《二、三維空間中桿的變換矩陣和剛度矩陣研究》15000字（論文）

二、三維空間中桿的變換矩陣和剛度矩陣研究摘要有限元法是由變分原理發(fā)展起來(lái)的一種計(jì)算數(shù)值方法，具有高效、常用等特點(diǎn)。可以對(duì)偏微分方程問(wèn)題進(jìn)行求解，多被應(yīng)用于復(fù)雜工程問(wèn)題中的數(shù)值分析計(jì)算。在計(jì)算機(jī)技術(shù)得到蓬勃發(fā)展之后，有限元程序應(yīng)運(yùn)而生，得到了廣泛應(yīng)用。本文首先介紹了有限元法基本理論，然后詳細(xì)書(shū)寫(xiě)了空間桿系有限元基礎(chǔ)程序的理論基礎(chǔ)，包括了空間任意桿系的靜力學(xué)平衡方程的建立與剛度矩陣的推導(dǎo)，多維地震動(dòng)的動(dòng)力方程與多點(diǎn)地震動(dòng)的動(dòng)力方程、基于雅克比法的周期計(jì)算與時(shí)程分析的基本算法。分別介紹了軟件的需求分析、設(shè)計(jì)與制作的過(guò)程，并著重對(duì)軟件的架構(gòu)與開(kāi)發(fā)過(guò)程中所涉及到的設(shè)計(jì)模式進(jìn)行了介紹。關(guān)鍵詞：有限元法、空間桿系有限元、有限元程序目錄TOC\o"1-2"\h\u12852第一章緒論 第一章緒論1.1問(wèn)題的提出當(dāng)今世界，電子計(jì)算機(jī)技術(shù)蓬勃發(fā)展，作為一種新興數(shù)值計(jì)算方法，有限單元法在工程分析與實(shí)際應(yīng)用中被越來(lái)越多的應(yīng)用。此外，在分析各種結(jié)構(gòu)時(shí)，有限元法的應(yīng)用也不斷獲得新的進(jìn)展。通過(guò)對(duì)其應(yīng)用，可以獲得研究結(jié)構(gòu)所需要的各類數(shù)據(jù)。這對(duì)優(yōu)化工程，改善設(shè)計(jì)等都有非比尋常的意義。在結(jié)構(gòu)分析中應(yīng)用有限元軟件有許多需要考慮的因素：例如：不同的材料具有不同特征以及本構(gòu)關(guān)系；而結(jié)構(gòu)的不同也會(huì)導(dǎo)致受力情況的不同，這些因素都注定有限元軟件不可能是單一的一個(gè)軟件，用一種軟件分析所有的結(jié)構(gòu)受力明顯是不合理也不現(xiàn)實(shí)的，那么若能開(kāi)發(fā)多種有限元軟件對(duì)不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，那么將極大地帶來(lái)計(jì)算便利，若能掌握一門編程語(yǔ)言，根據(jù)實(shí)際的計(jì)算所需結(jié)構(gòu)，來(lái)設(shè)計(jì)有限元軟件，將大大提升個(gè)人競(jìng)爭(zhēng)力。商用有限元結(jié)構(gòu)分析軟件比較常見(jiàn)，能夠解決工程中分析類問(wèn)題和設(shè)計(jì)類問(wèn)題，給使用者帶來(lái)極大的便利，目前Sap2000系列軟件、Midas系列軟件都能夠進(jìn)行動(dòng)力彈塑性實(shí)誠(chéng)分析滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作的需求，但是這些軟件共性問(wèn)題是單元類型是有限的，很難解決超出其設(shè)定范圍以外的力學(xué)分析也就是軟件不是開(kāi)源的，尤其在科研上不能解決新材料、特殊構(gòu)件等的特殊本構(gòu)關(guān)系的設(shè)定，無(wú)法有效滿足科研需求，因此開(kāi)發(fā)一套開(kāi)源的空間桿系有限元軟件，服務(wù)科研院所的科研需求，具有一定的意義。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀有限元軟件作為一種將有力的計(jì)算手段，在計(jì)算力學(xué)中有著不可忽視的地位，它的出現(xiàn)有效的代替了人工計(jì)算，繁瑣的計(jì)算也不再是一個(gè)難以攻克的難關(guān)，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)在世界上得到了相當(dāng)大的進(jìn)步，有限元軟件在許多地方得到實(shí)踐。而在實(shí)際社會(huì)領(lǐng)域中例如：土木、航天、機(jī)械也都被廣泛使用。有限元軟件的作用已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不局限于軟件本身，它已經(jīng)轉(zhuǎn)化為推動(dòng)社會(huì)生產(chǎn)力進(jìn)步的有效手段。有著難以想象的巨大市場(chǎng)。同時(shí)，在科技如此發(fā)達(dá)的今天，有限元軟件已經(jīng)開(kāi)始成為一門獨(dú)立的學(xué)科被學(xué)校教授，從側(cè)面也反映出有限元軟件的重要性，是許多高新人才得力的助手，學(xué)習(xí)有限元軟件對(duì)于大學(xué)生來(lái)說(shuō)也是百利無(wú)一害的。有限元程序主要由前處理、分析、后處理三方面組成。其中核心在于主體部分，它能夠?qū)④浖斎氲碾x散化數(shù)據(jù)整合并通過(guò)套用公式以及算法對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算。前處理程序是將使用者的所輸入的大致模型，自動(dòng)或半自動(dòng)的整合為一個(gè)完成模型，并展示給使用者，方便使用者觀察修改。后處理模型則是能夠直觀展現(xiàn)出處理結(jié)果，清晰明了的為使用者展示，便與使用者采用。由此可見(jiàn)一個(gè)有限元軟件，如果前后處理程序越強(qiáng)大，那么就以為著使用者僅僅可以通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的簡(jiǎn)單描述就能得到一個(gè)正確的分析結(jié)果，這是所有使用者都希望得到的軟件。1.3本文主要的工作有限元軟件的基本思路就是將整體離散成有限個(gè)并按照一定的方式連接的組合體。在遇到復(fù)雜的幾何組合體時(shí)就可以將其劃分成幾部分單元，并通過(guò)建立相應(yīng)的關(guān)系式進(jìn)行求解。單元簡(jiǎn)單易分析，平衡關(guān)系式也易列出求解，有限元法也被廣泛應(yīng)用，我們也不難看出如果單元?jiǎng)澐值脑骄_細(xì)致，所得到的結(jié)果也就越準(zhǔn)確。本課題要求學(xué)生利用空間桿系有限元的基本原理編寫(xiě)考慮彈塑性的空間桿系有限元的基礎(chǔ)程序，至少能夠進(jìn)行空間剛架結(jié)構(gòu)固定支座條件下的靜力分析，可以考慮桿件彈塑性等問(wèn)題。