《自動(dòng)控制原理》課件2第7章 線性離散控制系統(tǒng)

自動(dòng)控制原理第七章

線性離散控制系統(tǒng)2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1

7.1概述

前面各章介紹的都是連續(xù)控制系統(tǒng)，它們中的所有變量都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)作為控制器已廣泛應(yīng)用于工業(yè)系統(tǒng)中，稱為計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。其在數(shù)據(jù)測(cè)量、算法設(shè)計(jì)上顯示了巨大的優(yōu)越性，大幅度提高了系統(tǒng)的可靠性和控制精度。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析2自動(dòng)控制原理典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)方框圖如圖7.1所示。

圖7.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖自動(dòng)控制原理

7.1.1離散控制系統(tǒng)的基本概念

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析3由圖可見，這是一個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)，系統(tǒng)中的信號(hào)是混合式的。其中，計(jì)算機(jī)的輸入輸出信號(hào)是數(shù)字量，其它部分的信號(hào)是模擬量。具體來說，輸入量、輸出量是連續(xù)的模擬信號(hào)，它們的差值e(t)由A/D轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)化為數(shù)字量輸入計(jì)算機(jī)進(jìn)行運(yùn)算,其輸出仍是數(shù)字化的離散信號(hào)，這個(gè)信號(hào)不能直接施加到被控對(duì)象，必須經(jīng)過D/A轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬量信號(hào)，然后驅(qū)動(dòng)被控對(duì)象。在整個(gè)過程中，A/D轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)采樣開關(guān)，D/A轉(zhuǎn)換器相當(dāng)于一個(gè)保持器，這樣計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)又可以等效為圖7.2所示。

圖7.2采樣控制系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析4

7.1.1離散控制系統(tǒng)的基本概念

自動(dòng)控制原理綜上，與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)不同，計(jì)算機(jī)只能在離散的時(shí)間點(diǎn)上測(cè)量和處理數(shù)據(jù)，控制作用也只有在離散的時(shí)間點(diǎn)上才可以進(jìn)行修改。這種一處或幾處的信號(hào)僅定義在離散時(shí)間點(diǎn)上的系統(tǒng)被稱為離散控制系統(tǒng)。離散信號(hào)又是經(jīng)過采樣后得到的，因此又稱為采樣控制系統(tǒng)。由于計(jì)算機(jī)的引入，使離散控制系統(tǒng)具有如下的優(yōu)點(diǎn)：1）由于數(shù)字信號(hào)的引入，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。2）允許采用高靈敏度的控制元件和測(cè)量元件，為實(shí)現(xiàn)高精度的控制提供了可能。3）控制器的結(jié)構(gòu)和參數(shù)易于修改，可以完成更加復(fù)雜的控制任務(wù)。4）可用一臺(tái)計(jì)算機(jī)分時(shí)控制若干個(gè)系統(tǒng)，提高了設(shè)備的利用率。5）計(jì)算器除了作控制器外，還兼有顯示、報(bào)警等功能。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析5

7.1.1離散控制系統(tǒng)的基本概念

自動(dòng)控制原理7.1.2離散控制系統(tǒng)的分析與校正設(shè)計(jì)方法

與連續(xù)控制系統(tǒng)一樣，離散控制系統(tǒng)也是一種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它的性能也是由穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)部分組成。因此，對(duì)它的研究可以借鑒連續(xù)系統(tǒng)的研究方法。但是，離散信號(hào)的引入又使其具有特殊性。目前，分析離散系統(tǒng)常用的方法有兩種：一種是Z變換法，另一種是狀態(tài)空間分析法。一般情況下，輸出采樣序列能準(zhǔn)確地反映出系統(tǒng)輸出的真實(shí)情況，但在一些特殊情況下，系統(tǒng)輸出會(huì)在采樣間隔中出現(xiàn)振蕩和紋波，這是采樣系統(tǒng)的一個(gè)特殊問題，需要通過設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制策略來避免。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析6自動(dòng)控制原理7.2信號(hào)采樣與保持

7.2.1信號(hào)采樣1.采樣過程把連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換成離散信號(hào)的過程稱為采樣過程，實(shí)現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器或采樣開關(guān)。反之，把采樣后的離散信號(hào)恢復(fù)為連續(xù)信號(hào)的過程稱為信號(hào)的復(fù)現(xiàn)。采樣器的采樣過程，可以用一個(gè)周期性閉合的采樣開關(guān)來表示，如圖7-3所示。

圖7.3采樣過程

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析7自動(dòng)控制原理

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析87.2信號(hào)采樣與保持

自動(dòng)控制原理理想采樣過程可以看成一個(gè)幅值調(diào)制過程，它的輸入、輸出關(guān)系如圖7.4所示，調(diào)制波是被采樣的信號(hào)

