四川高中教師資格考試《數(shù)學學科知識與教學能力》歷年真題及答案解析（2017-2019）

四川高中教師資格考試

《數(shù)學學科知識與教學能力》歷年真題及答案解析

(2017-2019)

2019下半年四川教師資格高中數(shù)學學科知識與教學能力真題及答案

2019上半年四川教師資格高中數(shù)學學科知識與教學能力真題及答案

2018上半年四川教師資格高中數(shù)學學科知識與教學能力真題及答案

2017下半年四川教師資格高中數(shù)學學科知識與教學能力真題及答案

2017上半年四川教師資格高中數(shù)學學科知識與教學能力真題及答案

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2019下半年四川教師資格高中數(shù)學學科知識與教學能力真

題及答案

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

X<0

I.若跚1.《山工―在一。處可導，則。，剛1力（）.

A.4=2,6=1B.c=l,6=2

C.a=一b=lD.a=2,=-1

【參考答案】A

x”sin-xeO

2.已知/（x）--x，若/（x）的一階導函數(shù)在x?0處連續(xù),則〃的取值范圍是（）.

0x=0

A.〃之3B.〃?2C.〃?1D.

【參考答案】A

3.已知"id,2,-1）,必（L3,0）,平面飛過峪點且垂直與M；%,平面馬：6x^3^182-18-0

與平面辦之間的夾角為（）.

A.-B.-C.-D.-

6439

【參考答案】B

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4.若向量d,b>W+，+A=0,5x5=().

A.bxaB.cxiC.bxcD.axe

【參考答案】C

5.設n階方陣M的秩r(M)=r

A.任意一個行向量均可由其他r個行向量線性表示

B.任意r個行向量均可組成極大線性無關組

C.任意r個行向量均線性無關

D.必有r個行向量線性無關

【參考答案】I)

6.試題暫缺，參考答案C

7.下列對向量學習意義的描述：

①有助于學生體會數(shù)學與現(xiàn)實生活和其他學科的聯(lián)系；

②有助于理解數(shù)學運算的意義和價值，發(fā)展運算能力；

③有助于掌握處理，幾何問題的一種方法，體會數(shù)形結合思想；

④有助于理解數(shù)學不同內(nèi)容之間存在廣泛的聯(lián)系.

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其中正確的共有().

A.1條B2條C3條D.4條

【參考答案】I)

8.數(shù)學歸納法的推理方式屬于().

A.歸納推理B.演繹推理

C.類比推理D.合情推理

【參考答案】B

二、簡答題(本大題共5小題，每題7分，共35分)

Lo

9.有線性變換y=變換矩陣2=

,0-L'」

L3」

(1)求橢圓t-匕■1經(jīng)過線性變換后的方程.

49

(2)變換后，那些性質不變，那些性質變了(如?距離、斜率、相交)？

10.已知函數(shù)g(x)?(G-l).

⑴求f(x)和q(x)圍成的平面區(qū)域的面積.

(2)求Owywf(x),lvxw3,納軸旋轉的加只.

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11.一個袋子里有8個黑球，8個白球，隨機不放回連續(xù)取球5次，每次取出1個球，求最

多取到3個白球的概率.

12.給出數(shù)學文化的內(nèi)容，請舉出數(shù)學課堂中兩個能夠應用數(shù)學文化的例子.

13.簡述數(shù)學建模的主要過程.

【參考答案】略

三、解答題（本大題1題，10分）

14.已知函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b].上連續(xù)，且f（a）.f（b）＜0,請用二分法證明￡6）在（冉15）內(nèi)

至少有一個零點。

【參考答案】略

四、論述題（本大題1小題，15分）

15.有人認為目前的教學缺乏對中學生思維能力的培養(yǎng)，請談一談你的看法，并說一說在老

師在教學中應該如何做。

【參考答案】略

五、案例分析題（本大題1題，20分）

16.在學習了“直線與圓的位置關系”后，一位教師讓學生解決如下問題：

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求過點尸⑵3）且與圓。：（x-i）;f,1相切的直線/的方程.

一位學生給出的解法如下：

由圖。的方程（x-l）、寸-L可得圖心。的坐標為（L0）,圖的半徑?1.

