《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課件-第2章

第二章一維隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)離散型隨機(jī)變量第二節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布本章小結(jié)

第一節(jié)離散型隨機(jī)變量

一、隨機(jī)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)的結(jié)果通常可以直接用數(shù)值來(lái)表示。例如,投擲一顆骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);在抽樣檢驗(yàn)問(wèn)題中,統(tǒng)計(jì)產(chǎn)品出現(xiàn)的廢品數(shù);射手進(jìn)行射擊時(shí),統(tǒng)計(jì)擊中目標(biāo)的射擊次數(shù);記錄某電話交換臺(tái)一小時(shí)內(nèi)接到的呼叫次數(shù)。有些試驗(yàn)的結(jié)果本身與數(shù)值無(wú)關(guān),也常常能用數(shù)值來(lái)描述。一般地,在隨機(jī)試驗(yàn)中,這種取值依試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的量,稱為隨機(jī)變量。

定義2-1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為Ω,如果對(duì)于每一個(gè)e∈Ω,都有唯一的實(shí)數(shù)X(e)與之對(duì)應(yīng),這樣就得到一個(gè)定義在Ω上的實(shí)值單值函數(shù)X=X(e),稱之為隨機(jī)變量。

通常,我們用大寫(xiě)字母X、Y、Z等表示隨機(jī)變量。對(duì)于隨機(jī)變量,有以下幾點(diǎn)說(shuō)明:

(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同。

(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律。

(3)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系。

下面我們?cè)倥e幾個(gè)隨機(jī)變量的例子。

(1)某燈泡廠生產(chǎn)的一批燈泡中,燈泡的壽命為X,則X的可能取值為[0,+∞)。

(2)將一枚硬幣拋擲4次,用X表示出現(xiàn)正面的次數(shù),則X是一個(gè)隨機(jī)變量,它的所有可能取值為0、1、2、3、4。

(3)某公共汽車(chē)站每隔5分鐘有一輛汽車(chē)通過(guò),如果某人到達(dá)該車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則此人等車(chē)的時(shí)間Y是一個(gè)隨機(jī)變量,它的所有可能取值為[0,5]。

引入隨機(jī)變量后,就可以用隨機(jī)變量X描述事件。一般對(duì)于任意的實(shí)數(shù)集合L,{X∈L}表示事件{e|X(e)∈L}。

例如,上面例(1)中{燈泡壽命不少于500h而不超過(guò)2000h}的事件,就可以用{500≤X≤2000}來(lái)表示;在擲骰子試驗(yàn)中,用X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),則“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”可表示為{X=2}∪{X=4}∪{X=6},“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于4”可表示為{X<4}或{X≤3}。

隨機(jī)變量按是否連續(xù)分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量;按維數(shù)分為一維隨機(jī)變量、二維隨機(jī)變量和多維隨機(jī)變量。

二、離散型隨機(jī)變量

定義2-2-如果隨機(jī)變量的所有可能取值為有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè),則稱之為離散型隨機(jī)變量。

定義2-3設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能的取值為xk(k=1,2,…),X取各個(gè)可能值的概率,即事件{X=xk}的概率為

則稱式(2-1)為離散型隨機(jī)變量X的分布律或概率分布。

分布律也可以用表格的形式來(lái)表示(見(jiàn)表2-1)。

由概率的定義可知,pk滿足如下兩個(gè)條件:

注:凡滿足條件(2-2)和條件(2-3)的函數(shù)pk一定是某個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律。

例2-1已知10件產(chǎn)品中有3件次品。

(1)不放回抽取3件,試求抽取的次品數(shù)的分布律;

(2)有放回抽取3件,試求抽取的次品數(shù)的分布律。

解設(shè)X為抽取的次品數(shù),

(1)由題意知

故不放回的分布律為

(2)由題意知

例2-2-一汽車(chē)沿街道行駛時(shí)須依次通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口。設(shè)各紅綠燈相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相同,求汽車(chē)行駛至路口時(shí)未遇到紅燈的路口數(shù)的分布律。

因此,汽車(chē)未遇到紅燈的路口數(shù)X的分布律為

例2-3某人有n把外形相似的鑰匙,其中只有1把能打開(kāi)房門(mén),但他不知道是哪一把,只好逐一試開(kāi)。求此人直至將門(mén)打開(kāi)所需的試開(kāi)次數(shù)的分布律。