，載波是單位脈沖序列

。

圖7.4信號(hào)的采樣2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析97.2信號(hào)采樣與保持

自動(dòng)控制原理

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析107.2信號(hào)采樣與保持

2.采樣過程的數(shù)學(xué)描述

單位脈沖序列是以采樣周期

為周期的周期信號(hào)，可以展開成傅氏級(jí)數(shù)式中

為采樣頻率，

為傅氏級(jí)數(shù)的系數(shù)，且2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析11自動(dòng)控制原理在

到

期間，

只在

時(shí)出現(xiàn)一個(gè)單位脈沖，在其他時(shí)間里都為零，根據(jù)脈沖函數(shù)的性質(zhì)有于是有

。根據(jù)

，有對(duì)上式作傅氏變換，并用復(fù)位移定理有2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析12

2.采樣過程的數(shù)學(xué)描述

自動(dòng)控制原理設(shè)連續(xù)信號(hào)

的頻譜

為一帶寬有限的連續(xù)頻譜，如圖7.5（a）所示。而采樣信號(hào)

的頻譜

具有以采樣頻率

為周期的無窮多個(gè)頻譜分量，如圖7.5（b）所示，圖中

的分量

稱為

的主分量，其余

的分量稱為

的補(bǔ)分量，補(bǔ)分量是在采樣過程中引進(jìn)的高頻分量。

圖7.5采樣信號(hào)頻譜2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析13

2.采樣過程的數(shù)學(xué)描述

自動(dòng)控制原理

3.香農(nóng)采樣定理

由圖7.5可以看出，當(dāng)采樣頻率

時(shí)，離散信號(hào)

的頻譜是由無窮多個(gè)孤立頻譜組成的，其中

對(duì)應(yīng)的就是被采樣的原連續(xù)信號(hào)的頻譜，只是幅度為原來的

，其他各頻譜都是由于采樣而產(chǎn)生的高頻頻譜，可以通過圖7.6所示的理想低通濾波器，濾除掉高頻補(bǔ)分量，得到復(fù)原的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。

圖7.6低通濾波器2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析14自動(dòng)控制原理當(dāng)

時(shí)

，如圖7.7所示，離散信號(hào)

的頻譜不再由孤立的頻譜組成，由于相互重疊使頻譜發(fā)生了畸變，無法通過濾波器得到復(fù)原的信號(hào)。圖7.7

時(shí)的頻譜圖2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析15

3.香農(nóng)采樣定理

自動(dòng)控制原理綜上：要使采樣信號(hào)能夠反映連續(xù)時(shí)間信號(hào)的變化規(guī)律，采樣頻率就應(yīng)足夠高。設(shè)連續(xù)信號(hào)

的頻譜是有限的，最高頻率分量的頻率為

，若要求采樣信號(hào)不丟失連續(xù)信號(hào)所包含的信息，采樣頻率

應(yīng)滿足即采樣頻率應(yīng)大于連續(xù)信號(hào)最高頻率分量頻率的2倍，這便香農(nóng)采樣定理。

設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時(shí)，香農(nóng)采樣定理是必須嚴(yán)格遵守的一條準(zhǔn)則，因?yàn)樗该髁藦牟蓸有盘?hào)中不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)所必需的理論上的最小采樣周期T。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析16

3.香農(nóng)采樣定理

自動(dòng)控制原理

7.2.2零階保持器

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)被控對(duì)象的有效控制，必須把離散信號(hào)恢復(fù)為相應(yīng)的連續(xù)信號(hào)。由上節(jié)的推導(dǎo)可知，如果系統(tǒng)滿足香農(nóng)采樣定理，采樣后的離散信號(hào)就可以復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號(hào)。但圖7.5的理想濾波器在物理上很難實(shí)現(xiàn)，因此，需要尋求一種既在特性上接近于理想濾波器，又在物理上可實(shí)現(xiàn)的濾波器，保持器就是這種實(shí)際濾波器的一個(gè)典型代表。保持器是一種時(shí)域的外推裝置，即按過去時(shí)刻或現(xiàn)在時(shí)刻的采樣值進(jìn)行外推。通常把按常數(shù)、線性函數(shù)和拋物線函數(shù)外推的保持器分別稱為零階、一階和二階保持器。由于一階和二階保持器的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，而且在采樣頻率足夠高的情況下，它們的性能并不比零階保持器具有明顯優(yōu)勢(shì)，因此，實(shí)際中多用的是零階保持器。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析17自動(dòng)控制原理零階保持器的單位理想脈沖響應(yīng)函數(shù)如圖7.8(a)所示，它可以由兩個(gè)單位階躍函數(shù)之和來表示，如圖7.8（b)所示。

