)最小值的規(guī)律，應(yīng)求時，函數(shù)值等于時的自變量的值，得到滿足的的范圍，即得t的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，；因，即x每增大，對應(yīng)的縱坐標(biāo)都變原來的倍.當(dāng)時，，故，則，；當(dāng)時，，故，則，；當(dāng)時，，故，則，.當(dāng)時，由，可得，解得或，如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，恒成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查與遞推倍減函數(shù)的恒成立問題.對于遞推倍減函數(shù)的恒成立問題，解題關(guān)鍵在于根據(jù)恒成立條件，分別求得在對應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象的理解，求得參變量的范圍.二、多項(xiàng)選擇題：共3小題，每小題6分，共18分．每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分．9.已知、是正數(shù)，且，下列敘述正確的是（）A.最大值為 B.的最小值為C.最小值為 D.最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可判斷ABC選項(xiàng)；將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求出的最小值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故最大值為，A對；對于B選項(xiàng)，由基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，則為，B對；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，解得，?dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最大值為，C錯；對于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，即最小值為，D對.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.數(shù)據(jù)、、、、、、、、、的分位數(shù)是B.若樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為C.函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)镈.若，則的值為【答案】AD【解析】【分析】利用百分位數(shù)的定義可判斷A選項(xiàng)；利用方差的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用抽象函數(shù)定義域的求法可判斷C選項(xiàng)；利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化、對數(shù)的換底公式與運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，數(shù)據(jù)、、、、、、、、、共個，因?yàn)?，因此，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是，A對；對于B選項(xiàng)，若樣本數(shù)據(jù)、、、方差為，則數(shù)據(jù)、、、的方差為，B錯；對于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，即，可得，所以，函?shù)的定義域?yàn)?，對于函?shù)，則有，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，C錯；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，則，，所以，，D對.故選：AD.11.已知函數(shù)的定義域是，對任意的實(shí)數(shù)、滿足，且，當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.函數(shù)為上的增函數(shù) D.函數(shù)為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】令，求出的值，可判斷A選項(xiàng)；令，可求出的值，再令，可求出的值，可判斷B選項(xiàng)；令，可知，再令，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可判斷D選項(xiàng)；推導(dǎo)出當(dāng)時，，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷C選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，對任意的實(shí)數(shù)、滿足，令可得，解得，A對；對于B選項(xiàng)，令，可得，即，解得，再令可得，B錯；對于D選項(xiàng)，令，由可得，即，且，令，則，即，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，D對；對于C選項(xiàng)，由題意可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即時，，故當(dāng)時，，任取、且，則，即函數(shù)在上為增函數(shù)，C對.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）取值：設(shè)、是所給區(qū)間上的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結(jié)論：判斷，根據(jù)定義得出結(jié)論.即取值作差變形定號下結(jié)論.三、填空題：共3小題，每題5分，共15分.12已知函數(shù)，則等于____________．【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的解析式，可計(jì)算得出的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t.故答案為：.13.撫州市政府為了促進(jìn)十一黃金假期期間文昌里文化街區(qū)餐飲服務(wù)質(zhì)量的提升，撫州市旅游管理部門需了解游客對餐飲服務(wù)工作的認(rèn)可程度．為此該部門隨機(jī)調(diào)查了名游客，把這名游客對餐飲服務(wù)工作認(rèn)可程度給出的評分分成、、、、五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．則直方圖中的值為____________，評分的平均數(shù)為____________．【答案】①.②.【解析】【分析】利用頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為，可求得的值；將每個矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全加，可得出評分的平均數(shù).【詳解】因?yàn)轭l率分布直方圖中所有矩形面積之和為，則有，解得，評分的平均數(shù)為.故答案為：；.14.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)恰好有5個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先作出圖象，利用換元法，結(jié)合韋達(dá)定理，分類討論得到方程在和內(nèi)各有一個實(shí)數(shù)根，，再利用二次函數(shù)根的分布得到關(guān)于的不等式組，即可得解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖，