使程序運(yùn)行結(jié)果具有一定的合理性。該程序需要解決的核心問(wèn)題主要有三點(diǎn)：1.有限元分析算法的實(shí)現(xiàn)。2.彈塑性問(wèn)題的解決。3.軟件的三維架構(gòu)問(wèn)題。在學(xué)校學(xué)習(xí)中，更多地是在學(xué)習(xí)解決方法的思路，老師們也都愿意用簡(jiǎn)單的例子來(lái)為我們?cè)敿?xì)說(shuō)明原理，所以在學(xué)校多接觸到的許多力學(xué)問(wèn)題都是線性問(wèn)題。易于整體分析計(jì)算，但在實(shí)際中，我們要清楚，還是有許多非線性這一類的問(wèn)題存在。正是因?yàn)榉蔷€性問(wèn)題具有的困難特殊性，除少數(shù)簡(jiǎn)單的問(wèn)題外，要得到嚴(yán)格意義上的正確解是具有相當(dāng)難度的。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)方法得到了應(yīng)用，現(xiàn)實(shí)證明用這一方法來(lái)處理非線性問(wèn)題是有特殊效果的。

第二章有限元法基本理論2.1有限元法Courant在70多年前的工作中為了解決遇到的問(wèn)題，提出了有限元法，通過(guò)這種方法來(lái)解決扭轉(zhuǎn)問(wèn)題。有限元思想被很多人所知曉后，就有越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家物理學(xué)家開(kāi)始涉足有限元領(lǐng)域。有限元的第一次得到運(yùn)用是在用于矩陣分析關(guān)于桿件系列結(jié)構(gòu)。所謂矩陣分析，就是把一個(gè)整體結(jié)構(gòu)拆分成簡(jiǎn)單單元，再對(duì)簡(jiǎn)單單元進(jìn)行分析并列出單元矩陣方程，再對(duì)方程進(jìn)行求解，用以表達(dá)單元的受力特性，再根據(jù)力學(xué)平衡將單元匯總成整體，將一單位結(jié)構(gòu)的變化受力來(lái)表示整體的趨勢(shì)。而矩陣方法的優(yōu)點(diǎn)也非常顯著，能夠人為的將整體結(jié)構(gòu)拆分成簡(jiǎn)單單元，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單單元的分析，最終匯總成整個(gè)結(jié)構(gòu)的力學(xué)特征。所以從廣義上來(lái)說(shuō)，矩陣分析也是某種意義上的有限元分析法。而隨著科技的不斷進(jìn)步，在20世紀(jì)60年代，計(jì)算機(jī)技術(shù)在世界上得到了相當(dāng)大的進(jìn)步，關(guān)于有限元這一類的軟件也一點(diǎn)點(diǎn)得到越來(lái)越多的使用，彈性力學(xué)中比較重要的平面問(wèn)題也得到了一個(gè)較好的解決途徑?！半x散化”是有限元法處理問(wèn)題的思想，旨在將整體用一定的方法分割若干部分，就是一定數(shù)量的單元組合形成的整體。每一單獨(dú)的塊叫做“單元”，單元與單元結(jié)合處叫做結(jié)點(diǎn)。但通過(guò)這一方式形成的新的整體與現(xiàn)實(shí)中的整體有一定的不同，離散化的各個(gè)單元中出了依靠結(jié)點(diǎn)連接就再也沒(méi)有其他的關(guān)系，但是該結(jié)點(diǎn)需要滿足“不能重疊且不出現(xiàn)裂縫”的條件，由于個(gè)單元中僅依靠結(jié)點(diǎn)來(lái)聯(lián)系，這樣的話力傳播的方式只有節(jié)點(diǎn)這一種，稱這種力為結(jié)點(diǎn)內(nèi)力，同理與之相關(guān)的荷載叫做結(jié)點(diǎn)荷載，同時(shí)有力的存在就有位移，那么結(jié)點(diǎn)發(fā)生的位移就被叫做結(jié)點(diǎn)位移。在通常情況的工程分析中，常存在一定未知量，習(xí)慣性將結(jié)點(diǎn)位移當(dāng)作他，分析每一塊并組建方程來(lái)解決問(wèn)題，再利用力學(xué)原理建立由單元到整體的相關(guān)方程進(jìn)一步進(jìn)行求解，從始至終使用這一未知量，找到合適的方程代數(shù)解，求解出結(jié)點(diǎn)位移，再通過(guò)坐標(biāo)變換將應(yīng)力矩陣變換為應(yīng)變矩陣就能夠求出所需要的力學(xué)特征量。以上所述不難發(fā)現(xiàn)，雖然有限元法求解答案為近似解，但只要?jiǎng)澐值膯卧獕蚣?xì)致數(shù)量足夠多，那么就能有效的提高求解答案的準(zhǔn)確性，讓答案無(wú)限接近正確解。但畢竟人工算法存在局限性，數(shù)量足夠大只會(huì)徒增人員工作量，所有有限元軟件就很有使用必要，用計(jì)算機(jī)代替人工計(jì)算，不僅大大提高效率，也能夠保證最終答案的準(zhǔn)確性。

第三章二、三維空間中桿的變換矩陣和剛度矩陣3.1建立二維桁架方程單元?jiǎng)偠染仃嚨亩x為：結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣定義為：假定的線性彈簧單元的位移函數(shù)為：線性彈簧單元的形兩數(shù)為：，基本矩陣方程將彈簧單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移關(guān)聯(lián)起來(lái)為：線彈簧單元的剛度矩陣為：彈簧組裝的總體方程為：總勢(shì)能為：對(duì)于一個(gè)彈簧系統(tǒng)：·推導(dǎo)桿單元的剛度矩陣·說(shuō)明如何用直接剛度法解桿組裝問(wèn)題·介紹選擇位移函數(shù)的指導(dǎo)原則·推導(dǎo)平面內(nèi)任意方向的桿的剛度矩陣·說(shuō)明平面內(nèi)如何計(jì)算桿的應(yīng)力·表明如何求解平面桁架問(wèn)題·建立三維空間的變換矩陣，并表明如何利用變換矩陣推導(dǎo)空間中任意方向的桿的剛度矩陣·表明如何求解平面桁架問(wèn)題·說(shuō)明空間桁架的解·定義對(duì)稱并描述利用對(duì)稱求解問(wèn)題·介紹并用斜支撐求解問(wèn)題利用最小勢(shì)能定理推導(dǎo)桿方程比較桿有限元解和精確解·介紹伽遼金殘余法推導(dǎo)桿單元?jiǎng)偠染仃嚭头匠獭そ榻B其他殘余法以及在一維桿中的應(yīng)用·建立桁架分析的有限元計(jì)算機(jī)程序的流程圖，描述商用程序的按步解在奠定了直接剛度法的起點(diǎn)之后，然后進(jìn)行線彈性桿(或桁架)單元的剛度矩陣。