(a)(b)圖7.8零階保持器的輸出特性2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析18自動(dòng)控制原理

7.2.2零階保持器

它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

（7.3）對(duì)上式取拉氏變換，可得零階保持器的傳遞函數(shù)為：

（7.4）其頻率特性為2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析19自動(dòng)控制原理

7.2.2零階保持器

幅頻特性和相頻特性分別為

，幅頻和相頻特性曲線如右圖所示，容易看出零階保持器是一個(gè)低通濾波器。幅頻和相頻特性曲線如圖7.9所示。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析20自動(dòng)控制原理

7.2.2零階保持器

圖7.9零階保持器的幅頻和相頻特性曲線圖

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析21自動(dòng)控制原理

7.2.2零階保持器

由圖可見，零階保持器具有如下特性：1）低通特性。幅頻特性圖中，幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說明它是一個(gè)近似的低通濾波器。但從圖中也可以看出，除了讓主頻譜通過外，還有部分附加的高頻頻譜分量通過，從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)中紋波的出現(xiàn)。2）相角滯后特性。相頻圖中，相角滯后隨ω的增大而變大，在采樣頻率處，相角滯后可達(dá)-180°，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。因此，從零階保持器恢復(fù)的信號(hào)與原連續(xù)信號(hào)是有差別的，如圖7.10所示?？梢?，復(fù)原信號(hào)在相位上比原信號(hào)平均滯后T/2。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析22自動(dòng)控制原理

7.2.2零階保持器

圖7.10零階保持器的復(fù)原信號(hào)

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析23自動(dòng)控制原理

7.2.2零階保持器

7.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

7.3.1z變換1.z變換z變換的思想來源于連續(xù)系統(tǒng)。線性連續(xù)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能，可以應(yīng)用拉氏變換的方法進(jìn)行分析。與此相似，線性離散系統(tǒng)的性能，可以采用z變換的方法來獲得。z變換實(shí)際上是采樣函數(shù)拉氏變換的變形，是研究線性離散控制系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。

設(shè)采樣后的離散信號(hào)為:

（7.5）2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析24自動(dòng)控制原理7.3.1z變換對(duì)上式取拉氏變換，得：

（7.6）各項(xiàng)均含有因子

，為方便直接計(jì)算，引入一個(gè)新的變量

，于是式7.6就改寫為：

（7.7）可以看出，z變換的引入將s的超越函數(shù)轉(zhuǎn)換為z的有理分式。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析25自動(dòng)控制原理常用的z變換有三種方法：1）級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法是直接根據(jù)z變換的定義，將式（7.7）展開為如下形式：

（7.8）雖然表達(dá)式具有無窮多項(xiàng)，但常用函數(shù)的z變換的級(jí)數(shù)展開式都可以寫成閉合形式。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析267.3.1z變換自動(dòng)控制原理

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析277.3.1z變換自動(dòng)控制原理例7.2試求理想脈沖序列的z變換。解：由拉氏變換可知因此寫成閉合形式為：2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析287.3.1z變換自動(dòng)控制原理從例7.1和例7.2可見，相同的z變換對(duì)應(yīng)于相同的采樣函數(shù)，但不一定對(duì)應(yīng)于相同的連續(xù)函數(shù)，這是利用z變換分析離散系統(tǒng)時(shí)需要特別注意的一個(gè)問題。例7.3已知

，

，求F（z）解：

對(duì)應(yīng)的離散信號(hào)為：它的z變換為：2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析297.3.1z變換自動(dòng)控制原理

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析307.3.1z變換自動(dòng)控制原理然后將有理分式函數(shù)F（s）展開成部分分式之和的形式這樣，每一個(gè)分式都對(duì)應(yīng)簡(jiǎn)單的時(shí)間函數(shù)，可以通過查表法直接得出其相應(yīng)的z變換，最后通過線性疊加求出F（z）。例7.4求解

的Z變換2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析317.3.1z變換自動(dòng)控制原理解：因?yàn)?/p>

而所以例7.5求解

的Z變換。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析327.3.1z變換自動(dòng)控制原理解：因?yàn)?）留數(shù)計(jì)算法設(shè)連續(xù)函數(shù)f(t)的拉氏變換為F（s），且其為真有理分式，令p(k)(k=1,2,...,n)為F（s）的極點(diǎn)，則F（s）的z變換可通過計(jì)算下列的留數(shù)求得，即：2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析337.3.1z變換自動(dòng)控制原理

