北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)

北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)全冊(cè)教案完整版教學(xué)設(shè)計(jì)

第一章三角形的證明

1等腰三角形

課時(shí)1全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)

1.能夠借助數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言利用綜合法證明等腰三角形的性質(zhì)定理.

2.經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)證明是探索活動(dòng)的自然延續(xù)和必要發(fā)

展，發(fā)展學(xué)生的初步的演繹邏輯推理的能力.

3.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)探索結(jié)論和證明結(jié)論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補(bǔ)充的辯證關(guān)系.

探索證明等腰三角形性質(zhì)定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法.

明確推理證明的基本要求,如明確條件和結(jié)論，能否用數(shù)學(xué)語(yǔ)言正確表達(dá)等.

提前請(qǐng)學(xué)生回憶并整理已經(jīng)學(xué)過(guò)的8條基本事實(shí)中的5條：

1.兩直線被第三條直線所截，如果同位角相等,那么這兩條直線平行；

2.兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等；

3.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)；

4.兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)；

5,三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS).

【教學(xué)說(shuō)明】對(duì)以前所學(xué)知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)鞏固，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備.

1.你能用所學(xué)知識(shí)證明嗎？

已知：Z^ABC與△DEF,ZA=ZD,ZB=ZE,BC=EF.

求證：ZXABC名ZXDEF.

證明：YNAND,NB=NE（已知），NA+NB+NC=180°,ND+NE+NF=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）,

/.ZC=1800-(ZA+ZB),ZF=180°-(ZD+ZE),

/.ZC=ZF(等量代換).又BC=EF(已知)，

/.△ABC^ADEF(ASA).

【歸納結(jié)論】

(1)兩角相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)；

(2)根據(jù)全等三角形的定義，我們可以得到：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；

2.等腰三角形有哪些性質(zhì)？以前是如何探索這些性質(zhì)的，你能再次通過(guò)折紙活動(dòng)驗(yàn)證這些性質(zhì)嗎？

【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生經(jīng)歷這些定理的活動(dòng)驗(yàn)證和證明過(guò)程.具體操作中，可以讓學(xué)生先獨(dú)自折紙觀察.

探索并寫(xiě)出等腰三角形的性質(zhì)，然后再以六人為小組進(jìn)行交流，互相彌補(bǔ)不足.

【歸納結(jié)論】

(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等；(簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角”)

(2)等腰三角形頂角的平分線、底邊中線、底邊上的高三條線重合.

???

例1在aABC中，AB=AC,ZA=50°,求NB、NC的度數(shù)

分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)：兩底角相等，結(jié)合三角形的內(nèi)角和等于

180°來(lái)計(jì)算.

解：在AABC中，AB=AC,

.,.ZB=ZC,(等邊對(duì)等角)

VZA+ZB+ZC=180<,,ZA=50°,

.,.ZB=ZC=65°.

例2已知在AABC中，AB=AC,直線AE交BC于點(diǎn)D,0是AE上一動(dòng)點(diǎn)但不與A重合，且0B=0C,試

猜想AE與BC、BD與CD的關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想的理由.

解：猜想：AE±BC,BD=CD.

證明：VAB=AC,OB=OC,AO=AO,

AAABO^AACO(SSS).

JNBAO=ZCAO.

AAE為NBAC的平分線.

AAE±BC,BD=CD.

例3如圖，AC與BD交于點(diǎn)0,AD=CB,E、F是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF,DE=BF.請(qǐng)推導(dǎo)下列結(jié)論：（1）

ND=NB；(2)AE/7CF.

證明：(1)???在4ADE與ACBF中，AD=CB,AE=CF,DE=BF,

/.AADE^ACBF(SSS).

AZD=ZB

(2)VAADE^ACBF,

???NAED=NCFB,

???ZAEO=ZCFO.

VffiAAOE^ACOF+,ZAEO=ZCFO,

???AE〃CF.

例4如圖，在AABC中，AB=AC,AD±BC,ZBAC=100°.求Nl、N3、NB的度數(shù).

解：VffiAABC中，AB=AC,

1

JZBAD=ZCAD,AZ1=—ZBAC=50°.

2

又?.?AD_LBC,??.N3=90°.

在△ABC中,AB=AC,AZB=ZC=400.

【教學(xué)說(shuō)明】在此練習(xí)過(guò)程中，一定要注意學(xué)生的書(shū)寫(xiě)格式，必要時(shí)教師要在黑板上板書(shū)過(guò)程.

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，較好地運(yùn)用其性質(zhì)解決等腰三角形的問(wèn)題.

2.知道等腰三角形的頂角平分線、底邊中線與底邊上的高互相重合.

第一章三角形的證明

1等腰三角形

課時(shí)2等腰三角形的特殊性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)

1.進(jìn)一步熟悉證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式，體會(huì)證明的必要性.

2.把等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行比較，體會(huì)等腰三角形和等邊三角形的相同之處和不同之處.

3.體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì).

等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用.

在回憶上節(jié)課等腰三角形性質(zhì)的基礎(chǔ)上，提出問(wèn)題：在等腰三角形中作出一些線段（如角平分線、中線、

高等），你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？

【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)提問(wèn)的形式，復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

探究1.在等腰三角形中自主作出一些線段（如角平分線、中線、高等），觀察其中有哪些相等的線段,

并嘗試給出證明.

