初中數(shù)學試題大全（十二）整式難題

初中數(shù)學組卷：整式難題

一.選擇題(共10小題)

1.已知a=2005x+2004,b=2005x+2005,c=2005x+2006,貝U多項式a2+b?+c2-ab

-be-ac的值為（）

A.0B.1C.2D.3

2.已知實數(shù)x、y、zx2+y2+z2=4,則(2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)2的最

大值是()

A.12B.20C.28D.36

3.在求1+6+62+63+6，+65+66+67+68+69的值時，小林發(fā)現(xiàn)：從第二個加數(shù)起每一

個加數(shù)都是前一個加數(shù)的6倍，于是她設(shè)：

S=l+6+62+63+64+65+66+67+68+69(D

然后在①式的兩邊都乘以6,得：

6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610(2)

②-①得6S-S=61°-1,即5s=610-1,所以S=@*,得出答案后，愛動腦筋

5

的小林想：

如果把"6"換成字母"a”(aW0且aWl),l+a+a2+a3+a4+...+a2014你

的答案是()

20141201512014..

A.J__ZkB..2_Zk.__Zk>.a2014-1

a-la-la

4.為了求1+2+22+23+...+22°口+22°12的值，可令s=l+2+22+23+...+22°ii+22°i2,則

2S=2+22+23+24+...+22012+22013,因此2S-S=22013-1,所以l+22+23+...+22012=22013

-1.仿照以上方法計算I+5+52+53+...+52012的值是()

A.52013-IB.52013+lC.f°13zj.P.2!二L

44

5.計算1+2+22+23+...+22°I°的結(jié)果是()

A.22tHi-IB.22OU+1C.y(22011-1)D.-(22011+l)

6.如圖，長方形內(nèi)的陰影部分是由四個半圓圍成的圖形，則陰影部分的面積是

)

A?-yH（2ab-b^）B?（2ab-b2）gJ?兀（b2-a2）D?9兀（b2-a2）

4Z4o

7.受國際金融危機影響，我國的服裝業(yè)也受到?jīng)_擊，一個現(xiàn)實問題是今年的服

裝換季提前到來，為了減少庫存回籠資金，商場都采取了降價處理的策略，現(xiàn)有

甲、乙、丙三個商場銷售同一品牌、同一價格、同一規(guī)格的某種服裝，三個商場

的降價措施分別是：設(shè)pWq,甲：第一次降價p%,第二次降價q%；乙：第二

次降價P%，第一次降價q%;丙：兩次均降價交0％.假如你是消費者，從節(jié)約

資金的角度你應該選擇的商場是（）

A.甲B.乙C.丙D.甲或乙

8.計算多項式10x3+7x2+15x-5除以5x2后，得余式為何？（）

A.15x-5B.2X2+15X-5C.3x-1D.15x-5

5x2

9.如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時刻，單位時間進出路口

A,B,C的機動車輛數(shù)如圖所示.圖中Xi，X2,X3分別表示該時段單位時間通過

路段AB,BC,CA的機動車輛數(shù)（假設(shè)單位時間內(nèi)在上述路段中同一路段上駛?cè)?/p>

與駛出的車輛數(shù)相等），則有（）

A.X1>X2>X3B.X1>X3>X2C.X2>X3>X1D.X3>X2>X1

4-4-=2

10.設(shè)x、y、z是三個實數(shù)，且有:T1，則［的值是（）

xyyzzx

xy

A.1B.&C.WD.?

2

二.填空題(共10小題)

11.若m為正實數(shù)，且m-l_=3,則m2-匚

mm2

12.已知a-b=b-c=—,a2+b2+c2=l,則ab+bc+ca的值等于.

5

13。若Ja?_3a+l+b2+2b+l=(?貝年產(chǎn)--------

a

14.請看楊輝三角(1),并觀察下列等式(2)：

1

11\a-b)'=a-b

121,,

I；，](a—4)*=a*~lab-tf

14641(a—6)'=a2—3a~b—3ab~~lx

...............................(a-①'=a-4/b-6a%：7ab-1)

⑴(2)

根據(jù)前面各式的規(guī)律，則(a+b)6=.

15.如圖，邊長為m+4的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形之后，剩余部

分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4,則另一邊長為.

16.觀察下面的一列單項式：X,-2x2,4x3,_8x\...根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第n

個單項式為.

17.計算

23452/45623456

—的結(jié)果是.

