教學(xué)課件：《微積分》(第二版)

§1.1預(yù)備知識一、實數(shù)與數(shù)軸二、實數(shù)的絕對值及其基本性質(zhì)三、區(qū)間與鄰域第1章函數(shù)全體實數(shù)所組成的集合稱為實數(shù)系.數(shù)軸是一條有原點、正方向和長度單位的直線.一一對應(yīng)一、實數(shù)與數(shù)軸實數(shù)有理數(shù)無理數(shù)非負整數(shù)(自然數(shù))負整數(shù)分數(shù)整數(shù)二、實數(shù)的絕對值及其基本性質(zhì)定義1.1注1：注2：絕對值有以下一些基本性質(zhì)：性質(zhì)4證明：性質(zhì)5證明：這等價于由性質(zhì)4可得因此即從而證得即三、區(qū)間與鄰域1.常用數(shù)集的表示法:自然數(shù)集(非負整數(shù)集)整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復(fù)數(shù)集正整數(shù)集排除了零的實數(shù)集2.四個邏輯符號:表示"對任意一個"、"對每一個".表示"存在一個"、"至少有一個".表示"蘊含"、"可推出".表示"當且僅當"、"充分必要"、"等價".3.區(qū)間的表示及含義：有限區(qū)間端點為無限的區(qū)間表示及其含義：無限區(qū)間4.鄰域:x0的左鄰域x0的右鄰域左鄰域右鄰域例解方法一不等式兩邊同時平方方法二幾何意義待解不等式要求的點x的集合為：§1.2函數(shù)概念一、變量與函數(shù)二、函數(shù)的表示法三、函數(shù)定義域一、變量與函數(shù)常量:在某一變化過程中始終保持不變的量.變量:在某一過程中不斷變化的量.變量的取值范圍稱為該變量的變域．連續(xù)取值變量:變量的變域是區(qū)間.離散取值變量:變量的變域不是區(qū)間.定義1.2因變量自變量注意：例如：兩個函數(shù)相同：定義域和對應(yīng)法則都相同．約定：如無特別指出，定義域是自變量所能取的使表達式有意義的一切實數(shù)．例：判斷下列各對函數(shù)是否相同？相同函數(shù)的兩個要素：不同(D(f)不同)不同(f不同)二、函數(shù)的表示法1.函數(shù)的表示法：表格法、圖示法和解析法.例3相同不同(D(f)不同)解有些函數(shù)在它的定義域的不同部分,其表達式不同，亦即用多個解析式表示函數(shù)，這類函數(shù)稱為分段函數(shù).（1）絕對值函數(shù)2.分段函數(shù)幾個分段函數(shù)的例子：（2）取整函數(shù)y=[x]-4-224-4-224xyOy=[x]（3）符號函數(shù)-11xyO（4）狄利克雷函數(shù)(Dirichlet)（5）取最值函數(shù)例如注意1.分段函數(shù)的定義域是其各段定義域的并集；2.分段函數(shù)在其整個定義域上是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù).三、函數(shù)定義域定義域是使函數(shù)表達式有意義的自變量取值的全體．由解析式表示的函數(shù)的定義域稱為函數(shù)的自然定義域．常用函數(shù)表達式有意義的條件：(1)負數(shù)不能開偶次方根，(2)分式的分母不能為零，(3)對數(shù)的真數(shù)必須為正數(shù),函數(shù)定義域的求法：根據(jù)實際問題；自然定義域.(6)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集.(5)若函數(shù)的表達式由多項組成，則定義域為各項定義域的交集，(4)反三角函數(shù)arcsinx或arccosx，，例4解例5xy解例解注意P.8練習(xí)1.22（1）；4（1）；3（1）§1.3函數(shù)的幾何特征一、單調(diào)性二、有界性三、奇偶性四、周期性定義1.3一、單調(diào)性注1：注2：例2yxO注3：例1yxO解二、有界性定義1.4定義1.5注意2.幾何特征1.函數(shù)f(x)是有界函數(shù)函數(shù)f(x)既有上界和下界.注定義1.6三、奇偶性性質(zhì)1.定義域關(guān)于原點對稱；2.幾何特征

奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)數(shù)的圖形關(guān)于

y軸對稱，如圖所示：奇函數(shù)偶函數(shù)yxOyxO3.若D=R，且f(x)為奇函數(shù)，則有f(0)=0；反之不一定成立.例3解定義1.7四、周期性例如P.12練習(xí)1.31（2）；2（3）§1.4反函數(shù)定義1.8反函數(shù)的性質(zhì)求反函數(shù)的過程從y=f(x)中求出y的范圍，即為y=f-1(x)的定義域.例1注意例2解之得解整理得于是故所求反函數(shù)為P.14練習(xí)1.41（1），（2）§1.5復(fù)合函數(shù)定義1.9(3)復(fù)合函數(shù)可以由多個函數(shù)復(fù)合構(gòu)成復(fù)合函數(shù).注意例1解于是所以例2解例3解即于是P.16練習(xí)1.52；5（2）；6（2）§1.6初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)二、初等函數(shù)三、隱函數(shù)1．常數(shù)函數(shù)一、基本初等函數(shù)