設直線，的斜率為癮則直線，:尸3—）,即玄一尸2左+3?0.

因為直線/與圓。相切，所以即心。到亶線/到距離為d?寫曰」，解得：

W八3

所以直線，的方程為4x-3wl-0.

<1）指出上述解法的錯誤之處，分析錯誤原因，并給出兩種正確解法（14分）.

（2）針對該題的教學，談談如何設置問題，幫助學生避免出現(xiàn)上述錯誤（6分）.

【參考答案】略

六、教學設計題（本大題1小題，30分）

17.普通高中課程標準2017版，對“導數(shù)的概念及其意義”提出的學習要求為：

①通過實例分析,經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景,

知道導數(shù)是關于瞬時變化率的數(shù)學表達，體會導數(shù)的內(nèi)涵與思想。

②體會極限思想。

③通過函數(shù)圖象直觀理解導數(shù)的幾何意義。

針對導數(shù)的概念及其意義以達到①，完成教學設計。

（1）設計教學重點（6分）。

（2）教學過程（導入、概念形成與鞏固），并寫出設計意圖（24分）。

【參考答案】略

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2019上半年四川教師資格高中數(shù)學學科知識與教學能力真

題及答案

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.下列選項中，運算結果一定是無理數(shù)的是（）

A.有理數(shù)和無理數(shù)的和

B.有理數(shù)與有理數(shù)的差

C.無理數(shù)和無理數(shù)的和

D.無理數(shù)與無理數(shù)的差

參考答案：A

參考解析：（1）有理數(shù)與有理數(shù)：和、差、積、商均為有理數(shù)（求商時分母不為零）。（2）

有理數(shù)與無理數(shù)：①一個有理數(shù)和一個無理數(shù)的和、差為無理數(shù)；②一個非零有理數(shù)與一個

無理數(shù)的積、商為無理數(shù)。（3）無理數(shù)與無理數(shù):和、差、積、商可能是有理數(shù)，也可能

是無理數(shù)。故本題選A。

x=acostf

y=asmt,

z=asin2t.

2.在空間直角坐標系中，由參數(shù)方程（0WtW2“）所確定的曲線的一般方程

為()

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x+y=at

A.',、

I=2=2AT

x+y=az

B，l?=4即,

二2=2A>'

二2=4平，

參考答案：B

f2

x—acosir

2

y=asmt,

z=asin2E,

參考解析：由l可得x+y=acos2t+asin2t=a,z2=a2(2sintcost)2=4xy,所以

x±y=a

《r

將參數(shù)方程化為一般方程為匕=4型故選B。

3.已知空間直角坐標與球坐標的變換公式為

x=pcoscos(pt

兀JI

y=pcos^sin^(夕NO,-7C<(p<71,——<0

.二=〃sin8：,則在球坐標系中，表示的

圖形是()

A.柱面

B.圓面

C.半平面

D.半錐面

參考答案：B

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參考解析:

x=一『cos。

■

。cos8cos0.

v=gosino,消多得到二=加+獷,該方程是由yOL平面上的射線

將8二三代入到i=0co$8sin夕，得

=0sin8

-=-A

二=4?。▃>0）綾z軸旌仔得到的，它表示以^點為頂點，以射線二C>0）為母線，以z軸力中心軸的半

錐面.故選D.

4.設A為n階矩陣，B是經(jīng)A若干次初等行變換得到的矩陣，則下列結論正確的是（）

A.|A|=|B|

B.|A|#B|

C.若|A|=0,則一定有IB=0

D.若|A|>0,則一定有|B|>0

參考答案：C

參考解析：矩陣的初等行（列）變換有：①交換矩陣的兩行（列）；②將一個非零數(shù)k乘到

矩陣的某一行（列）；③將矩陣的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上。若矩陣A經(jīng)過

上面三種初等變換得到矩陣B,則對應的行列式的關系依次是|A|二-|B|,|A|二k|B|,|A|=|B|°

即|A|二aB|,aeRo所以|A|二0時必有|B=0。故選C。

了（力=乞（-1廣

5.已知總寸則f⑴=()