18.若m2-5m+l=0,則.

ID

19.已知xJ=3,則代數(shù)式x2」7的值為_____.

xx2

20.如圖，正方形卡片A類，B類和長方形卡片C類若干張，如果要拼一個長為

(a+2b),寬為(a+b)的大長方形，則需要C類卡片張.

三.解答題(共10小題)

21.閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式(或其一部分)配成完全平方式

的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即a2±2ab+b2=

(a±b)2.

例如：(x-1)2+3、(x-2)2+2X>(L-2)2+當2是-2X+4的三種不同形式的

24

配方(即"余項"分別是常數(shù)項、一次項、二次項--見橫線上的部分).

請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

(1)比照上面的例子，寫出x2-4x+2三種不同形式的配方；

(2)將a?+ab+b2配方(至少兩種形式)；

(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

22.如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為"神

秘數(shù)如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是"神秘數(shù)”

(1)28和2012這兩個數(shù)是“神秘數(shù)"嗎？為什么？

(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)

造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？

(3)兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差(k取正數(shù))是神秘數(shù)嗎？為什么？

23.先閱讀下列材料，再解答后面的問題.

一般地，若n且則叫做以為底的對數(shù)，記為

a=b(a>0aWl,b>0),nablogab

(即如4則叫做以為底的對數(shù)，記為即

logab=n).3=81,4381log381(Iog381=4).

計算以下各對數(shù)的值：

(1)Iog24=,log216=,log264=.

觀察中三數(shù)、、之間滿足怎樣的關(guān)系式，嘀、

(2)(1)41664log24,16log264

之間又滿足怎樣的關(guān)系式；

(3)猜想一般性的結(jié)論：logaM+logaN=(a>0且aWl,M>0,N>0),

并根據(jù)基的運算法則：am.akamn以及對數(shù)的含義證明你的猜想.

24.認真閱讀材料，然后回答問題:

我們初中學習了多項式的運算法則，相應的，我們可以計算出多項式的展開式，

如：（a+b）i=a+b,（a+b）2=a2+2ab+b2,（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3,...

下面我們依次對（a+b）n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當n取正整數(shù)時可

以單獨列成表中的形式：

(a+b)l..............................................11

(a+b)?.........................................121

(a+b)-......................................1331

(a+b)t.................................14641

(a+b,.................................15101051

(a+b)6...............................1615201561

上面的多項式展開系數(shù)表稱為"楊輝三角形"；仔細觀察"楊輝三角形"，用你發(fā)現(xiàn)

的規(guī)律回答下列問題：

（1）多項式（a+b）n的展開式是一個幾次幾項式？并預測第三項的系數(shù)；

（2）請你預測一下多項式（a+b）展開式的各項系數(shù)之和.

（3）結(jié)合上述材料，推斷出多項式（a+b）n（n取正整數(shù)）的展開式的各項系

數(shù)之和為S,（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）.

25.根據(jù)以下10個乘積，回答問題：

11X29；12X28；13X27；14X26；15X25；

16X24；17X23；18X22；19X21；20X20.

（1）試將以上各乘積分別寫成一個“4-水”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其

中一個的思考過程；

（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；

（3）若用aibi，a2b2，…，anbn表示n個乘積，其中a1，a2,a3,...?an?bi，b2?

b3,...?6為正數(shù).試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論.（不要求證明）

26.對于任何實數(shù)，我們規(guī)定符號::的意義是：［：［=ad-bc.按照這個規(guī)定

請你計算：當x2-3x+l=0時，x+1x-21的值.

3xx-l|

27.先化簡，再求值：［（x+y）2-y（2x+y）-8xy］4-2x,其中x=2,y=--

，2

28.如果10b=n,那么b為n的勞格數(shù)，記為b=d（n）,由定義可知：10。5與

b=d（n）所表示的b、n兩個量之間的同一關(guān)系.

(1)根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：d(10)=,d(102)=；

(2)勞格數(shù)有如下運算性質(zhì)：

若m、n為正數(shù)，則d(mn)=d(m)+d(n),d(—)=d(m)-d(n).

n

根據(jù)運算性質(zhì)，填空：

更亙3(a為正數(shù))，若d(2)=0.3010,則d(4)=,d(5)=，

d(a)---------------------------------

d(0.08)=；

(3)如表中與數(shù)x對應的勞格數(shù)d(x)有且只有兩個是錯誤的，請找出錯誤的

勞格數(shù)，說明理由并改正.