【歸納結(jié)論】

等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；

等腰三角形腰上的高相等:

等腰三角形腰上的中線相等.

如對(duì)于“等腰三角形兩底角的平分線相等”，的證明方法:

證明：：AB=AC,

:.ZABC=ZACB.

VBDsCE為NABC、NACB的平分線,

AZ3=Z4.

在aABD和ZSACE中，

Z3=Z4,AB=AC,ZA=ZA.

.1△AB陵△ACE（ASA）.

；.BD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

你能證明其它兩個(gè)結(jié)論嗎？

探究2.求證：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.

已知：在ZiABC中,AB=BC=AC.

求證：ZA=ZB=ZC=600.

證明：在AABC中，?；AB=AC,：.NB=NC（等邊對(duì)等角）.

同理：NC=NA,.?.NA=NB=NC（等量代換）.

XVZA+ZB+ZC=180°,

.?.NA=NB=NC=60°

【歸納結(jié)論】等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于60°.

【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)自主探究和同伴的交流，學(xué)生?般都能在直觀猜測(cè)、測(cè)量驗(yàn)證的基礎(chǔ)上探究出結(jié)論.

例1.如圖，已知aABC和4BDE都是等邊三角形.求證:AE=CD.

證明：:△ABC和ABDE都是等邊三角形.

.?.ZABE=ZCBD=60°J

AB=CB,BE=BD.

在4ABE與4CBD中，

AB=CB,

ZABE=ZCBD,

D

BB=BD.

/.△ABE^ACBD(SAS),

AAE=CD.

例2.如圖，ZXABC中，AB=AC,E在CA的延長(zhǎng)線上，且ED_LBC于D,求證：AE=AF

證明：VAB=AC,

ZB=ZC,

VED±BC,

AZB+ZBFD=90°,

NC+NE=90°,

,/ZBFD=ZEFA,

/.ZB+ZEFA=90°,

VZC+ZE=90°,

ZB=ZC,

???NEFA=NE,

???AE=AF.

例3.如圖，在AABC中，ZA=20°,D在AB上，AD=DC,ZACD：ZBCD=2：3,求：NABC的度數(shù).

解：VAD=DC,

AZACD=ZA=20°,

???ZACD：ZBCD=2：3,

/.ZBCD=30°,

???NACB=50°,

AZABC=110°.

【教學(xué)說(shuō)明】在鞏固等邊三角形的性質(zhì)的同時(shí)，進(jìn)一步對(duì)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行綜合應(yīng)用，在書(shū)寫(xiě)過(guò)

程中掌握綜合證明法的基本要求和步驟，規(guī)范證明的書(shū)寫(xiě)格式

本節(jié)課應(yīng)掌握：

掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式，經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過(guò)程，能夠用綜合法證明等腰

三角形的兩條腰上的中線（高），兩底角的平分線相等，等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等并且每個(gè)內(nèi)角都等于

60°.

第一章三角形的證明

1等腰三角形

課時(shí)3等腰三角形的判定與反證法

1.探索等腰三角形判定定理,掌握反證法

2.理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明.

3.培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

理解等腰三角形的判定定理.

了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

問(wèn)題1.等腰三角形性質(zhì)定理的內(nèi)容是什么？這個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是什么？

問(wèn)題2.我們是如何證明上述定理的？

【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)問(wèn)題回顧等腰三角形的性質(zhì)定理以及證明的思路，要求學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)行交流.

1.我們把等腰三角形的性質(zhì)定理的條件和結(jié)論反過(guò)來(lái)還成立嗎？如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么

這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等嗎？

【歸納結(jié)論】有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）

2.小明說(shuō)，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論

成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？

我們來(lái)看一位同學(xué)的想法：

如圖，在aABC中，己知NBWNC,此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等.

假設(shè)AB=AC,那么根據(jù)“等邊對(duì)等BC角”定理可得NC=NB,但已知條件是NBW

NC."NC=NB”與已知條件“NBWNC”相矛盾，因此ABWAC

你能理解他的推理過(guò)程嗎？

再例如，我們要證明△ABC中不可能有兩個(gè)直角，也可以采用這位同學(xué)的證法，假設(shè)有兩個(gè)角是直角，

不妨設(shè)NA=90°,ZB=90°,可得NA+NB=180°,但NA+NB+NC=180°,“NA+NB=180°”與"NA+

NB+NC=180°”相矛盾，因此AABC中不可能有兩個(gè)直角.

引導(dǎo)學(xué)生思考：上面兩道題的證法有什么共同的特點(diǎn)呢？

【歸納結(jié)論】都是先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)出了與己知公理或已證明過(guò)的定理相矛盾，

從而證明命題的結(jié)論一定成立.這也是證明命題的一種方法，我們把它叫做反證法.

【教學(xué)說(shuō)明】總結(jié)這一證明方法，敘述并闡釋反證法的含義，讓學(xué)生了解.

例1.已知：如圖，NCAE是AABC的外角，AD〃BC且N1=N2.求證：AB=AC.

證明：?；AD〃BC,

???N1=NB（兩直線平行，同位角相等），

N2=NC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

又???N1=N2,AZB=ZC.

???AB=AC（等角對(duì)等邊）.

例2.如圖，BD平分NCBA,CD平分NACB,且MN〃BC,設(shè)AB=12,AC=18,求AAMN的周長(zhǎng).

