人教版多選題單元達標測試題試題

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1.己知函數(shù)/（力=/申+/叫以下結(jié)論正確的是（）

A./（X）是偶函數(shù)B./（X）最小值為2

C.”力在區(qū)間（一4,一［］上單調(diào)遞減D.8（"=）（力一24的零點個數(shù)為5

kn

【答案】ABD

【分析】

去掉絕對值，由函數(shù)的奇偶性及周期性，對函數(shù)分段研究，利用導數(shù)再得到函數(shù)的單調(diào)

性，再對選項進行判斷.

【詳解】

,,xsR,/（-%）=/（%）,「./（X）是偶函數(shù)，A正確;

因為〃1+2乃二〃X），由函數(shù)的奇偶性與周期性，只須研究了（上）在［0,2句上圖像變

2esinr,0<x<^-

化情況.1-，

浮門

jrjr

當OWxW乃，r（x）=2cosxe皿，則/（力在不￡0,-上單調(diào)遞增，在不,乃上單調(diào)

遞減，此時42,切：

一■"

當開《入424時，r（x）=cosx（esinjr-e-sinv）,則f（x）在xe匹手上單調(diào)遞增，在

—3T"1］―S

XW%、2冗上單調(diào)遞減，此時2,^+-,故當0WxW2萬時，/（力1nin=2，

B正確.

因小）在XC俘，上單調(diào)遞減，又/（X）是偶函數(shù)，故/（力在卜匹一I）上單調(diào)遞

增，故c錯誤.

對于D,轉(zhuǎn)化為f（x）=2x根的個數(shù)問題.因/（力在上單調(diào)遞增，在他,「I上單

調(diào)遞減，在卜，與上單調(diào)遞增，在怎,2%）上單調(diào)遞減當X?Y0㈤時，/（x）>2,

2222

—x<2,/（x）=—x無實根.XE（3肛+00）時，一x>6>》=/（大）2，f（x）=~x

無實根，xe肛學,顯然x=%為方程之根./（工）=產(chǎn)4+"加二

f\x)=cosx(esinr-e-sinx)>0,I=e4-1>-x^=3,單獨就這段圖象，

'V27e7i2

廣(乃)=7傳)=0,"力在上學上變化趨勢為先快扣慢，故g(x)在(肛與)內(nèi)

有1個零點，由圖像知g(x)在(當,3萬內(nèi)有3個零點，又")=2?>5,結(jié)合圖

【點睛】

方法點睛：研究函數(shù)性質(zhì)往往從以下方面入手：

(1)分析單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性；

(2)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個容易畫出圖象的函數(shù)，將兩個函數(shù)的圖

象畫在同一個平面直角坐標系中，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

2.已知函數(shù)f(x)=["nT'若函數(shù)y=/(/*))+a有6個不同零點，則實數(shù)〃

x+1,x<0

的可能取值是()

11

A.0B.C.—1D.

23

【答案】BD

【分析】

分別代入各個選項中。的值，選解出/(/(%))+。=0中的/"),然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合可

得出答案.

【詳解】

畫出函數(shù)/(幻=|"同的圖象：

%+1,其，0

函數(shù)y=/(/3))+。有零點，即方程/(/(幻)+。=0有根的問題.

對于A：當。=0時，f(f(x))=o,

故f(x)=-l，fM=1,故R=0,x=-2,x=-,X=et

e

故方程/(/(x))+。=0有4個不等實根；

對于5：當。=一：時，/(f(x))=j，

故/")二-3'/(X)=&'""=9,

當/(幻二一3時，由圖象可知，有1個根，

當/")=〃時，由圖象可知，有2個根，

當/(x)=9時，由圖象可知，有3個根，

故方程/(/(%))+。=0有6個不等實根；

對于C：當。=-1時，/(/(x))=l,

故/0)=。，fW=e,f(x)=-t

e

當f(x)=0時，由圖象可知，有.2個根，

當/(x)=e時，由圖象可知，有2個根，

當f(x)=」時，由圖象可知，有3個根，

e

故方程f(/(功)+。=0有7個不等實根；

對于O：當〃=一;時，=

7I

故fM=/(x)=l/e,f(x)=五,

2

當/(X)=-§時，由圖象可知，有1個根，

當/(%)=%時，由圖象可知，有2個根，

當f(x)-七時，由圖象可知，有3個根，

故方程/(/(%))+。=。有6個不等實根；

故選：BD.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵一是將問題轉(zhuǎn)化為方程問題，二是先解出/(幻的值，三是根據(jù)數(shù)形