A.-1

B.0

C.1

D.n

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參考答案：B

參考解析：

根據(jù)泰初公式的展開式，“g廣］=^+-=￡(-1)77二，所以

315|12/1-1)|=(2〃一1)1

?.1

/(x)=Z(Tr-----(萬k)=sin/T.vff<1>=dn/T=O?故送8。

''占(2力-1『7

6.若矩陣有三個線性無關的特征向量，是A的二重特征根，則()

A.x=-2,y=2

B.x=l,y=-l

C.x=2,y=-2

D.x=-Ly=l

參考答案：B

參考解析：

由題意可如矩陣A可以相似對角化，且a=2對應兩個線性無關的特征向量.所以(2E-A)x=0有兩個線性無關

1

的解,即有3f(2E-A1=2,所以，Y2E-A)=1.要使

0

11-1

r(2E-A)=1.則有—=-=—>可再x=2?y=-2?故選C。

**>??

7.下列表述屬于數(shù)學直觀想象素養(yǎng)的是()

①利用圖形描述，分析數(shù)學問題;

②借助空間形式認識事物的位置關系，形態(tài)變化和運動規(guī)律；

③建立形與數(shù)的關系，構建數(shù)學問題直觀模型，探索解決問題的思路；

④在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題建立模型。

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A.??@

B.GXD?

c.?@?

D.?@?

參考答案：A

參考解析：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特

別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形

態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直

觀模型，探索解決問題的思路。④中的描述屬于數(shù)學建模素養(yǎng)。故選A。

8.下列描述為演絳推理的是（）

A.從一般到特殊的推理

B.從特殊到一般的推理

C.通過實驗驗證結論的推理

D.通過觀察猜想得到結論的推理

參考答案：A

參考解析：演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā)，運用邏輯證明或數(shù)學運算，得出特殊事物應遵循的

規(guī)律，即從一般到特殊的推理。歸納推理是由個別、特殊到一般的推理，通過實驗結論和通

過觀察猜想得到結論的推理都是歸納推理。故選A。

二、簡答題（本大題共5小題，每題7分，共35分）

9.一次實踐活動中，某班甲、乙兩個小組各20名同學在綜合實踐基地脫玉米、完成脫粒數(shù)

量（千克）的數(shù)據(jù)如下：

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甲組：57,59,63,63,64,71,71,71,72,75

75,78,79,82,83,83,85,86,86,89

乙組：50,53,57,62,62,63,65,65,67,68

69,73,76,77,78,85,85,88,94,96

問題：

(1)分別計算甲、乙兩組同學脫粒數(shù)量(千克)的中位數(shù)；(2分)

(2)比照甲，乙兩組數(shù)據(jù)，請你給出2種信息，并說明實際意義。(5分)

參考解析：

0=75

(1)根據(jù)中位數(shù)的定義知，甲組脫粒數(shù)量的中位數(shù)為2,乙組脫粒數(shù)量的中位

亞竺35

數(shù)為2。

(2)①甲組同學脫粒數(shù)量的平均值為

(57+59+63+63+64+71+71+71+72+75+75+78+79+82+83+83+85+86+86+89)4-20=74.6,乙組同

學脫粒數(shù)量的平均值為(50+53+57+62+62+63+65+65+67+6869+73+76+77+78+85+85+88+94+96)

+20=71.65。根據(jù)平均數(shù)的大小比較可知，甲組脫粒速度更快。

②根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的波動情況，能夠看出甲組數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，乙組數(shù)據(jù)波動很大。進而可知，甲

組同學的脫粒能力差不多，而乙組同學脫粒能力存在很大的個體差異性。

>+y+l=0,11+」

10.在空間直角坐標系下，試判定直線ll：l，+2y+z+2=°與直線］2：21T

的位置關系，并求這兩條直線間的距離。

(1)求f(x)和g(x)圍成的平面區(qū)域的面積.

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(2)求OWyWf(x),1WXW3,繞y軸旋轉的體積.

參考解析：

ijk

根據(jù)直線的方程可知，直線h的方向向量)=110=(1,-14),直線h的方向向置\=(2.-八).在h中令

121

產(chǎn)0,可得L過點M：=《?】，0,-1；,又b過點M)<1,-1,0),M.W：=(2,一口)?因為混合枳

1-11

=211=-2±0,即向量叫，■門石跖不共面，所以直線h與直線b異面.