局部坐標(biāo)系通常在單元方程被建立時(shí)使用,下文將作出解釋，還有就是(出于數(shù)值目的)針對(duì)總體結(jié)構(gòu)構(gòu)建的全局坐標(biāo)系統(tǒng)。本文還將探討矢量結(jié)構(gòu)由局部坐標(biāo)系統(tǒng)向全局坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化,運(yùn)用變換矩陣的概念利用全局坐標(biāo)系統(tǒng)描述在任何方面的連桿單元的剛度矩陣。下一步將通過(guò)對(duì)剛度法進(jìn)行擴(kuò)展從而能涵蓋空間桁架。接著解釋了對(duì)稱的定義,改變問(wèn)題大小和精簡(jiǎn)解題過(guò)程中的作用。本文將用一個(gè)桁架的實(shí)例解釋此定義,之后解決斜支撐問(wèn)題。其次再次應(yīng)用最小勢(shì)能原理，通過(guò)最小勢(shì)能原理去重新推導(dǎo)單元方程，然后比較一個(gè)受線性變化分布荷載的桿的有限元解及精確解。將引進(jìn)伽遼金殘余法，并用它推導(dǎo)桿單元方程。最后介紹其他常用的殘余法(如配置法、子域法和最小二乘法)，只是使讀者了解這些方法。通過(guò)求解一個(gè)受線性變化荷載的桿的問(wèn)題說(shuō)明這些方法。3.2推導(dǎo)局部坐標(biāo)中桿單元的剛度矩陣現(xiàn)推導(dǎo)圖3.1所示的線彈性、常橫截面積(菱形)的桿單元的剛度矩陣。此處的推導(dǎo)可以直接用于解銷釘連接的桁架。該桿在1點(diǎn)、2點(diǎn)受到拉力，方向延桿。假設(shè)單元的橫截面積為A且不變，彈性模量為E，初始長(zhǎng)度為L(zhǎng)。節(jié)點(diǎn)自由度是局部軸向位移(即縱向位移是沿桿長(zhǎng)度的方向)用單元端部的u1和u2，表示，如圖3.1所示。圖3.1受拉力作用的桿件根據(jù)胡克定律和應(yīng)變/位移關(guān)系可得出：由桿件受力平衡，桿件又僅有端部受到荷載得出：考慮分布荷載的情況。代入上式，對(duì)x求微分，得到微分方程如下：（此微分方程控制的是線彈性桿的特殊性質(zhì)）式中u是沿單元x方向的軸向位移函數(shù)，A和E寫(xiě)在括弧中表示它們?cè)谝话阈问降奈⒎址匠讨惺莤的函數(shù)，盡管在我們進(jìn)行的推導(dǎo)過(guò)程中，A和E沿整個(gè)桿長(zhǎng)是常數(shù)。為求出此桿件剛度矩陣，做出下列假設(shè)：1.桿不能承受剪力或彎矩，即f1y=0，f2y=0，m1=0和m2=0。2.忽略橫向位移的任何影響。3.胡克定律成立，即軸向應(yīng)力σx，和軸向應(yīng)變?chǔ)舩，的關(guān)系為σx=Eεx。4.桿中間沒(méi)有外加荷載?，F(xiàn)用以下步驟推導(dǎo)桿單元的剛度矩陣，還有就是解絕桿組裝問(wèn)題。步驟1選擇單元類型將桿件每個(gè)節(jié)點(diǎn)和單元編上節(jié)點(diǎn)編號(hào)、單元編號(hào)。步驟2選擇位移函數(shù)因?yàn)橹付ǘ它c(diǎn)的線性函數(shù)有唯一的路徑，所以假定唯一沿桿的x軸線性變化。這些指定端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)值u1和u2，于是有U=a1+a2x系數(shù)a的總數(shù)總是等于與單元相關(guān)的自由度的總數(shù)。此處自由度的總數(shù)為2，即單元兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的軸向位移。利用彈簧單元的同樣方法，將上述方程表示為：將位移函數(shù)的方程作上述變換的原因是根據(jù)步驟3給出的應(yīng)變/位移關(guān)系，它允許用節(jié)點(diǎn)位移表示應(yīng)變，然后在步驟4將節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移關(guān)聯(lián)起來(lái)。前方程用矩陣形式表示為：其中的形函數(shù)由下式給出：，這些形函數(shù)與彈簧單元的形函數(shù)相同。圖3.2沿桿單元長(zhǎng)度畫(huà)出的位移u步驟3定義應(yīng)變/位移和應(yīng)力/應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變/位移關(guān)系為：由前方程得，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為：步驟4推導(dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚭头匠逃苫A(chǔ)力學(xué)得出：將前方程代入得出：由局部坐標(biāo)系節(jié)點(diǎn)力方向判斷符號(hào)：代入方程變?yōu)椋侯愃频鼗蜃優(yōu)椋簩⑶胺匠瘫硎緸榫仃囆问剑贸觯阂驗(yàn)閧f}=[k]gio5iys，所以從上方程得出：方程所表示的是桿單元在局部坐標(biāo)中的剛度矩陣。在上式中，桿單元的AE/L與彈簧單元的彈簧常數(shù)k相似。步驟5組裝單元方程得出全局或總體方程利用直接剛度法組裝總體剛度矩陣、力矩陣和總體方程。這一步通常應(yīng)用在大于一個(gè)單元所構(gòu)建的結(jié)構(gòu)，因此有：和在使用這一方法之前，一定要將所有[k(e)]（局部單元?jiǎng)偠染仃嚕┳儞Q為全局單元?jiǎng)偠染仃嘯k](兩軸一樣除外)。步驟6求解節(jié)點(diǎn)位移施加邊界條件，解聯(lián)立方程組｛F｝=[k]｛d｝確定位移。步驟7求解單元力最后，將位移代會(huì)到方程中，來(lái)求解每一個(gè)應(yīng)變和應(yīng)力。3.2.1選擇位移近似函數(shù)在決定有關(guān)位移的函數(shù)時(shí)，要思考以下跟一維桿單元有關(guān)的引導(dǎo)想法。1.一般近似函數(shù)大多為多項(xiàng)式。2.近似函數(shù)在桿單元內(nèi)部應(yīng)是連續(xù)的。簡(jiǎn)單的線性函數(shù)u在單元內(nèi)肯定是連續(xù)的。因此，線性函數(shù)在單元內(nèi)產(chǎn)生u的連續(xù)值，由于u連續(xù)均勻變化，因此防止了開(kāi)裂、重疊、跳躍。3.近似函數(shù)應(yīng)提供單元間的連續(xù)性。對(duì)于桿單元，必保證兩個(gè)或多個(gè)單元的公共節(jié)點(diǎn)在這些單元變形之后仍是公共的，這樣就不會(huì)出現(xiàn)單元重疊或脫離。例如：uu圖3.3兩桿結(jié)構(gòu)單元間的連續(xù)性考慮上圖結(jié)構(gòu)。對(duì)于這一個(gè)兩桿結(jié)構(gòu)。