結(jié)合得到每一個新的方程的根.

|log2(x+l)|,x>-l

3.已知函數(shù)f(x)=1元，若關(guān)于X的方程有四個不等實根演，

*2),X<-1

“2，七，X4(X]<%2<X,<X4),則下列結(jié)論正確的是()

A.\<m<2B.sinX]-cos^>0

C.4X3+X4>-lD.d+W+log,”正的最小值為1°

【答案】ACD

【分析】

畫出了(x)的圖象，結(jié)合圖象求得北工1，%2，不，%的取值范圍，利用特殊值確定B選項錯

誤，利用基本不等式確定CD選項正確.

【詳解】

畫出“X)的圖象如下圖所示，

由于關(guān)于X的方程/(x)=m有四個不等實根』，x2,x3,x4(^<x2<x3<x4),

由圖可知1V〃?K2,故A選項正確.

由圖可知內(nèi),占關(guān)于直線x=-2對稱，故立滬=-2,百+々=-4，

由2("2)2=2(XK-1)解得x=—3或x=—l,

所以一3W玉v—2,—2<<—1,

-3<--^-<-2,當百二一半時，sinx}=cosx2=--旌,sin%—cos/=0，所以B選

項錯誤.

令2("2f=〃心4_1),log”*時=log“加=1,(%+2)210gBi2=1,

2

2(x+2)log?rV2=l,%,工2是比方程的解，

所以啕必如、’或臉'Ur

故x；+W+log,”V5=x；+（-4TJ+1

2（司+2）

2

=2"+2『+——J~7+8>22（x.+2）--------------4-8=10,

（）2（x,+2）2V〈）2（玉+2）2

當且僅當2（X+2『=1C\2,3=~|時等號成立,故D選項正確.

2（5+2）2

+

由圖象可知log2（%,+]）=-log2（x40?

lOg（A3+l）+lOg（X+l）=0,（七+1）（七+1）=1，X4+l=--7^4=—7-L

224人？IJLaRI1

由|log2（x+l）|=l（x>T）,解得x=l或x=-g,

由|k）g2（x+l）|=2（x>7）,解得x=3或工=一（，

所以_~5，1<%443?

--------l=4（x,+l）+---------5

x3+l5/芻+]

>24（X3+1）.—!--5=-l0.

令4(X+1)=-i~y,(x+l)2或4=一；,

所以①的等號不成立，即4芻+%＞一1，故C選項正確.

故選：ACD

y

【點睛】

求解有關(guān)方程的根、函數(shù)的零點問題，可考慮結(jié)合圖象來求解.求解不等式、最值有關(guān)的問

題，可考慮利用基本不等式來求解.

4.已知/（可為定義在R上且周期為5的函數(shù)，當X4（）,5）時，/（x）=,-4x+3］.則下

列說法中正確的是（）

A.〃力的增區(qū)間為（1+5憶2+5左）53+5攵,5+5左）,keZ

B.若丁=。與丁=/（力在［—5,7］上有10個零點，則。的范圍是（0,1）

C.當時,f（x）的值域為［0,3］,則。的取值范圍［1,4］

/12、

D.若y=Ax-2（攵＞0）與y=有3個交點，則％的取值范圍為5G

【答案】BC

【分析】

首先作出了（力的圖象幾個周期的圖象，由于單調(diào)區(qū)間不能并，可判斷選項A不正確；利

用數(shù)形結(jié)合可判斷選項B、C；舉反例如2=1時經(jīng)分析可得y=Ax-2仕＞0）與y=/（x）

有3個交點，可判斷選項D不正確，進而可得正確選項.

【詳解】

y=x-2

對于選項A：單調(diào)區(qū)間不能用并集，故選項A不正確；

對于選項B：由圖知若>與y=f（x）在［-5,7］上有10個零點，則。的范圍是（0,1）,

故選項B正確；

對于選項C/（1）=0,/（4）=3,由圖知當時,/（力的值域為［0,3］,則。的

取值范圍［1,4］,故選項c正確；

對于選項D：當女=1時，直線為丁二X一2過點（5,3）,“X）也過點（5,3）,當x=10

時，y=10-2=8,直線過點（10,8）,而點（10,8）不在“外圖象上，由圖知：當

&=1時，直線為丁二%—2與y=/（x）有3個交點，由排除法可知選項D不正確，

故選：BC

【點睛】

方法點睛：己知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

5.已知函數(shù)/（X）=f—4%+（陽2一機）（"-2+替》+2）（0為自然對數(shù)的底數(shù)）有唯一零

點，則用的值可以為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】BC

【分析】

由已知，換元令Z=X—2,可得/(T)=/?)，從而/“)為偶函數(shù)，/(x)圖象關(guān)于

x=2對稱，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性分析可得結(jié)論.