解：:BD平分NCBA,CD平分NACB,

AZMBD=ZDBC,ZNCD=ZBCD.

VMN/7BC,

AZMDB=ZDBC,NNDONBCD.

；?NMDB二NMBD,NNDONNCD.

NC=ND.

.,.CA??=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC

=(AM+MB)+(AN+NC)=AB+AC=30.

例3.如圖，在AABC中，BDJ_AC于D,CE_LAB于E,BD=CE.求證：ZXABC是等腰三角形.

解：(AB?CE)=-(AC?BD)且BD=CE,

22

.*.AB=AC.

.?.△ABC是等腰三角形.

例4.如圖，在△ABC中，AB=AC,DE〃BC,求證：ZkADE是等腰三角形.

證明：VAB=AC,

二ZB=ZC,

VDE/7BC,

AZB=ZE,ZD=ZC.

二ZD=ZE.

.?.△ADE是等腰三角形.

例5.垂直于同一條直線的兩條直線平行.

b。

—/2______

rc

證明：假設(shè)a、b不平行，那么a、b相交

Va±c,b±c

AZ1=900,Z2=900

Zl+Z2=180°

而a、b相交，則Nl+N2Kl80°與Nl+N2=180°相矛盾.

二假設(shè)不成立.

即：垂直于同一條直線的兩條直線平行

【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上再小組交流，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

本節(jié)課應(yīng)掌握：

等腰三角形性質(zhì)的判定的區(qū)別和聯(lián)系.

第一章三角形的證明

1等腰三角形

課時(shí)4等邊三角形的判定與含30°角的直角三角形的性質(zhì)

1.理解等邊三角形的判別條件及其證明，理解含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其證明，并能利用這兩

個(gè)定理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

2.經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維.

3.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

480?

等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

了解反證法的基本證明思路，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

1.等腰三角形的性質(zhì)和判定定理是什么？

2.等邊三角形作為一種特殊的等腰三角形，具有哪些性質(zhì)呢？又如何判別一個(gè)三角形是等邊三角形

呢？

【教學(xué)說(shuō)明】開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，引入新課，同時(shí)回顧，也為后續(xù)探索提供了鋪墊.

1.?個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？請(qǐng)證明

自己的結(jié)論，并與同伴交流.

【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生自主探究等腰三角形成為等邊三角形的條件，并交流匯報(bào)各自的結(jié)論，教師適時(shí)要

求學(xué)生給出相對(duì)規(guī)范的證明，概括出等邊三角形的判別條件，并引導(dǎo)學(xué)生總結(jié).

2.用含30°角的兩個(gè)三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？

在你所拼得的等邊三角形中，有哪些線段存在相等關(guān)系，有哪些線段存在倍數(shù)關(guān)系，你能得到什么結(jié)

論？說(shuō)說(shuō)你的理由.

【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、觀察，找出一些線段存在相等關(guān)系.從而得出結(jié)論，并加深印象.在

直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

【歸納結(jié)論】

(1)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

(2)有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

例1.己知：如圖，在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=-AB.求證：ZBAC=30°

證明：延長(zhǎng)BC至D,使CD=BC,連接AD.

VZACB=90°,.\ZACD=90°.

又?.?AC=AC.

.,.△ACB^AACD(SAS).

.".AB=AD.

1

VCD=BC,.,.BC=—BD.

2

1

又,；BC=—AB,.,.AB=BD.

2

；.AB=AD=BD,

即AABD是等邊三角形.

AZB=60°.

在RtzXABC中，ZBAC=30°.

例2.如圖，AABC是等邊三角形，Bl)=CE,Z1=N2.求證：△ADE是等邊三角形

證明：???△ABC是等邊三角形,

/.AB=AC.

在AABD與4ACE中，AB=AC,Z1=Z2,BD=CE,

.'.△ABD^AACE(SAS).

ZEAD=ZBAC=60°,EA=DA.

/.△ADE是等邊三角形(有一角是60°的等腰三角形是等邊三角形).

例3.如圖，在Rt2XABC中，NB=30°,BD=AD,BD=12,求DC的長(zhǎng).

RDC

解：在RtZiABC,ZB=30°

VBD=AD

AZB二NBAD=30°

AZADC=60°.

VZC=90°,

AZDAC=30o.

在RtAADC中，NDAC=30°

???CD二LAD（在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）.

2

VBD二AD二12,

???CD=6.

【教學(xué)說(shuō)明】變式訓(xùn)練,鞏固新知.注意幾何語(yǔ)言.熟練運(yùn)用直角三角形的有關(guān)性質(zhì).

本節(jié)課應(yīng)掌握：

掌握證明與等邊三角形、直角三角形有關(guān)的性質(zhì)定理和判定定理.

第一章三角形的證明

2直角三角形

課時(shí)1直角三角形的性質(zhì)與判定

1.掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法，并能運(yùn)用定理解決與直角三

角形有關(guān)的問(wèn)題.

2.結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立.

3.進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維.

4.體驗(yàn)生活中數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)與人類(lèi)生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣.

掌握直角三%形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法.

運(yùn)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題.

-4gf?0

我們學(xué)過(guò)直角三角形的哪些性質(zhì)和判定方法？與同伴交流.