X1.5356891227

d(x)3a-2a-a+c1+a-b3-3a-4a-3-b-6a-

b+cb-c3c2b2c3b

29.新知識一般有兩類：第一類是不依賴于其它知識的新知識，如"數(shù)"，"字母

表示數(shù)”這樣的初始性的知識；第二類是在某些舊知識的基礎(chǔ)上進行聯(lián)系，拓廣

等方式產(chǎn)生的知識，大多數(shù)知識是這樣的知識.

(1)多項式乘以多項式的法則，是第幾類知識？

(2)在多項式乘以多項式之前，你已擁有的有關(guān)知識是哪些？(寫出三條即可)

(3)請你用已擁有的有關(guān)知識，通過數(shù)和形兩個方面說明多項式乘以多項式的

法則是如何獲得的？(用(a+b)(c+d)來說明)

30.如果一個正方形的邊長增加2cm,它的面積就增加24cm2,求原正方形的邊

長.

初中數(shù)學組卷：整式難題

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.(2015?永州模擬)已知a=2005x+2004,b=2005x+2005,c=2005x+2006,則多

項式a2+b2+c2-ab-be-ac的值為()

A.0B.1C.2D.3

【分析】觀察知可先把多項式轉(zhuǎn)化為完全平方形式，再代入值求解.

【解答】解：由題意可知a-b=-l,b-c=-1,a-c=-2,

所求式=L(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca),

2

=—[(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)],

2

=—[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2],

=L[(-1)2+(-1)2+(-2)2],

=3.

故選D.

【點評】本題考查了完全平方公式，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵在于靈活思維，對多項式

擴大2倍是利用完全平方公式的關(guān)鍵.

2.(2015?黃岡中學自主招生)已知實數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2=4,則(2x-y)2+

(2y-z)2+(2z-x)2的最大值是()

A.12B.20C.28D.36

【分析】由題意實數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2=4,可以將(2x-y)2+(2y-z)2+(2z

-x)2,用x?+y2+z2和(xy+yz+xz)表示出來，然后根據(jù)完全平方式的基本性質(zhì)進

行求解.

【解答】解：???實數(shù)x、y、z滿足x2+y2+z2=%

/.(2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)2=5(x2+y2+z2)-4(xy+yz+xz)=20-2[(x+y+z)

2-(x2+y2+z2>1=28-2(x+y+z)2^28

...當x+y+z=O時(2x-y)2+(2y-z)2+(2z-x)?的最大值是28.

故選C.

【點評】此題主要考查完全平方式的性質(zhì)及代數(shù)式的求值，要學會拼湊多項式.

3.(2014?永州)在求1+6+62+63+64+6,66+67+68+69的值時，小林發(fā)現(xiàn)：從第二

個加數(shù)起每一個加數(shù)都是前一個加數(shù)的6倍，于是她設(shè)：

S=l+6+62+63+64+65+66+67+68+69(l)

然后在①式的兩邊都乘以6,得：

6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610(2)

②-①得6S-S=61°-1,即5s=610-1,所以S=@*,得出答案后，愛動腦筋

5

的小林想：

如果把"6"換成字母"a"(aWO且a#l),l+a+a2+a3+a4+...+a2014你

的答案是()

201412015120141…

A.3___二1B.3一二1C?工一二1D?a2014-1

a-la-la

【分析】設(shè)S=l+a+a2+a3+a4+...+a2014,得出aS=a+a2+a3+a4+...+a2014+a2015,相減即

可得出答案.

【解答】解:設(shè)S=l+a+a2+a3+a4+...+a2°】4,①

則aS=a+a2+a3+a4+..+a2014+a2015,②，

②-①得：(a-1)S=a2015-1,

2015

.s_a-l

a-l

即Ha+a2+a3+a44-...+a2014=a2°15zl.,

a-l

故選：B.

【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方，同底數(shù)塞的乘法的應用，主要考查學生的閱

讀能力和計算能力.

4.（2014?金水區(qū)校級模擬）為了求1+2+22+23+...+22°11+22°】2的值，可令

S=l+2+22+23+...+22011+22012,則2S=2+22+23+24+..+22012+22013,因此2S-S=22013-1,

所以1+22+23+...+22012=22013-1.仿照以上方法計算1+5+52+53+...+52°12的值是

)

A.52013-1B.52013+lC.泮^士.守

44

【分析】根據(jù)題目所給計算方法,令S=1+5+52+53+...+52O】2,再兩邊同時乘以5,

求出5S,用5S-S,求出4s的值，進而求出S的值.