【詳解】

.?./(x)=X2-4X+(m2-tn)(ex-z+e~x+2)=(x-2)2-4+(m2-m)(ex~2+e~x+2),

令，=x—2,則/⑺="-4+(心2一利)?+/),定義域為R,

f(-t)=(T>-4+(m2-+/)=/?),故函數(shù)f(t)為偶函數(shù)，

所以函數(shù)/(外的圖象關(guān)于x=2對稱，

要使得函數(shù)f(x)有唯一零點，貝1」/(2)=0,

即4一8+2(機2一加)=。，解得出=-1或2

①當相=一1時，/。)二r—4+2(d+eT)

由基本不等式有"+"，之2,當且僅當￡=0時取得

2?+"')24

故/(r)=〃-4+2(e'+ez)>0,當且僅當，=0取等號

故此時/(幻有唯一零點x=2

②當機=2時，/")二產(chǎn)―4+2(d+/’)，同理滿足題意.

故選：BC.

【點睛】

方法點睛：①函數(shù)軸對稱：如果一個函數(shù)的圖像沿一條直線對折，直線兩側(cè)的圖像能夠完

全重合，則稱該函數(shù)具備對稱性中的軸對稱，該直線稱為該函數(shù)的對稱軸.

②y=〃x)的圖象關(guān)于直線x=Q對稱o/(a_x)=〃a+x)u>/(r)=/(〃+x)

6.函數(shù)/(力=二用(1￡/?),以下四個結(jié)論正確的是()

A.〃力的值域是(T1)

B.對任意XCR,都有八/八2，>0

不一￡

C.若規(guī)定/(x)=/(x)/+i(0=/(，(￡))，則對任意的〃eV/(力二百面

D.對任意的％目-1』，若函數(shù)/(x)Wf2-2w+g恒成立，則當時，瓜一2或

t>2

【答案】ABC

【分析】

由函數(shù)解析式可得函數(shù)圖象即可知其值域、單調(diào)性；根據(jù)C中的描述結(jié)合數(shù)學歸納法可推

得結(jié)論成立；由函數(shù)不等式恒成立，利用變換主元法、一元二次不等式的解法即可求參數(shù)

范圍.

【詳解】

???/（X）的值域是且單調(diào)遞增即>0（利用單調(diào)性定義結(jié)合奇偶性

也可說明），即有AB正確：

對于C,有工⑺=而，若〃6"￡0=不匚麗，

X

.?.當〃之2時，<（幻="/"?）=1+（〃-1）1.1故有

1+|一三—|1+〃1幻

1+5-1）12

.正確.

1+川用

對于D,工4-1，1］上/⑴=（，若函數(shù)〃力與/一2"+；恒成立，即有

2

t-2at+^>^t/一2皿之0恒成立，令〃（。）=一2"+產(chǎn)，即〃4一1,1］上〃（。）之0,

，>0時，/?（l）=-2r+r2>0,有，之2或，40（舍去）；

，=0時，〃（。）=0故恒成立；

zvO時，/?（-l）=2r+r2>0,有rw—2或rNO（舍去）；

綜上，有fN2或，=0或/?-2：錯誤.

故選：ABC

【點睛】

方法點睛：

1、對于簡單的分式型函數(shù)式畫出函數(shù)圖象草圖判斷其值域、單調(diào)性.

2、數(shù)學歸納法：當〃=1結(jié)論成立，若〃一1時結(jié)論也成立，證明〃的結(jié)論成立即可.

3、利用函數(shù)不等式恒成立，綜合變換主元法、一次函數(shù)性質(zhì)、一元二次不等式解法求參數(shù)

范圍.