（7.9）

式中，

為

在s=pk上的留數(shù)。當(dāng)F（s）具有s=p的一階極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的留數(shù)為：

（7.10）2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析347.3.1z變換自動(dòng)控制原理當(dāng)F（s）具有s=p的q階重極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的留數(shù)為：

（7.11）例7.6已知

，求

解：2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析357.3.1z變換自動(dòng)控制原理例7.7試求

的Z變換解：

常用信號(hào)的Z變換見表7.1所示。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析367.3.1z變換自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析377.3.1z變換表7.1常用函數(shù)的z變換與拉氏變換對(duì)照表自動(dòng)控制原理2.z變換的基本性質(zhì)1）線性定理設(shè)f1(t)和f2(t)的z變換分別為F1(z)和F2(z)，a1和a2是常數(shù)，則有：2）滯后定理設(shè)t<0時(shí),f(t)=0,Z[f(t)]=F(z),則：式中k、T均為常量。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析387.3.1z變換自動(dòng)控制原理3）超前定理Z[f(t)]=F(z)則

4）終值定理Z[f(t)]=F(z),且F(z)不含有z＝１的二重及以上的極點(diǎn)和單位圓外的極點(diǎn)，則f(t)的終值為：5）復(fù)數(shù)位移定理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析397.3.1z變換自動(dòng)控制原理Z[f(t)]=F(z)6）卷積定理設(shè),和

變換分別為,和

，且當(dāng)t<0時(shí),

，已知：則2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析407.3.1z變換自動(dòng)控制原理例7.8試用實(shí)數(shù)位移定理計(jì)算滯后一個(gè)采樣周期的指數(shù)函數(shù)

的z變換，其中a為常數(shù)。解例7.9試用復(fù)數(shù)位移定理計(jì)算函數(shù)

的z變換。解令e（t）=t，2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析417.3.1z變換自動(dòng)控制原理根據(jù)復(fù)數(shù)位移定理，有例7.10應(yīng)用終值定理確定下列函數(shù)的終值解：

在單位圓外和單位圓上沒有極點(diǎn)，故可以應(yīng)用終值定理，有2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析427.3.1z變換自動(dòng)控制原理

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析437.3.2z反變換自動(dòng)控制原理例7.11求

的反變換

解：例7.12求

的反變換

解：2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析447.3.2z反變換自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析457.3.2z反變換自動(dòng)控制原理所以F（z）=

2．部分分式法部分分式法又稱查表法，其基本思路是：把F（z）展開成部分分式的線性組合形式，再通過查z變換表找出每一個(gè)分式相應(yīng)的f*（t）。考慮到z變換表中，所有z變換函數(shù)F（z）在其分子上普遍都有因子z，所以通常將F（z）/z展開成部分分式，然后將所得結(jié)果的每一項(xiàng)都乘以z，即得F（z）的部分分式展開式。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析467.3.2z反變換自動(dòng)控制原理具體步驟總結(jié)如下：（1）對(duì)F（z）的分母多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；（2）將F（z）/z按分母因式展開為部分分式和的形式；（3）求各分式項(xiàng)的Z反變換之和。例7.13已知

，求其z反變換解：2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析477.3.2z反變換自動(dòng)控制原理反變換得：例7.14已知

，求其z反變換解：反變換得2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析487.3.2z反變換自動(dòng)控制原理3．留數(shù)法又稱為反演積分法。在實(shí)際中遇到的z變換函數(shù)F（z）有時(shí)不是有理分式，而是超越函數(shù)，此時(shí)前面介紹的兩種方法都無法應(yīng)用，而只能采用反演積分法。其公式為

（7.12）其中

，

表示函數(shù)在極點(diǎn)zi處的留數(shù)。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析497.3.2z反變換自動(dòng)控制原理例7.15請(qǐng)將例7.13中的

，用留數(shù)法求其z反變換解：所以：2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析507.3.2z反變換自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析51如果

有n階重極點(diǎn)zi，則

（7.13）7.3.2z反變換自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析527.3.3差分方程

自動(dòng)控制原理離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有差分方程、脈沖傳遞函數(shù)和離散狀態(tài)空間表達(dá)式三種。1.離散系統(tǒng)的差分方程描述與連續(xù)系統(tǒng)的微分方程表達(dá)相對(duì)應(yīng)，離散系統(tǒng)可用差分方程來表示。對(duì)于一般的線性定常離散系統(tǒng)，k時(shí)刻的輸出c（k）不但與k時(shí)刻的輸入r（k）有關(guān)，而且與k時(shí)刻之前的輸入r（k-1），r（k-2），...以及k時(shí)刻之前的輸出c（k-1），c（k-2），...有關(guān)。這種關(guān)系可以用差分方程來描述：（7.14）2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析537.3.3差分方程