【教學(xué)說(shuō)明】回顧I口知，也為后續(xù)探索提供了鋪墊.

探究1:直角三角形的性質(zhì)和判定

直角三角形的兩個(gè)銳角有什么關(guān)系？為什么？

如果一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是什么三角形？為什么？

【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，總結(jié)直角三角形的一般性質(zhì).

【歸納結(jié)論】①直角三角形的兩個(gè)銳角互余；②有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

探究2：勾股定理及其逆定理.

教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推導(dǎo)出的定理，能夠證

明勾股定理嗎？

【教學(xué)說(shuō)明】教師引導(dǎo)學(xué)生思考，寫(xiě)出證明過(guò)程.

【歸納結(jié)論】勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股逆定理：如果三角形

兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

探究3：互逆命題和互逆定理.

觀察上面兩個(gè)命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系?在前面的學(xué)習(xí)中還有類(lèi)似的命題嗎？

上面兩個(gè)定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個(gè)定理的結(jié)論，結(jié)論是第二個(gè)定理

的條件.

在前面的學(xué)習(xí)中還有類(lèi)似的命題嗎？

【教學(xué)說(shuō)明】教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語(yǔ)言上不嚴(yán)謹(jǐn)時(shí)，要先讓這個(gè)疑問(wèn)交給學(xué)生來(lái)

剖析，然后再總結(jié).

【歸納結(jié)論】在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)

命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題.

如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?

例1.說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假:

(1)四邊形是多邊形;

(2)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ):

(3)如果ab=O,那么a=0,b=0.

分析：互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來(lái)應(yīng)不會(huì)有什么困難，尤其是對(duì)以“如果……那么

形式給出的命題，寫(xiě)出其逆命題較為容易，但對(duì)于那些不是以這種形式給出的命題，敘述其逆命題有一定

困難.可先分析命題的條件和結(jié)論，然后寫(xiě)出逆命題.

解：(1)多邊形是四邊形.原命題是真命題，而逆命題是假命題.

(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.原命題與逆命題同為真.

(3)如果a=0,b=0,那么ab=O.原命題是假命題，而逆命題是真命題.

例2.如圖，BA_LDA于A,AD=12,BA//DC.

證明：在AADC中，AD=12,DC=9,CA=15.

VAD2+DC2=CA2,

???△ADC是直角三角形.(如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形)

??.AD_LCD,

VBA±DA,

，BA〃DC.

例3.某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖5所示，ZACB=90°,AC=80米，BC

=60米，若線段CD是一條小渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，問(wèn)D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處

時(shí)，水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？

C

解：當(dāng)CDJ_AB時(shí),CD最短,造價(jià)最低.

VZACB=90°,AC=80,BC=60,

AAB=100.

設(shè)AD=x,則BD=100-x.

?.,在RtZXADC與RtZXBDC中，

.,.CD2=AC-AD2,CD2=BC-BD2.

.,.AC2-AD2=BC2-BD2.

.,.802-X2=602-(100-X)2.

解得：x=64.

.,.在Rtz\ADC中，CD=48.

最低造價(jià)是:48X10=480(元).

你還能用其他方法求出CD的長(zhǎng)嗎？

(提示：用面積法)

c22

例4.已知：如圖，在AABC中，ZC=90,BC=a,AC=b,AB=c.求證：a-+b=c.

證明：延長(zhǎng)CB至D,使BD=b,作NEBD=NA,

并取BE=c,連接ED、AE(如圖)，則AABC名△BED.

.,.ZBDE=90°,ED=a(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等).

二四邊形ACDE是直角梯形.(a+b)(a+b)=，(a+b)\

22

.,.ZABE=180°-(ZABC+ZEBD)=180°-90°=90°,AB=BE.

SAM?=—C'SBIBACHE=SAME+SAMIC+SAI?＞，

2

1,11I1II

一(a+b)2=—c2+—ab+—ab,即一a'+ab+—b'=—c2+ab,

2222222

.-.a2+b2=c2

本節(jié)課應(yīng)掌握：

這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命題的概念，會(huì)

識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方法，進(jìn)一步提高了演繹推理的

能力

第一章三角形的證明

2直角三角形

課時(shí)2直角三角形全等的判定

1.能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理，進(jìn)一步理解證明的必要性.

2.進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感.

3.進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理能力.

能夠證明直角三角形全等的“HL”的判定定理.

進(jìn)一步理解證明的必要性.

1.判斷兩個(gè)三角形全等的方法有哪幾種？

2.已知一條邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形.想一想，怎么畫(huà)？同學(xué)們相互交流.

3.有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？如果其中一個(gè)角是直角呢？請(qǐng)證明你的結(jié)

論.

【教學(xué)說(shuō)明】教師順?biāo)浦?，詢?wèn)能否證明：“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等”，

從而引入新課.

探究：“HL”定理.

已知：在RtZXABC和RtZXA'B'C'中，ZC=ZC,=90°,AB=A'B',BOB'C'.求證：RtAABC^

RtAAzB'C'.

證明：在Rt^ABC中，AC?二AB?一BC?（勾股定理）.

又???在忒△A'B'C'中，A'C',=A'B'2—B'C'2（勾股定理）.

???AB=A'B',BC=B'C',AC=A，C,.

/.RtAABC^RtAA'B'C(SSS).