2-11

直線h與國線b的公垂線的方向同tl=.x?]=1-I1=(-2.13).閃石=("口)，則兩直線之間的距

離等十向量在向量I萬網(wǎng)上的投影的長度，即"

11.在平面直角坐標系下,

(1)三次多項式函數(shù)的圖象過四個點Pl(0,1),Pl(1,3),P3(-L3),P4(2,15),

求該三次多項式函數(shù)的表達式；(4分)

(2)設Pi(xi,yi)(i=l,2,…，n)是平面上滿足條件xl<x2〈xn的n個點，則由這n

個點所唯?確定的多項式函數(shù)的最高次數(shù)是多少？簡要說明理由。(3分)<p=〃〃X/x2<xn

的n個點，則由這n個點所唯一確定的多項式函數(shù)的最高次數(shù)是多少？簡要說明理由。(3

分)<>

參考解析:

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(】〉設三次多項式的未達式為“X〉*心力X”田a,根據(jù)題速得.e+3???。廠二好博a產(chǎn)L”=2,

<?j-*-a<?|+<r0?3.

町+4%?%+g=15,

a.x-1.a；xl,(x)XX*?2X^-X*14

(2)平面上。個樽坐標不同的西Of一確定的多項式由數(shù)的最高次教罡nd.設多啖itg(x)7.父3?川，一

a~pT：+a,：七?+4：七：+巧七十%=?,.

,小r^s一，、，、-074**'+..XJ.+…+a?xJ+w、+a。=i、一

2*2X2；的酬經(jīng)過P.《x,Y)作1,2,…，n),則有-1?一?一”??！@

%產(chǎn)廠+%內(nèi)7.*?：<+4'.%二1/

是一個關于a(.=0,1,n-l)的非齊次線性方程組,它的系數(shù)距陣港應的行列式為n階登在工隹行列式

因為x；5<…d,所以此行夕斌不等于0?由克拄出去即%該緝上方程組有味一斡.叩存在唯一的一組數(shù)a“?！?…，

M)?用以由這c個0由Of一確東的多場口11料的■高次的是c』。

12.高中數(shù)學課程是培養(yǎng)公民素質的基礎性課程，簡述“基礎性”的含義，并舉例說明。

參考解析：

高中數(shù)學課程的基礎性的具有以下幾點含義。

①高中數(shù)學課程在課程內(nèi)容上包含了數(shù)學中最基本的部分。在義務教育階段之后，為滿足需

求給學生提供更高水平的數(shù)學基礎，面向全體學生提供了學生現(xiàn)階段學習及未來發(fā)展所需要

的數(shù)學基礎知識，為學生的未來發(fā)展奠定基礎。

②高中數(shù)學課程為學生進一步學習提供了選修內(nèi)容。例如，高中數(shù)學設有選修與必修課程,

必修課程是為了滿足所有學生的共同數(shù)學需求，選修系列課程是為了滿足學生的不同數(shù)學需

求，它仍然是學生發(fā)展所需要的基礎性數(shù)學課程。

③高中數(shù)學課程為學生適應未來社會生活，高等教育和職業(yè)發(fā)展等提供必需的數(shù)學基礎。例

如，大學階段理工科類的學生需要更多的數(shù)學知識，而高中數(shù)學課程為大學數(shù)學的學習提供

了必備的基礎知識。

④高中數(shù)學課程也為學生學習其他學科的課程，如高中物理、化學技術等，提供了必要的知

識準備。

13.評價學生的數(shù)學學習應該采用多樣化的方式，請列舉四種不同類型的評價方式。

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參考解析：

數(shù)學學習評價的形式多樣，主要有口頭測驗、書面測驗、開放式問題研究、活動報告、課堂

觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、建立成長記錄袋等。下面列舉幾種不同的評價方式進行闡述。

