歷年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題專題匯編-函數(shù)（100題）

近6年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題專題匯編一一函數(shù)(100題)

1.(2014?甘肅中考真題)如圖，拋物線尸一9^9+口與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物線的對稱軸

2

交x軸于點(diǎn)D,己知A(-1,0),C(0,2).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使APCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；

如果不存在，請說明理由；

(3)點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時(shí)，四邊形

CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

1a

【答案】U)拋物線的解析式為：尸?七X2+±X+2

22

33535

(2)存在，P,(-,4),P2(-,-),P3(-,--)

22222

13

(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到(2,1)時(shí)，四邊形CDBF的面積最大，S四邊形CW的面枳破大二一.

2

【解析】

試題分析：(1)將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別代入可得二元一次方程組，解方程組即可得出m、n的值；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得對稱軸方程，由勾股定理求出CD的值，以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧交對稱軸于

P);以點(diǎn)D為圓心CD為半徑作圓交對稱軸于點(diǎn)P2,P3；作CH垂直于對稱軸與點(diǎn)H,由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理

就可以求出結(jié)論；

(3)由二次函數(shù)的解析式可求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出BC的解析式，從而可設(shè)設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出F

的坐標(biāo)，由四邊形CDBF的面積MSABCB+S△.+$位"可求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論.

試題解析：(1)???拋物線y=--x2+mx+n經(jīng)過A(-1,0),C(0,2).

2

3

解得:陽=5,

77=2

17

???拋物線的解析式為：y=--X2+-X+2；

22

???拋物線的對稱軸是x=23.

2

3

.\0D=-.

2

VC(0,2),

/.0C=2.

在Rt^OCD中，由勾股定理，得

CD=—.

2

VACDP是以CD為腰的等腰三角形，

ACP1=CP2=CP3=CD.

作CH_Lx軸于H,

???HP尸HD=2,

ADPi=4.

3353

Ah(-,4),P2(-,-),P3(-,--

2222：

I.3

(3)當(dāng)y=0時(shí)，0=-—x?+—x+2

22

Axi=-1,X2=4,

AB(4,0).

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,由圖象，得

2=b

0=4Z”’

1

b=2

工直線BC的解析式為：y=--i-x+2.

2

Ii3

如圖2,過點(diǎn)C作CM_LEF于M,設(shè)E(a,--a+2),F(a,--a2+-a+2),

222

i3ii

EF=--a'+—a+2-(--a+2)="-a'+2a(0WxW4).

2222

VS四邊形a*二SaBai+SziciF+SaBEF=—BD*0C+—EF?CM+—EF?BN,

222

=-x—x2+—a(-—a2+2a)+—(4-a)(--a2+2a),

222222

=-a2+4a+—(0WxW4).

2

.??a=2時(shí)，S四邊形CDBF的面積最大=，，

考點(diǎn)：1、勾股定理；2、等腰三角形的性質(zhì)；3、四邊形的面積；4、二次函數(shù)的最值

2.(2017?四川中考真題)如圖，已知二次函數(shù)尸ax2+bx+c(ar0)的圖象經(jīng)過A(-1,0)、B(4,0)、C(0,2)

三點(diǎn).

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)點(diǎn)D是該二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且滿足NDBA=NCAO(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動點(diǎn)，連接PA分別交BC,y軸與點(diǎn)E、F,若APEB、ACEF的

面積分別為Si、S2,求Sl?§2的最大值.

i38

【答案】(1)拋物線解析式為y二-5工2+耳/+2；(2)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,2)或(5-18)：(3)當(dāng)l=g時(shí)，有

S1-S2有最大值，最大值為三.

【解析】

【分析】

(1)由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí)，則可知當(dāng)CD〃AB時(shí)，滿足條件，由對稱性可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí),

可證得BD〃AC,利用AC的解析式可求得直線BD的解析式,再聯(lián)立直線BD和拋物線的解析式可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，表示出APAB、AAFO.ACOS,利用S|-S2=SgAB$AFO&BOC可表示成關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的二

次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.

