《計(jì)算方法》課件第5章

第5章曲線擬合5.1引言5.2內(nèi)積及函數(shù)線性無(wú)關(guān)5.3最小二乘法曲線擬合 5.1引言

科學(xué)研究和工程實(shí)踐中，經(jīng)常需要根據(jù)觀察或測(cè)量得到的一組離散數(shù)據(jù)序列(xi，yi)(i=0，1，…，n)，尋找自變量x與因變量y的函數(shù)關(guān)系y=P(x)。上一章所述的插值方法是一種解決該問(wèn)題的途徑，插值方法基于插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值等于給定的函數(shù)值而給出了自變量x與因變量y之間的關(guān)系式P(x)。然而，實(shí)際中得到的函數(shù)值yi是測(cè)量值，帶有誤差，不準(zhǔn)確，而插值函數(shù)保留了這些誤差，必然會(huì)影響函數(shù)逼近的精度，從而不能很好地反映所測(cè)數(shù)據(jù)集的總體趨勢(shì)。為此，采用另外一種方法來(lái)構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=P(x)，即基于所得到的數(shù)據(jù)序列，不要求有P(xi)=yi(i=0,1,…,n)，而是要使得誤差δi=P(xi)－yi(i=0，1，…，n)在某一準(zhǔn)則下盡可能地小，δi也稱為殘差。這在幾何上表現(xiàn)為構(gòu)造一條曲線，使得所得到的數(shù)據(jù)集分布在這條曲線的最近處，這種構(gòu)造近似函數(shù)的方法稱為曲線擬合，P(x)稱為擬合函數(shù)。

曲線擬合常用的準(zhǔn)則有三個(gè)：(2)(3) 5.2內(nèi)積及函數(shù)線性無(wú)關(guān)

1.內(nèi)積的概念及性質(zhì)

內(nèi)積具有如下性質(zhì)：

(1)滿足交換律，即(f，g)=(g，f);

(2)對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，有(af，g)=(f，ag)=a(f，g);

(3)(f+h，g)=(f，g)+(h，g);

(4)若f(x)≠0，則(f，f)>0。則稱是線性相關(guān)的，否則稱為線性無(wú)關(guān)。 5.3最小二乘法曲線擬合設(shè)(xi，yi)(i=0，1，…，n)為給定的一組數(shù)據(jù)，并設(shè)曲線擬合函數(shù)為y=S(x)，而S(x)來(lái)自函數(shù)類Φ={φ0(x)，φ1(x)，…，φm(x)}，即(5.1)其中φ0(x)，φ1(x)，…，φm(x)是線性無(wú)關(guān)的，稱為Φ的基函數(shù)。最小二乘法曲線擬合要求所有點(diǎn)的誤差平方和最小，即使得(5.2)此時(shí)必有這樣求解的問(wèn)題等價(jià)于求a0，a1，…，am,使得即最小。若令則最小二乘法曲線擬合問(wèn)題轉(zhuǎn)變成求解函數(shù)ψ(a0，a1，…，am)最小極值點(diǎn)的問(wèn)題。由多元函數(shù)求極值的條件：可得(5.4)式(5.4)可整理為(5.5)進(jìn)一步可得即(5.6)其中k=0，1，…，m。(5.7)引入記號(hào)f=(y0，y1，…，ym)，則根據(jù)內(nèi)積的定義，結(jié)合式(5.6)有…所以方程組(5.7)可用內(nèi)積方便地表示為(5.8)式(5.8)被稱為法方程組，其寫(xiě)成矩陣的形式為(5.9)式(5.9)為線性方程組，且其系數(shù)矩陣為對(duì)稱陣。由于φ

0(x)，φ1(x)，…，φm(x)是線性無(wú)關(guān)的，所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異，方程組有唯一解,設(shè)該解為a*0，a1*，…，a*m,將其代入式(5.1)后得到擬合函數(shù)為綜上所述，最小二乘法曲線擬合的步驟如下：

(1)列出已知的數(shù)據(jù)對(duì)(xi，yi)(i=0，1，…，n)；

(2)給出基函數(shù)；

(3)列法方程組；

(4)計(jì)算內(nèi)積，解法方程組；

(5)得到曲線擬合函數(shù)。

式(5.1)中的φ0(x)，φ1(x)，…，φm(x)是函數(shù)類Φ的基函數(shù)，而基函數(shù)的獲取通常是根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)獲得的。對(duì)于簡(jiǎn)單的情況，常使用多項(xiàng)式作為擬合函數(shù)，即S(x)=Pn(x)，Pn(x)為n次多項(xiàng)式，此時(shí)函數(shù)類Φ的基函數(shù)為而基函數(shù)之間的內(nèi)積為

例5－1考察某種纖維的強(qiáng)度(記為y)與其拉伸倍數(shù)(記為x)的關(guān)系，實(shí)際測(cè)定的24個(gè)纖維樣品的強(qiáng)度與相應(yīng)拉伸倍數(shù)見(jiàn)表5.1，應(yīng)用最小二乘法求取y與x的關(guān)系式y(tǒng)=f(x)。表5.1某種纖維樣品的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)

解以拉伸倍數(shù)為x軸，強(qiáng)度為y軸，將所測(cè)量的24組數(shù)據(jù)(24個(gè)點(diǎn))畫(huà)在坐標(biāo)系中，如圖5.1所示。圖5.1纖維強(qiáng)度與拉伸倍數(shù)數(shù)據(jù)示意圖

由圖5.1可知,纖維強(qiáng)度隨拉伸倍數(shù)的增加而增加，且24個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近，因此可以認(rèn)為強(qiáng)度y與拉伸倍數(shù)x的關(guān)系為線性關(guān)系，故設(shè)擬合函數(shù)為

y=f(x)=a0+a1x

即基函數(shù)為建立法方程組：根據(jù)內(nèi)積的定義可算得則法方程組為解此法方程組可得所以擬合函數(shù)為

例5－2已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表5.2所示，設(shè)基函數(shù)分別為φ0(x)=lnx，φ1(x)=cosx，φ