材料力學(xué)教案筆記

第一章緒論

$1.1材料力學(xué)的任務(wù)

1.材料力學(xué)的任務(wù)

在滿足強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的要求下，為設(shè)計(jì)既經(jīng)濟(jì)又安全的桿件，提供必要的理論基

礎(chǔ)和計(jì)算方法。

2.強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的概念

強(qiáng)度是指構(gòu)件在載荷作用下抵抗破壞的能力。

剛度是指構(gòu)件在載荷作用下抵抗變形的能力。

穩(wěn)定性是指構(gòu)件在載荷作用下保持原有平衡形態(tài)的能力。

$1.2材料力學(xué)的基本假設(shè)

1.連續(xù)性假設(shè)

物體的結(jié)構(gòu)是密實(shí)、無空隙的，因而其力學(xué)性能是連續(xù)的。

2.均勻性假設(shè)

物體內(nèi)各點(diǎn)材料均勻分布，其力學(xué)性能是均勻一致的。

3.各向同性假設(shè)

物體內(nèi)任一點(diǎn)處沿各個(gè)方向的力學(xué)性能都相同。

4.小變形假設(shè)

材料力學(xué)研究的問題，僅限于變形的大小遠(yuǎn)小于構(gòu)件的原始尺寸的情況。在小變形條

件下，研究構(gòu)件的平衡和運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以忽略構(gòu)件的變形，而按構(gòu)件變形前的原始尺寸

進(jìn)行分析計(jì)算。

$1.3內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變和截面法

1.內(nèi)力

指構(gòu)件在外力的作用下，內(nèi)部相互作用力的變化量，即構(gòu)件內(nèi)部各部分之間的因外力作

用而引起的附加相互作用力，稱為''附加內(nèi)力"，簡(jiǎn)稱‘‘內(nèi)力構(gòu)件的內(nèi)力隨外力增加而增

大，但增加到某一限度時(shí)，構(gòu)件將發(fā)生破壞，所以內(nèi)力是有限度的，這一限度與構(gòu)件強(qiáng)度密

切相關(guān)。使用截面法求解內(nèi)力。

2.截面法

（1）欲求構(gòu)件某一截面上的內(nèi)力時(shí)，可沿該截面假想把構(gòu)件切開成兩部分，棄去任一

部分，保留另一部分作為研究對(duì)象。

（2）在保留部分的截面上加上內(nèi)力，以代替棄去部分對(duì)保留部分的作用。

（3）根據(jù)平衡條件，列平衡方程，求解截面上內(nèi)力的合力。

(c)

<b>

1?"dP

~dA

”則IT

p即為分布內(nèi)力系在左點(diǎn)的集度，稱為截面〃-〃上左點(diǎn)的應(yīng)力。p是個(gè)矢量。垂直于

截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”，位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“切應(yīng)力”。

應(yīng)力的單位是牛/米"N/m）,稱為帕斯卡或簡(jiǎn)稱帕（尸”）。

4.應(yīng)變

設(shè)物體內(nèi)MN方向線段MN長(zhǎng)ds變形后"N長(zhǎng)4s+4u

線應(yīng)變：

f.Awdu

￡=lirn—=—

坦牛加ds

剪應(yīng)變：?jiǎn)卧w的各棱邊除可能有長(zhǎng)度變化外，還可能發(fā)生相互垂直的兩棱邊之間的直

角的改變。其改變量/稱為剪應(yīng)變，也是無量綱量，常用弧度來度量。

7=lim--ZLMN

$1.4材料力學(xué)基本變形

1.軸向拉壓

桿件在大小相等、方向相反、作用線與軸線重合的一對(duì)力作用下，變形表現(xiàn)為桿件的

伸長(zhǎng)與縮短。

2.剪切

桿件受大小相等、方向相反且作用線靠近的一對(duì)力的作用，在受力位置材料沿受力方

向發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。

3.扭轉(zhuǎn)

在垂直于桿件軸線的兩個(gè)平面內(nèi)，分別作用大小相等、方向相反的兩個(gè)力偶距，造成

截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

4.彎曲

在桿件軸線的縱向平面內(nèi)，作用方向相反的兩個(gè)力偶矩，或垂直軸線的橫向力。變形

表現(xiàn)為軸線由直線變成曲線。

第二章軸向拉伸、壓縮與剪切

授課學(xué)時(shí)：8學(xué)時(shí)