每個(gè)單元中u的線性函數(shù)會(huì)確保元素1和元素2保持連接，單元1和單元2在同一節(jié)點(diǎn)2處的位移要相等，即u2(1)=u2(2)。因此稱之為桿單元的協(xié)調(diào)函數(shù)，因?yàn)樗ＷC了相鄰桿件兩者的連續(xù)，也保證了桿件內(nèi)部的連續(xù)。一般地、符號(hào)Cm用于描述分段場(chǎng)(如軸向位移)的連續(xù)性，式中上標(biāo)m表示單元間連續(xù)的導(dǎo)數(shù)的階。如果函數(shù)自身是單元間連續(xù)的，則場(chǎng)是C0連續(xù)的。例如，圖3.5所示的場(chǎng)變量為軸向位移、公共節(jié)點(diǎn)處的位移是連續(xù)的。因此、可以說(shuō)位移場(chǎng)是C連續(xù)的。桿單元、平面單元和固體單元是C0單元，因?yàn)樗鼈儚?qiáng)制公共邊界線處的位移連續(xù)性。如果函數(shù)在公共邊界處同時(shí)具有場(chǎng)變量和一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則說(shuō)場(chǎng)變量是C連續(xù)的。后面將會(huì)看到梁?jiǎn)卧桶鍐卧荂1連續(xù)的，即它們強(qiáng)制公共邊界線處的位移和斜率的連續(xù)性。4.近似函數(shù)應(yīng)考慮剛體位移和單元內(nèi)的常應(yīng)變狀態(tài)。一維位移函數(shù)滿足這些準(zhǔn)則，因?yàn)閍1項(xiàng)考慮到剛體運(yùn)動(dòng)，a2x項(xiàng)考慮到常應(yīng)變，因?yàn)棣舩=du/dx=a2是一個(gè)常數(shù)。如果單元選得很小，單元中的常應(yīng)變狀態(tài)實(shí)際上可以發(fā)生。簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式方程滿足第4項(xiàng)指導(dǎo)原則，因此可以說(shuō)對(duì)于桿單元是完整的。完整性的思想也一般意味著低階項(xiàng)不能用高階項(xiàng)取代而刪掉。對(duì)于簡(jiǎn)單的線性函數(shù)，這意味著當(dāng)保持a2x時(shí)，a1不能被刪掉。一個(gè)函數(shù)的完整性是收斂到精確解的必要條件。圖3.4當(dāng)有限單元解的有限單元數(shù)量增加時(shí)，收斂到位移精確解內(nèi)插近似函數(shù)必須考慮剛體位移的思想意味著該函數(shù)必須能夠產(chǎn)生一個(gè)常值，比如說(shuō)a1，因?yàn)檫@樣的值實(shí)際上可以發(fā)生。因此必須考慮以下情況：u=因?yàn)閡=a1要求節(jié)點(diǎn)位移u1=u2以得到剛體位移。因此：a將方程代入得出：u=N1u1+N2u2=(N1+N2)a1根據(jù)方程得出以下關(guān)系u=a1=因此，由以上方程得出：N1=N2=1方程得出質(zhì)數(shù)必須在單元內(nèi)的每一點(diǎn)加起來(lái)等于1，使剛體位移發(fā)生時(shí)u產(chǎn)生一個(gè)常值。3.2.2二維矢量變換在很多問(wèn)題中，引進(jìn)局部(x’-y’)和全局(x-y)兩個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)是方便的。局部坐標(biāo)的選擇總是為便于表示單個(gè)單元。全局坐標(biāo)的選擇要更利于整個(gè)結(jié)構(gòu)。給予1個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移-矢量d（圖3.5），我們要將該矢量在一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中的分量與它在另一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)中的分量關(guān)聯(lián)起來(lái)。為了一般化，在本節(jié)假定d既不與局部軸重合，也不與全局軸重合。在本例中要將全局位移分量與局部位移分量關(guān)聯(lián)起來(lái)。在這樣做時(shí)，將創(chuàng)立變換矩陣，其在之后的計(jì)算中被用作創(chuàng)立總體剛度矩陣。給定逆時(shí)針?lè)较蛩鶞y(cè)得的θ角為正。矢量位移d可以用兩種坐標(biāo)表示，具體為:d=式中i和j為x和y全局方向的單位矢量，和為x和y局部方向的單位矢量?，F(xiàn)在要利用圖3.6將i和j與i’和j’廣關(guān)聯(lián)起來(lái)。圖3.5廣義位移矢量d圖3.6局部和全局單位矢量之間的關(guān)系利用圖3.6和矢量相加得到：a+b=i根據(jù)余弦定理：a按定義i為單位?量，它的數(shù)值為：i因此得出：a類似地，b因?yàn)閍是i’方向，b是在-j’方向，因此有：a=和b=將方程代入得出：i=類似地從圖3.6得出矢量方程：aab將方程代入得出：j=將方程代入得出：u將方程中i’和j’的系數(shù)加在一起得出：u?u矩陣形式表示方程，寫(xiě)為：u'式中C=cosθ和S=sinθ。將全局位移矩陣a2ouskj和局部位移｛d'｝矩陣的關(guān)系表示為：d'd=uv,矩陣[T]稱為變換矩陣或旋轉(zhuǎn)矩陣。將用它建立任意方向桿單元的總體剛度矩陣，并將全局節(jié)點(diǎn)位移和力變換為局部位移和局部力。在v′=0的情況下，由方程得出：uj+vj=u'i'圖3.7表示用全局x和y分量表示的u'。利用三角學(xué)和圖3.9得出u'的值為：u圖3.7局部位移和全局位移的關(guān)系3.2.3平面內(nèi)任意方向的桿的總體剛度矩陣考慮從全局x軸傾斜角度為θ的桿，用從節(jié)點(diǎn)1到2的局部軸x’確定，如圖3.8所示。此處正角度θ是從x’到x的順時(shí)針?lè)较颉，F(xiàn)用采用基本記號(hào)的方程表示局部單元?jiǎng)偠染仃噟k‘|，局部單元?jiǎng)偠染仃噟k‘|將局部坐標(biāo)節(jié)點(diǎn)力|f|與局部節(jié)點(diǎn)位移|d‘|關(guān)聯(lián)起來(lái)，如下方程所示：f或f現(xiàn)在將相對(duì)全局軸為任意方向的桿單元的全全局單元節(jié)點(diǎn)力|f|與全局節(jié)點(diǎn)位移|d|關(guān)聯(lián)起來(lái)，如圖3.8所示。圖3.8此關(guān)系將產(chǎn)生單元的總體剛度矩陣[k]。也就是說(shuō)，要找到一個(gè)如下的矩陣[k]：f或用簡(jiǎn)化的矩陣形式，方程變?yōu)椋篺=kl從方程看出，在全局坐標(biāo)的情況下，力和位移各有四個(gè)分量出現(xiàn)。