《離散數(shù)學(xué)總結(jié)》課件

離散數(shù)學(xué)總結(jié)課程大綱1集合論集合的基本概念，集合運(yùn)算，集合關(guān)系等2函數(shù)與關(guān)系函數(shù)的概念，函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的分類，關(guān)系的概念，關(guān)系的性質(zhì)3圖論圖的定義，圖的表示，圖的遍歷，圖的算法等4樹樹的定義，樹的性質(zhì)，二叉樹，二叉樹的遍歷等集合論集合論是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)分支，它研究集合及其運(yùn)算?；靖拍罴?、元素、子集、并集、交集、補(bǔ)集等概念。重要定理德摩根定律、集合的基數(shù)、集合的映射等定理。集合的定義及性質(zhì)定義集合是由一些確定的、可以區(qū)分的、不重復(fù)的對(duì)象構(gòu)成的整體。集合中的每個(gè)對(duì)象稱為集合的元素。表示方法常用的集合表示方法包括枚舉法、描述法、圖形法等。性質(zhì)集合具有以下重要性質(zhì)：元素的確定性、元素的互異性、元素的無序性。集合運(yùn)算并集包含兩個(gè)集合中所有元素的集合。交集包含兩個(gè)集合中共有元素的集合。差集包含第一個(gè)集合中所有不在第二個(gè)集合中的元素的集合。補(bǔ)集包含全集（包含所有元素）中所有不在該集合中的元素的集合。比較集合子集如果一個(gè)集合的所有元素都是另一個(gè)集合的元素，則稱前者是后者的子集。真子集如果一個(gè)集合是另一個(gè)集合的子集，但不是自身，則稱前者是后者的真子集。交集兩個(gè)集合的交集是指包含兩個(gè)集合中所有公共元素的集合。并集兩個(gè)集合的并集是指包含兩個(gè)集合中所有元素的集合。函數(shù)與關(guān)系函數(shù)和關(guān)系是離散數(shù)學(xué)中的重要概念，它們?cè)谟?jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。函數(shù)函數(shù)是一種特殊的映射關(guān)系，它將輸入映射到唯一的輸出。關(guān)系關(guān)系是定義在兩個(gè)或多個(gè)集合上的元素之間的映射關(guān)系，它可以是函數(shù)，也可以是非函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的定義及性質(zhì)映射關(guān)系函數(shù)是一種特殊的映射關(guān)系，將一個(gè)集合中的元素映射到另一個(gè)集合中的元素。定義域與值域函數(shù)的定義域是所有允許輸入的元素集合，而值域是所有可能輸出的元素集合。單射與滿射單射函數(shù)保證每個(gè)輸出對(duì)應(yīng)唯一的輸入，而滿射函數(shù)則保證每個(gè)輸出都有對(duì)應(yīng)的輸入。函數(shù)的分類1單射函數(shù)每個(gè)像都只有一個(gè)原像，不會(huì)發(fā)生兩個(gè)不同原像映射到同一個(gè)像的情況。2滿射函數(shù)每個(gè)像都有至少一個(gè)原像，所有像都被映射到，不會(huì)出現(xiàn)有像沒有原像的情況。3雙射函數(shù)既是單射函數(shù)又是滿射函數(shù)，每個(gè)像都有且只有一個(gè)原像，像和原像一一對(duì)應(yīng)。關(guān)系及其性質(zhì)關(guān)系定義關(guān)系是將集合中的元素進(jìn)行關(guān)聯(lián)的集合。關(guān)系性質(zhì)關(guān)系可以具有多種性質(zhì)，例如自反性、對(duì)稱性、反對(duì)稱性和傳遞性。圖論定義與概念圖論是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究的是圖。圖是由頂點(diǎn)和邊組成的，用來表示物體之間的關(guān)系。應(yīng)用廣泛圖論在計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理學(xué)、社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。圖的定義及基本概念頂點(diǎn)圖中的基本元素，表示圖中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)或?qū)ο?。邊連接兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，表示頂點(diǎn)之間的關(guān)系或連接。