2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)計(jì)數(shù)原理

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)

計(jì)數(shù)原理?1.通過(guò)實(shí)例，了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.通過(guò)實(shí)例，理解排列、組合的概念.3.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.CONTENTS010203/目錄

知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)考點(diǎn)·分類突破課時(shí)·過(guò)關(guān)檢測(cè)01?1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

m＋n

?種不同的方法；（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

m×n

?種不同的方法.m＋n

m×n

2.排列、組合的定義排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素并按照一定的

順序

?排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合的定義作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合順序

3.排列數(shù)、組合數(shù)的定義、公式、性質(zhì)排列數(shù)組合數(shù)定義從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的

個(gè)數(shù)

?從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同組合的

個(gè)數(shù)

?公式＝n（n－1）·（n－2）…（n－m＋1）＝＝＝性質(zhì)＝n！，0?。?＝1，＝，＋＝個(gè)數(shù)

個(gè)數(shù)

｜解題技法｜1.利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的一般步驟2.涂色問(wèn)題常用的兩種方法排列問(wèn)題【例4】

已知7位同學(xué)站成一排.（1）甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

（2）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？

（3）甲、乙兩同學(xué)不能相鄰的排法共有多少種？（4）甲總在乙的前面的排法共有多少種？

變式1：甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

變式2：甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

｜解題技法｜求解排列問(wèn)題的四種常用方法組合問(wèn)題【例5】

按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本.

｜解題技法｜1.組合問(wèn)題的兩類常見(jiàn)題型（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取；（2）“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.2.有限制條件的組合問(wèn)題的解題思路從限制條件入手.組合問(wèn)題只是從整體中選出部分即可，相對(duì)來(lái)說(shuō)較簡(jiǎn)單.常見(jiàn)情況有：（1）某些元素必選；（2）某些元素不選；（3）把元素分組，根據(jù)在各組中分別選多少分類.排列與組合的綜合問(wèn)題（2022·新高考Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有

（

）A.12種B.24種C.36種D.48種

答案

（1）B

｜解題技法｜解排列、組合問(wèn)題要遵循的2個(gè)原則（1）按元素（位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類；（2）按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步.具體地說(shuō)，解排列、組合問(wèn)題常以元素（位置）為主體，即先滿足特殊元素（位置），再考慮其他元素（位置）.1.將3名教師，3名學(xué)生分成3個(gè)小組，分別安排到甲、乙、丙三地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每個(gè)小組由1名教師和1名學(xué)生組成，若教師A與學(xué)生B要安排在同一地點(diǎn)，則不同的安排方案共有

（

）A.72種B.36種C.24種D.12種

學(xué)習(xí)評(píng)測(cè)12022年4月22日是第53個(gè)世界地球日，某學(xué)校開(kāi)展了主題為“珍愛(ài)地球，人與自然和諧共生”的活動(dòng).該校5名學(xué)生到A，B，C三個(gè)社區(qū)做宣傳，每個(gè)社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個(gè)社區(qū)宣傳，則不同的安排方案共有

（

）A.60種B.90種C.150種D.300種

答案

（2）C學(xué)習(xí)評(píng)測(cè)21.現(xiàn)有4份不同的禮物，若將其全部分給甲、乙兩人，要求每人至少分得1份，則不同的分法共有

（

）A.10種B.14種C