①口頭測驗，是指在教學過程中教師通過與學生之間的言語互動，及時地了解學生的數(shù)學學

習情況，找出問題并及時糾正。

②書面評語評價，教師對學生的作業(yè)或者其他活動報告所做的書面性的評價。評價形式不僅

僅是分數(shù)或者等級，評語一般以鼓勵為主，用以幫助學生認識與解決問題。

③課后訪談，是指教師通過課后與學生的溝通交流了解學生數(shù)學學習情況的一種評價方式。

這種評價方式可以幫助老師更直接地了解到學生的數(shù)學學習情況

④建立成長記錄袋，了解學生的成長經(jīng)歷，可以有效地幫助他們確立今后的學習目標與方向。

三、解答題(本大題1題，10分)

14.設R2為二維歐式平面，F(xiàn)是R2到R2的映射，如果存在一個實數(shù)0，0</7<1,使得

對于任意的P,QER2,有d(F(P),F(Q))W*d(P,Q),(其中d(P,Q)表示P,

Q兩點間的距離)，則稱F是壓縮映射。

T((x,y))V(x,y)e^2<>

設映射T：R2-R2,-

(1)證明：映射T是壓縮映射；(4分)

(2)設P0=P0(x0,y0)為R2中任意一點，令Pn=T(Pn-1),n=l,2,3,…，證明：n-*~

limg

時，平面點列｛Pn｝收斂，并求is\(6分)

參考解析：

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【解析】(1)證明：設P(“，Y，).Q(0,也〉是R：上任意的兩點，則T(P)=T((X,,y?))=<-xr-i>),

JLi

T(Q)=T(<x^,^>>=<：?*，!.%>?d(T(P),T(Q))

/3

==g3")W(?rJ$J??！鲎?

+gt"=，(尸。，用存在滿足題意的0=；,所以映射T是反硼射。

<2)由于P.=T(P^,j)=T(T(P,j))s-：T"(Pc)s(^7XQ.忸二％=0,吧!y0=0,

點列｛?州城，?(0,0).

vwr|

四、論述題(本大題1小題，15分)

15.函數(shù)是中學數(shù)學課程的主線，請結合實例談談如何用函數(shù)的觀點來認識中學數(shù)學課程中

的方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容。

參考解析：

函數(shù)是中學數(shù)學課程的主線，同時也對應著重要的數(shù)學思想方法，就是函數(shù)與方程的思想方

法。函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題；方程思想是從問

題的數(shù)量關系入手，應用數(shù)學語言將問題中的條件轉化為數(shù)學模型，包括方程、方程組和不

等式、不等式組，然后通過解方程或不等式來解決問題。

首先，函數(shù)與方程，中學數(shù)學課程中一元二次方程的求解問題，可以轉化為對應函數(shù)的零點

問題。方程是利用算術來從數(shù)量關系入手解決問題，函數(shù)是集合間的映射關系，當需要計算

函數(shù)值時，可以利用方程的運算方法；在求解方程時也可以利用函數(shù)的性質和圖象。例如當

y=0時，函數(shù)x的值表示函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，也就是方程的根，那么交點的數(shù)量

就是方程的根的數(shù)量，也是方程的根的判別式的判別目的。

其次，函數(shù)與不等式，用函數(shù)的觀點來看，不等式的解集就是使函數(shù)圖象產(chǎn)f(x)在x軸

上方或下方的x的區(qū)域。在解不等式時可以借助函數(shù)的圖象來理解和運算，也就是經(jīng)典的線

性規(guī)劃問題。

最后，函數(shù)與數(shù)列，等差數(shù)列的通項公式可以看作是關于首項和公差(公比)的一次函數(shù)的

離散化，等差數(shù)列的前n項和公式是二次函數(shù)的離散化，等比數(shù)列的通項公式以及前n項和

第17頁共59頁

公式都是指數(shù)函數(shù)的離散化，因此可以將借助函數(shù)的性質來研究數(shù)列，可以通過函數(shù)圖象和

解析式來求得數(shù)列的某些值。

五、案例分析題(本大題1小題，共20分)

16.案例：下面提供的案例是教師A和教師B在《方程的根與函數(shù)的零點》教學中的“課堂

提問”。

教學環(huán)

教師A教師B

節(jié)