有向圖邊具有方向性的圖，表示單向關(guān)系。無向圖邊沒有方向性的圖，表示雙向關(guān)系。圖的表示鄰接矩陣用一個(gè)二維數(shù)組來表示圖的頂點(diǎn)之間的連接關(guān)系，數(shù)組的行和列分別代表圖中的頂點(diǎn)。鄰接表用一個(gè)數(shù)組來存儲(chǔ)每個(gè)頂點(diǎn)的所有鄰居，數(shù)組的索引代表頂點(diǎn)，每個(gè)元素都是一個(gè)鏈表，存儲(chǔ)該頂點(diǎn)的所有鄰接頂點(diǎn)。邊集用一個(gè)集合來存儲(chǔ)圖的所有邊，每個(gè)元素是一個(gè)包含邊兩個(gè)端點(diǎn)的集合。圖的遍歷1深度優(yōu)先搜索從起點(diǎn)開始，沿著一條路徑一直走到底，再回溯到上一個(gè)節(jié)點(diǎn)，選擇另一條路徑繼續(xù)探索。2廣度優(yōu)先搜索從起點(diǎn)開始，逐層擴(kuò)展，先訪問起點(diǎn)的所有鄰居節(jié)點(diǎn)，再訪問鄰居節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)，以此類推。3拓?fù)渑判驅(qū)τ邢驘o環(huán)圖（DAG）進(jìn)行線性排序，使得每個(gè)節(jié)點(diǎn)都排在其所有前驅(qū)節(jié)點(diǎn)之前。最短路徑算法迪杰斯特拉算法適用于非負(fù)權(quán)值的圖，從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到其他節(jié)點(diǎn)的最短路徑。貝爾曼-福特算法適用于可能有負(fù)權(quán)值的圖，可以檢測(cè)負(fù)權(quán)環(huán)。A*算法一種啟發(fā)式搜索算法，通過估算距離來加速搜索。樹樹是一種非線性數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它模擬了現(xiàn)實(shí)世界中樹的結(jié)構(gòu)。樹由節(jié)點(diǎn)和邊組成，節(jié)點(diǎn)表示數(shù)據(jù)，邊表示節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。1根節(jié)點(diǎn)樹的頂端節(jié)點(diǎn)，沒有父節(jié)點(diǎn)。2子節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的直接后繼節(jié)點(diǎn)。3父節(jié)點(diǎn)一個(gè)節(jié)點(diǎn)的直接前驅(qū)節(jié)點(diǎn)。4葉子節(jié)點(diǎn)沒有子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)。樹的定義和性質(zhì)樹的定義樹是一種無環(huán)連通圖，它可以表示層次結(jié)構(gòu)，并具有一個(gè)根節(jié)點(diǎn)和其他節(jié)點(diǎn)。樹的性質(zhì)樹中沒有環(huán)路。樹中節(jié)點(diǎn)的度數(shù)最大為n-1，其中n為節(jié)點(diǎn)數(shù)量。樹中的邊數(shù)等于節(jié)點(diǎn)數(shù)減1。二叉樹結(jié)構(gòu)每個(gè)節(jié)點(diǎn)最多有兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)，稱為左子節(jié)點(diǎn)和右子節(jié)點(diǎn)。特點(diǎn)有序性：子節(jié)點(diǎn)的順序很重要，左子節(jié)點(diǎn)和右子節(jié)點(diǎn)代表不同意義。應(yīng)用二叉搜索樹、二叉堆、表達(dá)式樹等二叉樹的遍歷1先序遍歷2中序遍歷3后序遍歷二叉樹的遍歷是指按照某種順序訪問樹中的所有節(jié)點(diǎn)。常用的遍歷方式有先序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。三種遍歷方式的區(qū)別在于訪問根節(jié)點(diǎn)的順序不同。先序遍歷首先訪問根節(jié)點(diǎn)，然后訪問左子樹，最后訪問右子樹。中序遍歷首先訪問左子樹，然后訪問根節(jié)點(diǎn)，最后訪問右子樹。后序遍歷首先訪問左子樹，然后訪問右子樹，最后訪問根節(jié)點(diǎn)。