【歸納結(jié)論】斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.（這一定理可以簡(jiǎn)單地用“斜邊、直

角邊”或“HL”表示.）

【教學(xué)說(shuō)明】講解學(xué)生的板演，借此進(jìn)一步規(guī)范學(xué)生的書(shū)寫(xiě)和表達(dá).分析命題的條件，既然其中一邊和

它所對(duì)的直角對(duì)應(yīng)相等，那么可以把這兩個(gè)因素總結(jié)為直角三角形的斜邊對(duì)應(yīng)相等，于是直角三角形有自

己的全等判定定理.

例1.填空：如下圖，RtAABC和RtaDEF,ZC=ZF=90°.

(2)若NA=ND,AC=DF,則RtZXABC當(dāng)Rt^DEF的依據(jù)是邈.

(3)若NA=ND,AB=DE,則Rt^ABC名RtaDEF的依據(jù)是述.

(4)若AC=DF,AB=DE,貝ijRtZXABC/Rt^DEF的依據(jù)是星.

(5)若AC=DF,CB=FE,則RtZiABC義Rt^DEF的依據(jù)是迦.

例2.己知：RtAABC和RtAA"B'C',NC=NC'=90°,BC=B'C',BD,B'D'分別是AC、A'C'邊上的中線,

且BD=B'D'.求證:RtAABC^RtAA'B'C.

證明：在RtZ^BDC和RtZSB'D'C'中,

VBD=B'D',BC=B'C,

.,.RtABDC^RtAB'D'C(HL定理).

.?.CD=C"[)".

XVAC=2CD,A'C'=2C'D',

.,.AC=A'C',

RtAABCftRtAA'B'C'中,

VBC=B,CZC=ZC'=90°,AC=A'C',

/.RtAABC^RtAA'B'C（SAS）.

例3.如圖，已知NACB=NBDA=90°,要使4ACB當(dāng)ABDA,還需要什么條件?把它們分別寫(xiě)出來(lái)，并證

解:AC=DB.

VAC=DB,AB=BA,

AAACB^ABDA（HL）

其他條件：CB=DA或四邊形ACBD是平行四邊形等.證明略.

【教學(xué)說(shuō)明】這是?個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一，需要我們靈活地運(yùn)用公理和已學(xué)過(guò)的定理，觀察圖

形，積極思考，并在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，通過(guò)同學(xué)之間的交流，獲得各種不同的答案.

例4.如圖，在aABC與AA'B'C中,CD、C'D'分別分別是高，并且AC=A'C',CD=C'D'.ZACB=ZA'CB'.求

證：△ABC芻AA'B'C'.

DBA

分析：要證△ABC名AA'B'C',由已知中找到條件：一組邊AC=A'C',一組角NACB=NA'C'B'.如果尋

求NA=/A',就可用ASA證明全等；也可以尋求NB=NB',這樣就可用AAS；還可尋求BC=B'C',那么就可

根據(jù)SAS……注意到題目中有CD、C'D'是三角形的高，CD=C'D'.觀察圖形，這里有三對(duì)三角形應(yīng)該是全等

的，且題目中具備了1IL定理的條件，可證得RtAADC峪RtZiA'D'C',因此證明NA=NA'就可行.

證明：■D、C'D'分別是△ABC、△A'B'C'的高（已知）,

NADC=NA'D'C'=90°.

在RtZiADC和RtZXA'D'C'中，

AC=A'C'（己知），CD=C'D'（已知）,

二RtAADC^RtAA'D'C'（HL）.

ZA=ZA',（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

在△ABC和B'C'中，

ZA=ZA'（已證），

AC=A'C'（已知），

NACB=NA'C'B'（己知），

.?.△ABC當(dāng)△A'B'C'（ASA）.

【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)上述師生共同活動(dòng)，學(xué)生板書(shū)推理過(guò)程之后可發(fā)動(dòng)學(xué)生去糾錯(cuò)，教師最后再總結(jié).

本節(jié)課應(yīng)掌握:

直角三角形的判定方法有五種，注意“HL”僅適用于直角三角形.

第一章三角形的證明

3線段的垂直平分線

課時(shí)1線段的垂直平分線

1.證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理

2.經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力，豐富對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí).

3.通過(guò)小組活動(dòng)，學(xué)會(huì)與他人合作，并能與他人交流思維的過(guò)程和結(jié)果.

運(yùn)用幾何符號(hào)語(yǔ)言證明垂直平分線的性質(zhì)定理及其逆命題

垂直平分線的性質(zhì)定理在實(shí)際問(wèn)題中的運(yùn)用.

如圖，A、B表示兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)，要在A、B一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的距離相等，碼

頭應(yīng)建在什么位置？

,A

【教學(xué)說(shuō)明】從實(shí)際問(wèn)題入手，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，用于生活.

探究1:垂直平分線的性質(zhì).

己知：如圖，直線MN_LAB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的點(diǎn).求證：PA=PB.

證明：VMN1AB,

.,.ZPCA=ZPCB=90°

VAC=BC,PC=PC,

.,.△PCA^APCB(SAS).

PA=PB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）

【歸納結(jié)論】線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

探究2:垂直平分線判定

你能寫(xiě)出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎？

逆命題就很容易寫(xiě)出來(lái).“如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平

分線上.”

寫(xiě)出逆命題后時(shí)，就想到判斷它的真假.如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說(shuō)明.