7.已知函數(shù)Msii?"，則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=是偶函數(shù)，且在(—,+?>)上不單調(diào)

B.函數(shù)y=/'(x)是奇函數(shù)，且在(F,+oo)上不單調(diào)遞增

C.函數(shù)y=/(x)在卜多0)上單調(diào)遞增

D.對任意/nwR,都有/(網(wǎng))=/(小)，且〃〃7)20

【答案】AD

【分析】

由函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A、B、C、D.

【詳解】

解：對A,../(彳)=(f———+4sin2—=-——-2cosx,

定義域為R，關(guān)于原點對稱，

、/2x+1.2x,1

/(一力二---—2cos(-x)=-；——2cos(x)=f(x),

ee

??.y=/(力是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，

.?./(X)在(ro,m)上不單調(diào)，故A正確；

對B,ff(x)=ex---+2sinx,

ex

=e~x—L+2sin(-x)=-(ex--—+2sinx)=-f\x)，

e~xex

.?./*)是奇函數(shù)，

令g(x)=e*-----+2sinx,

ex

貝Ig'(x)=ex+—+2cosx>2+2cosx>0,

ex

.?./'a)在(YO,+00)上單調(diào)遞增，故B錯誤；

對C,???r(x)=/-J+2sinx,且f(x)在(f,+oo)上單調(diào)遞增，

又???r(o)=o,

x€,0J時，f\x)<0,

.?.y=/(x)在(一上單調(diào)遞減，故C錯誤;

對D,???y=/(x)是偶函數(shù)，且在(0,xo)上單調(diào)遞增，

???/(|相|)=/(m)，且f(m)N/(0)=0,故D正確.

故選：AD.

【點睛】

用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：

⑴在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；

⑵不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式；

⑶利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程

中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

|log5(l-x)|,x<l

8.已知函數(shù)/("=<,則方程+=〃的實根個數(shù)可能為

-(X-2)2+2,X>1

)

A.8B.7C.6D.5

【答案】ABC

【分析】

以/(力=1的特殊情形為突破口，解出x=l或3或2或Y,將x+'-2看作整體，利

x

用換元的思想進一步討論即可.

【詳解】

由基本不等式可得

x+--2>0Wcx+--2<-4,

XX

|10g5(l-X)|,A<l

作出函數(shù)〃力=<,的圖像，如下:

—(x—2)+2,X之1

①當〃>2時，工+2一2?-24或0<彳+2一2<1,

xx

故方程/(x+g—2)=a的實數(shù)根個數(shù)為4：

②當〃=2時，無+工一2=—24或0</+工一2<1或_￥+工-2=2,

XXX

故方程/(工+--2)=a的實數(shù)根個數(shù)為6：

③當lva<2時，-24<1+1一2<-4或()<工+1-2<1或1<冗+,-2<2

xxx

或2VXH2<3,

X

故方程f^x+^-2\=a的實數(shù)根個數(shù)為8；

④當a=l時，x+2一2=-4或0<%+工一2<1或-2=1或■-2=3,

XXXX

故方程/(工十：一2)=々的實數(shù)根個數(shù)為7；

⑤當0<々<1時，-4<x+--2<0s￡3<x4---2<4,

XX

故方程/(1+5-2)=〃的實數(shù)根個數(shù)為2；

⑥當a=0時，x+工一2=0或3<X+工一2<4,

xx

故方程f(x+g—2)=a的實數(shù)根個數(shù)為3；

當a<0時，xH---2>3,

x

故方程/2)=a的實數(shù)根個數(shù)為2;

故選：ABC

【點睛】

本題考查了求零點的個數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分類討論的思想，屬于難題.

4

9.已知函數(shù)/(幻=、”+-；■m為正整數(shù))，則下列判斷正確的是()

人

A.函數(shù)/(力始終為奇函數(shù)

B.當，為偶數(shù)時，函數(shù)的最小值為4

C.當〃為奇數(shù)時，函數(shù)/(x)的極小值為4

D.當〃=1時，函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線y=2x對稱

【答案】BC

【分析】

由已知得/(-X)=(-4+二一了,分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)得出函數(shù)/*)的奇偶性，可判

(一月

斷A和；當〃為偶數(shù)時，工">0,運用基本不等式可判斷B：當〃為奇數(shù)時，令［=/",則

4

x>0,/>0;x<0,/<0,構(gòu)造函數(shù)g0)=E+—,利用其單調(diào)性可判斷C；當九=1時，取函

t

數(shù)/(x)=x+d上點尸(1,5),求出點P關(guān)于直線y=2x對稱的對稱點，代入可判斷D.