【解答】解：令S=l+5+52+53+...+52°i2,

則5S=5+52+53+...+52012+52013,

5S-S=-1+52013,

4s=52013

r-20131

則一zL.

4

故選D.

【點評】本題考查了同底數(shù)鬲的乘法，利用錯位相減法，消掉相關(guān)值，是解題的

關(guān)鍵.

5.（2015?黃岡中學自主招生）計算1+2+22+23+...+2?°】°的結(jié)果是（）

A.22011-1B.22011+1C.-（22011-1）D.-（22011+1）

【分析】可設(shè)其和為S,則2s=2+22+23+24+...+22叫2?叫兩式相減可得答案.

【解答】解:設(shè)S=1+2+22+23+...+22°I°①

則2s=2+22+23+...+22°I°+22°I@

②-①得S=22°I】-1.

故選A.

【點評】本題考查了整式的混合運算，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出和為S,并求出2s

進行做差求解.

6.（2009?江干區(qū)模擬）如圖，長方形內(nèi)的陰影部分是由四個半圓圍成的圖形,

A.-Tl(2ab-b2)B.-^-JT(2ab-b2)ATT(b2-a2)D.卷兀(b^-a2)

【分析】觀察圖形可知：陰影部分的面積=大圓的面積-小圓的面積，大圓的直

徑=2，小圓的直徑=—,再根據(jù)圓的面積公式求解即可.

2

【解答】解：據(jù)題意可知：陰影部分的面積$=大圓的面積Si-小圓的面積S2，

?.?據(jù)圖可知大圓的直徑=2，小圓的半徑=-，

2

.?.陰影部分的面積S=H(旦)2-n(土M)2=U(2ab-b2).

224

故選A.

【點評】此題主要考查學生的觀察能力，只要判斷出兩圓的直徑，問題就迎刃而

解.本題涉及到圓的面積公式、整式的混合運算等知識點，是整式的運算與幾何

相結(jié)合的綜合題.

7.(2009?馬鞍山校級一模)受國際金融危機影響，我國的服裝業(yè)也受到?jīng)_擊，

一個現(xiàn)實問題是今年的服裝換季提前到來，為了減少庫存回籠資金，商場都采取

了降價處理的策略，現(xiàn)有甲、乙、丙三個商場銷售同一品牌、同一價格、同一規(guī)

格的某種服裝，三個商場的降價措施分別是：設(shè)pWq,甲：第一次降價P%,第

二次降價q%;乙：第二次降價p%,第一次降價q%;丙：兩次均降價四%.假

2

如你是消費者，從節(jié)約資金的角度你應該選擇的商場是()

A.甲B.乙C.丙D.甲或乙

【分析】根據(jù)題意可分別得出甲、乙、丙兩次降價后的售價的表達式，并進行計

算，再比較大小即可.

【解答】解：設(shè)此種服裝的售價是x元，那么

甲兩次降價后的售價=(1-p%)(1-q%)x；

乙兩次降價后的售價=(l-q%)(1-p%)X；

丙兩次降價后的售價=(1-四％)2x,

2

通過觀察可知甲=乙，

而(1-p%)(i-q%)x=i0°°oT°o(p+q)+pqx=40°°°-4°°(p+q)+4pqx：

1000040000

(1_P+q%)2Y=4000()_4O0(p+q)+(p+q)2乂,

~2~40000

*.*（p+q）224pq,

.?.丙〉甲.

故選D.

【點評】本題考查了整式的混合運算.解題的關(guān)鍵是計算出甲、乙、丙兩次降價

后的售價.

8.（2014?臺灣）計算多項式10x，7x2+15x-5除以5x2后，得余式為何？（）

A.1X二5.B.2X2+15X-5C.3x-1D.15x-5

5x2

【分析】利用多項式除以單項式法則計算，即可確定出余式.

【解答】解：用直式計算，如圖：

5x2）10X3+7X2+15X-5

10x3

7x2+15x-5

7x2

15x-5

所以：（10X3+7X2+15X-5）4-（5x2）=⑵+工）...（15x-5）.

5

故選：D.