主要內(nèi)容：

1,軸向拉伸與壓縮桿橫截面上正應(yīng)力b=^,強(qiáng)度條件bmax=（1）max<[b|

111dA'/IllaAJ

NL

2.胡克定律△/=-,CT-EE

EA

3.用切線代圓弧法求解超靜定桁架結(jié)點(diǎn)位移

4.簡(jiǎn)單拉壓靜不定問題的求解

5.剪應(yīng)力、擠壓應(yīng)力強(qiáng)度條件的應(yīng)用

$2.1軸向拉伸與壓縮的概念

1.軸向拉伸與壓縮的概念

桿件上外力合力的作用線與桿件軸線重合，變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)和縮短。

2.力學(xué)模型

$2.2軸力、軸力圖

1.軸力

桿在軸向拉壓時(shí)，橫截面上的內(nèi)力稱為軸力。軸力用N表示，方向與軸線重合。

N

求解軸力的方法：截面法。

軸力的符號(hào)規(guī)則：N與截面的外法線方向一致為正；反之為負(fù)。軸力為正，桿件受拉;

軸力為負(fù)，桿件受壓。

2.軸力圖：用折線表示軸力沿軸線變化的情況。該圖一般以桿軸線為橫軸表示截面位

置，縱軸表示軸力大小。它能確定出最大軸力的數(shù)值及其所在橫截面的位置，即確定危險(xiǎn)截

面位置，為強(qiáng)度計(jì)算提供依據(jù)

例AB桿受力如圖所示，已知6=2.5AN,P2=4kN,8=1.5ZN。試求AB桿

各段內(nèi)并作軸力圖

解：

(1)計(jì)算各段的軸力

對(duì)AC段，設(shè)置截面如圖，

由平衡方程Zx=o得

N、=P、=2.5KN

對(duì)BC段，由平衡方程ZX=O得

6+M—q=o

N2=-1.5AW

(2)按比例畫軸力圖

3.軸向拉(壓)時(shí)橫截面上的應(yīng)力，強(qiáng)度條件

根據(jù)橫截面在軸向拉壓時(shí)仍然保持為平面不變的平面假設(shè)，可得橫截面上只存在正應(yīng)

力。又因?yàn)椴牧暇鶆蜻B續(xù)，并且縱向纖維的伸長(zhǎng)相同，所以橫截面上的正應(yīng)力均勻分布。

強(qiáng)度條件及其應(yīng)用:

例如圖所示托架，已知：AB為鋼板條，截面積100cm2,AC為10號(hào)槽鋼，橫截面

面積為A=12.7cn?。若P=65KN,求：各桿的應(yīng)力。

解：

(1)以節(jié)點(diǎn)C為研究對(duì)象，受力分析如圖所示，建立平衡方程

3

Ex=o$三=$

2y=。7V2|=P

解方程可得

N=48.8KN

'N2=81.33

(2)計(jì)算各桿的應(yīng)力

AB和AC的應(yīng)力為

a.=—!-=163MPa

A

N

cr=--=64MPa

274

$2.3材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能

1.低碳鋼拉伸時(shí)的力學(xué)性能

材料的力學(xué)性能：就是材料在外力作用下，所表現(xiàn)出來的變形和破壞等方面的特性。

試件形狀：

（1）彈性階段04?

應(yīng)力一應(yīng)變曲線上當(dāng)應(yīng)力增加到b點(diǎn)時(shí)，再將應(yīng)力降為零，則應(yīng)變隨之消失；一旦應(yīng)力

超過b點(diǎn)，卸載后，有一部分應(yīng)變不能消除，則b點(diǎn)的應(yīng)力定義為彈性極限在拉伸（或

壓縮）的初始階段應(yīng)力與應(yīng)變￡為直線關(guān)系直至4點(diǎn)，此時(shí)a點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值稱為比例

