《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課件-第1章

第一章隨機事件及其概率第一節(jié)隨機事件第二節(jié)隨機事件的概率第三節(jié)條件概率、全概率公式和貝葉斯公式第四節(jié)事件的獨立性與伯努利概型本章小結(jié)

第一節(jié)隨機事件

自然界與人類活動中普遍存在兩種情況。一種是條件完全可以決定結(jié)果的情況,稱之為確定性現(xiàn)象。另一種是條件不能完全決定結(jié)果的情況,稱之為非確定性現(xiàn)象或隨機現(xiàn)象。隨機事件都帶有不確定性,但隨機事件還有規(guī)律性。

一、隨機事件的基本概念

在一定條件下對自然現(xiàn)象或人類活動所進(jìn)行的觀察或試驗,統(tǒng)稱為隨機試驗,簡稱“試驗”,常用大寫字母E表示。

“試驗”有三個特征:

(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;

(2)每次試驗的可能結(jié)果不止一種,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;

(3)在進(jìn)行試驗之前不能確定哪種結(jié)果會出現(xiàn)。

例如:

E1:拋一枚硬幣,觀察出現(xiàn)正面、反面的情況。

E2:觀察一射手直到射中目標(biāo)之前的射擊點數(shù)。

E1、E2都是隨機試驗。

在一個試驗中,不論可能出現(xiàn)的結(jié)果有多少種,總可以找到一組基本結(jié)果,滿足:

(1)每進(jìn)行一次試驗,必然出現(xiàn)且只能出現(xiàn)其中一種基本結(jié)果;

(2)任何結(jié)果都是由其中一些基本結(jié)果組成的。

隨機試驗中所有基本結(jié)果組成的集合稱為樣本空間,記為Ω。樣本空間的元素,即每種基本結(jié)果,稱為樣本點。

例如:投擲一顆均勻骰子一次。

樣本空間Ω包含所有的樣本點,它必然發(fā)生,是必然事件,因此必然事件也用Ω來表示;空集?代表不包含任何樣本點,在每次試驗中都不可能發(fā)生的事件,是不可能事件,因此不可能事件也用?來表示。

二、事件間的關(guān)系及運算

從集合論的角度講,隨機事件實際上是一種特殊的集合。必然事件Ω相當(dāng)于全集,每個事件A都是Ω的子集。因此我們用集合的觀點來討論事件間的關(guān)系及運算。為直觀起見,

有時借助圖形,平面上的矩形區(qū)域表示必然事件Ω,該區(qū)域的一個子區(qū)域表示隨機事件A。

1.包含關(guān)系

如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生,則稱事件A包含于事件B或稱事件B包含事件A,記為A?B或B?A,如圖1-1所示。圖1-1

2.相等關(guān)系

如果A?B、B?A同時成立,則稱事件A與事件B相等,記為A=B。

3.事件的積(交)

由事件A與事件B同時發(fā)生構(gòu)成的事件,稱為事件A與事件B的積(交),記為AB或A∩B,如圖1-2陰影部分所示。

圖1-2

4.事件的和(并)

由事件A與事件B至少有一個發(fā)生構(gòu)成的事件,稱為事件A與事件B的和(并),記作A+B或A∪B,如圖1-3陰影部分所示。對任意事件A,有A+A=A,A+Ω=Ω,A+?=A。

圖1-3

5.事件的差

由事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生構(gòu)成的事件,稱為事件A與事件B的差,記作A-B,如圖1-4陰影部分所示。圖1-4

6.互不相容事件(互斥事件)

若事件A與事件B不能同時發(fā)生,即AB=?,則稱事件A與事件B互不相容(或互斥),如圖1-5所示。圖1-5

圖1-6

例1-1-檢查產(chǎn)品質(zhì)量時,從一批產(chǎn)品中任意抽取5件樣品進(jìn)行檢查,則可能發(fā)生的結(jié)果有未發(fā)現(xiàn)次品,發(fā)現(xiàn)1件次品……發(fā)現(xiàn)5件次品。設(shè)事件Ai