上式也可表示為：（7.15）n≥m其中，

和

為常系數(shù)，且常系數(shù)線性差分方程的求解方法有經(jīng)典法、迭代法和z變換法三種。經(jīng)典法需要求解齊次方程的通解和非齊次方程的一個(gè)特解，比較復(fù)雜。這里介紹后兩種工程中常用的求解方法：迭代法和z變換法。2.差分方程的求解(1）迭代法由于系統(tǒng)地輸入輸出量在差分方程中均以脈沖序列形式表示，當(dāng)初值已知時(shí)，很容易通過迭代的方法計(jì)算出系統(tǒng)的輸出。自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析54例7.16已知，且,，求序列。解：可以看出，用迭代法求解差分方程時(shí)，一般難以得到解的閉合形式。7.3.3差分方程

自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析55例7.17已知差分方程輸入序列r（k）=1，初始條件為c（0）=0，c（1）=1，試用迭代法求輸出序列c（k），k=0,1,2，…,6。解根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，得7.3.3差分方程

自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析567.3.3差分方程

例7.18閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析57（2）z變換法用z變換法求解差分方程，與用拉氏變換求解微分方程類似。其實(shí)質(zhì)是把以KT為自變量的差分方程變成以z為變量的代數(shù)方程，求解后再進(jìn)行z的反變換。例7.19用z變換法的方法求解例7.16：，且的序列。，求解：對(duì)上式取z變換，得：帶入初始條件，并整理得：7.3.3差分方程

通過查表可得：自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析581.脈沖傳遞函數(shù)的定義與連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義類似,脈沖傳遞函數(shù)定義為零初始條件下輸出采樣信號(hào)

的

的變換與輸入采樣信號(hào)

的

變換之比，即（7.16）在圖7.11所示系統(tǒng)中，輸入信號(hào)

經(jīng)采樣后加在對(duì)象

上，輸出為

，經(jīng)z變換后輸出為在采樣時(shí)刻取值的脈沖序列，相當(dāng)于在系統(tǒng)的輸出端虛擬了一個(gè)用虛線表示的同步采樣開關(guān)。必須指出，該虛擬采樣開關(guān)的設(shè)置只是為了便于系統(tǒng)分析，在實(shí)際中可能并不存在。7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析597.3.4脈沖傳遞函數(shù)圖7.11開環(huán)離散系統(tǒng)可設(shè)

，

，

為

的單位脈沖響應(yīng)，于是有即上圖所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)等于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)

的

變換。自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析602.開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)（1）兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)中間沒有采樣開關(guān)，如圖7.12所示。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義，系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：（7.17）7.3.4脈沖傳遞函數(shù)式中，

表示

和

相乘后再求

變換。圖7.12中間沒有采樣開關(guān)的串聯(lián)環(huán)節(jié)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析61所以，沒有理想采樣開關(guān)隔開的兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積后的z變換。這一結(jié)論可以推廣到類似的多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。（2）兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)中間有采樣開關(guān)，如圖7.13所示。根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義，所以，（7.18）7.3.4脈沖傳遞函數(shù)圖7.13中間有采樣開關(guān)的串聯(lián)環(huán)節(jié)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析62所以，有理想采樣開關(guān)隔開的兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)等于這兩個(gè)環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。這一結(jié)論可以推廣到類似的多個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。(3）串聯(lián)零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)帶有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)如圖7.14所示。圖7.14有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析63圖中，零階保持器和連續(xù)部分傳遞函數(shù)之間沒有采樣開關(guān)隔離。由于零階保持器不是s的有理分式，因此不能按照式7.17來求脈沖傳遞函數(shù)?？梢詫D7.14等效變換為圖7.15的形式。圖7.15有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)的等效形式7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析64由圖可知：，所以,連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)

前加采樣器和零階保持器時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)為：（7.19）（4）連續(xù)信號(hào)進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)時(shí)的情況連續(xù)信號(hào)進(jìn)入連續(xù)環(huán)節(jié)時(shí)的情況如圖7.16所示。7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析65根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義，有：（7.20）式中，表示r(t)作用在上，對(duì)它們的輸出進(jìn)行采樣，再對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行z變換，顯然，這種情況下只能寫出輸出離散信號(hào)的z變換，而無法求出脈沖傳遞函數(shù)。7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析66例7.20已知：，，求在圖7.17(a)、(b)兩種連接形式下的脈沖傳遞函數(shù)。圖7.17例7.20圖7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析67解：圖a）：（圖b）：顯然，3.閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)由于離散控制系統(tǒng)具有不同的結(jié)構(gòu)形式，且采樣開關(guān)在系統(tǒng)中的位置也各不相同。因此，這類系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)沒有統(tǒng)一的計(jì)算公式，而要根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際結(jié)構(gòu)來求取。例7.21圖7.18是典型的離散系統(tǒng)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)，求其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