極限0。，表示為。=七￡

a

（2）屈服階段

在應(yīng)力增加很少或不增加時(shí)，應(yīng)變會(huì)很快增加，這種現(xiàn)象叫屈服。開始發(fā)生屈服的點(diǎn)所

對(duì)應(yīng)的應(yīng)力叫屈服極限°'。到達(dá)屈服階段時(shí)，在磨光試件表面會(huì)出現(xiàn)沿45度方向的條紋，

這是由于該方向有最大剪應(yīng)力，材料內(nèi)部晶格相對(duì)滑移形成的。

（3）強(qiáng)化階段

材料經(jīng)過屈服階段以后，因塑性變形使其組織結(jié)構(gòu)得到調(diào)整，若需要增加應(yīng)變則需要增

加應(yīng)力。。一e曲線又開始上升，到最高點(diǎn)e處的強(qiáng)度b"是材料能承受的強(qiáng)度極限。

（4）局部變形階段

當(dāng)?shù)吞间摾斓綇?qiáng)度極限時(shí)，在試件的某一局部范圍內(nèi)橫截面急劇縮小，形成縮頸現(xiàn)象。

（5）截面收縮率和延伸率

--xlOO%

截面收縮率A）

b=￡zkxioo%

延伸率1。

2.鑄鐵拉伸時(shí)的力學(xué)性能

鑄鐵拉伸時(shí):沒有屈服和頸縮，拉斷時(shí)延伸率很小，故強(qiáng)度極限6,是衡量強(qiáng)度的唯一

指標(biāo)。

$2.4材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能

1.低碳鋼在壓縮時(shí)，彈性摸量和屈服極限與拉伸相似，但壓縮不會(huì)破壞，只會(huì)越壓越

扁，沒有強(qiáng)度極限。

2.鑄鐵壓縮時(shí)，在較小變形時(shí)就會(huì)破壞，并沿45度方向破壞，說明鑄鐵因剪切破壞。

$2.5失效與許用應(yīng)力

1.失效原因

脆性材料在其強(qiáng)度極限與破壞，塑性材料在其屈服極限巴時(shí)失效。二者統(tǒng)稱為極限應(yīng)

力理想情形。

極限應(yīng)力：0m,CTnlax<ah（極限應(yīng)力是材料的強(qiáng)度指標(biāo)）

若工作應(yīng)力為

N

<7=-

A

因此工作應(yīng)力的最大允許值低于b九

塑性材料、脆性材料的許用應(yīng)力分別為

M=-M=—

n

〃3h

一般工程中

4=1.5~2.2

nh=3.0~5.0。

2.強(qiáng)度條件

心=償］<匕］

\A4ax

Nr1

等截面桿A

$2.6軸向拉伸或壓縮的變形，彈性定律

1.桿件在軸向方向的伸長(zhǎng)為

2.沿軸線方向的應(yīng)變和橫截面上的應(yīng)力分別為

MNP

￡---，(7————o

IAA

3.胡克定律

當(dāng)應(yīng)力低于材料的比例極限時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即a=Es,這就是胡克定律。E

為彈性模量。

將應(yīng)力與應(yīng)變的表達(dá)式帶入得

4.橫向應(yīng)變?yōu)?/p>

△bb.-b

￡=——=----------

bb

橫向應(yīng)變與軸向應(yīng)變的關(guān)系為

￡=一困

$2.7軸向拉(壓)桿靜不定問題

1.靜不定問題的概念

對(duì)于桿件的軸力，當(dāng)未知力數(shù)目多于平衡方程的數(shù)目，僅利用靜力平衡方程無法解出全

部未知力。這類問題稱為靜不定問題或超靜定問題。

2.靜不定問題的解法

求解靜不定問題的關(guān)鍵在于使未知力個(gè)數(shù)和方程個(gè)數(shù)相等,這要求除了利用理論力學(xué)的

知識(shí)建立平衡方程外，還要建立若干個(gè)補(bǔ)充方程，使其個(gè)數(shù)等于靜不定次數(shù)。

以求下面三桿桁架的內(nèi)力為例說明靜不定問題的解法。

(1)列A點(diǎn)的平衡方程

Wx=0，M—2N2sina=0DcB

，N\=N?I\afN3

2y=002+2N]cosa=0/\一一/N21N,

(2)變形幾何關(guān)系[X/、」

,A/,J,/p?

A/i=A/3cosa----------------:'KAZ?/-

(3)力與變形的關(guān)系d'

AZ,=

￡1A]E}A}cosa

E3A3

(4)聯(lián)立補(bǔ)充方程和平衡方程求解未知力

Pcos3a

N1=Nz

例桿的上、下兩端都有固定約束，若抗拉剛度EA已知，試求兩端反力。

解：

(1)列桿的平衡方程

桿的未知反力有與和尺2,平衡方程只有一個(gè)。即

CTJ

、=0R]+%—尸=0

I

(2)變形幾何關(guān)系

由于桿的上、下兩端均已固定，故桿的總變形為零，即

A/=A/,+A/2=0,△/]等于AC段變形，似2等于BC段變形

R2

(3)力與變形的關(guān)系

AC段，其軸力N|=K，對(duì)BC段，其軸力N?=—A?，

由虎克定律

他=地

皿書嚕~EAEA

代入變形幾何關(guān)系

即Ra-Rb=0

"喑-奈。t2

(4)聯(lián)立補(bǔ)充方程和平衡方程求解未知力

/?,+/?,-P=0

R}a-R2b=0

解得/?,=-P----P

a+ba+b

應(yīng)該注意，與、尺2方向可任意假設(shè)，但在建立補(bǔ)充方程時(shí)，桿件所受的力必須與產(chǎn)

生的變形一致，才能得到正確答案。

3.裝配應(yīng)力

對(duì)于靜定問題，不存在裝配應(yīng)力，但在靜不定結(jié)構(gòu)中，由于桿件的尺寸不準(zhǔn)確，強(qiáng)行裝

配在一起，這樣在未受載荷之前，桿內(nèi)已產(chǎn)生的內(nèi)力。由于裝配而引起的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。