(i=0,1,…,5)表示“發(fā)現(xiàn)i件次品”,請將下列復(fù)雜事件用A0,A1,…,A5表示出來:

(1)B={發(fā)現(xiàn)2件或3件次品};

(2)C={最多發(fā)現(xiàn)2件次品};

(3)D={至少發(fā)現(xiàn)1件次品}。

解(1)B={發(fā)現(xiàn)2件或3件次品}表示A2與A3中至少一個發(fā)生,于是B=A2+A3。

(2)C={最多發(fā)現(xiàn)2件次品}表示A0、A1、A2中至少一個發(fā)生,于是C=A0+A1+A2。

(3)D={至少發(fā)現(xiàn)1-件次品}表示A1、A2、A3、A4、A5

中至少一個發(fā)生,于是D=A1+A2+A3+A4+A5或者D=Ω-A0。

例1-2設(shè)A、B、C為3個事件,試用A、B、C的運算式表示下列事件:

(1)A發(fā)生而B與C不發(fā)生;

(2)A、B都發(fā)生而C不發(fā)生;

(3)A、B、C中至少有兩個事件發(fā)生;

(4)A、B、C中至多有兩個事件發(fā)生;

(5)A、B、C中恰有兩個事件發(fā)生;

(6)A、B中至少有一個發(fā)生而C不發(fā)生。

第二節(jié)隨機事件的概率

頻率具有以下3條基本性質(zhì):

性質(zhì)1-0≤fn(A)≤1。

性質(zhì)2fn(Ω)=1,fn(?)=0。

性質(zhì)3若A1,A2,…,Ak是兩兩互不相容的事件,則

例1-3考慮“拋硬幣,觀察出現(xiàn)正面H的情況”這個試驗,我們將一枚硬幣拋擲5次、50次,各做5遍,得到數(shù)據(jù)如表1-1所示(其中nH

表示H發(fā)生的頻數(shù),fn(H)表示H發(fā)生的頻率)。

這種試驗歷史上有人做過,得到如表1-2所示的數(shù)據(jù)。

由上述數(shù)據(jù)可知,拋硬幣次數(shù)n較小時,頻率fn(H)在0與1之間隨機波動,其幅度較大,但隨著n的增大,頻率fn(H))呈現(xiàn)出穩(wěn)定性,即當(dāng)n逐漸增大時,fn(H)總在0.5附近擺動,并且逐漸穩(wěn)定于0.5。

此例表明,隨著n的增大,事件A發(fā)生的頻率的波動會越來越小,呈現(xiàn)出一種穩(wěn)定性。這是隨機事件一個極其重要的特性:頻率的穩(wěn)定性。這就啟發(fā)我們用一個數(shù)來表征隨機事件A發(fā)生的可能性的大小,我們將這個數(shù)稱為概率。

二、概率公理化定義

定義1-2設(shè)E是隨機試驗,Ω是它的樣本空間。如果對于E的每個事件A,都有一個實數(shù)P(A)與它對應(yīng),并且滿足以下條件:

(1)非負(fù)性,即對于每個事件A,有P(A)≥0;

(2)規(guī)范性,即對于必然事件Ω,有P(Ω)=1;

(3)可列可加性,即設(shè)A1,A2,…是兩兩互不相容的事件,對于AiAj=?,i≠j,i,j=1,2,…,有

則稱P(A)為事件A的概率。

隨機事件的概率具有以下性質(zhì):

例1-4在所有的兩位數(shù)10~99中任取一個數(shù),求這個數(shù)能被2或者3整除的概率。

解設(shè)事件A表示取出的兩位數(shù)能被2整除,事件B表示取出的兩位數(shù)能被3整除,則事件A∪B表示取出的兩位數(shù)能被2或3整除,事件AB表示取出的兩位數(shù)能同時被2與3整除(即能被6整除)。因為所有的90個兩位數(shù)中,能被2整除的數(shù)有45個,能被3整除的數(shù)有30個,而能被6整除的數(shù)有15個,所以