然而，在局部坐標(biāo)的情況下，一根彈簧或桿件力和位移的分量只有兩個(gè)。利用這一情況下各分量之間的聯(lián)系可以求出總體剛度矩陣。從方程的變換關(guān)系可知：uu用矩陣形式，表示為：u或表示為：d式中T類似地，因?yàn)榱ο裎灰埔粯右酝瑯拥姆绞阶儞Q，所以用局部力和全局力替換局部位移和全局位移，有：f將上方程寫(xiě)為：f'代人方程得出：f'由上述兩方程得出：T通過(guò)求T?的逆，可以得出在全局情況下節(jié)點(diǎn)力與位移的關(guān)系最總表達(dá)式。因?yàn)門?不是方陣，不能直接對(duì)T?求逆。因此，必須擴(kuò)展階次，使其與使用全局坐標(biāo)的階次相同，即使fu或d'式中T類似地可寫(xiě)出：f'因?yàn)榱臀灰埔粯佣际鞘噶?。k'f因?yàn)閒1y'和f2y'為零，零行對(duì)應(yīng)于k'T將前方程的兩邊都乘以T?1f式中T?1T式中T?1是TT的轉(zhuǎn)置矩陣。由方程給出的方陣T的性質(zhì)，確定T是一個(gè)正交矩陣。在直角坐標(biāo)框架之間的變換矩陣f與上述方程比較，針對(duì)一個(gè)單元，可以得到其總體剛度矩陣為：k將上述可以得到的代入方程，得出顯式的[k]的表達(dá)形式為：k方程是x-y平而內(nèi)任意方向的桿的顯式剛度短陣。由于方程的試用位移函數(shù)假定是一個(gè)單元一個(gè)單元分片連續(xù)的，因此可以使用直接剛度法將每一單元的剛度矩陣加起來(lái)，得出：e=1式中K是總的剛度矩陣，N是單元的總數(shù)。類似地，每一單元的全局節(jié)點(diǎn)力矩陣可以求和得出。e=1現(xiàn)在K將全局節(jié)點(diǎn)力F與整個(gè)結(jié)構(gòu)的全局節(jié)點(diǎn)位移d的關(guān)系表示如下：F3.2.4計(jì)算x-y平面內(nèi)的桿的應(yīng)力現(xiàn)考慮桿單元應(yīng)力的確定。對(duì)于一根桿，局部力和局部位移用方程關(guān)聯(lián)。為便利起見(jiàn)，此處重復(fù)這一方程：f軸向拉伸應(yīng)力通常定義為軸向力除以橫截面積。因此，軸向應(yīng)力為：σ=式中使用f2x'，因?yàn)樗亲饔迷谠摋U上的軸向力，如圖3.圖3.9有正向節(jié)點(diǎn)力的基本桿單元S利用方程有：f因此，聯(lián)合方程得出：{σ}=現(xiàn)在利用方程得出：{σ}=前方程可以表示為如下的簡(jiǎn)單形式：{σ}=[對(duì)于[T‘]利用方程(3.4.8)得出：[前方程中的矩陣相乘之后得出：[3.3三維空間中桿的變換矩陣和剛度方程求出要用到的變換矩陣，是為了得到桿件單元的一般剛度矩陣，其處在三維空間中，方向是任意的。設(shè)節(jié)點(diǎn)1（x1，y1，z1）節(jié)點(diǎn)2（x2，y2，z2）。還有全局情況下的三軸到局部x'所得到的角度分別為θx，u式中，i',j'和k'分別是與局部i，j和k軸相關(guān)的單位矢量;i，j和ku由點(diǎn)乘定義∶iii式中L=[(和CCC式中Cx，Cy和Cz分別是u'=對(duì)于沿x'軸的空間矢量，方程給出該矢量在全局x，y和z方向的分量。利用方程寫(xiě)出節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的局部軸向位移的顯式形式∶{利用方程，寫(xiě)出上述方程的矩陣形式為∶{d'}=[此處，[T?]是變換矩陣，它使局部位移矩陣{d圖3.10根據(jù)前方程，利用[Tf=T現(xiàn)在，在局部坐標(biāo)中，局部力和局部位移的關(guān)系為∶f代入{d'}，兩邊左乘TT?TTf整理上述方程，得到∶f=T全局力和全局位移的關(guān)系為∶f比較方程，觀察到空間中任意方向桿的總體剛度矩陣為∶k=T利用定義的【T'】以及前面方程的k'，得到kk簡(jiǎn)化方程得出k的顯式形式為∶k上訴方程是剛度矩陣得基本形式，其空間為三維，方向?yàn)槿我?。將分析一個(gè)簡(jiǎn)單的空間桁架來(lái)說(shuō)明本節(jié)建立的概念。3.4空間任意方向梁?jiǎn)卧谙挛?，?chuàng)建剛度矩陣，對(duì)象為二、三維梁?jiǎn)卧较驗(yàn)槿我?。此單元然后可以用于分析三維空間中的框架。首先考慮繞兩個(gè)軸的彎曲，如圖3.11所示。針對(duì)坐標(biāo)軸做出下列符號(hào)確定。1到2為x’正向。繞y'主軸的慣性矩最小。通過(guò)右手規(guī)則建立z'，最大慣性矩為I。圖3.11繞y’軸和z’軸的彎曲3.5在x'-z'平面內(nèi)的彎曲首先考慮由于my'產(chǎn)生的x'-z'平面內(nèi)的彎曲。順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)k式中Iy是橫截面繞主軸(弱軸)y'的慣性矩，即I3.6在x'-y'平面內(nèi)彎曲現(xiàn)考慮由于mz'產(chǎn)生的x'-y'平面內(nèi)的彎曲?，F(xiàn)在正向轉(zhuǎn)動(dòng)k將上述方程與軸向和扭轉(zhuǎn)剛度矩陣方程三者疊加，產(chǎn)生剛度矩陣為（其空間為三維，對(duì)象為梁或框架）k'從局部坐標(biāo)軸向全局坐標(biāo)軸的變換用以下公式計(jì)算∶k=式中方程已給出，由下列公式給出∶T式中λ式中Cyx2圖3.12與x軸相關(guān)的方向余弦注意x'軸單元的方向余弦為∶x式中coscoscos圖3.13說(shuō)明如何確定局部y'軸y'軸選取時(shí)要垂直于x'軸和z軸，且全局z軸與x'軸的叉乘產(chǎn)生y軸，如圖3.13示。因此∶z×且yD=(l2z'軸由正交條件z'=x'×y'得出，如下所示∶z或z聯(lián)合上述方程，3×3變換矩陣變?yōu)椤肹λ]該矢量[λ]將局部坐標(biāo)系統(tǒng)中的矢量旋轉(zhuǎn)到全局坐標(biāo)中。這是矩陣[T]中使用的[λ]。總之，我們得出∶coscoscoscoscoscos當(dāng)兩軸非一般方向時(shí)，有兩個(gè)不一樣情況。若兩軸一致。那么單元平行于全局z軸，y'軸變?yōu)椴淮_定，如用圖3.14所示。在這種情況下，選局yλ對(duì)于軸正方向與全局軸方向相反的情況(見(jiàn)圖3.14)變?yōu)椋害藞D3.14變換矩陣的特殊情況