以下圖為例進(jìn)行講解。

1.平衡方程

2

N]sina-乂sin。=0NiPN3

M-N]cosa-N2cosa=0

2.變形幾何方程

M+加/=(>

3/cosa

3.物理方程

N"

A//cosa(A/JV

EA'E3A3

聯(lián)立方程得

N、能出

2cosa(E^A.,]

I1+^-z—

、2E.A,cosa

$2.8應(yīng)力集中的概念

1.應(yīng)力集中

等截面直桿受軸向拉伸或壓縮時(shí)，橫截面上的應(yīng)力是均勻分布的，對(duì)于構(gòu)件有圓孔、切

口、軸肩的部位，應(yīng)力并不均勻，并在此區(qū)域應(yīng)力顯著增大，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。

（原孔洞應(yīng)力向兩旁分配，造成應(yīng)力分配不均勻。）

應(yīng)力系中系數(shù)K=9a,?！懊x應(yīng)力（平均應(yīng)力）

5,

2.應(yīng)力集中對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度的影響

塑性材.料：由于塑性引起應(yīng)力均布，對(duì)靜

強(qiáng)度極限影響不大。對(duì)疲勞強(qiáng)度，應(yīng)力集中有

影響。

脆性材料：塑性材料沒有屈服階段，載荷

增加時(shí)應(yīng)力集中處的最大應(yīng)力一直領(lǐng)先。并首

先在此處出現(xiàn)裂紋。對(duì)靜載荷，也應(yīng)考慮其影

響。P

$2.9剪切和擠壓

1.剪切變形與擠壓

剪切變形的受力特點(diǎn)：作用在桿件兩個(gè)側(cè)面上且與軸線垂直的外力，大小相等，方向相

反，作用線相距很近。

變形特點(diǎn)是：兩個(gè)力之間的截面沿剪切面相對(duì)錯(cuò)動(dòng)。

可能被剪斷的截面稱為剪切面。

式中Q：剪切面上的剪力，它與P的關(guān)系由平

衡方程確定。A：剪切面面積（不一定是橫截面的面積，

且與外載荷平行）

擠壓應(yīng)力

式中P：擠壓面上的擠壓力

A加：擠壓面面積（與外載荷垂直），過圓柱直徑的橫截面面積。

2.剪應(yīng)力與擠壓力的計(jì)算

例齒輪和軸用平鍵聯(lián)接如下圖所示。已知軸的直徑d=70mm,鍵的尺寸

Z?x/?xl=20xl2xlOOm/n,傳遞的力偶矩m=2kN?m,鍵的許用應(yīng)力上]=60MPa,許

用擠壓應(yīng)力=100。試校核鍵的強(qiáng)度。

解:

（1）計(jì)算鍵所受

剪力的大小將鍵沿

截面n-n假想切開成兩

部分，并把截面以下部

分和軸作為一個(gè)整體來

考慮。n-n截面上的剪力

Q為

Q=AT=blr

由平衡條件

=°得Q----m=0

（2）校核鍵的剪切強(qiáng)度

2m_2x2000

=2S.6MPa<[r]

bld-20xl00x70xl0-9

故平鍵滿足剪切強(qiáng)度條件。

“hl

=三

（3）校核鍵的擠壓強(qiáng)度鍵受到的擠壓力為P,擠壓面面積2,由擠壓強(qiáng)度

條件

Pbh_Ibr_2x20x曠*貧6「0

%￡二級(jí)=丁=12x10號(hào)=95.3MPa<[ahs]

故平鍵滿足擠壓強(qiáng)度條件。

例拖車掛鉤由插銷與板件聯(lián)結(jié)。插銷材料為20

號(hào)鋼，卜］=30Mpa,直徑d=20mm,厚度

t=Smm,P=154N。試校核插銷的剪切強(qiáng)度。

若擠壓許可應(yīng)力為［5］=100Mpa,試校核插銷的擠Qm

1P

壓強(qiáng)度。J

解：

（1）計(jì)算鍵所受力的大小

將插銷沿截面m-m和n-n假想切開（雙剪切面）。列平衡方程可得

（2）校核鍵的剪切強(qiáng)度

15x10

2二——------=23.9MPa<[r]

A2x^（20xlQ-3）2

（3）校核鍵的擠壓強(qiáng)度

考慮中段的直徑面積小于上段和下段直徑面面積之和2dt,故校核中段的擠壓強(qiáng)度。

PP15xlO3

=62.5MPa<]

1.5力-1.5x8x10-3x20x10-3

第三章扭轉(zhuǎn)變形

授課學(xué)時(shí)：6學(xué)時(shí)

內(nèi)容：

外力偶矩的計(jì)算；

扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力推導(dǎo)過程；

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上剪應(yīng)力分布規(guī)律和強(qiáng)度，圓軸扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的剛度和變形（相對(duì)扭轉(zhuǎn)