常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)稱為基本初等函數(shù).2．冪函數(shù)特征：3．指數(shù)函數(shù)4．對數(shù)函數(shù)5．三角函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)余切函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)6．反三角函數(shù)二、初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復(fù)合，并且在其定義域內(nèi)具有統(tǒng)一的解析表達式，這樣的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù).都是初等函數(shù)．注1：注2：注3：一般地，分段函數(shù)、隱函數(shù)、變限積分和冪級數(shù)為非初等函數(shù).三、隱函數(shù)例如1.顯函數(shù)特點：函數(shù)中的

y均由自變量

x的某一解析式所表達.2.隱函數(shù)注1：注2：隱函數(shù)必須在指出確定它的方程以及x、y的取值范圍后才有意義注3：并不是任一方程都能確定出隱函數(shù).例如：不能確定隱函數(shù)．注4：注5：顯函數(shù)一定能用隱函數(shù)表示，但隱函數(shù)不一定能用顯函數(shù)表示.P.22練習(xí)1.64§1.7簡單函數(shù)關(guān)系的建立一、簡單函數(shù)關(guān)系的建立二、經(jīng)濟學(xué)中常見的函數(shù)關(guān)系例2解一、簡單函數(shù)關(guān)系的建立因此總收入為二、經(jīng)濟學(xué)中常見的函數(shù)關(guān)系1.總成本函數(shù)、總收入函數(shù)和總利潤函數(shù)例3解P.25練習(xí)1.71；2；4§2.1數(shù)列極限(1)割圓術(shù)：（劉徽割圓術(shù)）

一、數(shù)列與極限思想（圓的面積）正六邊形的面積正十二邊形的面積............1.概念的引入

正邊形的面積............當

n無限增大時,無限逼近S.(2)截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”............

這是極限思想在幾何學(xué)中的運用，這樣的極限方法為微積分學(xué)中的一種基本方法.............一串數(shù)按照一定的順序排成一列叫做一個數(shù)列.2.數(shù)列的定義

數(shù)列是自變量取正整數(shù)的函數(shù)3.數(shù)列的實質(zhì)

例如數(shù)列極限的定義：4.數(shù)列的極限

收斂數(shù)列的特點：數(shù)列極限嚴格的定義：注意：數(shù)列極限的定義只給出了判斷一個數(shù)是否為某數(shù)列的極限的標準，并未給出求極限的方法.解例1二、數(shù)列極限四則運算法則：注：數(shù)列的函數(shù)的極限性質(zhì)例如：例2求下列數(shù)列極限：解(3)由于因此(4)由于因此(5)由于因此三、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)2.1性質(zhì)2.2性質(zhì)2.3數(shù)列極限的保不等式性定理2.1（夾逼定理）例3求下列數(shù)列的極限：解(1)

由于因此注意到由夾逼定理可得(2)

注意到四、數(shù)列極限存在的條件定義2.1定義2.2注意：

收斂數(shù)列必然是有界數(shù)列，但有界數(shù)列不一定收斂.

無界數(shù)列必發(fā)散，但發(fā)散數(shù)列不一定無界.例如定理2.2單調(diào)有界數(shù)列必收斂.例4證明其次我們來證明數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.事實上由定理2.2知道它們都收斂，且練習(xí)2.1P.333（3）；4（3）（4）§2.2函數(shù)極限二、由函數(shù)圖形認識函數(shù)極限三、由函數(shù)值認識函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的記法一、函數(shù)極限的概念及其記法函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的嚴格數(shù)學(xué)定義常用極限符號單側(cè)極限二、由函數(shù)圖形認識函數(shù)極限例1解注意：例2解例解例3解例解注:解例O1-1(1,2)xyg(x)=x+1O1-1(1,2)xy注:例4三、由函數(shù)值認識函數(shù)的極限解性質(zhì)2.4注:例5解因此例6解例解注:

考察分段函數(shù)分段點處的極限時通常要考慮兩個單側(cè)極限.練習(xí)解P.39

練習(xí)2.2

6（2）（4）（6）（11）；7，8§2.3函數(shù)極限的性質(zhì)及運算法則說明：定義2.3性質(zhì)2.5（類似可定義其他過程下的有界性）注：性質(zhì)2.6性質(zhì)2.7等號不能去掉！例如性質(zhì)2.8且則A

f(x)

g(x)yox

h(x)x0x0-δx0+δ例1證明性質(zhì)2.9注:

此性質(zhì)可推廣到有限個函數(shù)的情形.(直接代入法)(1)參加求極限的函數(shù)應(yīng)為有限個;(2)每個函數(shù)的極限都必須存在;(3)考慮商的極限時，要求分母的極限不為零.例解應(yīng)用極限四則運算法則時，要注意使用條件：例(約去零因子法)

x3時分子、分母都0!解例解

x1時分子,分母都