第四章時(shí)程分析法4.1什么是時(shí)程分析結(jié)構(gòu)需要進(jìn)行動(dòng)力彈塑性分析時(shí)所經(jīng)常采用時(shí)程分析法。中國(guó)是地震多發(fā)帶，所以要求建筑物有著較高的抗震等級(jí)，以確保在地震作用下最大限度的保證結(jié)構(gòu)的完整性，二彈塑性時(shí)程分析則是很好的工具用來(lái)校核結(jié)構(gòu)的薄弱部位是否能夠很好的抵抗外力破壞。其在地震效應(yīng)中的應(yīng)用原理是：把實(shí)際地震所產(chǎn)生的地震加速度帶入動(dòng)力學(xué)方程，然后通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到地震響應(yīng)，從地震開(kāi)始到結(jié)束一點(diǎn)點(diǎn)積分，得到結(jié)構(gòu)靜止、振動(dòng)、最終狀態(tài)所有過(guò)程。又因?yàn)榈卣鹚a(chǎn)生的加速度受時(shí)間影響，因此又被稱為時(shí)程分析法將地震波作為輸入條件，通過(guò)時(shí)程分析可以得到結(jié)構(gòu)在地震作用下形變發(fā)生時(shí)所產(chǎn)生的加速度、位移以及結(jié)構(gòu)內(nèi)力，并能夠給出結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞時(shí)最先出現(xiàn)裂縫的部位，從而獲得對(duì)結(jié)構(gòu)不發(fā)生變形的最大外力，并且可以對(duì)薄弱部分進(jìn)行相應(yīng)加固，進(jìn)而使得結(jié)構(gòu)更加符合力學(xué)特性，能夠抵抗最大程度的地震破壞，并且通過(guò)結(jié)構(gòu)破壞模型還能夠反對(duì)出地面運(yùn)動(dòng)的方向等特征，甚至于還能考慮道兩個(gè)互不接觸的結(jié)構(gòu)在地震來(lái)襲時(shí)是否會(huì)互相影響以及分塊阻尼等問(wèn)題。通過(guò)上述對(duì)時(shí)程法的描述，時(shí)程法可得出每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的地震反應(yīng)。但由于時(shí)程法中所選用的地震模型與實(shí)際發(fā)生的地震有所偏差，進(jìn)而導(dǎo)致有時(shí)的結(jié)論不準(zhǔn)確，但在不能說(shuō)明是方法出現(xiàn)缺陷，造成這種現(xiàn)象的更多是因?yàn)椴荒芎芎玫墓烙?jì)出還未發(fā)生地震的準(zhǔn)確信息，這是現(xiàn)有監(jiān)測(cè)地震的一個(gè)無(wú)法避免的誤差，在出現(xiàn)誤差是，更多地應(yīng)該著眼于如何精準(zhǔn)預(yù)測(cè)地震，再不是糾結(jié)于計(jì)算過(guò)程是否有理論性錯(cuò)誤。4.2時(shí)程分析法的特點(diǎn)(1)用于校正的是采用反應(yīng)譜法振型分解和組合求解結(jié)構(gòu)內(nèi)力和位移時(shí)的誤差。(2)由于輸入的是整個(gè)時(shí)段的地震模型，所以能夠反映任意時(shí)刻下由地震所產(chǎn)生的的變形位移等(3)它可以計(jì)算結(jié)構(gòu)和各結(jié)構(gòu)部件在地上分散作用下的隨時(shí)的地震反應(yīng)，并提供兩種方法：根據(jù)內(nèi)力包絡(luò)值配合筋，在地震作用過(guò)程中隨時(shí)根據(jù)內(nèi)力最大值配合筋?？傊瑫r(shí)辰分析法具有許多優(yōu)點(diǎn)，最為突出的就是它可以很好地反映出結(jié)構(gòu)在受到地震影響下所產(chǎn)生的變形，基于該分析結(jié)果就能夠找到結(jié)構(gòu)的薄弱環(huán)節(jié)并對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步加固改進(jìn)，即便再牢固的結(jié)構(gòu)都有可能在地震中發(fā)生破壞，但如果我們能夠減緩結(jié)構(gòu)破壞，或者減弱結(jié)構(gòu)破壞程度，這對(duì)于處于地震中的居民來(lái)說(shuō)是能夠極大地提升生還率。4.3動(dòng)力彈塑性分析的基本原理目前，彈塑性動(dòng)力方程的求解主要采用直接積分法。直接積分法的分析思想是在分析地震運(yùn)動(dòng)不規(guī)則動(dòng)力期間的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)時(shí)，將時(shí)間劃分為幾個(gè)小周期，通過(guò)對(duì)動(dòng)力方程的數(shù)值積分得到數(shù)值解。直接積分法是針對(duì)于離散點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，這更有利于計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存數(shù)據(jù)，離散中值點(diǎn)的直接積分方法系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程不需要滿足所有的時(shí)間，但必須找到離散的點(diǎn)使其符合運(yùn)動(dòng)微分方程。直接積分法按照不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有如下下分類方式。按照在tn時(shí)刻(和tn才刻前)的反應(yīng)值確定分段解析法中心差分法平均加速度法線性加速度法Newmark-β法Wilson-θ法等下面對(duì)隱式直接積分方法進(jìn)行介紹。4.3.1隱式方法線性加速度法首先考慮自由度，地震作用下的振動(dòng)方程為:設(shè)時(shí)的情況，時(shí)得情況已經(jīng)給出，不知道.在、這兩點(diǎn)的加速度和明確。若假定在微時(shí)間段內(nèi)加速度反應(yīng)按線性變化.則在時(shí)段內(nèi)加速度反應(yīng)可近似表示為:由此可得速度和位移反應(yīng)為：由以上公式可見(jiàn)，加速度、速度、位移分別為為t的1、2、3次函數(shù)。見(jiàn)下圖4.1圖4.1取且有，則由以上可得時(shí)刻的速度和位移:同時(shí)，在時(shí)刻應(yīng)滿足動(dòng)力方程式，即有代入時(shí)刻的速度和位移可求解得時(shí)刻的加速度：將上式求得的加速度再代入，可得到時(shí)刻的速度位移。由此即可根據(jù)時(shí)刻的已知狀態(tài)及時(shí)刻的地震加速度求得+1時(shí)刻的位移、速度和加速度反應(yīng)，按此步驟重復(fù)下去即可獲得地震反應(yīng)的全過(guò)程。稱為線性加速度法。而對(duì)于彈塑性結(jié)構(gòu)，由于結(jié)構(gòu)狀態(tài)會(huì)時(shí)刻影響著結(jié)構(gòu)特性，所以針對(duì)這種情況，常采用增量法進(jìn)行時(shí)程分析。