角）計(jì)算。

$3.1扭轉(zhuǎn)的概念

1.外力特征

力偶矩矢平行于桿的軸線。力偶矩矢方向按右手螺旋法則確定。

2.扭轉(zhuǎn)變形受力特點(diǎn)

桿件的兩端作用著大小相等，方向相反，且作用面垂直于桿件軸線。

3.力偶變形特點(diǎn)

各軸線仍為直線，桿件的任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞軸線的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

4.工程實(shí)例

方向盤軸、傳動(dòng)軸。

$3.2扭矩和扭矩圖

1.外力偶矩的計(jì)算

N

m=9549?一（N.m）

n

N：功率；n：轉(zhuǎn)速

2.扭矩和扭矩圖

（1）內(nèi)力偶矩：桿件受扭時(shí)截面上的內(nèi)力偶矩。符號(hào)T

（2）內(nèi)力偶矩計(jì)算一截面法

用截面將軸分成兩部分，按右手螺旋法則把機(jī)，T表示為矢量，列出左部分平衡

方程ZM*=O,得到

T-m

當(dāng)矢量方向與截面外法線方向一致時(shí)，T為正；反之為負(fù)。

對(duì)于桿件一側(cè)作用多個(gè)外力偶矩情況，任一截面的內(nèi)力偶矩等

于其一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和

(3)扭矩圖

表示桿件各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖形，反應(yīng)出值及

IImax

其截面位置，從而進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算(危險(xiǎn)截面)。該圖一般以桿件軸線為

橫軸表示橫截面位置，縱軸表示扭矩大小。

例傳動(dòng)軸如圖，主動(dòng)輪A輸出功率5=36女卬，從動(dòng)輪B、C、

D輸出功率分別為弓=己=1次卬，PD=l4kW,軸的轉(zhuǎn)速為"=300"min。試作軸的

ml}=9549生=9549X—=446N.m

n300

(2)求截面內(nèi)扭矩

在BC段內(nèi)

I+mB=0

Z=~mB=-350N.m

在CA段內(nèi)

7]j4-mc4-m8-0

G=-mc-mB=-700N.m

在AD段內(nèi)

Tii=mi)=446N.m

(3)畫扭矩圖

$3.3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)

1.薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)

試驗(yàn)前后比較現(xiàn)象：

①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度y。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。

得出結(jié)論：

縱向截面和過軸線的截面上無正應(yīng)力，只有切于縱向截面的切應(yīng)力。

2.薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力

應(yīng)用截面法并考慮qq左側(cè)的平衡方程=0，得出加=2切?廠廠

m

T=--------

r~t

3.剪應(yīng)力互等定理：

由區(qū)也=0得，(r?tdy)dx=(r?tdxjdy

由上式得出：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然成對(duì)存在且數(shù)值相等，兩者

都垂直于兩平面的交線，方向則共同指向或背離該交線。

4.切應(yīng)變剪切胡克定律

/一一切應(yīng)變

r=Gy——剪切胡克定律

式中「一半徑；。一扭轉(zhuǎn)角；/一圓筒長(zhǎng)度；y——剪應(yīng)變；G——剪切彈性模量。

$3.4圓軸扭轉(zhuǎn)變形的剪應(yīng)力分布和變形計(jì)算

1.變形幾何關(guān)系一圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)

圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小不

變，半徑保持為直線；且相鄰兩截面間距離不變。

2.物理關(guān)系——胡克定律

3.力學(xué)關(guān)系

T=102G等G知九A

㈤/

~32~

為了保證圓軸安全可靠地工作，應(yīng)使軸內(nèi)的最大剪應(yīng)力不超過材料的許用剪應(yīng)力[r],

T

即max—<[r]

叱

根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件，可以進(jìn)行強(qiáng)度校核、截面設(shè)計(jì)和確定許可載荷等三大類強(qiáng)度

計(jì)算問題。

圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度條件：

為了消除長(zhǎng)度的影響，用d。/，氏表示扭轉(zhuǎn)變形的程度，令

d(bT

(0==---<[<p]

dx3,Glp

距離為/的兩個(gè)橫截面之間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為

±dx

”,

對(duì)于階梯軸（各段的極慣性矩不同）或軸上有幾個(gè)外力偶作用時(shí)，應(yīng)分段計(jì)算每段的餓

扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和，即為兩端面間的扭轉(zhuǎn)角

0=必+制+....=1^77^

/■=|3pi

例傳動(dòng)軸上有三個(gè)齒輪，齒輪2為主動(dòng)輪，齒輪1和齒輪3消耗的功率分別為

0.756KW和2.98KW。若軸的轉(zhuǎn)速為183.5"min,材料為45鋼，［r］=40MPa.根據(jù)