。7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析68圖7.18例7.21圖解：由圖可知，（7.21）7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析69根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義：所以：（7.22）例7.22圖7.19是具有數(shù)字控制器的離散系統(tǒng)，求其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

圖7.19例7.22圖7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析70解：消去中間變量，求得系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：例7.23系統(tǒng)如圖7.20所示，求閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析71圖7.20例7.23圖解：自動(dòng)控制原理7.3.4脈沖傳遞函數(shù)2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析72所以：表7.2給出了幾種常見閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)及輸出的z變換。7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析73表7.2幾種典型閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)及輸出的z變換7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析74例7.24離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖如圖7.21所示，（1）求k=1，T=1時(shí)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。（2）系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

。（3）k=1，T=0.5時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析75圖7.21例7.24圖解：（1）7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析76閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：（2）單位階躍輸入的z變換為：7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析77用長(zhǎng)除法將上式展開得：取z的反變換可得：該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖7.22（a）所示。7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析78（a）（b）圖7.22例7.24系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析79（3）k=1，T=0.5時(shí)，7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析80該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖7.22（b）所示通過圖7.22的（a）、（b）對(duì)比可以看出：由于采樣周期選取的不同，在同樣時(shí)刻點(diǎn)處的采樣值不同，且較小的采樣周期對(duì)應(yīng)較小的超調(diào)量。7.3.4脈沖傳遞函數(shù)自動(dòng)控制原理7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析

與連續(xù)控制系統(tǒng)分析中的情況相類似，離散控制系統(tǒng)也有穩(wěn)定性分析、動(dòng)態(tài)性能分析和穩(wěn)態(tài)誤差等性能指標(biāo)，分析方法與連續(xù)控制系統(tǒng)所使用的方法基本類同。7.4.1離散系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1．離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)初態(tài)為

，

，即：

。

的所有特征根

互異，則：由z反變換可得：2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析81自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析82要使系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足=0，則：

，即系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根都在

平面上以原點(diǎn)為圓心的單位圓內(nèi)。上述結(jié)論對(duì)

有重根的情況也成立。由此得出離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)均位于Z平面上的單位圓內(nèi)。2．s平面與z平面的映射關(guān)系復(fù)變量

和復(fù)變量

間的關(guān)系為

，其中

，則：可得：，其中，

為采樣頻率7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析

自動(dòng)控制原理容易看出，在

左半平面時(shí)，

，對(duì)應(yīng)

，即

左半平面映射到

平面的單位圓內(nèi)；

平面的虛軸

，對(duì)應(yīng)

，映射到

平面的單位圓上；

右半平面

，對(duì)應(yīng)

，映射到

平面的單位圓外。在

平面上，當(dāng)

從

到

變化時(shí)，在

平面上，相角

從

到

變化2角度，即

沿圓弧逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周；同理當(dāng)

從

到

變化時(shí)，在

平面上，相角又沿圓弧逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周；因此，s平面上

相同，

相差采樣頻率

的點(diǎn)，會(huì)映射到

平面上相同的點(diǎn)。換句話說，由

平面到

平面的變換并不唯一。

左半平面任一寬度為

的帶狀區(qū)域都映射成

平面單位圓的內(nèi)部區(qū)域。

左半平面從

的帶狀區(qū)域稱為主要帶，

左半平面其他

，

，以及

，

的區(qū)域，被稱為次要帶。由于實(shí)際系統(tǒng)的頻帶寬度總是有限的，其截止頻率一般遠(yuǎn)低于采樣頻率

，因此，在分析和設(shè)計(jì)離散系統(tǒng)時(shí)，最為重要的是與主要帶相對(duì)應(yīng)的第一個(gè)單位圓。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析837.4離散控制系統(tǒng)的性能分析

自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析84圖7.23平面與

平面的映射關(guān)系7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析

自動(dòng)控制原理平面上的等線：

平面內(nèi)

為常數(shù)的直線表示瞬態(tài)分量的衰減速率，它映射到

面為以原點(diǎn)為圓心，半徑為

的圓。平面上的等線：平面內(nèi)角頻率的直線映射到平面為從原點(diǎn)發(fā)出的一條射線，射線與正實(shí)軸的夾角為（弧度）。所以，

平面內(nèi)的負(fù)實(shí)軸，其

，對(duì)應(yīng)于

平面正實(shí)軸上

的區(qū)段。

左半平面內(nèi)的直線

被映射到

平面負(fù)實(shí)軸上

的區(qū)段。具體見圖7.24所示。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析857.4離散控制系統(tǒng)的性能分析