【詳解】

4

4m為正整數(shù))，所以/(一幻=(一力”+

因為函數(shù)f(x)=x"+三E'

.V

〃一幻=("+言M4一、

當〃為偶數(shù)時,+7=/(幻，函數(shù)/(*)是偶函數(shù):

4

當〃為奇數(shù)時，/(-x)=-xn+—=-/(x),函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，故A不正確;

4/44

當〃為偶數(shù)時，x">0,所以f(x)=/+-；；2=4,當且僅當爐=下時,

XjX兀

即x”=2>0取等號，所以函數(shù)/(%)的最小值為4,故B正確：

當。為奇數(shù)時，令z=x",則x>0">0；x<(V<0,函數(shù)/(%)化為g(r)=r+；,

而g?)=/+；在(-8,-2),(2,+8)上單調(diào)遞增，在(-2,0),(0,2)上單調(diào)速遞減，

44

所以g?)=/+—在，=2時，取得極小值g(2)=2+-=4,故C正確；

t2

當〃=1時，函數(shù)/(幻=人十士上點尸(1,5),設(shè)點P關(guān)于直線y=2入對稱的對稱點為

X

?(知為)，

%-5_117

X=

x1—12°y<1719、“719、

則《的，〉即6屋，彳，而將4三，彳代入

2：戶。=5+%1yI〉〉/

y0=—

、22

4

/(x)=x+—不滿足，

x

所以函數(shù)y=f(x)的圖象不關(guān)于直線y=2x對稱，故D不正確，

故選：BC.

【點睛】

本題考查綜合考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對稱性，以及函數(shù)的最值，屬于較難題.

10.下列命題正確的是()

A.已知鼎函數(shù)=(加+\)2x-,n-l在(0,+8)上單調(diào)遞減則m=0或加=-2

B.函數(shù)/*)=/一(2機+4)x+36的有兩個零點，一個大于0,一個小于0的一個充分

不必要條件是機<-1.

C.已知函數(shù)/OOuV+sinx+lnlg),若/(2?！?)>0,則。的取值范圍為

緊)

X+1

D.已知函數(shù)/*)滿足/(一元)+/。)=2,g(x)=——，且/(%)與g(x)的圖像的交點

X

為(凡，%)，(孫必)....(4,外)則%+乙+…+/+凹+丁2+…+為的值為8

【答案】BD

【分析】

根據(jù)鼎函數(shù)的性質(zhì)，可判定A不正確；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和充分條件、必要條件的判

定，可得判定B是正確：根據(jù)函數(shù)的定義域，可判定C不正確；根據(jù)函數(shù)的對稱性，可判

定

D正確，即可求解.

【詳解】

對于A中，鼎函數(shù)/(幻=(而+1>6，2,可得加+1=±1,解得加=0或相=一2,

當m=0時，函數(shù)/(幻=廠1在(0,+8)上單調(diào)遞減；當〃7=-2時，函數(shù)/(%)=%在

(0,+8)上單調(diào)遞增，所以A不正確；

對于B中，若函數(shù)/*)=/一(2帆+4)冗+3〃2的有兩個零點，且一個大于0,一個小于

0,

則滿足/(0)=3mv0,解得機<0,

所以機<一1是函數(shù)/(x)=/一(2m+4)x+3m的有兩個零點，且一個大于0,一個小于

0的充分不必要條件，所以8是正確；

1+Y1+x

對于C中，由函數(shù)f(x)=V+sinx+ln(——)，則滿足——>0,解得—Iv/vl,

1-x1-x

即函數(shù)“X)的定義域為(一1,1),所以不等式/(加-1)>0中至少滿足一1〈助一Ivl,

即至少滿足0<avl,所以C不正確；

對于D中，函數(shù)f(x)滿足f(-x)+/(x)=2,可得函數(shù)y=〃x)的圖象關(guān)于(0,1)點對

稱，

又由g(-x)=——=----,可得g(-x)+g(x)=2,所以函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于

-XX

(0,1)點對稱，則$+/+…+/+乂+必+…+%=0+4X2=8,所以D正確.

故選：BD.

【點睛】

本題主要考查了以函數(shù)的基本性質(zhì)為背景的命題的真假判定，其中解答中熟記函數(shù)的基本

性質(zhì)，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.