強(qiáng)度確定軸的直徑。

(1)計(jì)算力偶距

mx=95494=39.3N.rn

n

加3=9549芻=155凡/〃

n

m2=mx+m3=194.3N.m

(2)根據(jù)強(qiáng)度條件計(jì)算直徑155N.ni

從扭矩圖上可以看出，齒輪2與3間的扭矩絕對(duì)值最大。

例若上題規(guī)定［句=1.5(°)/加，且已知G=80GPa按剛度條件確定軸的直徑，并求齒

輪3對(duì)齒輪1的轉(zhuǎn)角。

A解Z?：4nna*=1-5-5X——180〈網(wǎng)rni=1.5

G?—D471

32

32x155x180

O>4=0.029機(jī)

80xl09x^2xl.5

Tl39.3x0.3=1.85x10-3rad

必2

G

~TP80xl09X-X(30x10-3)4

Tl39.3x0.4

心=——=-155—9.75x10-3.

23GIp

80X109X^X(30X10-3)4

"13=0i2+023=—7.9x10-rad

$3.5扭轉(zhuǎn)變形能

1.扭矩作功

W=；機(jī),

2.扭轉(zhuǎn)變形能和能密度

$3.6圓柱密圈螺旋彈簧的應(yīng)力和變形

1.彈簧絲橫截面上的應(yīng)力

Q=P,T=PD/2

Q4PT8PD

丁薩，F(xiàn)ax一記一玄

8PD(d8PD

1+r2-max-^rl2D+

4c—l?0.61518尸￡>_/<8PD

修正公式：/ax

4c-4C)欣3加3

D4c-l0.615

式中ck------------1-----------

~d4c-4c

2.彈簧的變形

彈簧的變形是指彈簧在軸向壓力（或拉力）作用下，沿軸線方向的縮短量（或伸長(zhǎng)量）,

用;I表示

在彈性范圍內(nèi)，壓力P與變形X成正比。

W=-PA

2

72128P2方2

2G~G7i-d^p

U=^udV

14P

UR人第Gd4

令變形能等于外力作功，即u=w,于是有

23

1D.4PDn

-PA------：—

2Gd4

8PD,pGd4

2=*其中

Gd4C8。、

第四章平面圖形的幾何性質(zhì)

授課學(xué)時(shí)：4學(xué)時(shí)

內(nèi)容：靜矩和形心；慣性矩；慣性積；平行移軸定理。

$4.1靜矩和形心

1.靜矩

對(duì)于圖形，其面積為A。z和y為圖形所在平面的坐標(biāo)

軸。則微面積44在整個(gè)圖形面積上對(duì)坐標(biāo)軸的積分為

S.=jydA,Sy=jzdA

AA

稱為圖形對(duì)z軸和y軸的靜矩或一次矩。

2.形心

設(shè)有一厚度很小的均勻薄板形狀如上圖。則重心與平面

圖形的形心一致。利用靜力學(xué)的力矩定理求出薄板重心坐標(biāo)

了和乞分別為

jydAJzdA

-A—A

y=--------,z=---------

AA

ss..

y-->z-——

AA

從上式可以看出，若圖形對(duì)某一軸的靜矩等于零，則該軸必然通過圖形的形心；反之,

若圖形對(duì)某一軸通過圖形的形心，則圖形對(duì)該軸靜矩等于零。

當(dāng)一個(gè)圖形A由A，A?…等〃個(gè)圖形組合而成的組合圖形時(shí)，由靜距的定義得

S：=JWA=JWA+JW4+…+JydA=A又+4%+…4丹,==|2Al

AA&A,

同理得

S,,=

i=i

$4.2慣性矩、慣性半徑和慣性積

1.慣性矩

/,="人七2dA

2dA2

*=\Ap=￡(/+Z>A=A+ZV

2.慣性半徑

3.慣性積

lyz=\AyzdA

$4.3平行移軸公式

圖形對(duì)型心軸九和Z,的慣性距和慣性積分別為

(=心智兒=Jjz”

圖形對(duì)型心軸y和z的慣性距和慣性積分別為

2

Iv=^z'dA=(Ge+a)dA=(z；JA+2aJ,z<，A+/［多

由于JzcdA=O,JgA=A

上式得

/y=IyC+a~A

同理可得

2

Iz=IzC+bA

/=/bA

>z>czc+a

$4.4轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸

1.兩種坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換

弘=ycosa+zsina

<

Z]=zcosa-ysina

2.轉(zhuǎn)軸公式的推導(dǎo)