自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析867.4離散控制系統(tǒng)的性能分析

自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析87圖7.24平面上的等

線和等

線綜上，由s平面與z平面的映射關(guān)系也可以得出離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析

自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析883．s平面與w平面的映射關(guān)系線性離散系統(tǒng)的特征方程是以z為變量的代數(shù)方程，它是s的超越方程。因而很多在連續(xù)系統(tǒng)分析中廣泛應(yīng)用的方法不能推廣到離散系統(tǒng)中。如果可以建立一種新的變換關(guān)系，使z平面上的單位圓可以變換為另一復(fù)平面上的虛軸，z平面上單位圓內(nèi)的區(qū)域可以變換為它的左半?yún)^(qū)域，而z平面上單位圓外的區(qū)域變換為它的右半?yún)^(qū)域，就可以在該變換所對(duì)應(yīng)的復(fù)平面中，用連續(xù)系統(tǒng)的方法來直接分析離散系統(tǒng)。w變換就是一種這樣的變換。定義：下述復(fù)變量

和復(fù)變量

間的變換稱為

變換。（7.23）7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析89或（7.24）設(shè)：則（7.25）平面上的虛軸滿足，即，對(duì)應(yīng)平面的單位圓上。平面的單位圓內(nèi)的區(qū)域?qū)?yīng)于平面的左半平面，而平面的單位圓外的區(qū)域?qū)?yīng)于平面的右半平面。7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析904．離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性有以下方法：直接法、勞斯穩(wěn)定判據(jù)和朱利穩(wěn)定性判據(jù)。1）直接法對(duì)一、二階系統(tǒng)，可以通過直接求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，再判斷特征根的模是否小于1來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例7.25試判斷圖7.25所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性，其中T=0.25s。圖7.25例7.25系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析91解：特征方程式為因?yàn)?/p>

所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析922）勞斯穩(wěn)定性判據(jù)

利用上節(jié)介紹的

變換，將離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程變換到

平面，即：將閉環(huán)特征方程中的z用公式（7.23）

來替代，整理為關(guān)于

的代數(shù)方程后，直接應(yīng)用勞斯穩(wěn)定性判據(jù)來進(jìn)行判別。例7.26已知閉環(huán)特征方程如下，試判穩(wěn)。D(z)=45z3-117z2+119z-39=0解：

將z→w變換代入特征方程式：7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析93經(jīng)整理得列勞斯表有二個(gè)根在w右半平面,即有兩個(gè)根在Z平面上的單位圓外，故系統(tǒng)為不穩(wěn)定。7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析945．采樣周期與開環(huán)增益對(duì)穩(wěn)定性的影響連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益及系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布等因素，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性除以上因素外，還與其特有的采樣周期T有密切關(guān)系。例7.27討論采樣周期與開環(huán)增益對(duì)例7.24閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。圖7.26例7.27系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析95解：特征方程：當(dāng)K=1時(shí)，改變T值T=1時(shí)，

單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定T=2時(shí)，

單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析96T=4時(shí)：

單位圓外，不穩(wěn)定所以：K不變時(shí)，T越大，穩(wěn)定性越差。T=1時(shí),改變K值時(shí)，單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，單位圓內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定7.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理所以T不變時(shí)，K越大，穩(wěn)定性越差。不同K值對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)仿真圖（a）K=1,T=1穩(wěn)定2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析977.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理

（2）K=2,T=1，穩(wěn)定2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析987.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理

（3）K=4,T=1，不穩(wěn)定

圖7.27不同K值對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)仿真圖

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析997.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理下面求系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍，此時(shí)取采樣周期為T=1。整理得