引導(dǎo)學(xué)生分析證明過(guò)程.

已知：線段AB,點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PA=PB.

求證：P點(diǎn)在AB的垂直平分線上.

證明：過(guò)點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,PA=PB,PC=PC,

/.RtAPAC^RtAPBCCHL定理).

.,.AC=BC,

即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上

【教學(xué)說(shuō)明】此處證明可讓學(xué)生用多種方法證明.

【歸納結(jié)論】到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

例1.已知：如圖，在z^ABC中，AB=AC,0是ZiABC內(nèi)一點(diǎn)，且OB=0C.求證:直線A0垂直平

分線段BC.

證明：AB=AC,

點(diǎn)A在線段BC的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條

線段的垂直平分線上）.

同理，點(diǎn)0在線段BC的垂直平分線上.

直線A0是線段BC的垂直平分線（兩點(diǎn)確定一條直線）.

例2.如圖，DE為△ABC的AB邊的垂直平分線，D為垂足，DE交BC于E,AC=5,BC=8,求4AEC

的周長(zhǎng).

解：TDE為ZSABC的AB邊的垂直平分線,

.*.AE=BE.

/.CA?K=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13.

例3.如圖，己知：線段CD垂直平分AB,AB平分NDAC.求證：AD〃BC

證明：tCD是AB的垂直平分線,

.,.AC=BC,

ZCAB=ZB,

XVZCAB=ZDAB,

/.ZDAB=ZB,/.AD/7BC.

例4.如圖，已知：AD是AABC的高,E為AD上一點(diǎn)，且BE=CE.求證：ZXABC是等腰三角形.

證明：VBE=CE,AD±BC

???AD是BC的垂直平分線,

.,.AB=AC,

.?.△ABC是等腰三角形.

例5.如圖,已知：AB1BC,CD±BC,ZAMB=75°,ZDMC=45°,AM=DM.求證:AB=BC.

Ai

Z

B5LAMSJC,

證明：連接AC.

ZAMD=180°-75°-45°=60°,且AM=DM,

???△AMD是等邊三角形.

/.AM=AD.

又???NMDC=900-45°=45°,

???ZMDC=ZDMC,

???CD=CM,

???AC為DM的垂直平分線，

又???CD=CM

??.CH是NDCM角平分線

/.ZACM=90°-45°=45°,

.?.ZBAC=180°-ZB=ZACM=90°-ZACM=45°

AAB=BC.

【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生是第一次證明一條直線是已知線段的垂直平分線，因此老師要引導(dǎo)學(xué)生理清證明的

思路和方法并給出完整的證明過(guò)程.

本節(jié)課應(yīng)掌握：

到?條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.

第一章三角形的證明

3線段的垂直平分線

課時(shí)2三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

1.能夠證明三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn).

2.垂直平分線的應(yīng)用

3.經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力.體驗(yàn)解決問(wèn)題的方法，提

高實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).

4.體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)中的探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

作已知線段的垂直平分線.

垂直平分線的應(yīng)用.

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線，線段的垂直平分線的性質(zhì)定理、判定定理是什么？

【教學(xué)說(shuō)明】回顧舊知，為本節(jié)課作準(zhǔn)備.

探究1:請(qǐng)同學(xué)們剪一個(gè)三角形紙片，通過(guò)折疊找出每條邊的垂直平分線，觀察這三條垂直平分線,

你是否發(fā)現(xiàn)同樣的結(jié)論?與同伴交流.

【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生自己經(jīng)歷探究的過(guò)程，不要直接給出答案或很有指向性的提示.

【歸納結(jié)論】三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.

探究2：已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形.

已知：線段a、h

求作：△ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=h

作法：1.作BC=a；

2.作線段BC的垂直平分線MN交BC于D點(diǎn)；

3.以D為圓心，h長(zhǎng)為半徑作弧交MN于A點(diǎn)；

4.連接AB、AC.

.1△ABC就是所求作的三角形（如圖所示）.

探究3：已知直線1和1上一點(diǎn)P,用尺規(guī)作1的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.

如果點(diǎn)P是直線1外一點(diǎn)，那么怎樣用尺規(guī)作1的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P呢？

【教學(xué)說(shuō)明】學(xué)生先獨(dú)立思考完成，然后交流，說(shuō)出做法并解釋作圖的理由.

例1.如圖，己知：在aABC中，AB、BC邊上的垂直平分線相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P在AC的垂直平分線

證明：P是AB、BC邊上的垂直平分線,

，AP二BP,BP=CP,

AAP=CP,

???P點(diǎn)在AC的垂直平分線上.

例2.如圖所示，在Rt^ABC中，ZC=90°,NA=30°.

（1）尺規(guī)作圖：作線段AB的垂直平分線1（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）在已作的圖形中，若1分別交AB、AC及BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D、E、F,連接BE.

求證：EF=2DE.

解：(1)直線1即為所求.

(2)證明：在RtZ^ABC中，

VZA=30°,AZABC=60°,

又???1為線段AB的垂直平分線，

AEA=EB,

AZEBA=ZA=30°,ZAED=ZBED=60°,

AZEBC=30°=NEBA,NFEC=60°.

又?.?ED_LAB,EC±BC,.\ED=EC.