為此，首先將振動(dòng)方程式改寫(xiě)成以下增量形式將之前公式寫(xiě)成增量形式，則可得以下反應(yīng)增量的線性加速度法的基本公式平均價(jià)速度法由前式可知，可將用表示:將以上式代人，可得位移增量解：上式分母可作為力增量，分子可視為剛度，則上式類似于靜力方程。由上式確定6u后，再代入，可得由此可得到時(shí)刻的各項(xiàng)反應(yīng)值。平均加速度法如圖4.2所示，取時(shí)刻和時(shí)刻加速度的平均值作為時(shí)間內(nèi)的加速度，即:圖4.2平均加速度法因此，在時(shí)間內(nèi)的速度、位移分別為t的1、2次函數(shù)。得到下列各式:上述方法稱為平均加速度法，對(duì)應(yīng)的時(shí)刻加速度的解為:再確定時(shí)刻的速度和位移則對(duì)應(yīng)的位移增量解為:相應(yīng)速度、加速度增量為:Newmark-β法Newmark-β法可以將上述的線性加速度法和平均價(jià)速度法表示出來(lái)。多種加速度法都可以通過(guò)Newmark一致表述成下列形式：相應(yīng)的時(shí)刻加速度的解為:Newmark-β法的增量公式如下:關(guān)于Newmark-β法的穩(wěn)定條件上述方法也是存在一定的弊端的，例如采用數(shù)值積分方法計(jì)算了結(jié)構(gòu)的小振幅比和狀態(tài)比是，當(dāng)所選取時(shí)間段大于結(jié)構(gòu)向振周期的某一比值時(shí)，若在此時(shí)產(chǎn)生誤差，那么誤差就會(huì)跟隨這不斷積分而累計(jì)，導(dǎo)致最后結(jié)果不準(zhǔn)確對(duì)于Newmark-β法無(wú)條件穩(wěn)定

第五章地震輸入動(dòng)力方程及周期計(jì)算方法5.1多維地震輸入時(shí)的動(dòng)力方程想要準(zhǔn)確的輸入動(dòng)力方程，首先需要明白地震是具有六個(gè)方向的分量：3個(gè)平動(dòng)分量ug(t)、vg(t)、wg(t)和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量列出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程rg(t)表示動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)O的矢徑，其三個(gè)分量分別為ug(t)、vg(t)、wgr記θ(t)為動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角速度矢量，其三個(gè)分量分別為θx(t)、θy(t)、θθ(t)=同理，可分別寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)m在動(dòng)、定坐標(biāo)系中的矢量徑為：r=xi+yj+zkr'=x'i'+y'j'+z'k'針對(duì)慣性參考系Ox'y'z'，可以應(yīng)用牛頓第二定律建里質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程：F=m其中：F為作用于質(zhì)點(diǎn)上的力。可以證明：d其中：arvr又因?yàn)閞g與轉(zhuǎn)動(dòng)無(wú)關(guān)，所以：d結(jié)合以上三個(gè)公式，即可得到質(zhì)點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)方程為：m5.1.1結(jié)構(gòu)動(dòng)力方程根據(jù)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程可以得到各個(gè)質(zhì)點(diǎn)慣性力，但需要在經(jīng)過(guò)離散的多指點(diǎn)體系結(jié)構(gòu)。多質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程如下：（依據(jù)為動(dòng)平衡法）M其中，個(gè)矩陣的具體表達(dá)式如下：M=C

cosXXX子矩階數(shù)都是n×n，n代表結(jié)構(gòu)質(zhì)點(diǎn)數(shù)。質(zhì)點(diǎn)矩陣m、動(dòng)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)交余弦陣cosgij'、地面運(yùn)動(dòng)角速度陣θk(k=x,y,z)和座標(biāo)陣x、y相對(duì)位移向量：U=地面運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)角分量：θ=對(duì)比上式可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)處于地震作用時(shí)，由于地震作用是六維方向的作用力，那么僅有等效荷載是不僅與地面運(yùn)動(dòng)分量有關(guān)，還與質(zhì)點(diǎn)所在點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)。而方程左側(cè)的CθM根據(jù)彈性波動(dòng)理論分析，地面轉(zhuǎn)動(dòng)角速度和轉(zhuǎn)動(dòng)角位移一般情況下的數(shù)據(jù)并沒(méi)有很大，因此，一般條件下，為減少分析的復(fù)雜性，考慮多為地震輸入的動(dòng)力方程。通常動(dòng)力方程形式：M5.2多點(diǎn)地震輸入時(shí)的動(dòng)力方程對(duì)于長(zhǎng)跨橋梁、壩體和管道網(wǎng)絡(luò)等較大范圍內(nèi)的結(jié)構(gòu)，地震波在結(jié)構(gòu)上的傳播需要時(shí)間。換句話將，同一時(shí)刻不同位置的點(diǎn)所受到的地震作用時(shí)不相同的，這就解釋了為什么存在多點(diǎn)地震輸入問(wèn)題。在這種情況下，必須考慮各支點(diǎn)間相對(duì)運(yùn)動(dòng)所引起的結(jié)構(gòu)內(nèi)的逆靜力應(yīng)力。[3]設(shè)受外力動(dòng)載向量p(t)作用的多自由度系統(tǒng)動(dòng)力方程為：M發(fā)生地震是，地面運(yùn)動(dòng)，結(jié)構(gòu)支承隨之運(yùn)動(dòng)，結(jié)構(gòu)不當(dāng)有額外的動(dòng)載。假設(shè)用角標(biāo)a表示不受外力作用的節(jié)點(diǎn)有關(guān)的項(xiàng)，以角標(biāo)b表示同結(jié)構(gòu)支撐節(jié)點(diǎn)有關(guān)的項(xiàng)，則上式可以改寫(xiě)為：