二、導數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.關(guān)于函數(shù)/(x)=〃e'-cosR,xw(-兀㈤下列說法正確的是()

A,當4=1時，“X)在x=0處的切線方程為y=x

B.若函數(shù)/(x)在(一兀㈤上恰有一個極值，則a=0

c.對任意々＞0,/(力之。恒成立

D.當a=l時，/(X)在(一九,兀)二恰有2個零點

【答案】ADD

【分析】

直接逐一驗證選項，利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，即可判斷A選項；利用分離參數(shù)

法，構(gòu)造新函數(shù)和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，即可判斷BC選項；通過構(gòu)

造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點個數(shù)來解決零點個數(shù)問題，即可判斷D選項.

【詳解】

解：對于A,當4=1時，/(x)=ex-COSX,X￡(一兀,元)，

所以/(0)=e°-cos0=0,故切點為(0,0),

則/'(%)=e*+sin無,所以/'(0)=e°+sin0=l,故切線斜率為1,

所以"》)在工=0處的切線方程為：y-0=lx(x-0),即y=不故A正確；

對于B,/(x)=?er-cosx,XG(-7i,7r),則/'(x)=〃e'+sinx,

若函數(shù)f(x)在(一兀,兀)上恰有一個極值，即/'(力=0在(-兀㈤上恰有一個解，

令/'(X)=0,即ae*+sinx=0在(一兀,兀)上恰有一個解,

則a=二羅在(一兀，兀)上恰有一個解，

即y=a與g(x)=二半的圖象在(—兀㈤上恰有一個交點，

，/、sinx-cosx/、

g(x)=——--------，xe(-7t,7t),

令g'(x)=0，解得：％二-與，“2=(，

當萬，一與萬時，g'（R）>°，當X￡（一￥'5）時，g'（x）<0'

.,七⑴在卜肛.芝上單調(diào)遞減，在（,乃）上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞增，在

也—也

所以極大值為幺（一包］=，_>o,極小值為W（工1=，_<0,

14一夕⑷/

而g(一")二°，g(")=0，g(0)=0,

即函數(shù)“X）在（一兀㈤上恰有一個極值，則。=0,故B正確；

對于C,要使得“力之。恒成立，

即在工￡（-兀，兀）上，/（x）=ae'-cosxN0恒成立，

/\C0SX（COSX、

即在1￡（一兀,兀）上，a>—「恒成立，即。2二一，

eIe/max

…\cosx/、…〃、-sinx-cosx、

設(shè)力（x）=-^j—,X€（-7l,7r）,jjlj/l（x）=-----------,XW（（一兀兀），

令〃(%)=0,解得：％=-(，%=￡，

當卜乃，一?時，7f(x)>0,當時，Z/(x)<0,

「.〃(x)在卜肛-1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在(亍，乃)上單調(diào)遞增,

交

所以極大值為力］一工］=2〉0，〃(一))=3,〃(4)=4，

I4J3'e

也

所以〃(x)=竿在X?F，兀)上的最大值為//_工)=2>0，

e1"二

V2

所以2時,在XW(F,兀)上，f(x)-〃e'-cosxN。恒成立，

旦

即當。之2時，/(力之0才恒成立，

e4

所以對任意。>0,/(力之。不恒成立，故c不正確；

對于D,當0=1時，/(%)=eA-COSX,XG(-7T,7T),

令/(式)=。,則/(x)=e，-cosx=。,即er=cosx，

作出函數(shù)丁=，和y=COSX的圖象，可知在xe(F㈤內(nèi)，兩個圖象恰有兩個交點，

則/(X)在(-兀,兀)上恰有2個零點，故D正確.

故選：ABD.

【點睛】

本題考查函數(shù)和導數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，考查分離參數(shù)法

的應(yīng)用和構(gòu)造新函數(shù)，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點等，考查化簡運

算能力和數(shù)形結(jié)合思想.

12.已知函數(shù)/(x)=",g(x)=l〃Y9+G1的圖象與直線片m分別交于48兩點，則()

A./(x)圖像上任一點與曲線g(x)上任一點連線線段的最小值為2+ln2

B.3m使得曲線g(x)在B處的切線平行于曲線/(X)在A處的切線

C.函數(shù)/(x).g(x)+m不存在零點

D.玉7)使得曲線g(x)在點8處的切線也是曲線Hx)的切線

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在/(x)與g(x)取兩點求距離，即可判斷出A選項的正誤；解方程

r(〃M)=g'(2e'T)，可判斷出“選項的正誤；利用導數(shù)判斷函數(shù)+m的單

調(diào)性，結(jié)合極值的符號可判斷出C選項的正誤；設(shè)切線與曲線y=g。)相切于點。(〃，

g5)),求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出。選項

的正誤.進而得出結(jié)論.