【詳解】

1

a=——

2

a-b+c=0

解：(1)由題意可得16。+4/?+。=0,解得，

2

c=2

c=2

13

拋物線解析式為y=—x2H—x+2；

22

(2)當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方時(shí)，過C作CD〃AB交拋物線于點(diǎn)D,如圖1,

,:A、B關(guān)于對稱軸對稱，C、D關(guān)于對稱軸對稱,

???四邊形ABDC為等腰梯形，

AZCAO=ZDBA,即點(diǎn)D滿足條件,

AD(3,2)；

當(dāng)點(diǎn)D在x軸下方時(shí)，

VZDBA=ZCAO,

ABD//AC,

VC(0,2),

???可設(shè)直線AC解析式為丫=心+2,把A(-1,0)代入可求得k=2,

???直線AC解析式為y=2x+2,

???可設(shè)直線BD解析式為y=2x+m,把B(4,0)代入可求得m=-8,

???直線BD解析式為y=2x-8,

—Icx=4rx=_5

聯(lián)立直線BD和拋物線解析式可得41,33解得《八或〈1。，

y=--x~+—x+2[y=0[y=-18

AD(-5,-18)；

綜上可知滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,2)或(-5,-18)；

(3)設(shè)尸，，-g/+g/+2)?.?AB=5,OC=2,

If123Qu5215「

**?SAPAB=——/H—/4~2x5=—tH---1+5

2122J44

OF1

,13~~"

2r+1，

—t+—1+2

22

...OF=-1(r-4),

??SA"O=JX1X--(f-4)=一/-4),且S"=1x2x4,

???當(dāng)t=g時(shí)，有Si-S2有最大值，最大值為巧.

【點(diǎn)睛】

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、平行線的判定和性質(zhì)、三角形的面積、二次函數(shù)的性質(zhì)、方程思想

僅分類討論思想等知識.在(1)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在(2)中確定出D點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在(3)

中用P點(diǎn)的坐標(biāo)分別表示出兩個(gè)三角形的面積是解題的關(guān)鍵.本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量大，難度

較大.

3.(2019?山西中考真題)綜合與探究

如圖，拋物線y二奴?+加+6經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與)'軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線上一個(gè)動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D

的橫坐標(biāo)為m(lvwv4).連接AC,BC,DB,DC.

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

3

(2)ABCD的面積等于△AOC的面積的一時(shí)，求〃?的值：

4

⑶在⑵的條件下，若點(diǎn)M是工軸上的一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)M,使得以點(diǎn)B,

D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)>=一:％2+,工+6；(2)3；(3)”|(8,0),加2(°，°)，詡3(e，°)，加4(-^,0).

【解析】

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

3

(2)作直線DE_LX軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)G,作CF_LDE,垂足為F,先求出SaAc=6,再根據(jù)SABCD=-SAAOC,得

4

9.33

到S&BCD=],然后求出BC的解析式為y=-3*+6,則可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(〃7,—5機(jī)+6),由此可得

乙乙Xr

八1

2

DG=--m+3m,再根據(jù)SABCD=SACDG+S4BDG=^,OG,8。，可得關(guān)于m的方程，解方程即可求得答案；

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖，以BD為邊時(shí)，有3種情況，由點(diǎn)

D的坐標(biāo)可得點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為土:，然后分點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為與和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為-"兩種情況分別求解；以BD

為對角線時(shí)，有1種情況，此時(shí)Ni點(diǎn)與N2點(diǎn)重合，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可求得BMi=NQ=4,繼而

求得OMi=8,由此即可求得答案.

【詳解】

(1)拋物線》=以2+加+。經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),B(4,0),

4。一2b+6=0

???〈，

16a+4/?+6=0

3

a=—

解得彳4，

b=_

2

33

，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為》=一^爐+51+6；

(2)作直線DE_LX軸于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)G,作CF_LDE,垂足為E

V點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2,0),???OA=2,

由R=0,得y=6,???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,6),；.0C=6,

SAOAC=—OA-OC=-x2x6=6,

22

..3

?SABCD=—SAAOC?

4

.g3/9

??SABCD=_xo=—?