故所需試開(kāi)次數(shù)X的分布律為

1.0－1分布

設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為

則稱X服從以p為參數(shù)的0－1分布或兩點(diǎn)分布。它的分布律也可以寫(xiě)成表2-2的形式。

例2-4一批產(chǎn)品有500件,其中有10件次品,從中任取1件,用{X=0}表示取到次品,{X=1}表示取到正品,請(qǐng)寫(xiě)出X的分布律。

解由題意可知

因此X的分布律為

2.二項(xiàng)分布

在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)P(A)=p(0<p<1),用X表示n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生次數(shù),則X的所有可能取值為0,1,2,…,n,由二項(xiàng)概率公式知X的分布律為

顯然

一般地,如果隨機(jī)變量X的分布律由式(2-4)給出,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布(或伯努利分布),記作X~B(n,p)。

特別地,當(dāng)n=1時(shí),二項(xiàng)分布B(1,p)的分布律為

這就是0－1分布。

例2-5假設(shè)3個(gè)人進(jìn)入一家服裝店,每個(gè)人購(gòu)買(mǎi)的概率均為0.3,而且彼此相互獨(dú)立,求:

(1)3個(gè)人中2個(gè)人購(gòu)買(mǎi)的概率;

(2)3個(gè)人中至少2個(gè)人購(gòu)買(mǎi)的概率;

(3)3個(gè)人中至多2個(gè)人購(gòu)買(mǎi)的概率。

3.泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,…,取各個(gè)值的概率為

其中λ>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布,記為X~P(λ)。

易驗(yàn)證,P{X=k}滿足條件(2-2)和條件(2-3)。

例2-7電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X為隨機(jī)變量,設(shè)X~P(4),求一分鐘內(nèi)接到的呼叫次數(shù):

(1)恰好為8次的概率;

(2)不超過(guò)1次的概率。

第二節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)

對(duì)于非離散型隨機(jī)變量X,其取值不能一個(gè)個(gè)列舉出來(lái),因此在一般情況下需研究隨機(jī)變量取值落在某區(qū)間(x1,x2]中的概率,即求P{x1<X≤x2}。但由于

定義2-4設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,x是任意實(shí)數(shù),函數(shù)

稱為X的分布函數(shù)。

對(duì)于任意x1,x2(x1<x2),有

分布函數(shù)F(x)具有如下性質(zhì):

(1)F(x)為單調(diào)不減的函數(shù)。

(2)0≤F(x)≤1,且

(3)F(x+0)=F(x),即F(x)為右連續(xù)。

反過(guò)來(lái)可以證明,任一滿足這三個(gè)性質(zhì)的函數(shù),一定可以作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

例2-8某籃球運(yùn)動(dòng)員每次投籃投中的概率為0.8,設(shè)他在2次獨(dú)立投籃中投中的次數(shù)為X,求X的分布律與分布函數(shù),并作出分布函數(shù)的圖形。

解

X的分布律為

X的分布函數(shù)為

F(x)的圖形如圖2-1所示。圖2-1

從F(x)的圖形可知,F(x)是分段函數(shù),y=F(x)的圖形是階梯曲線,在X的可能取值0,1,2處為F(x)的跳躍型間斷點(diǎn)。一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為

則X的分布函數(shù)為

這里和式是對(duì)所有滿足xk≤x的k求和。此外,分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,…)有跳躍,其跳躍值為pk=P{X=xk}。

例2-9設(shè)X的分布律為

(1)求X的分布函數(shù);

(2)計(jì)算P{-1≤X≤1},P{0≤X≤1.5},P{X≥2}。

解(1)X的分布函數(shù)為

第三節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

定義2-5如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)函數(shù)f(x),使對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱概率密度。

由定義及微積分理論知,連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù),并且概率密度函數(shù)f(x)具有以下性質(zhì):

在幾何上,可直觀看到:概率密度曲線總是位于x軸上方,并且介于它和x軸之間的面積為1;隨機(jī)變量落在區(qū)間(a,b]上的概率P{a<X≤b}等于區(qū)間(a,b]上曲線y=f(x)以下的曲邊梯形的面積(如圖2-2所示)。