【點評】此題考查了多項式的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

9.（2014?雨花區(qū)校級自主招生）如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某

高峰時刻，單位時間進出路口的機動車輛數(shù)如圖所示.圖中

A,B,CXi，X2,x3

分別表示該時段單位時間通過路段AB,BC,CA的機動車輛數(shù)（假設(shè)單位時間內(nèi)

在上述路段中同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則有（）

A.xi>x2>x3B.xi>x3>x2C.x2>x3>xiD.x3>x2>xi

【分析】給出一個交通環(huán)島，通過圖形給出一些數(shù)據(jù)，其實問題就是加減法，但

要抓住主線，即車輛的來源.據(jù)此列方程比較其大小一眼可見.

【解答】解：依題意，WXI=50+X3-55=X3-5=>X1<X3?

同理，X2=30+XI-20=Xi+10=>Xi<x2?

同理，X3=30+X2-35=X2-5=>X3<X2.

故選C.

【點評】段上的車輛數(shù)右有兩部分組成，一是從A口進來的50輛，二是從段上

分流過來的x3-55,于是有XI=50+X3-55=X3-5,所以XI<x3,同理得x3<x2,

答案為C.

星』

xyz

10.設(shè)x、y、z是三個實數(shù)，且有，，則」^的值是（）

1,1,11

~~2^~2"+"2'=1.xyyzzx

xyz

A.1B.V2C..5.D.A/3

【分析】首先把L通分變?yōu)閤Kvz+xz一接著得到xy+yz+zx=2xyz,然

xyzxyz

后兩邊同時平方得到x2y2+y2z2+z2x2+2xyz(x+y+z)=4x2y2z2?,然后把\；+^~=1

xyx

22.22.22

通分變?yōu)閤y+yz+zx=1，然后變?yōu)閤2y2+y2z2+z2x2=x2y2z2,接著把它代入①

2,22

xyz

中即可解決問題.

【解答】解：?.4+1+1=2，

xyz

?

?--x-y-+-y-z--+-x-z-二力-

xyz

xy+yz+zx=2xyz,

兩邊平方得

x2y2+y2z2+z2x2+2xyz(x+y+z)=4x2y2z2?，

2?2,22.22

?xy+ytz+zx-]

2,22

xyz

.-.x2y2+y2z2+z2x2=x2y2z2@,

把②代入①得

x2y2z2+2xyz(x+y+z)=4x2y2z2,

2xyz(x+y+z)=3x2y2z2>

xyz(x+y+z)=3x2y2z24-2,

兩邊同時除以x2y2z?得

xyz(x+y4-z)

-2,22~2~，

xyz乙

xyyzzx2

故選C.

【點評】此題主要考查了利用完全平方公式進行恒等式變形然后求代數(shù)式的值,

是一個競賽題，比較難，要求學生對于完全平方公式和代數(shù)變形比較熟練才能很

好的解決問題.

二.填空題（共10小題）

11.（2011?樂山）若m為正實數(shù)，且m-L=3,則m=-3.

min2——

2

【分析】由m2=3,得m?-3m-1=0,即向/）=拈，因為m為正實數(shù)，可得

m皿J52'4

出m的值，代入^^一與，解答出即可；

【解答】解：法一：由!?上=才導，

ID

2

得rr?-3m-1=0,即=--

,24

?m-W13m,-3-V13

??Illi-------------,1112-------------，

22_

因為m為正實數(shù)，..=3+叵

2

?2一1二（1）（.1）

*'m—7-、—）＜in+—）

m1nm

(3+風1)

=3X2+3+V13

2

2

y(3+V13)+4

2(3+713)

=3A/13；

法二：由m-^=抨方得：m2+-l--2=9,

mm2

m2+-L+2=13,即(m+1)2=13,又m為正實數(shù),

w2m

ID

2

貝Iro(m+—)(m-0=3773.

m2mm

故答案為：3V13.

【點評】本題考查了完全平方公式、平方差公式，求出m的值代入前，一定要

把代數(shù)式分解完全，可簡化計算步驟.

12.(2005?寧波)已知a-b=b-c=3,a2+b2+c2=l,貝ijab+bc+ca的值等于--A..

525—

【分析】先求出a-c的值，再利用完全平方公式求出(a-b),(b-c),(a-c)

的平方和，然后代入數(shù)據(jù)計算即可求解.