【詳解】

在函數(shù)/(x)=",g0)=l芍+；上分別取點P(0,l),Q(2,g),則|「。|=乎，而

—<2+ln2(注In2ao.7),故4選項不正確；

2

Q/(x)=ex,g(x)=/〃；+:，則=g〈x)=L

22x

曲線>=f(x)在點A處的切線斜率為f'Qmn)=m,

m~1

曲線y=g*)在點B處的切線斜率為g(2e2)=-T,

nt—

2e2

令八加M=g'(23)，即加=T，即2混吟=1,則〃滿足方程為-4=1，

「?為使得曲線丁=/(X)在A處的切線平行于曲線y=g(?在B處的切線，B選項正確;

丫］1

構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)+m=ex-ln-+m—,可得F(x)=ex——,

22x

函數(shù)尸'(外二，一』在(0,+oo)上為增函數(shù)，由于/(1)=&-2v0,Fz(1)=e-l>0,

xe

則存在止(；,1),使得/。)=——；=0,可得f=

當0Vxvz時，b'(%)v。；當時，F(xiàn)f(x)>0.

尸⑺2=F(t)=d—In—4-—Int+m+Zw2——

1…—13,一八

=-+t+fn+ln2——>2.t-+m+tn2——=—+ln2+m>0,

t2V/22

二?函數(shù)尸(x)=fM-g。)+川沒有零點，。選項正確；

設(shè)曲線y=/?在點A處的切線與曲線y=g(x)相切于點C(〃，gOO),

則曲線y=f(x)在點A處的切線方程為y-m=e,nm{x-Inm),y=fnx+m(\-bun),

同理可得曲線)，=g(x)在點C處的切線方程為y=-x-￥ln^-\,

n22

1

tn=-i

,與肖去〃得〃2-(m-l)/〃m+//i2+—=0,

zn(l-Inm)=/?---

22

Ir-11

令G(x)=x(x\)lnxiln2I,則G'(x)=1Inx=Inx,

2xx

函數(shù)y=G'(x)在(0,+oo)上為減函數(shù)，QG'(1)=l>0,G,(2)=1-/H2<0,

則存在S￡(1,2),使得G'(s)=‘—I"=0,且

當0cx<S時，G(x)>0,當x>s時，G(x)v0.

.?.函數(shù)y=G(x)在(2,-Ko)上為減函數(shù)，

517

QG(2)=->0,G⑻=萬-20/〃2<0,

由零點存定理知，函數(shù)y=G(x)在(2,+8)上有零點，

即方程m-(m-\)lnni+ln2+-=0有解.

2

???加使得曲線y=/(x)在點A處的切線也是曲線>=g(x)的切線.

故選：BCD.

【點睛】

本題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的最值、零點以及切線問題，計算量較大，考查了轉(zhuǎn)

化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬難題.

Inx

13.對于函數(shù)/(X)=F，下列說法正確的是()

X

A.函數(shù)在X=人處取得極大值LB.函數(shù)的值域為1-8,二

2ek2e_

C./(x)有兩個不同的零點D./(2)</(V?)</(V3)

【答案】ABD

【分析】

求導，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而研究函數(shù)的極值可判斷A選項，作出函數(shù)f（x）

的抽象圖像可以判斷BCD選項.

【詳解】

rx2-,nx2x_l-21nx,

函數(shù)的定義域為（0,+8）,求導外幻二

4

X.V

令/'（幻=0,解得：X=4^

X（五,+00）

+0—

/（X）極大值

所以當％=及時，函數(shù)有極大值/（右）-宓，故人正確；

對于BCD,令/（x）=0,得lnx=0,即x=l,當xf+oo時，ln_r＞0,%2＞。，則

/U）＞0

作出函數(shù)/*）的抽象圖像，如圖所示:

,故B正確：函數(shù)只有一個零點,故C錯誤：又函數(shù)

/（X）在（五,+oo）上單調(diào)遞減，且〃＜百＜正＜2,則/⑵＜小—＜/（我，故D

正確；

故選：ABD

【點睛】

方法點睛：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的極值，函數(shù)的值域，及求函數(shù)零點

個數(shù)，求函數(shù)零點個數(shù)常用的方法：

（1）方程法：令/（司=0,如果能求出解，有幾個解就有幾個零點.