每種遍歷方式都有其獨(dú)特的應(yīng)用場(chǎng)景，例如先序遍歷用于生成二叉樹的表達(dá)式，中序遍歷用于按順序訪問樹中的所有節(jié)點(diǎn)，后序遍歷用于釋放樹中的所有節(jié)點(diǎn)。遞歸1概念函數(shù)自身調(diào)用自身，解決復(fù)雜問題。2應(yīng)用樹遍歷、排序算法、搜索算法。3優(yōu)點(diǎn)代碼簡(jiǎn)潔，易于理解。遞歸的概念及應(yīng)用遞歸定義遞歸是指一個(gè)函數(shù)在它的定義中調(diào)用自身。它就像一個(gè)嵌套的循環(huán)，不斷地調(diào)用自身，直到滿足某個(gè)條件為止。應(yīng)用場(chǎng)景遞歸常用于解決一些復(fù)雜的算法問題，例如樹的遍歷、排序、查找等。它能夠?qū)栴}分解成更小的子問題，并通過不斷地遞歸調(diào)用自身來解決這些子問題，最終得到問題的解。遞歸算法設(shè)計(jì)分解問題將問題分解成更小的子問題，這些子問題與原始問題具有相同的形式。遞歸調(diào)用用相同的算法解決子問題，直到達(dá)到基本情況。組合結(jié)果將子問題的解組合成原始問題的解。計(jì)算復(fù)雜性時(shí)間復(fù)雜度衡量算法執(zhí)行時(shí)間隨輸入規(guī)模增長(zhǎng)而變化的速率?？臻g復(fù)雜度衡量算法運(yùn)行所需的額外存儲(chǔ)空間大小。時(shí)間復(fù)雜性分析算法效率分析算法執(zhí)行所需時(shí)間隨輸入規(guī)模增長(zhǎng)而變化的趨勢(shì)。大O記號(hào)用大O記號(hào)來描述時(shí)間復(fù)雜度，表示算法執(zhí)行時(shí)間增長(zhǎng)速度的上界。常見復(fù)雜度例如：常數(shù)時(shí)間O(1)、線性時(shí)間O(n)、對(duì)數(shù)時(shí)間O(logn)等。空間復(fù)雜性分析1內(nèi)存使用分析算法在執(zhí)行過程中使用的內(nèi)存量。2輔助數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)評(píng)估算法所需的額外空間，例如數(shù)組、鏈表等。3影響因素輸入大小、數(shù)據(jù)類型、遞歸深度等因素都會(huì)影響空間復(fù)雜度。排序算法排序算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)中一個(gè)重要主題，用于將數(shù)據(jù)元素按照特定順序進(jìn)行排列。冒泡排序通過不斷比較相鄰元素，將較大的元素交換到末尾，直到所有元素有序。插入排序?qū)o序元素插入到已排序的序列中，保持序列的有序性。選擇排序在未排序序列中找到最小元素，將其與第一個(gè)元素交換，重復(fù)此過程直到所有元素有序。歸并排序?qū)⑿蛄羞f歸地拆分成子序列，排序子序列后合并成有序序列。常見排序算法比較1冒泡排序簡(jiǎn)單易懂，但效率較低，時(shí)間復(fù)雜度為O(n^2)2插入排序適用于基本有序的數(shù)組，時(shí)間復(fù)雜度為O(n^2)3選擇排序每次選擇最小的元素，時(shí)間復(fù)雜度為O(n^2)4歸并排序穩(wěn)定排序，時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)5快速排序不穩(wěn)定排序，平均時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)6堆排序不穩(wěn)定排序，時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)算法的效率時(shí)間復(fù)雜度：評(píng)估算法執(zhí)行時(shí)間隨輸入規(guī)模增長(zhǎng)的變化趨勢(shì)。空間復(fù)雜度：評(píng)估算法執(zhí)行過程中所需內(nèi)存空間的增長(zhǎng)趨勢(shì)。大O符號(hào)：描述算法效率的上界，常用于比較不同算法的效率。應(yīng)用案例展示離散數(shù)學(xué)廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)科學(xué)、信息技術(shù)、人工智能等領(lǐng)域。例如，在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法設(shè)計(jì)中，樹、圖等概念和理論為設(shè)計(jì)高效的算法提供了理論基礎(chǔ)。在網(wǎng)絡(luò)安全領(lǐng)域，密碼學(xué)和編碼理論的應(yīng)用也離不開離散數(shù)學(xué)的支撐。總