令，則方程化為，由韋達(dá)定理可知該方程的兩根之積為3，要使關(guān)于的方程恰好有有5個零點(diǎn)，則方程有5個不同的實(shí)數(shù)解，結(jié)合圖象可知，，，此時方程有4個不同的實(shí)數(shù)解，不合題意；，，此時方程有6個不同實(shí)數(shù)解，不合題意；當(dāng)，，雖說滿足方程有5個不同的實(shí)數(shù)解，但是無解；所以，，此時方程在和內(nèi)各有一個實(shí)數(shù)根，令，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)．15.已知集合，集合．（1）當(dāng)時，求；（2）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先求得，解一元二次不等式得集合，利用并集運(yùn)算求解即可.（2）由題意得，按照和分類討論，利用子集關(guān)系列不等式組求解即可，注意最后求并集.【小問1詳解】當(dāng)時，集合，所以或，，所以或．【小問2詳解】由已知，由題意得，①當(dāng)時，，解得；②當(dāng)時，由得，解得：，綜上所述，．16.曾經(jīng)的廣告詞“喝臨川貢酒，揚(yáng)才子豪情”響徹大半個中國．如今再次重新出發(fā)，撫州市打造以產(chǎn)業(yè)經(jīng)濟(jì)振興文化撫州．臨川貢酒公司決定將一款高端貢酒大量投放市場，已知臨川貢酒公司生產(chǎn)此款高端貢酒年固定研發(fā)成本為萬元，每生產(chǎn)一瓶此高端貢酒需另投入元．設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該款高端貢酒萬瓶且全部售完，每萬瓶的銷售收入為萬元．且．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬瓶）的關(guān)系式：（利潤銷售收入成本）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬瓶時，該公司這款高端酒獲得的利潤最大，并求出最大利潤．【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為萬瓶時，該公司獲得的利潤最大為萬元．【解析】【分析】（1）分、兩種情況討論，結(jié)合利潤銷售收入成本可得出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬瓶）的關(guān)系式；（2）利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出在時的最大值，利用基本不等式求出函數(shù)在時的最大值，比較大小后可得出結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，綜上，.【小問2詳解】當(dāng)時，，函數(shù)的對稱軸是直線，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最大值；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時的最大值為，因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為萬瓶時，該公司獲得利潤最大為萬元．17.臨川二中兩名優(yōu)秀學(xué)子小明、小華同學(xué)獨(dú)立地參加中國科技大學(xué)少科班的入學(xué)面試，入學(xué)面試時共有道題目，答對道題則通過面試（前道題都答對或都答錯，第道題均不需要回答）．已知小明答對每道題目的概率均為，小華答對每道題目的概率依次為、、，且小明、小華兩人對每道題能否答對相互獨(dú)立．記“小明只回答道題就結(jié)束面試”為事件，記“小華道題都回答且通過面試”為事件．（1）求事件發(fā)生的概率；（2）求事件和事件同時發(fā)生的概率；（3）求小明、小華兩人恰有一人通過面試的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）若事件發(fā)生，則小明前兩題都答對或都答錯，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得的值；（2）若事件發(fā)生，則小華前兩題一題，答錯一題，第三題答對，求出的值，分析可知，事件、相互獨(dú)立，由獨(dú)立事件的概率公式可求得的值；（3）記小明沒有通過面試為事件，小華通過面試的事件記為，求出這兩個事件的概率，記小明、小華兩人恰有一人通過面試的事件記為，則，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得的值.【小問1詳解】若事件發(fā)生，則小明前兩題都答對或都答錯，所以，.【小問2詳解】若事件發(fā)生，則小華前兩題一題，答錯一題，第三題答對，根據(jù)題意則小華道題都回答且通過面試的概率為，由題意可知，事件、相互獨(dú)立，則.【小問3詳解】記小明沒有通過面試為事件，即分前兩道回答對一道且最后一道錯誤或前兩道均回答錯誤兩種情況，則小明沒有通過面試的概率為，可得小明通過面試的概率為，而由（1）可得小華通過面試的事件記為，則概率為，由題意可知，事件、相互獨(dú)立，則小明、小華兩人恰有一人通過面試的事件記為，則概率為．18.已知二次函數(shù).（1）若的解集為，解關(guān)于的不等式；（2）若且，求的最小值；（3）若，且對任意，不等式恒成立，求的最小值．【答案】（1）或（2）（3）【解析】【分析】（1）分析可知、是方程的解，且，利用韋達(dá)定理求出、的值，然后利用二次不等式的解法解不等式，即可得出該不等式的解集；（2）由已知等式化簡所求代數(shù)式得，利用基本不等式可求得該代數(shù)式的最小值；（3）由二次不等式恒成立可得出，可得出，令，則，且，可得出，結(jié)合基本不等式可得出所求代數(shù)式的最小值.【小問1詳解】由已知的解集為，則，所以、是方程的解，由韋達(dá)定理可得，解得，所以不等式可化為，解得或，故不等式的解集為或.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.小問3詳解】因?yàn)閷θ我猓坏仁胶愠闪?，所以，則，則，令，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，即當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為.19.若存在實(shí)數(shù)對，使得等式對定義域中每一個實(shí)數(shù)都成立，則稱函數(shù)為“型函數(shù)”（1）若函數(shù)是“型函數(shù)”，且，