42

設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為丁=履+〃，

4Z+〃=0

由B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得《,,解得＜

yz=6

n=6

3

???直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=--x+6,

3

：?點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,一1m+6),

2

333Q

:、DG=——w24-—7W+6-(——機(jī)+6)=——nr+3m，

4224

?:點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),???OB=4,

VSABCD=SACDG+S&BDG=-DGCF+-DGBE=-DG(CF+BE)=LDGBO,

2222

[33

SABCD=—(—+3ni)x4=—m~+6m,

242

?32(9

22

解得叫=1(舍)，nt,=3,

：?m的值為3；

y

1

AI°\X

(3)存在，如下圖所示，以BD為邊或者以BD為對角線進(jìn)行平行四邊形的構(gòu)圖,

以BD為邊時(shí)，有3種情況，

???D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,?),???點(diǎn)N點(diǎn)縱坐標(biāo)為±岸，

當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為號時(shí)，如點(diǎn)N2,

4

33IS

此時(shí)—A2H—x+6=—?解得：％=-1,X,=3(舍)，

424

^V2(—1,-^-),M2(0,0)；

當(dāng)點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為一叵時(shí)，如點(diǎn)N3,N4,

4

2

此時(shí)一一A+-x+6=-i-,解得：x=1-V14,x2=1+>/14

424」二

???乂(1+而—%(1-714,-^),

A(V14,0),M4(-V14,0)；

以BD為對角線時(shí)，有I種情況，此時(shí)N1點(diǎn)與Nz點(diǎn)重合，

1,二)，D(3,：),

44

/.N|D=4,

.?.BM)=N|D=4,

.*.OMi=OB+BMi=8,

.*.Mi(8,0),

綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：必(8,0),M2(0,0),M3(V14,0),M4(-714,0).

本題考查的是二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法、三角形的面積、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)等知識，

運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識是解題的關(guān)犍.

4.(2018?四川中考真題)如圖，拋物線y=；x2+bx+c與直線產(chǎn);x+3交于A,B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連

接AC、BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線對稱軸1上找一點(diǎn)M,使IMB-MDI的值最大，并求出這個(gè)最大值；

(3)點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動點(diǎn)，連接PA,過點(diǎn)P作PQ_LPA交y軸于點(diǎn)Q,問:是否存在點(diǎn)P使得以A,P,Q

為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)拋物線的解析式是y=gx2+|^+3；(2)IMB-MDI取最大值為&；(3)存在點(diǎn)P(1,6).

【解析】

分析：(1)根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

(2)根據(jù)對稱性，可得MC=MD,根據(jù)解方程組，可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，可得B,C,M共線，根

據(jù)勾股定理，可得答案；

(3)根據(jù)等腰直角三角形的判定，可得NBCE,NAC0,根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)

解方程，可得x,根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案.

詳解：(1)將A(0,3),C(-3,0)代入函數(shù)解析式，得

c=3

b——

9解得彳2,

——3Z?+c=0

[2c=3

拋物線的解析式是尸?x?+：x+3；

22

(2)由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對稱軸對稱,

，對1上任意一點(diǎn)有MD=MC,

y=,x+3

聯(lián)立方程組〈

15)

y=-x2+—x+3

22

x=()fx=-4

解得<”(不符合題意，舍)，〈,，

U=3[y=\

AB(-4,1),

當(dāng)點(diǎn)B,C,M共線時(shí)，取最大值，即為BC的長,

過點(diǎn)B作BE_Lx軸于點(diǎn)E,

BC=7BE2+CE2=V2?

IMB-Ml)|取最大值為J5；

(3)存在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與aABC相似,

在RtZXBEC中，VBE=CE=1,

/.ZBCE=45°,

在RtZXACO中，

VA0=C0=3,

AZAC0=45°,

AZACB=180°-45°-45°=90°,

過點(diǎn)P作PQJ_y軸于Q點(diǎn),ZPQA=90°,

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(X,-X2+-X+3)(X>0)

22

①當(dāng)NPAQ=NBAC時(shí)，△PAQs/\CAB,

VZPGA=ZACB=90°,ZPAQ=ZCAB,

/.APGA^ABCA,

.BCACPGBC1

??---=----,即nn----=----=-9

PGAGADAC3

x_1

/.~\~25_―3，

-X+-X+3

22

解得x1=LX2=0(舍去)，

???P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1Xl2+-X1+3=6,

22

AP（1,6）,

②當(dāng)NPAQ=NABC時(shí)，△PAQs^CBA,

VZPGA=ZACB=90°,NPAQ二NABC,

AAPGA^AACB,

.BCAC

??,

AGPG

PGAC

即an——=—=3,

AGPG

---------------------=3

???12,5,…，

—x4—x+3—3

22

13

解得x1=-7（舍去），x2=0（舍去）

,此時(shí)無符合條件的點(diǎn)P,

綜上所述，存在點(diǎn)P（L6）.

點(diǎn)睛：本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；解（2）的關(guān)鍵是利用兩邊只

差小于第三邊得出M,B,C共線；解（3）的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于x的方程，要分類討論，

以防遺漏.