從而

三、古典概型

古典概型具有下列特點:

(1)試驗的個數(shù)是有限的;

(2)每次試驗結(jié)果等可能出現(xiàn);

(3)每次試驗只出一種結(jié)果。

定義1-3如果古典概型中的基本事件總數(shù)為n,事件A包含的基本事件數(shù)為m,則事件A的概率為

概率的這種定義,稱為概率的古典定義。

古典概型具有下列性質(zhì):

性質(zhì)1-非負(fù)性:0≤P(A)≤1。

性質(zhì)2規(guī)范性:P(Ω)=1,P(?)=0。

性質(zhì)3可加性:若A∩B=?,則P(A∪B)=P(A)+P(B)。

例1-5擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,求:出現(xiàn)偶數(shù)點的概率和出現(xiàn)點數(shù)大于4的概率。

解設(shè)A={出現(xiàn)偶數(shù)點},B={出現(xiàn)點數(shù)大于4}。本試驗為古典概型,基本事件總數(shù)n=6,“出現(xiàn)偶數(shù)點”的事件含有“出現(xiàn)2點、4點、6點”3個基本事件,“出現(xiàn)點數(shù)大于4”的事件含有“出現(xiàn)5點、6點”2個基本事件。利用古典概型概率公式可求得

例1-6袋中有10件產(chǎn)品,其中7件正品、3件次品,從中取兩次每次取1件,求:

(1)第一次取到1件產(chǎn)品后不放回,第二次再取1件,且第一次取到正品、第二次取到次品的事件A的概率;

(2)第一次取到1件產(chǎn)品后放回,第二次再取1件,且第一次取到正品、第二次取到次品的事件B的概率。

解(1)此為不放回抽樣。第一次取1件產(chǎn)品的方法有10種。因為不放回,所以第二次取1件產(chǎn)品的方法有9種。由乘法原則知,取兩次的方法共有10×9種,即基本事件總數(shù)為n=10×9。第一次取到正品、第二次取到次品的方法有7×3種,即事件A包含的基本事件數(shù)為m1=7×3。故P(A)為

(2)此為放回抽樣。由于有放回,因此第一次、第二次取1件產(chǎn)品的方法都是10種。由乘法原則知,取兩次的方法共有10×10種,即基本事件總數(shù)為n=10×10。第一次取到正品的方法有7種,第二次取到次品的方法有3種,由乘法原則知,事件B包含的基本事件數(shù)為m2=7×3。故P(B)為

例1-7袋中裝有10個球,其中6個白球、4個紅球。從袋中任取3個球,求:

(1)所取的3個球都是白球的事件A的概率;

(2)所取的3個球中恰有2個白球、1個紅球的事件B的概率;

(3)所取的3個球中最多有1個白球的事件C的概率;

(4)所取的3個球顏色相同的事件D的概率。

四、幾何概型

例如,設(shè)在平面上有一區(qū)域G,而區(qū)域g是它的某一部分,在區(qū)域G內(nèi)任意投擲一點,求這點落在區(qū)域g內(nèi)的概率。這里,“在區(qū)域G內(nèi)任意投擲一點”應(yīng)理解為:被投擲的點落在區(qū)域G內(nèi)任一點處都是等可能的,并且落在區(qū)域G的任何部分的概率只與這部分的面積成比例,而與其位置和形狀無關(guān)。于是,在區(qū)域G內(nèi)任意投擲一點而落在區(qū)域g內(nèi)的概率可以定義為

幾何概型假設(shè)試驗的基本事件有無窮多個,但是可用某種幾何特征(如長度、面積、體積)來表示其總和,設(shè)為S,并且其中的一部分,即隨機事件A所包含的基本事件數(shù),也可用同樣的幾何特征來表示,設(shè)為s,則隨機事件A的概率定義如下:

例1-8兩人約定于早上9點到10點在某地會面,要求先到者等待20分鐘,過時就離開,試求兩人能會面的概率。

圖1-7

例1-9有一根長為l的木棒,任意折成三段,問恰好能構(gòu)成一個三角形的概率。

解設(shè)折得的三段木棒長度分別為x、y和l-x-y,則樣本空間為

而隨機事件A={三段構(gòu)成三角形}相應(yīng)的小區(qū)域g應(yīng)滿足“兩邊之和大于第三邊”的條件,由此得到

即

則

第三節(jié)條件概率、全概率公式和貝葉斯公式

例1-10設(shè)100件某產(chǎn)品中有5件不合格品,而5件不合格品中又有3件次品、2件廢品?，F(xiàn)在100件產(chǎn)品中任意抽取1件。

(1)求抽到廢品的概率;

(2)已知抽到不合格品,求它是廢品的概率。

例1-13某人壽命為70歲的概率為0.8,壽命為80歲的概率為0.7,若該人現(xiàn)已70歲,問他能活到80歲的概率是多少?

例1-14袋中有3件正品、2件次品,每次從中取1件(不放回)。若取三次,求第三次才取得次品的事件B的概率。

例1-16有10個袋子,各袋中裝球情況如下:

(1)2個袋子中各裝有2個白球與4個黑球;

(2)3個袋子中各裝有3個白球與3個黑球;

(3)5個袋子中各裝有4個白球與2個黑球。

任選一個袋子,并從中任取2個球,求取出的2個球都是白球的概率。

解設(shè)事件A表示取出的2個球都是白球,事件Bi表示所選袋子中裝球的情況屬于第i(i=1,2,3)種,易知

故

例1-17設(shè)某工廠有甲、乙、丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)量依次占全廠的45%、35%、20%,且各車間的次品率分別為4%、2%、5%?，F(xiàn)在從一批產(chǎn)品中檢查出1個次品,問該次品由哪個車間生產(chǎn)的可能性最大?

例1-18根據(jù)以往的臨床記錄,某種診斷癌癥的試驗具有如下效果:對癌癥患者進(jìn)行試驗,呈陽性反應(yīng)者占95%;對非癌癥患者進(jìn)行試驗,呈陰性反應(yīng)者占96%。現(xiàn)用這種試驗對某市居民進(jìn)行癌癥普查,如果該市癌癥患者數(shù)量約占居民總數(shù)的0.4%,求:

(1)試驗結(jié)果呈陽性反應(yīng)的被檢查者確實患有癌癥的概率;

(2)試驗結(jié)果呈陰性反應(yīng)的被檢查者確實未患癌癥的概率。

第四節(jié)事件的獨立性與伯努利概型

一、事件的獨立性定義1-5如果在兩個事件A、B中,任一事件的發(fā)生不影響另一事件發(fā)生的概率,即有P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B),則稱事件A與事件B相互獨立;否則,稱事件A與事件B不獨立。

例1-19甲、乙兩人考大學(xué),甲考上大學(xué)的概率為0.7,乙考上大學(xué)的概率為0.8,求:

(1)甲、乙兩人都考上大學(xué)的概率;

(2)甲、乙兩人中至少一人考上大學(xué)的概率。

例1-20設(shè)盒子中裝有6只球,其中4只白球、2只紅球,從盒子中任取兩次,取后放回,每次取1球,求:

(1)取到2只球都是白球的概率;

(2)取到2只球顏色相同的概率;

(3)取到2只球至少有1只是白球的概率。

二、伯努利概型

隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性只有在相同條件下,進(jìn)行大量的重復(fù)試驗觀察才能呈現(xiàn)出來,假如這些重復(fù)試驗具有以下特點:

(1)每次試驗條件都一樣,但可能的結(jié)果為有限個;

(2)各次試驗的結(jié)果不相互影響,或稱為相互獨立,

定理1-4設(shè)在一次試驗中,事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),則在n重伯努利試驗中事件A恰好發(fā)生