【解答】W-：*.,a-b=b-c=A,

5

/.(a-b)2=_^L,(b-c)2=_1L,a-c=A,

25255

a2+b2-2ab=_5_,b2+c2-2bc=_^_,a2+c2-2ac=-^L,

252525

.,.2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=_2_+_^_+也=^￡,

25252525

.,.2-2(ab+bc+ca)=^_,

25

1-(ab+bc+ca)="§!?,

50

；.ab+bc+ca=--A_=-

5025

故答案為：-

25

【點評】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是要由a-b=b-c=W,得到a-

5

c=回，然后對a-b=3,b-C=2,a-c=g三個式子兩邊平方后相加，化簡求解.

5555

。?德陽）22則

13（2013a-3a+i+b+2b+l=0,|b|=——?

a

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)先求出a2+3、b的值，再代入計算即可.

2

a

【解答】解：77a2-3a+l+b2+2b+l=0,

二莊贏？（b+1）2=0,

/.a2-3a+l=0,b+l==0,

a+L=3,

a

:.（a+—）2=32,

a

Aa2+-^^7；

2

a

b=-1.

,,a2+-^2~|b|=7-1=6.

故答案為：6.

【點評】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式，整體思想，解題的關(guān)鍵是整

體求出a2+」_的值.

2

14.(2015?銅仁市)請看楊輝三角(1),并觀察下列等式(2)：

1

11(a-力：=a-b

121.,,

[；3](a-4)*=a*-Zf

14641(a-歲=a'-3ab■—點

...............................(a—坊'=/-4/b-6a%：-4a/-Zf

⑴(2)

根據(jù)前面各式的規(guī)律，則(a+b)6=a6+6a/+：15a4b2+20a3b3+15a2b“+6ab5+b6

【分析】通過觀察可以看出（a+b）$的展開式為6次7項式，a的次數(shù)按降毒排

列，b的次數(shù)按升幕排列，各項系數(shù)分別為1、6、15、20、15、6、1.

【解答】解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

故本題答案為：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

【點評】此題考查數(shù)字的規(guī)律，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應

用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應該具備的基本能力.

15.（2012?佛山）如圖，邊長為m+4的正方形紙片剪出一個邊長為m的正方形

之后，剩余部分可剪拼成一個矩形，若拼成的矩形一邊長為4,則另一邊長為

2m+4.

a4

【分析】根據(jù)拼成的矩形的面積等于大正方形的面積減去小正方形的面積，列式

整理即可得解.

【解答】解：設(shè)拼成的矩形的另一邊長為X,

則4x=（m+4）2-m2=（m+4+m）（m+4-m）,

解得x=2m+4.

故答案為：2m+4.

【點評】本題考查了平方差公式的幾何背景，根據(jù)拼接前后的圖形的面積相等列

式是解題的關(guān)鍵.

16.（2013?呼倫貝爾）觀察下面的一列單項式：X,-2x2,4x3,一gx,，...根據(jù)你

發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第n個單項式為（-2）「父.

【分析】要看各單項式的系數(shù)和次數(shù)與該項的序號之間的變化規(guī)律.本題中，奇

數(shù)項符號為正，數(shù)字變化規(guī)律是2nr,字母變化規(guī)律是

【解答】解：由題意可知第n個單項式是（-2）標、。

故答案為：（-2）nlxn.

【點評】本題考查找規(guī)律，確定單項式的系數(shù)和次數(shù)時，把一個單項式分解成數(shù)

字因數(shù)和字母因式的積，是找準單項式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵.分別找出單項式的

系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關(guān)鍵.

17.(2013?南京)計算(i-LJ-2」)(L+lJ+l+l)-(I-IJ-A-L

2345232562345

-L)的結(jié)果是1.

62方力/一@一

【分析】設(shè)a=l-L-1-工-工，b=L+UL,然后根據(jù)整式的乘法與加減混

23452345

合運算進行計算即可得解.

【解答】解：設(shè)a=l-L-L-L-L,b=l+l+l+l,

23452345

則原式=a(b+—)-(a--)*b

66

=ab+豈-ab+—b

66

=—(a+b),

6

a+b=l--------1_+_1_+A.+A.+A-?：1,

23452345

??.原式=工.

6

故答案為：1.

6

【點評】本題考查了整式的混合運算，利用換元法可以使書寫更簡便且形象直觀.

18.(2012?孝感模擬)若m2-5m+l=0,則23.

ID

【分析】由于mNO,把rr?-5m+l=0兩邊除以m可得到m+L=5,再把m+L==5

mm

兩邊平方得到m2+2+工25,變形即可得到m2+L的值.