5.（2019?遼寧中考真題）某商場銷售一種商品的進(jìn)價(jià)為每件30元，銷售過程中發(fā)現(xiàn)月銷售量），（件）與銷售單價(jià)*

（元）之間的關(guān)系如圖所示.

（1）根據(jù)圖象直接寫出y與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）設(shè)這種商品月利潤為W（元），求W與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（3）這種商品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，月利潤最大？最大月利潤是多少?

-x+180(40<x<60)-X2+210X-5400(40<x<60)

【答案】⑴尸〈⑵W=<°;（3）這種商品的銷售單

-3x+300(60<x<90)-3x2+390x-9000(60<x<90)

價(jià)定為65元時(shí)，月利潤最大，最大月利潤是3675.

【解析】

【分析】

（1）當(dāng)40<x<60時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系戈為y=kx+b,當(dāng)60<x<90時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n,

解方程組即可得到結(jié)論；

(2)當(dāng)40WXW60時(shí)，當(dāng)60VXW90時(shí)，根據(jù)題意即可得到函數(shù)解析式；

22

(3)當(dāng)40WXW60時(shí)，W=-x+21Ox-5400,得到當(dāng)x=60時(shí)，Wwx=-60+210x60-5400=3600,當(dāng)60<xW90時(shí),

22

W=-3x+390x-9000,得至lj當(dāng)x=65時(shí)，WfflX=-3x65+390x65-9000=3675,于是得到結(jié)論.

【詳解】

解.：（1）當(dāng)40WxW60時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為5=丘+匕,

40Z+b=140

將(40,140),(60,120)代入得?

60k+b=\20

k=-l

解得：

力二180

???y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+180；

當(dāng)60VxW90時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為）=的+〃,

90m+u=30

將(90,30),(60,120)代入得，

60/n+H=120

m=-3

解得：

n=300

/.y=-3A+3OO；

-x+180(40<x<60)

綜上所述,y=\

-3x+300(60<x<90)

(2)當(dāng)40—0時(shí)，W=(A-30)y=(x-30)(-x+180)=-r+21(k-5400,

當(dāng)60VxW90時(shí)，W=(x-30)(-3x+300)=-+390x-9000,

-X2+210X-5400(40<x<60)

綜上所述,

-3x2+390x-9000(60<x<90)

(3)當(dāng)40WxW60時(shí)，W=-^+21Ox-5400.

210

":-1VO,對稱軸x=-----=105,

-2

???當(dāng)40WxW60時(shí)，W隨x的增大而增大，

，當(dāng)x=6)時(shí),卬取大=-602+210X60-5400=3600,

當(dāng)604W90時(shí)，W=-3r+39(比-9000,

390

■:-3<0,對稱軸x=-----=65,

—6

V60<x<90,

:.當(dāng)x=65時(shí)，W奴大=-3X652+390X65-9000=3675,

V3675>3600,

.?.當(dāng)％=65時(shí)，W姑大=3675,

答：這種商品的銷售單價(jià)定為65元時(shí)，月利潤最大，最大月利潤是3675.

【點(diǎn)睛】

本題考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用.根據(jù)題意分情況建立二次函數(shù)的模

型是解題的關(guān)鍵.

6.（2019?河南中考真題）如圖，拋物線y=ar2+gx+c交x軸于A,B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.直線y=-gx-2

經(jīng)過點(diǎn)A,C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交直線AC于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

①當(dāng)APCM是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②作點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C的對稱點(diǎn)8,則平面內(nèi)存在直線1,使點(diǎn)M,B,8到該直線的距離都相等.當(dāng)點(diǎn)P在y軸右

側(cè)的拋物線上，且與點(diǎn)B不重合時(shí)，請直接寫出直線/：y=丘+6的解析式.（k,b可用含m的式子表示）

備用圖

【答案】⑴/+2+呆一2⑵①（一2,-2）或（6』。）’②直線I的解析式為產(chǎn)一黑“一2’尸黑尸2

或y=%_3m_2.