coscr-ysinafdA=cos2?￡z2JA+sin2y2dA-2sincrcos6z￡yzdA

22

=IYcosa+Izsina-1yzsin2a

以cos?a=g(l+cos2a)和sin2a=g(l—cos2a)代入上式，得到

人+人1、T-

I、.=-----+-------cos2a—sinq2a

%22，

同理可得

/+1I—

I.-------=-----------cos2a+/sin2a

-122"vr

/,，臼=4yksin2a+/”cos2a

3.主慣性軸

對(duì)々求導(dǎo)得

dl\

-—v=-2—-----sin26z+/,cos2<z

daI2v)

dl

若。=即時(shí)Jy=0得

da

――^-sin2ao+1歸cos2ao=。

2/

tan2ao=-------匚，解出a。，可以確定一對(duì)坐標(biāo)軸孔和z。。

1yTz

上式代入到慣性積公式得。

>1-1=0

所以，當(dāng)坐標(biāo)軸繞0點(diǎn)轉(zhuǎn)到汽和Zo位置時(shí)，圖形對(duì)坐標(biāo)軸的慣性積等于零。這一對(duì)坐

標(biāo)軸便稱為過這一點(diǎn)的主軸。對(duì)主軸的慣性矩稱為主慣性矩。對(duì)應(yīng)著一個(gè)最大值，一個(gè)最小

值。

第五章彎曲內(nèi)力

授課學(xué)時(shí)：6學(xué)時(shí)

主要內(nèi)容：彎曲內(nèi)力；Q、M與q之間的微分關(guān)系；Q,M方向的確定；突變位置,方向,

大小數(shù)值。

$5.1概述

1.平面彎曲

受力特點(diǎn)是：所有外力都作用在桿件的縱向平面上且與桿軸線垂直.

變形特點(diǎn)是：桿的軸線由原來的直線彎曲成與外力在同一平面上的曲線。

軸線

2.支承簡(jiǎn)化

A

可動(dòng)較固定錢支

固定端

3.靜定梁的分類

剪支梁外伸梁懸臂梁

4.載荷的簡(jiǎn)化

集中載荷、載荷、集中力偶、分布力偶

例求懸臂梁的約束反力。

解：

(1)分析受力

受集中力P，分布力q，力偶m,固定端簡(jiǎn)化為〃2心乂八、心。

（2）列平衡方程

ZX=O,XA=O

m=cil-l1P=。

工丫=0,〃-~%

/3

）：“—0,-PI—+7??^—0

解得

37

XA=0/=不虱啊

Zo

$5.2梁橫截面的內(nèi)力剪力和彎矩

1.剪力和彎矩

根據(jù)梁的平衡條件，列以下方程

國(guó))=。，2%而=0

得出靜定梁在載荷作用下的支反力RA,

RB；并將其作為已知量。

作載面加-加，考慮左側(cè)平衡，列平衡方

程。

門=0,對(duì)-『。=。，Q=RA-P\

Z〃"(x)=0,M+'(x—a)—R,x=0,MRAx-P^x-a)

從上式可以看出，截面上的剪力。在數(shù)值上等于此截面左側(cè)或右側(cè)梁上所有外力在梁

軸的垂線(y軸)上投影的代數(shù)和。截面上的彎矩在數(shù)值上等于此截面左側(cè)或右側(cè)梁上所有

外力對(duì)于該截面形心的力矩的代數(shù)和。

2.剪力和彎矩方向的確定

取梁內(nèi)一小段dx,其錯(cuò)動(dòng)趨勢(shì)為“左上右下”時(shí)，對(duì)于剪力。規(guī)定為正號(hào)；反之，為

負(fù)號(hào)。對(duì)于彎矩，在圖所示的變形情況下，小段的彎曲變形向下凹進(jìn)，截面的彎矩M規(guī)定

為正號(hào)；反之，為負(fù)號(hào)。

7660

解：

（1）求支座反力

RA=RB=5X106/V

（2）列平衡方程，求剪力和彎矩

Q=RA=5X1（）6N

（）4

6

M=RAx0.83-^x0.4x-j-=3.15xl0N.m

3.剪力方程彎矩方程剪力圖和彎矩圖

1）剪力方程和彎矩方程

一般情況下，剪力和彎矩隨截面位置變化，則橫截面上的剪力和彎矩可以表示為x的函

數(shù)。

Q=Q(x)

M=M(x)

2)剪力圖和彎矩圖

以平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置，以縱坐標(biāo)相應(yīng)截面上的剪力和彎矩。

例畫出梁的剪力圖和彎矩圖

解：

(1)列平衡方程，求支反力

Z%=。，Pb-RAl=O

Z%=。，RBl-Pa=O

解得

%=華七=華

(2)求剪力和彎矩

Pb

Q(x)=—(0<x>Q)

Pb

M[X}=—X(0<x<<7),這是在AC

段內(nèi)的剪力方程彎矩方程

如)=華_P=_華(a<x<l)

M(x)-~j~x~P(x—a)--x)