22

mm

【解答】解：?「m?-5m+l=0,

m-5+—=0,艮|Jm+Aj=5,

mm

(m+—)2=25,

in

/.m2+2+J^=25,

2

ID

/.m2+J^=23.

2

m

故答案為23.

【點評】本題考查了完全平方公式：(a±b)2二a?±2ab+b2.也考查了代數(shù)式的變

形能力.

19.（2010?桂林）已知xJ~=3，則代數(shù)式丫2」7的值為7.

xx2

【分析】根據(jù)完全平方公式把已知條件兩邊平方，然后整理即可求解.

【解答】解：Tx+U,

X

（x+—）2=9,

X

即X2+2+A^9,

.”2+工9-2=7.

x2

【點評】本題主要考查完全平方公式，根據(jù)題目特點，利用乘積二倍項不含字母

是解題的關(guān)鍵.

20.（2008?鹽城）如圖，正方形卡片A類，B類和長方形卡片C類若干張，如果

要拼一個長為（a+2b）,寬為（a+b）的大長方形，則需要C類卡片3張.

aba

【分析】拼成的大長方形的面積是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2,即需要一個邊

長為a的正方形，2個邊長為b的正方形和3個C類卡片的面積是3ab.

【解答】解：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2.

則需要C類卡片3張.

故答案為：3.

【點評】本題考查了多項式乘多項式的運算，需要熟練掌握運算法則并靈活運用，

利用各個面積之和等于總的面積也比較關(guān)鍵.

三.解答題（共10小題）

21.（2009?佛山）閱讀材料：把形如ax2+bx+c的二次三項式（或其一部分）配

成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即

a2±2ab+b2=（a+b）2.

例如：（x-1）2+3、（x-2）2+2X.（lx-2）2+當2是X2-2X+4的三種不同形式的

24

配方(即"余項"分別是常數(shù)項、一次項、二次項--見橫線上的部分).

請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

(1)比照上面的例子，寫出x2-4x+2三種不同形式的配方；

(2)將a?+ab+b2配方(至少兩種形式)；

(3)已知a2+b?+c2-ab-3b-2c+4=0,求a+b+c的值.

【分析】(1)(2)本題考查對完全平方公式的靈活應用能力，由題中所給的已知

材料可得x2-4x+2和a?+ab+b2的配方也可分別常數(shù)項、一次項、二次項三種不

同形式；

(3)通過配方后，求得a,b,c的值，再代入代數(shù)式求值.

【解答】解：(1)x2-4x+2的三種配方分別為:

x2-4x+2=(x-2)2-2,

x2-4x+2=(x+&)2-(2\^4)x,

x2-4x+2=(V5<-V2)2~x2;

(2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab,

a2+ab+b2=(a+Xb)2+.^b2；

24

(3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4,

=(a2-ab+J-b2)+(Ab2-3b+3)+(c2-2c+l),

44

=(a2-ab+Ajj2)+W(b2-4b+4)+(c2-2c+l),

44

=(a-lb)2+2(b-2)2+(c-1)2=0,

24

從而有a-A~b=O,b-2=0,c-1=0,

2

即a=l,b=2,c=l,

Aa+b+c=4.

【點評】本題考查了根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a土b)2進行配方的能力.

22.(2006?浙江)如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個

正整數(shù)為"神秘數(shù)".如：4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是

"神秘數(shù)"

(1)28和2012這兩個數(shù)是“神秘數(shù)"嗎？為什么？

(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k(其中k取非負整數(shù))，由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)

造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)嗎？為什么？

(3)兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差(k取正數(shù))是神秘數(shù)嗎？為什么？

【分析】(1)試著把28、2012寫成平方差的形式，解方程即可判斷是否是神秘

數(shù)；

(2)化簡兩個連續(xù)偶數(shù)為2k+2和2k的差，再判斷；

(3)設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+l和2k-1,則(2k+l)2-(2k-1)2=8k=4X2k,

即可判斷兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù).

【解答】解：(1)設(shè)28和2012都是“神秘數(shù)"，設(shè)28是x和x-2兩數(shù)的平方差

得到,

則x2-(X-2)2=28,

解得:x=8,x-2=6,

即28=82-62,

設(shè)2012是y和y-2兩數(shù)的平方差得到，

則y?-(y-2)2=2012,

解得：y=504,

y-2=502,

即2012=5042-5022,

所以28,2012都是神秘數(shù).