4

【解析】

【分析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A,C的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A,C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出二次

函數(shù)解析式；

（2）①由PMJ_x軸可得出NPMCR90。，分NMPC=90。及/PCM=90。兩種情況考慮：⑴當(dāng)NMPC=90。時(shí)，PC〃x

軸，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（ii）當(dāng)NPCM=90。時(shí)，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)D,易證

△AOC-ACOD,利用相似三角形的性質(zhì)可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C,D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線PC

的解析式，聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，通過解方程組可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).綜上，此問得解；

②利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)B,M的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可得

出點(diǎn)W的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)M,B,B，的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可分別求出直線BM,B，M和BB，的解析式，利用平行

線的性質(zhì)可求出直線1的解析式.

【詳解】

解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-^x-2=-2,

.??點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-2）；

當(dāng)y=0時(shí)，一gx-2=0,

解得：尸一4,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-4,0).

將A(-4,0),C(0,—2)代入ynor?+]X+c,得:

1

16〃-2+c=0a=—

,解得：4,

c=-2

「?拋物線的解析式為y=%+^x-2.

(2)①軸,

/.NPMCH90°，

???分兩種情況考慮，如圖1所示.

(i)當(dāng)NMPC=90'時(shí)，PC〃不軸,

???點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為-2.

當(dāng)y=-2時(shí)，-X2+-X-2=-2,

42

解得：玉二-2,七=0,

二?點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,-2)；

(ii)當(dāng)NPCM=90°時(shí)，設(shè)PC與x軸交于點(diǎn)D.

???NQAC+NOG4=90'，NOC4+NOCO=90。,

...ZOAC=ZOCD.

又???NAOC=NCO￡>=90°，

...AAOC?AC。。,

經(jīng).生，即空二

OC0A24

...OD=1,

點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0).

設(shè)直線PC的解析式為)，=kx+b(kw0),

將C(0,-2),0(1,0)代入產(chǎn)奴也，得:

b=-2k=2

解得:

k+b=Ob=-2

「?直線PC的解析式為y=2x-2.

y=2x-2

聯(lián)立直線PC和拋物線的解析式成方程組，得:11

y=—x~2-\--x-2。

42

%二0x=6

解得：\2

）二一2%=10

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6/0）.

綜上所述：當(dāng)△PCM是直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2,-2）或（6,10）.

②當(dāng)y=0時(shí)，^x2+^x-2=0,

解得：xi=-4,X2=2,

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）.

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,-2）,點(diǎn)B,B，關(guān)于點(diǎn)C對稱，

???點(diǎn)B，的坐標(biāo)為（-2,-4）.

?1點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m>0且m#2）,

:.點(diǎn)M的坐標(biāo)為（八一；加一2）,

+4w?+4—tn+45m+4

利用待定系數(shù)法可求出：直線BM的解析式為y=----x+--，直線B，M的解析式為y=——x

2m一4m-22ni+4tn+2

直線BB，的解析式為y=x-2.

分三種情況考慮，如圖2所示:

6+4

當(dāng)直線1〃BM且過點(diǎn)C時(shí)，直線1的解析式為y=——-X-2,

2m-4

—vn+4

當(dāng)直線1〃B，M且過點(diǎn)C時(shí)，直線1的解析式為y=-_-JC-2,

2/n+4

（11、3

當(dāng)直線1〃BB，且過線段CM的中點(diǎn)N時(shí)，直線1的解析式為y=x--m-2,

4J4

?n+4-m+43

綜上所述：直線1的解析式為），=一；^--x-2,y=-~;■工一？或y=

2m-42m+44

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)

法求一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定

系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；⑵①分NMPC=90。及NPCM=90。兩種情況求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②利用待定系數(shù)法及平

行線的性質(zhì)，求出直線1的解析式.

7.(2015?廣西中考真題)(2015崇左)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(5,4),OM與)，軸相切于

點(diǎn)C,與*軸相交于4、B兩點(diǎn).

(1)則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是4,8__)；

(2)設(shè)經(jīng)過A、3兩點(diǎn)的拋物線解析式為y=!(x-5)2+A,它的頂點(diǎn)為凡求證：直線必與。M相切；

(3)在拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)尸在x軸的上方，使APBC是等腰三角形.如果存在，請求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)4(2,0),8(8,0),C(0,4)；(2)證明見試題解析；(3)P(5,4),或(5,肝),或(5,4+J為).