（2）零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間同上是連續(xù)不斷的曲線，且

/（6T）-/（Z?）＜0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性）才

能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì).

(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖像，看其

交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

14.已知函數(shù)/(x)對于任意xeR,均滿足/(x)=/(2-x).當xVl時

/、flnx,O<x<l/、../、

/(x)=<v,若函數(shù)g(x)=m|R-2—/(力，下列結(jié)論正確的為()

e,xu

A.若加<0,則g(x)恰有兩個零點

3

B.若3Vm<e,則g(x)有三個零點

C.若則g(x)恰有四個零點

D.不存在m使得g(x)恰有四個零點

【答案】ABC

【分析】

設(shè)〃(力=加國一2,作出函數(shù)g(x)的圖象，求出直線y=的-2與曲線

丫=卜大(0</<1)相切以及直線丁=如一2過點4(2,1)時對應(yīng)的實數(shù)加的值，數(shù)形結(jié)合

可判斷各選項的正誤.

【詳解】

由〃力=〃2—力可知函數(shù)/⑺的圖象關(guān)于直線x=l對稱.

令g(x)=0,即可乂-2=)(可，作出函數(shù)/(x)的圖象如下圖所示：

令人(力=m國-2,則函數(shù)g(￡l的零點個數(shù)為函數(shù)/(x)、?》)的圖象的交點個數(shù),

,”(x)的定義域為R，且%(一%)=同一乂-2=加國一2=〃(力，則函數(shù)〃(x)為偶函

數(shù)，

且函數(shù)h[x)的圖象恒過定點(0,-2),

當函數(shù)/心)的圖象過點A(2,l)時，有/12)=2m—2=1,解得m='

過點(0,-2)作函數(shù)y=lnx(Ovx＜l)的圖象的切線，

設(shè)切點為(毛/口毛)，對函數(shù)y=lnx求導得y'=’,

X

所以，函數(shù)y=lnx的圖象在點(七,1!!不)處的切線方程為y一111/="!-(1—飛)，

切線過點(0,-2),所以，一2-解得/=,，則切線斜率為e，

e

即當根=e時，函數(shù)y=〃(x)的圖象與函數(shù)、=111%(0＜冗＜1)的圖象相切.

若函數(shù)g(x)恰有兩個零點，由圖可得mK0或"?=e,A選項正確；

3

若函數(shù)g(x)恰有二個零點,由圖可得]B選項TF確：

3

若函數(shù)g(x)恰有四個零點，由圖可得0〈加工5,C選項正確，D選項錯誤.

故選：ABC.

【點睛】

方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：

(1)直接法：先對函數(shù)求導，根據(jù)導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出〃=g(x),將問題等價轉(zhuǎn)化為直線

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點問題.

15.對于函數(shù)f(x)=V+5Tnx-a+l,其中QtR,下列4個命題中正確命題有()

A.該函數(shù)定有2個極值B.該函數(shù)的極小值一定不大于2

C.該函數(shù)一定存在零點D.存在實數(shù)。，使得該函數(shù)有2個零點

【答案】BD

【分析】

求出導函數(shù)，利用導數(shù)確定極值，結(jié)合零點存在定理確定零點個數(shù).

【詳解】

函數(shù)定義域是(0,+8)，

._12x24-OV-1

由已知f(x)=2x+a——=-------------,

XX

A=a2+8>0?2%2+辦一1=。有兩個不等實根玉,“2，但內(nèi)入2=-;<0，藥，巧一正一

負.

由于定義域是(0,+8),因此r*)=o只有一個實根，A?只有一個極值，A錯；

不妨設(shè)用<0<冗2，則0<x<%2時，f'(x)v0，/(x)遞減，1>工2時，f'(x)>0，

“X)遞增.所以/32)是函數(shù)的極小值.2x~+ax2-i=ot。=上工土，

f(x2)=X2+ar2-Inx2-a+1=

x；+1--Inx,--；+1=一芯+2x)—Inx2----卜2,

設(shè)g(x)=—丁+2x—Inx---1-2,則g'(x)=—lx+2---1——=(1—x)(2H—y)