(2)(2k+2)2-(2k)2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=4(2k+l),

由2k+2和2k構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍.

(3)設(shè)兩個連續(xù)奇數(shù)為2k+l和2k-1,

則(2k+l)2-(2k-1)2=8k=4X2k,

即：兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是4的倍數(shù)，是偶數(shù)倍，不滿足連續(xù)偶數(shù)的神秘數(shù)為

4的奇數(shù)倍這一條件.

.?.兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差不是神秘數(shù).

【點評】此題首先考查了閱讀能力、探究推理能力.對知識點的考查，主要是平

方差公式的靈活應用.

23.(2012?安慶一模)先閱讀下列材料，再解答后面的問題.

n

一般地,若a=b(a>0且aWl,b>0),則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab

(即logab=n).如34=81,貝U4叫做以3為底81的對數(shù)，記為Iog381(即log381=4).

(1)計算以下各對數(shù)的值：I?；?=2,log?16=4>log?64=6.

(2)觀察(1)中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log24>log216.Iog264

之間又滿足怎樣的關(guān)系式；

(3)猜想一般性的結(jié)論：logaM+logaN=loga(MN)(a>0且aWl,M>0,

N>0),并根據(jù)累的運算法則：am.an=am，n以及對數(shù)的含義證明你的猜想.

【分析】(1)根據(jù)材料敘述,結(jié)合22=4,24=16,26=64即可得出答案；

(2)根據(jù)(1)的答案可得出Iog24、Iog216、Iog264之間滿足的關(guān)系式；

b2

(3)設(shè)logaM=bi，logaN=b2,則a"=M,a=N,分別表示出MN及bi+b2的值,

即可得出猜想.

【解答】解：(1)log24=2,log216=4,log264=6；

(2)log24+log216=log264；

(3)猜想logaM+logaN=loga(MN).

blb2

證明：設(shè)logaM=bi，logaN=b2>WJa=M,a=N,

故可得MN=abi?ab2=abi*b2,b!+b2=loga(MN),

即logaM+logaN=loga(MN).

【點評】本題考查了同底數(shù)嘉的乘法運算，題目出得比較新穎，解題思路以材料

的形式給出，需要同學們仔細閱讀，理解并靈活運用所給的信息.

24.(2012?沈陽模擬)認真閱讀材料，然后回答問題：

我們初中學習了多項式的運算法則，相應的，我們可以計算出多項式的展開式,

如：（a+b）1=a+b,（a+b）2=a2+2ab+b2?（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3?...

下面我們依次對（a+b）n展開式的各項系數(shù)進一步研究發(fā)現(xiàn)，當n取正整數(shù)時可

以單獨列成表中的形式：

(a+b)!..............................................11

(a+b)?.........................................121

(a+b)-.......................................1331

(a+b)t...................................1464I

(a+b)-.................................15101051

(a+b)6...............................1615201561

上面的多項式展開系數(shù)表稱為“楊輝三角形"；仔細觀察"楊輝三角形"，用你發(fā)現(xiàn)

的規(guī)律回答下列問題：

（1）多項式（a+b）n的展開式是一個幾次幾項式？并預測第三項的系數(shù)；

（2）請你預測一下多項式（a+b）11展開式的各項系數(shù)之和.

（3）結(jié)合上述材料，推斷出多項式（a+b）n（n取正整數(shù)）的展開式的各項系

數(shù)之和為S,（結(jié)果用含字母n的代數(shù)式表示）.

【分析】（1）由題意可求得當n=l,2,3,4,...時，多項式（a+b）”的展開式是

一個幾次幾項式，第三項的系數(shù)是多少，然后找規(guī)律，即可求得答案；

（2）首先求得當n=l,2,3,4…時，多項式（a+b）口展開式的各項系數(shù)之和，

即可求得答案；

（3）結(jié)合（2）,即可推斷出多項式（a+b）n（n取正整數(shù)）的展開式的各項系

數(shù)之和.

【解答】解：（1）???當n=l時，多項式（a+b）1的展開式是一次二項式，此時第

三項的系數(shù)為：0=3,

2

當n=2時，多項式（a+b）?的展開式是二次三項式，此時第三項的系數(shù)為：1=2迎,

2

當n=3時，多項式（a+b"的展開式是三次四項式，此時第三項的系數(shù)為:3=絲_,