(?<%</),這是在BC段內(nèi)的剪力方程彎矩方程

(3)畫剪力圖彎矩圖

$5.3載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系

1.彎曲內(nèi)力與分布載荷q之間的微分關(guān)系(右手坐標(biāo)系)

用坐標(biāo)為x和x+辦的兩相鄰截面從梁中截取出長(zhǎng)為以的微段，其中c為x+公的截面的

形心。在坐標(biāo)為x的截面上，剪力和彎矩分別為0(x)和M(x)；在坐標(biāo)為x+辦的截面上,

剪力和彎矩則分別為Q(x)+dQ(x),M(x)+dM(x).

q(x)

Xy=0，Q(x)-[Q(X)+1Q(x)]+q(x)dx=0

dx

ZM、=0，-A/(x)+[M(x)+dM(x)]-Q{x)dx-q[x}dx.—=0

省略去上面第二式中的二階微量q(x)公?d'x，整理后可得

3),、

—：—二q(x)

ax

"=Q(x)

ax

上式中就是載荷集度(7(x),和剪力Q(x)及彎矩M(x)間的微分關(guān)系?？梢缘贸黾袅D

上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小。彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪

力的大小。

彎矩與荷載集度的關(guān)系是：土%H=K3=q(x)

axax

2.Q、M圖與外力間的關(guān)系

1)梁在某一段內(nèi)無載荷作用，剪力圖為一水平直線，彎矩圖為一斜直線。

2)梁在某一段內(nèi)作用均勻載荷，剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。

3)在梁的某一截面。"M(X)=Q(X)=O,剪力等于零，彎矩有一最大值或最小值。

dx

4)由集中力作用截面的左側(cè)和右側(cè)，剪力Q有一突然變化，彎矩圖的斜率也發(fā)生突然

變化形成一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

利用內(nèi)力和外力的關(guān)系及特殊點(diǎn)的內(nèi)力值來作圖。

例外伸梁的載荷如圖。試?yán)蒙厦娴玫降慕Y(jié)論，直接作剪力圖和彎矩圖。

解：

(1)求支反力

RA=3.5kN,RB=14.5kN。

(2)分析剪力和彎矩

A點(diǎn)右側(cè)：Q=35kN,M=0o

C點(diǎn)左：Q=3.5,M=7kN.m。

C點(diǎn)右：Q=3.5kN,M=4kN.m。

B點(diǎn)左：Q=35kN,M-6kN.m

B點(diǎn)右：Q=6kN,M=6kN.m?

D點(diǎn)左：。=0,M=0

第六章彎曲應(yīng)力

授課學(xué)時(shí)：6學(xué)時(shí)

主要內(nèi)容：純彎曲的正應(yīng)力；橫力彎曲切應(yīng)力。

$6.1梁的彎曲

1.橫力彎曲

橫截面上既有。又有〃的情況。如AC、DB段。

2.純彎曲

某段梁的內(nèi)力只有彎矩沒有剪力時(shí)，該段梁的變形稱為純彎曲。如CQ段。

a?,a

一々-

△CD吞

P

MPa

TTHN--

3.梁的純彎曲實(shí)驗(yàn)

(1)現(xiàn)象：橫向線af變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向線變a-a變?yōu)榍€，且上面

壓縮下面拉伸；橫向線與縱向線變形后仍垂直。

(2)中性層：梁內(nèi)有一層纖維既不伸長(zhǎng)也不縮短，因而纖維不受拉應(yīng)力和壓應(yīng)力，此

層纖維稱中性層。

(3)中性軸：中性層與橫截面的交線。

縱向?qū)ΨQ面

$6.2純彎曲時(shí)的正應(yīng)力

1.變形幾何關(guān)系

從梁中截取出長(zhǎng)為公的一個(gè)微段，橫截面選用如圖所示的y—z坐標(biāo)系。圖中，y軸

為橫截面的對(duì)稱軸，z軸為中性軸。從圖中可以看到，橫截面間相對(duì)轉(zhuǎn)過的角度為d。，中

dxP

/de

性層“。曲率半徑為/7,距中性層為y處的任一縱

線（縱向纖維）扭扭為圓弧曲線。因此，縱線拉?的伸長(zhǎng)

為

△/=（/?+y）dO—dx-{p+y）d6—pdO-ydO

而其線應(yīng)變?yōu)?/p>

A/ydOy

￡=——=------=—

bbpdOp

縱向纖維的應(yīng)變與它到中性層的距離y成正比。

2.物理關(guān)系

梁的縱向纖維間無擠壓，只是發(fā)生簡(jiǎn)單拉伸或壓縮。當(dāng)橫截面上的正應(yīng)力不超過材料的

比例極限P.時(shí)，可由虎克定律得到橫截面上坐標(biāo)為y