在Rt^ECF中，

ZFEC=60°,AZEFC=30°,

.\EF=2EC,

AEF=2ED.

【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí).熟練運(yùn)用垂直平分線解決問(wèn)題.

本節(jié)課應(yīng)掌握:

本節(jié)課通過(guò)推理證明了“到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，及三

角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)”的結(jié)論，并能根據(jù)此結(jié)論“已知等腰三角形的底和底邊的高，求作等

腰三角形”.

第一章三角形的證明

4角平分線

課時(shí)1角平分線的性質(zhì)與判定

1.會(huì)證明角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理.

2.經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步提高學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力.體驗(yàn)解決問(wèn)題的方法，發(fā)

展實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).

3.經(jīng)歷探索、猜想、證明使學(xué)生掌握研究解決問(wèn)題的方法.

<0?

正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明.

正確地表述角平分線性質(zhì)定理的逆命題及其證明.

讓學(xué)生到黑板上畫(huà)出他們收集到的日常生活中應(yīng)用角平分線的例子，并分別說(shuō)出它們的作用.

【教學(xué)說(shuō)明】高度評(píng)價(jià)學(xué)生的參與熱情和學(xué)習(xí)成果，激勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力.尤其是對(duì)于其中很有創(chuàng)意的發(fā)

現(xiàn)，可以以該學(xué)生名字命名，以此鼓勵(lì).提高學(xué)生的積極性.

探究1:角平分線定理

己知：如圖，0C是NA0B的平分線，點(diǎn)P在0C上，PD±0A,PE10B,垂足分別為D、E.

求證：PD=PE.

證明：VZ1=Z2,0P=0P,

ZPD0=ZPE0=90°,

.,.△PDO^APEO（AAS）.

：.PD=PE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

【教學(xué)說(shuō)明】請(qǐng)同學(xué)們自己嘗試著證明上述結(jié)論，然后在全班進(jìn)行交流.教師在教學(xué)過(guò)程中對(duì)有困難

的學(xué)生要給予指導(dǎo).

【歸納結(jié)論】角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.

探究2；角平分線的判定定理.

已知：在NA0B內(nèi)部有一點(diǎn)P,且PDJ_OA,PE±OB,D、E為垂足且PD=PE.

求證：點(diǎn)P在NA0B的角平分線上.

A

證明：.-.PD±OA,PE1OB,

：.ZP1）O=ZPEO=9O°.^-<1\p

__/c

在RSODP和RtZ\OEP中,OP=OP,PD=PE,/

ARtAODP0RtAOEP（HL定理）.n

??.N1=N2（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.

???點(diǎn)P在NAOB的角平分線上.

【歸納結(jié)論】在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.

例L如圖，已知：ZC=90°,DE是AB的垂直平分線，D為垂足，交BC于E,AB=2AC.求證：CE二DE.

證明：連接AE,由于NC=90°,AB=2AC,

AZB=30°,ZCAB=60°.

???DE是AB的垂直平分線，

AAE=BE,/.ZEAB=ZB=30°,

AZCAE=60°-30°=30°,

即即是NCAB的角平分線,

???CE=DE.

例2.如圖，已知：E是NAOB的平分線上的一點(diǎn)，且EC_LOA,ED±OB,垂足分別是C、D.求證：0E垂

直平分CD.

證明：???0E是NAOB的平分線,

ACE=DE,

ARtAOCE^RtAODE,

AOC=OD,

AO與E都在CD的垂直平分線上，

AOE垂直平分CD.

例3.如圖，已知：在aABC中，NBAC的平分線交BC于D,且DE_LAB,DF1AC,垂足分別是E、F.求

證：AD是EF的垂直平分線.

證明；:AD是NBAC的平分線,且DEJ_AB,DFXAC,

ADE=DF,

ARtAADE^RtAADF,

AAE=AF,

AA與D都在EF的垂直平分線上，

???AD就是EF的垂直平分線.

【教學(xué)說(shuō)明】綜合利用角平分線的性質(zhì)和判定直角三角形.垂直平分線的相關(guān)性質(zhì)解決問(wèn)題.進(jìn)一步發(fā)

展學(xué)生的推論證明能力.在學(xué)生獨(dú)立完成推理過(guò)程的基礎(chǔ)上，教師要給出書(shū)寫(xiě)示范.

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等..

2.在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.

第一章三角形的證明

4角平分線

課時(shí)2三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì)

I.證明與角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論.

2.經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力.體驗(yàn)解決問(wèn)題的方法，發(fā)

展實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).

3.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心.

三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì).

角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用.

本節(jié)課繼續(xù)學(xué)習(xí)有關(guān)角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，討論三角形中的角平分線.那么，今天的這節(jié)課的研究方

法和內(nèi)容還是和線段的垂直平分線很類(lèi)似，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，要注意對(duì)比線段垂直平分線的研究方法來(lái)學(xué)

習(xí).

探究：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

1.證明：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)

已知：如圖，設(shè)aABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P,求證：P點(diǎn)在NBAC的角平分線上.

證明：過(guò)P點(diǎn)作PD_LAB,PF1AC,PE±BC,其中D、E、F是垂足.

「BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上,

PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）.

同理：PE=PF.

；.PD=PF.

...點(diǎn)P在NBAC的平分線上（在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）.

/.△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)P.