【解析】

試題分析：(1)連接MC,則MC垂直于y軸，MA=MC=5,MD=4,由勾股定理可計(jì)算AD和DB；

(2)把A、或B或C的坐標(biāo)代入y=」(簧一；5”#廢，確定二次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=」(出一國2-日，連接MA,根據(jù)勾股

44旬

定理計(jì)算AF,由勾股定理逆定理判斷MA_LAF,從而說明FA是切線；

(3)設(shè)P(x,4),當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí)，在RsCMPi中用x表示CP”根據(jù)=BC?列方程求解；當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí),

在RSBDP2中用x表示CPz,根據(jù)。鳥2=8。2列方程求解；當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)，易知P和M重合.

試題解析：(1)連接MC,則MC垂直于y軸，MA=MC=5,MD=4,在RsAMD中，AD二屈尸二麗'二3,同

理在RQBMD中，BD=3,AA(2,0),B18,0),C(0,4)；

(2)把A(2,0)y=—(^*-3)^-Ifft,解得,，y=N(&一與)&i逑，；?F(5,),連接MA,則MF=4+?=

4qq司日司

豁：___________21^625

——，AF=JAD2+FD2=—?：?FA1+AD2=MF2=-----,:.MA_LAF,:.FA與。M相切；

硼硼16

(3)設(shè)P(x,4),BC2=80.當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí)，在RsCMPi中，C/；2=25+(x-4)2,/.25+(x-4)2=80,

x二4±序，點(diǎn)P在x軸上方，故X=4+A，所以(4+病，4)；

當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，在RQBDP2中，Cg2=9+(x-4)2,.\9+(X-4)2=80,x二4±J亓，點(diǎn)P在x軸上方，故

X=4+M，所以(4+6，4)；

當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)，P和M重合，P3(5,4).

綜上當(dāng)P(4+J為，4)、(4+J亓，4)或(5,4)時(shí)APBC是等腰三角形.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

8.(2019?天津中考真題)己知拋物線y=f-bx+c(b,c?為常數(shù)，b>0)經(jīng)過點(diǎn)4—1,0),點(diǎn)M(機(jī),0)是x軸

正半軸上的動點(diǎn).

(I)當(dāng)b=2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(II)點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)4V/=4。，加=5時(shí)，求〃的值：

(ID)點(diǎn)0S+g,)b)在拋物線上，當(dāng)近AM+2QM的最小值為史也時(shí)，求人的值.

【答案】(I)(D；(H)/?=3>/2-1；UII)b=4.

【解析】

【分析】

(I)把b=2和點(diǎn)4(-1,0)代入拋物線的解析式，求Hlc的值，進(jìn)行配方即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)

(II)根據(jù)點(diǎn)A(-1,0)和)點(diǎn)。(小丁力在拋物線上和b>0得出點(diǎn)一人一1)在第四象限，且在拋物線對稱軸

工二鄉(xiāng)的右側(cè).過點(diǎn)。作軸，垂足為E,則點(diǎn)ES,O),再根據(jù)D、E兩點(diǎn)坐標(biāo)得出^ADE為等腰直角三

角形，得出AQ=&AE，再根據(jù)已知條件4M=4。，6=5,從而求出b的值

(HI)根據(jù)點(diǎn)QS+于%)在拋物線上得出點(diǎn)。(6+萬,一；一［)在第四象限，且在直線x=b的右側(cè);取點(diǎn)N(0,l),

過點(diǎn)。作直線AN的垂線，垂足為G,或與入軸相交于點(diǎn)M，得出當(dāng)AM二GM,此時(shí)&AM+2QM的值

最小；過點(diǎn)。作。軸于點(diǎn)H,則點(diǎn)〃S+g,0).再根據(jù)Q"=M”得出m與b的關(guān)系，然后根據(jù)兩點(diǎn)間

的距離公式和

應(yīng)AM+2QM的最小值為電2,列出關(guān)于b的方成即可

【詳解】

解：(I)???拋物線y=f一區(qū)+c經(jīng)過點(diǎn)4-1,0),

???l+b+c=O.即。=一6-1.

當(dāng)b=2時(shí)，y=x2-2x-3=(x-1)2-4,

，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-4).

(II)由(I)知，拋物線的解析式為y二d一法一力一］.

???點(diǎn)。S,%)在拋物線y=f一版一人一1上，

2

:.yD=b-bb-b-\=-b-\.

由b>0,得一6—1<。，

2

???點(diǎn)D(b-b-1)在第四象限，且在拋物線對稱軸x=2的右側(cè).

2

如圖，過點(diǎn)。作OE_Lx軸，垂足為E,則點(diǎn)E(b,O).