1方.程lnx+2x-6=0是否有實數(shù)根？

1.觀察三組一元二次方程及其相應的二次

概念的2在.初中你是如何判斷一個方程是否有實

函數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)方程的根和函數(shù)圖象與X

引入數(shù)根的？

軸交點之間有何關系嗎？

3.函數(shù)與方程之間有什么關系？

2.函數(shù)的零點如何定義？

概念的4.怎樣定義函數(shù)的零點？3.f(x)=-x2-2x+3的零點是什么？

學習5,函數(shù)的零點是零嗎？4.根據(jù)下列函數(shù)圖象，判斷函數(shù)有幾個零

點？

概念的

6.函數(shù)零點的幾何意義是什么？5.函數(shù)零點的幾何意義是什么？

意義

零點存6.觀察f(x)=-x2-2x+3的圖象，它在［-4,

在性定7.根據(jù)函數(shù)圖象判斷滿足什么條件時函數(shù)-2］上有零點，計算f(-4)和f(-2)的

理的引有零點？乘積，你能發(fā)現(xiàn)這個乘積有什么特點？在

入?yún)^(qū)間［0,2］上是否也具有這種特點？

(教師板書：如果函數(shù)y二f(x)在區(qū)間［a,

(教師板書：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,

b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的一條曲線，

b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且

并且f(a)?f(b)<0,那么函數(shù)y=f

零點存有f(a)?f(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)

(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在

在性定在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c?(a,

(a,b)使得f(c)=0,這個c也就是方

理的學b)使f(c)=0,這個c也就是方程f(c)

程f(x)=0的根)

習=0的根)

7為.何要求函數(shù)的圖象連續(xù)？

8滿.足定理條件的函數(shù)零點是唯一的嗎？

8.能否由“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)

9.滿足什么條件零點唯一？依據(jù)是什么？

有零點”得到“f(a)?f(b)VO”？

第18頁共59頁

9.如果函數(shù)圖象在h,b］上連續(xù)，能否由

?f（b）<0J,判斷函數(shù)在區(qū)間（a,

b）內(nèi)零點只有一個？

例題及

練習、（略）（略）

小結

問題:

（1）請對兩位教師的課堂提問進行評價，并簡述理由；（15分）

（2）請對兩位教師“概念引入”環(huán)節(jié)的課堂提問給出改進建議。（5分）

參考解析：

（1）課堂提問的原則主要有以下八種，分別為：有目的性原則、啟發(fā)性原則、適度性原則、

興趣性原則、循序漸進性原則、全面性原則、充分思考性原則、及時評價性原則。

A教師的課堂提問中遵循了目的性、循序漸進、充分思考性等幾個原則。但是違背了啟發(fā)性、

適度性、全面性、興趣性以及時評性原則。

首先是啟發(fā)性、適度性和全面性原則。教師A提出的問題普遍特點是相對比較難的，比較抽

象，適合于中等及以上的同學，沒有考慮全體學生的水平，所以，違背了適度性和全面性原

則。其次是違背了興趣性原則。教師A在教學中，例子相對比較少，更多的是直接提問知識

層面卜的問題.讓學生直接思考.沒有考慮從學生的興趣出發(fā).調(diào)動學生的積極性°最后是

及時評價性原則。教師A在整個教學中，沒有體現(xiàn)出對學生的回答及時做出評價。

B教師的課堂提問中遵循了目的性、啟發(fā)性、循序漸進性、充分思考性、興趣性、適度性、

全面性等幾個原則。但是沒有遵循及時評價性原則。教師B在整個的教學過程中，能夠充分

的利用例子，通過循序漸進的提問，幫助學生一步一步理解函數(shù)的零點的概念以及方程的根

與函數(shù)的零點之間的關系。

但在提問過程中，B教師沒有對學生的回答及時做出評價。在教學中，對學生的表現(xiàn)進行及

時的評價，這樣才能夠保證學生與教師的快速成長。

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（2）A老師概念引入部分的提問沒有遵循循序漸進性的原則，問題的設置要考慮學生的認

知水平，問題的設置應該由易到難、由簡到繁。對于教師A的建議：應該先提問：同學們，

初中你是如何判斷一個方程有實數(shù)根的？（回顧之前學過的方法）用初中的方法判斷

lnx+2x-6=0是否有實數(shù)根嗎？（引導學生思考方程和函數(shù)之間的關系）

B教師的概念引入雖然給出了三組實例，但還需在函數(shù)的類型上進行改進，不單單只呈現(xiàn)一

元二次方程及其對應的二次函數(shù)，還可以增加一次方程及其對應函數(shù)讓學生進行觀察。

六、教學設計題（本大題1小題，30分）

17.“簡單隨機抽樣（第一課時）”的教學目標設計如下。

目標一：學會從現(xiàn)實生活或其他學科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題，理解隨機抽樣的必要