2.證明：這一點(diǎn)到三條邊的距離相等

如上圖，P是AABC的三條角平分線的交點(diǎn)，求證：PD=PE=PF.

由上題的證明可知：PD=PE=PF.

【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生把證明落實(shí)到筆上，可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，也可以讓學(xué)生自己監(jiān)控

自己的思維，培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性.

【歸納結(jié)論】三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

例1.已知：如圖，P點(diǎn)是NAOB平分線上的一點(diǎn)，PC10A,PD±OB,垂足分別為C、D.

求證:(1)OC=OD；

（2）OP是CD的垂直平分線.

證明：（DP點(diǎn)是NA0B角平分線上的一點(diǎn)，PC±OA,PD±OB,

...PC=PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）.

在RtZXOPC和RtZXOPD中，

OP=OP,PC=PD,

.,.RtAOPC^RtAOPDdlL定理）.

.?.OC=OD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）.

（2）又1?OP是NA0B的角平分線,

/.OP是CD的垂直平分線（等腰三角形“三線合一”定理）.

例2.如圖：直線11、12、13表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路

的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的？

解：我找到四處.除了aABC三條角平分線交點(diǎn)P外，在三角形外部還有三點(diǎn).作NACB、NABC外角

的平分線交于點(diǎn)P1（如圖所示），我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點(diǎn)P1在NCAB的角平分線

上，且到L、卜、L的距離相等.同理還有NBAC、NBCA的外角的角平分線的交點(diǎn)P2、P3.因此滿足條件共

4個(gè)，分別是P、R、Pz、P,.

例3.作圖證明：如圖，在AABC中，作NABC的平分線BD,交AC于D,作線段BD的垂直平分線EF,

分別交AB于E,交BC于F,垂足為0,連結(jié)DF.在所作圖中，尋找一對(duì)全等三角形，并加以證明.（不寫(xiě)

作法，保留作圖痕跡）

解：（1）畫(huà)角平分線，線段的垂直平分線.（圖形略）

（2）ABOE^ABOF^ADOF（證明過(guò)程略）

【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生首先自己思考例題的解決方法.分析例題的條件和結(jié)論，充分暴露自己的思維過(guò)程,

讓學(xué)生“觀摩”，在此過(guò)程中使學(xué)生知道“老師是怎么想到的”.

本節(jié)課應(yīng)掌握:

本節(jié)課我們利用角平分線的性質(zhì)和判定定理證明了三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三角形

各邊的距離相等.并綜合運(yùn)用我們前面學(xué)過(guò)的性質(zhì)定理等解決了幾何中的計(jì)算和證明問(wèn)題.

第二章一元一次不等式與一元一次不等式組

1不等關(guān)系

1.理解不等式的意義；

2.能根據(jù)條件列出不等式；

3.能用實(shí)際生活背景和數(shù)學(xué)背景解釋簡(jiǎn)單不等式的意義

用不等式（組）表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系，并用不等式（組）研究含有不等關(guān)系的問(wèn)題，理解不等

式（組）對(duì)于刻畫(huà)不等關(guān)系的意義和價(jià)值.

用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示出不等關(guān)系.

列舉出學(xué)生身體的高矮、距離學(xué)校路程的遠(yuǎn)近、百米賽跑的時(shí)間、數(shù)學(xué)成績(jī)的多少等現(xiàn)實(shí)生活中學(xué)生

身邊熟悉的事例，描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.那么這些不等關(guān)系怎樣在數(shù)學(xué)上表示出來(lái)

呢？

【教學(xué)說(shuō)明】讓學(xué)生自由地展開(kāi)聯(lián)想，教師列舉不等關(guān)系的相關(guān)素材，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)進(jìn)行觀察、

歸納，使學(xué)生在具體情境中感受到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣，在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中大量存在著.這樣學(xué)

生會(huì)由衷地產(chǎn)生用數(shù)學(xué)工具研究不等關(guān)系的愿望，從而進(jìn)入下一步的探究學(xué)習(xí)，由此引入新課.

探究：1.某中學(xué)準(zhǔn)備在學(xué)校飯廳新添一個(gè)通風(fēng)口，四周用長(zhǎng)為xm（xW5）的裝潢條鑲嵌（不計(jì)接縫）,

現(xiàn)有兩種設(shè)計(jì)方案.如下圖:

問(wèn)題:

通風(fēng)口規(guī)格X滿足的關(guān)系式

正方形面積不大于1m2

圓的面積不小于1.5m2

2.通過(guò)測(cè)量一棵樹(shù)圍(樹(shù)干的周長(zhǎng))可以計(jì)算出它的樹(shù)齡.通常規(guī)定以樹(shù)干離地面1.5米的地方作為測(cè)

量部位，某樹(shù)栽種時(shí)的樹(shù)圍為5cm,以后樹(shù)圍每年增加約為3cm,這棵樹(shù)至少生長(zhǎng)多少年其樹(shù)圍才能超過(guò)

2.4m?(只列關(guān)系式)

請(qǐng)大家互相討論后列出關(guān)系式.

觀察由上述問(wèn)題得到的關(guān)系式，

2222

1—1—5—>—?

16'4仃'4宣16'

2.3x+5>240.

它們的共同特點(diǎn)是什么？

【教學(xué)說(shuō)明】通過(guò)學(xué)生自己總結(jié)出不等式的概念，培養(yǎng)