圖2-2

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,它取任一實(shí)數(shù)x的概率都是0,即P{X=x}=0,因此

連續(xù)型隨機(jī)變量的這一特性是它與離散型隨機(jī)變量的最大差異。這一特性也表明,概率為0的事件未必是不可能事件。

例2-10設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

求:

例2-11設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

試求:

(1)常數(shù)A;

(2)X的概率密度;

(3)P{0.3<x<0.7}。

1.均勻分布

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布,記為X~U(a,b)

f(x)與F(x)的圖形分別如圖2-3和圖2-4所示。圖2-3

圖2-4

如果X~U(a,b),那么對(duì)于滿足a≤c<d≤b的任意實(shí)數(shù)c、d,都有

這說(shuō)明隨機(jī)變量X落在區(qū)間[a,b]上的任意一子區(qū)間[c,d]內(nèi)的概率,只依賴于區(qū)間[c,d]的長(zhǎng)度,而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān),這正是均勻分布的概率意義。

例2-12-某機(jī)場(chǎng)每隔20分鐘向市區(qū)發(fā)一輛班車(chē),假設(shè)乘客在相鄰兩輛班車(chē)間的20分鐘內(nèi)的任一時(shí)刻到達(dá)候車(chē)處的可能性相等,求乘客候車(chē)時(shí)間在5~10分鐘之內(nèi)的概率。

2.指數(shù)分布

如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

其中λ>0為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記作X~E(λ)。

X的分布函數(shù)為

f(x)與F(x)的圖形分別如圖2-5和圖2-6所示。圖2-5

圖2-6

例2-13某種電腦顯示器的使用壽命(單位:千小時(shí))X服從參數(shù)為λ=1/50的指數(shù)分布。生產(chǎn)廠家承諾:購(gòu)買(mǎi)者使用1年內(nèi)顯示器損壞將免費(fèi)予以更換。

(1)假設(shè)用戶一般每年使用電腦2000小時(shí),求廠家須免費(fèi)為其更換顯示器的概率;

(2)求顯示器至少可以使用10000小時(shí)的概率;

(3)已知某臺(tái)顯示器已經(jīng)使用10000小時(shí),求其至少還能用10000小時(shí)的概率。

解因?yàn)閄服從參數(shù)為λ=1/50的指數(shù)分布,所以X的密度函數(shù)為

3.正態(tài)分布

若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

其中μ,σ(σ>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布,記作X~N(μ,σ2)。X的分布函數(shù)為

圖2-7

圖2-8

特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作X~N(0,1),其概率密度和分布函數(shù)分別用φ(x)和Φ(x)表示,即

易知Φ(-x)=1-Φ(x)。

圖2-9

例2-17某高校一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(百分制)X近似地服從正態(tài)分布N(72,σ2),且96分以上的考生占考生總數(shù)的2.3%。求考生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0至80分之間的概率。

解由于P{X≥96}=0.023,且

因此

第四節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布

一般地,設(shè)g(x)是定義在隨機(jī)變量X的一切可能取值x的集合上的函數(shù),如果當(dāng)X取值為x時(shí),隨機(jī)變量Y的取值為y=g(x),則稱Y是隨機(jī)變量X的函數(shù),記為Y=g(X)。下面我們討論如何由已知的隨機(jī)變量X的分布去求得它的函數(shù)g(X)的分布。

一、離散型隨機(jī)變量

設(shè)X為離散型隨機(jī)變量,其分布律如表2-3所示。

例2-18設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

求Y=X2的分布律。

解

Y的可能取值為0、1、4。因?yàn)?/p>

所以Y的分布律為

二、連續(xù)型隨機(jī)變量

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為fX(x),要求Y=g(X)的概率密度f(wàn)Y(y),我們可以利用如下定理的結(jié)論。

定理2-1設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f(wàn)X(x)(-￥<x<+￥),又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)'(x)>0(或恒有g(shù)'(x)<0),則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為

其中α=min[g(-∞),g(+∞)],β=max[g(-∞),g(+∞)],h(y)是g(x)的反函數(shù)。

例2-