性；

目標二：結合具體的實際問題情境，體會簡單隨機抽樣的重要性；

目標三：以“問題鏈”的形式理解樣本是否具有代表性。

要求：

（1）請針對上述教學目標，完成下列任務：

①根據(jù)教學目標一，設計兩個問題，并說明設計意圖；（8分）

②根據(jù)教學目標二，給出一個實例，并說明設計意圖；（4分）

③根據(jù)教學目標三，設計“問題鏈〃（至少包含兩個問題），并說明設計意圖。（6分）

（2）請針對“簡單隨機抽樣”的內(nèi)容，回答下列問題：①這節(jié)課的教學重點是什么？（4

分）

②作為高中階段“統(tǒng)計”學習的起始課，其難點是什么？（4分）

③這節(jié)課對后續(xù)哪些內(nèi)容的學習有直接影響？（4分）

第20頁共59頁

參考解析：

（1）①問題一：某校領導要了解全校學生的視力情況（近視和不近視），隨機抽取50名學

生，統(tǒng)計出這50名學生的視力情況，最后估計出全校學生的視力情況。你會設計何種抽樣

方法？你認為這種抽樣方法有什么優(yōu)缺點？在隨機抽取的過程中應該注意什么？

問題二：假設你是一名藥品安全監(jiān)測的工作人員，要對一批藥品進行安全監(jiān)測，你準備怎樣

做？需要對研究對象進行一一調(diào)查嗎？那么，應該怎樣獲取樣本呢？

設計意圖：兩個問題的提出讓學生對于簡單隨機抽樣有一個初步了解，意識到簡單隨機抽樣

在實際生活中的廣泛應用，與我們的生活息息相關。并將抽樣調(diào)查與普查進行對比，引導學

生提出抽樣的必要性。

②實例：經(jīng)消費者反映，某品牌牛奶存在細菌超標問題。針對該問題，食品衛(wèi)生工作人員需

要對該品牌牛奶進行衛(wèi)生達標檢驗。但是，若食品衛(wèi)生工作人員對該品牌所有牛奶進行逐一

檢測，將面臨巨大的工作壓力。因此，食品衛(wèi)生工作人員只隨機抽取該品牌部分牛奶進行衛(wèi)

生檢測。

設計意圖：將實際生活問題作為實例進行教學，不僅可以使學生對簡單隨機抽樣方法有更深

的理解，還可以使其感受在面對總體數(shù)量較多時，簡單隨機抽樣方法的重要性。

③師：在1936年美國總統(tǒng)選舉前，某雜志工作人員做了一次民意測驗,即調(diào)查蘭頓和羅斯福

誰將成為美國的下一屆總統(tǒng)。該調(diào)查者通過電話簿和車輛登記簿上面的名單（只有少數(shù)富人

擁有）給一大批人發(fā)了調(diào)查表，通過分析調(diào)查表數(shù)據(jù)，從而做出預測。

問題一:該雜志工作人員運用了什么抽樣方法？研究的總體和樣本分別是什么？該抽樣方法

具有什么特征？

設計意圖：結合生活實際描述問題情境并設置問題，加深學生對簡單隨機抽樣方法的理解,

使其進一步明確簡單隨機抽樣的特征，并巧妙地為后面問題做鋪墊。

師：該雜志工作人員做出的預測是蘭頓將在選舉中獲勝。但實際情況是，羅斯福在選舉中獲

勝。

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問題二：你知道該雜志的工作人員的預測為什么是錯誤的嗎？分析該二作人員的抽樣樣本可