AAE=b+\,DE=b+\.得AE=￡>E.

???在RtAAOE中，NAOE=NDAE=45’.

???AD=42AE-

由已知AAZ=AZ)，m=5

5-(-1)=V2(Z?+1).

(III)??,點(diǎn)QS+g,")在拋物線y=d-反一6-1上，

**?=(b+-b(b+-l=_g一擠.

1I%Q

可知點(diǎn)。仍十萬,-5-^)在第四象限，且在直線x=b的右側(cè).

加

考慮到CAM+2QM=2(三AM+QM),可取點(diǎn)N(0,l),

如圖，過點(diǎn)。作直線AN的垂線，垂足為G,QG與x軸相交于點(diǎn)M，

有NGAM=45°，得

2

則此時(shí)點(diǎn)必滿足題意.

過點(diǎn)。作。〃，工軸于點(diǎn)”，則點(diǎn)H(b+；,O).

在RtAMQH中，可知ZQMH=NMQH=45°.

:,QH=MH,QM=42MH.

???點(diǎn)”(網(wǎng)0),

0—(————)=(/?+—)—/n.解得m=2-L.

24224

V>f2AM+2QM=過亞，

4

：?夜吟一》一㈠才+243+J)—4一|)］二孳?

242244

Z?=4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、勾股定理、等腰三角形的性

質(zhì)與判定等知識，關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想和二次函數(shù)的性質(zhì)解答.

9.(2016?山東中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是

(0,4)、(-1,0),將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到平行四邊形A，一。。.

⑴若拋物線過點(diǎn)GA、A，，求此拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，問：當(dāng)點(diǎn)M在何處時(shí)，△AMK的面積最大？最大面積是多少？并求出

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)若尸為拋物線上的一動點(diǎn)，N為x軸上的一動點(diǎn)，點(diǎn)。坐標(biāo)為(1,0),當(dāng)尸、N、R、。構(gòu)成平行四邊形時(shí)，求

點(diǎn)尸的坐標(biāo)，當(dāng)這個(gè)平行四邊形為矩形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】（1）y=-/+3x+4.；（2）x=2時(shí)，AAM/V的面積最大，最大值為8,

M(2,6).(3)Pi(0,4),P2(3,4),P3(上畫，-4),P4(上包，-4)；點(diǎn)N的坐標(biāo)為：(0,0)或

22

(3,0).

【解析】

試題分析：（1）先由OA，=OA得到點(diǎn)A，的坐標(biāo)，再用點(diǎn)C、A、A，的坐標(biāo)即可求此拋物線的解析式；（2）連接AA，,

過點(diǎn)M作，交AA，于點(diǎn)N,把△AMA分割為△A，MN,△AMA，的面積=△AMA，的面積+△AMN

的面積=^OA，?MN,設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,借助拋物線的解析式和AA，的解析式，建立MN的長關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系

式，再據(jù)此建立△AMA，的面積關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，再求△AMA，面積的最大值以及此時(shí)M的坐標(biāo)；（3）在P、

N、B、Q這四個(gè)點(diǎn)中，B、Q這兩個(gè)點(diǎn)是固定點(diǎn)，因此可以考慮將BQ作為邊、將BQ作為對角線分別構(gòu)造符合題

意的圖形，再求解.

試題解析：（1）???平行四邊形ABOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到平行四邊形AB9C,點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0,4）,

???點(diǎn)A，的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1,4）.

???拋物線過點(diǎn)C,A,A\設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=ax?+bx+c（a/））,可得：

a-b+c=0a=-1

<c=4.解得：，b=3.，拋物線的函數(shù)解析式為y=-X2+3X+4.

16a+4b+c=0c=4

（2）連接AA，，設(shè)直線AA，的函數(shù)解析式為丫=1?+忱可得

{窗，解得:{::;

，直線AA，的函數(shù)解析式是y=-x+4.

設(shè)M(x,-x2+3x+4),

SAAMA=^X4X[-X2+3X+4-(-x+4)]=-2x2+8x=~2(x-2)2+8.

，x=2時(shí)，△AMA，的面積最大SAAMA，=8.

AM(2,6).

(3)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,-x2+3x+4),蘭P、N、B、Q構(gòu)成平行四邊形時(shí)，

①當(dāng)BQ為邊時(shí)，PN〃BQ且PN=BQ,

VBQ=4,，-x?+3x+4=±4.

當(dāng)一