M分塊矩陣形成的方法是先將節(jié)點(diǎn)座標(biāo)按上述約定排序，然后對(duì)應(yīng)將矩陣排序后分塊。地震時(shí)PaM擬靜力位移，記為usa在每個(gè)支座有6個(gè)自由度的情況下，所有支撐處的總自由度為：L=6n記第l個(gè)自由度的位移為ulsb。由ulU各節(jié)點(diǎn)總位移由擬靜力位移向量和動(dòng)力相對(duì)位移向量之和組成。支撐隨地面一起運(yùn)動(dòng)，故這些點(diǎn)動(dòng)力位移分量為零，故：U其中：Usa、UUda則：M上式右端第二項(xiàng)一般可略去，而對(duì)于每一瞬間第三項(xiàng)等于零。記Klab表示Kab的第l個(gè)列向量，此矩陣與擬靜力位移影響系數(shù)γK則以支撐加速度表示的動(dòng)力方程為：M對(duì)于集中質(zhì)量體系MabM上式可改寫(xiě)為：M當(dāng)?shù)孛娓鼽c(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度過(guò)程完全相同，即各支撐點(diǎn)出的相對(duì)位移為零時(shí)，UsaK5.3周期計(jì)算方法這里我們使用雅克比法來(lái)進(jìn)行周期的計(jì)算。雅可比方法的基本思想是通過(guò)一系列的由平面旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成的正交變換將實(shí)對(duì)稱矩陣逐步化為對(duì)角陣，從而得到的A全部特征值及其相應(yīng)的特征向量.首先引進(jìn)Rn中的平面旋轉(zhuǎn)變換.x記為x=Pijx=y=則稱x=Pijy為Rn中xi,xj①Pij②Pij的主對(duì)角線元素中除第i個(gè)與第j個(gè)元素為cosθ外，其它元素均為1；非對(duì)角線元素中除第i行第j列元素為?sinθ,第j行第i列元素為sinθ外,③PTA只改變A的第i行與第j行元素，AP只改變A的第i列與第j列元素,所以P設(shè)A=(aij)n×n(n≥3)則A1為實(shí)對(duì)稱矩陣,且A1與A有相同的特征值a當(dāng)取θ滿足關(guān)系式tan2θ=時(shí)，且aij1=由于在正交相似變換下,矩陣元素的平方和不變，所以若用DA表示矩陣A的對(duì)角線元素平方和，用SA表示A的非對(duì)角線元素平方和

D雅可比方法就是逐步對(duì)矩陣A進(jìn)行正交相似變換,消去非對(duì)角線上的非零元素,直到將A的非對(duì)角線元素化為接近于零為止，從而求得A的全部特征值,把逐次的正交相似變換矩陣乘起來(lái),便是所要求的特征向量.雅可比方法的計(jì)算步驟歸納如下：第一步：在矩陣A的非對(duì)角線元素中選取一個(gè)非零元素aij.一般說(shuō)來(lái)，取絕對(duì)值最大的非對(duì)角線元素第二步：由公式

tan2θ=求出θ，從而得平面旋轉(zhuǎn)矩陣P1=第三步：計(jì)算A1=P1第四步以A1代替A，重復(fù)第一、二、三步求出A2及P2，繼續(xù)重復(fù)這一過(guò)程，直到Am的非對(duì)角線元素全化為充分小第五步：Am的對(duì)角線元素為A的全部特征值的近似值,P=P1P2?Pm的第j列為對(duì)應(yīng)于特征值λj

軟件系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)6.1系統(tǒng)需求分析6.1.1系統(tǒng)功能需求分析1.空間桿系有限元分析的計(jì)算若將有限元分析過(guò)程視作控制論中的黑盒的話，則它的輸入信息即1中的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)、桿件數(shù)據(jù)、桿件截面屬性、荷載信息、地震波。它的輸出數(shù)據(jù)為各個(gè)節(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)位移。2.模型信息與分析結(jié)果的持久化儲(chǔ)存。6.1.2系統(tǒng)性能需求分析1.準(zhǔn)確性與及時(shí)性程序的核心部分即空間桿件結(jié)構(gòu)有限元分析算法應(yīng)該確保準(zhǔn)確性，如果可行的話，應(yīng)保證在極端輸入數(shù)據(jù)集的情況下依舊能夠正常工作。并且算法速度應(yīng)該得到保證，應(yīng)該在盡可能短的時(shí)間內(nèi)完成計(jì)算。2.魯棒性魯棒性（Robust）即程序的健壯性。在進(jìn)行模型信息、荷載信息與地震波信息的錄入時(shí)，應(yīng)確保程序能夠有效的對(duì)非法數(shù)據(jù)與極端數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。在以上情況下應(yīng)該保證程序不會(huì)出現(xiàn)異常、崩潰現(xiàn)象。3.易用性與以維護(hù)性程序應(yīng)該易于使用，程序的主要功能與接口應(yīng)當(dāng)集成到一起展現(xiàn)給客戶。能夠使用戶在不需要了解程序內(nèi)部運(yùn)行機(jī)制的情況下輕松使用本程序。需要提供明確的用戶指引與幫助文檔。6.1.3系統(tǒng)可行性分析本課題“空間桿系有限元基礎(chǔ)程序”的核心技術(shù)問(wèn)題主要是空間桿系有限元分析算法。空間桿系有限元分析算法第二章已經(jīng)給予基本的介紹，其主要內(nèi)容包括：空間桿系靜力學(xué)平衡方程與剛度矩陣的推導(dǎo)、桿系的動(dòng)力學(xué)方程、阻尼矩陣與質(zhì)量矩陣、地震動(dòng)時(shí)程積分方程與基于雅克比法的周期計(jì)算。

實(shí)例首先我們讀取數(shù)據(jù)，然后將局部坐標(biāo)的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系下。在得到全局坐標(biāo)下的數(shù)據(jù)后分別進(jìn)行固有值、周期、振型、圓頻率的計(jì)算。當(dāng)以上步驟都計(jì)算完成后，開(kāi)始對(duì)每一個(gè)節(jié)點(diǎn)分別進(jìn)行時(shí)程分析，計(jì)算它們的位移、速度與加速度信息。然后將坐標(biāo)從全局坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換回局部坐標(biāo)系，以便對(duì)桿件的內(nèi)力進(jìn)行計(jì)算