令2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1007.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1017.4離散控制系統(tǒng)的性能分析自動(dòng)控制原理7.4.2離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析102自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1037.4.2離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1047.4.2離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析圖7.28特征根的位置與暫態(tài)響應(yīng)之間的關(guān)系自動(dòng)控制原理對(duì)于穩(wěn)定的離散控制系統(tǒng)，當(dāng)它有一對(duì)靠近單位圓的孤立的復(fù)數(shù)極點(diǎn)，而其他極點(diǎn)都比較靠近圓心時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)主要由這對(duì)靠近單位圓的復(fù)數(shù)極點(diǎn)所支配，這對(duì)靠近單位圓的復(fù)數(shù)極點(diǎn)被稱為主導(dǎo)極點(diǎn)。當(dāng)某個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)和某個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)的距離，與主導(dǎo)極點(diǎn)的模值相比小一個(gè)數(shù)量級(jí)以上，則與這個(gè)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)分量的系數(shù)就會(huì)很小，這樣的一對(duì)零、極點(diǎn)被稱為偶極子，閉環(huán)偶極子對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響可以忽略。對(duì)于輸出為欠阻尼振蕩的閉環(huán)系統(tǒng)，應(yīng)該在每個(gè)阻尼振蕩周期里采樣~次；對(duì)于過阻尼系統(tǒng)，應(yīng)該在系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時(shí)間內(nèi)采樣~次，過大的采樣周期對(duì)于系統(tǒng)瞬態(tài)特性的改善是不利的。為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的快速性，并在一個(gè)完整的振蕩周期內(nèi)獲得較多的采樣值，希望的主導(dǎo)極點(diǎn)應(yīng)位于

平面單位圓內(nèi)正實(shí)軸附近，且具坐標(biāo)原點(diǎn)的距離較小。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1057.4.2離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1067.4.2離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1077.4.2離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析圖7.29例7.28單位階躍響應(yīng)曲線圖自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1087.4.2離散控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析自動(dòng)控制原理7.4.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析109設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定，由終值定理有自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1107.4.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1117.4.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1127.4.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1137.4.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析自動(dòng)控制原理

顯然，采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣周除了與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入信號(hào)有關(guān)外，還與采樣周期的大小有關(guān)。表7.3列出了單位反饋離散系統(tǒng)跟蹤三種典型輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。

表7.3離散系統(tǒng)典型輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1147.4.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1157.4.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1167.4.3離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析自動(dòng)控制原理7.5有限拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)通過對(duì)控制器的適當(dāng)設(shè)計(jì)，采樣控制系統(tǒng)可以做到在典型輸入信號(hào)作用下，經(jīng)過有限拍的控制使誤差為零，實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間內(nèi)輸出對(duì)輸入的完全跟蹤。根據(jù)被控對(duì)象的實(shí)際情況，有最小拍采樣系統(tǒng)、有限拍采樣系統(tǒng)和無紋波采樣系統(tǒng)幾種設(shè)計(jì)方案。這里主要討論最小拍采樣系統(tǒng)。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析117自動(dòng)控制原理7.5.1最小拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)1.最小拍離散控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)原則最小拍系統(tǒng)是指在某一典型輸入信號(hào)作用下，其輸出采樣值在最少的采樣周期（一個(gè)采樣周期稱為一拍）內(nèi)達(dá)到并保持在設(shè)定值的離散系統(tǒng)。設(shè)單位反饋采樣控制系統(tǒng)如圖7.31所示，所謂最小拍采樣控制系統(tǒng)，就是控制算法

能夠在可能的最少拍數(shù)以后，使系統(tǒng)輸出采樣信號(hào)和指令值恒相等。2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析118自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1197.5.1最小拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1207.5.1最小拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)控制原理表7.4最小拍控制器設(shè)計(jì)2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1217.5.1最小拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)控制原理7.5.2有限拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析122自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1237.5.2有限拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1247.5.2有限拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1257.5.2有限拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1267.5.2有限拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析1277.5.2有限拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)控制原理2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析128（7）求差分方程7.5.2有限拍采樣系統(tǒng)設(shè)計(jì)自動(dòng)控制原理

7.6MATLAB在離散控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

以上各節(jié)都是通過解析的方法對(duì)離散控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)較高或采樣周期選取較小時(shí)，計(jì)算非常復(fù)雜。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，用Matlab對(duì)離散系統(tǒng)進(jìn)行仿真可以方便地判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，直觀地看到參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。7.6.1離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1.z變換和z反變換

求取時(shí)間函數(shù)f（t）的z變換指令為：

F=ztrans(f)求取F（z）的z反變換的指令為：

f=iztrans(F);2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析129自動(dòng)控制原理

2025年2月25日第七章線性控制系統(tǒng)的時(shí)域分析130

7.6MATLAB在離散控制系統(tǒng)分析中的應(yīng)用

自動(dòng)控制原理運(yùn)行結(jié)果為：f=(-2)^n/2-(-3)^n+(-4)^n/22.離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型（1）直接建立有理分式形式的脈沖傳遞函數(shù)基本格式為：num=[b0,b1,......bm]den=[a0,a1,......an]sys=tf(num,den,Ts)其中，Ts表示采樣周期，不能缺省。通過鍵入

可以得到已知脈沖傳遞函數(shù)的分子、