以發(fā)現(xiàn)什么？該樣木是否具有代表性？

設計意圖：顛覆性的結果，引出抽樣問題。使學生自主思考和探究問題，可以培養(yǎng)學生獨立

思考問題的習慣以及發(fā)現(xiàn)問題的能力。

師：該抽樣樣本中涉及的調(diào)查者是富人階層，只占所有選票中的少數(shù)C所以該工作人員所抽

取的樣本不具有代表性。

問題三：結合上述實例，在運用簡單隨機抽樣方法抽取樣本時，應該注意什么？除此之外,

還應該注意什么？

設計意圖：通過實例使學生理解樣本是否具有代表性的重要性。此外，該問題進一步開拓學

生的思維，從而達到總結出簡單隨機抽樣時需要注意的問題的目的。

(2)①教學重點：了解簡單隨機抽樣方法的意義；理解簡單隨機抽樣方法的定義；掌握簡

單隨機抽樣最常用的兩種方法一一抽簽法和隨機數(shù)法。靈活選用抽樣方法。

②教學難點：理解一些統(tǒng)計名詞；抽簽法和隨機數(shù)法的實施步驟；面對統(tǒng)計數(shù)據(jù)時，正確判

斷所選取的抽樣方法是否合適。

③本節(jié)課是高中階段學習統(tǒng)計學的第一節(jié)課，統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的

學科，它可以為人們制定決策提供依據(jù)。本節(jié)課對于后續(xù)學習用樣本估計總體以及變量的相

關關系有直接影響。

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2018上半年四川教師資格高中數(shù)學學科知識與教學能力真

題及答案

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1.下列命題不正確的是（）

A.有理數(shù)集對于乘法運算封閉

B.有理數(shù)可以比較大小

C.有理數(shù)集是實數(shù)集的子集

D.有理數(shù)集不是復數(shù)集的子集

參考答案：D

參考解析:一個有理數(shù)乘另一個有理數(shù)的積仍然是有理數(shù)，即有理數(shù)對于乘法運算是封閉的,

A項正確。有理數(shù)與數(shù)軸上的點構成單射，任何兩個有理數(shù)都可以比較大小，B項正確。實

數(shù)集包括有理數(shù)集和無理數(shù)集，而實數(shù)集又是復數(shù)集的真子集，所以有理數(shù)集是實數(shù)集的子

集，也是復數(shù)集的子集，故C項正確，D項錯誤。

2.設a,b為非零向量，下列命題正確的是（）

（l）aXh垂直于a：（2）aXh垂直于h：（3）aXh平行于a：⑷aXh平行于he

正確的個數(shù)是（）

A.0個

B.1個

C.2個

C.3個

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參考答案：C

參考解析:本題考查向量積的知識。向量積的定義,設向量C由向量a與b按如下方式確定:

①向量c的模c|=|a||b|sin0,3為向量a與b的夾角;②向量c的方向既垂直于向量a,

又垂直于向量b,且其指向符合右手定則，則向量c叫作向量a與b的向量積,記作c=aXbo

根據(jù)向量積的定義，可知題干中的(1)(2)正確，(3)(4)錯誤。故本題選C。

3.設“X)為開區(qū)間(a,b)上的可導函數(shù)，則下列命題正確的是()

A."X)在(a,b)上必有最大值

B./(x)在(a,b)上必一致連續(xù)

C.f(x)在(a,b)上必有界

D.f(x)在(a,b)上必連續(xù)

參考答案：D

參考解析：根據(jù)微積分的知識，可導的函數(shù)必連續(xù),

所以D項正確下面用函數(shù)*6(0.1)

說明ABC三項都不正第函數(shù)/(x)=:在xe

(0.1)上可導.但它在(0,1)上沒有最大值,也沒有

最小值.即它是無界的.A、C錯誤，下法函數(shù)/(%)

=,在區(qū)間(0,1)上是不一致連續(xù)的：要證函數(shù)

X

在區(qū)間(0,】)上不一致連續(xù),只需證V5

>0,>0.?町w(°，1),且5?町I<6,使

得1tAM)?/(與)?>，即可?取c=」?.當xt=—,

Ln

x=~nwN?)時,有1/(陽)-/(町)I=In-(?

3懵?I

I)I=I>-y?tfc所以函數(shù)/(x)=:在(0/)

上是不一致連續(xù)的.B項悔誤

第24頁共59頁

4.

ab\/abu\fax+6u=〃，

與的秩均為2.則線性方?程組’解的個數(shù)是()(?？?

(cd)\cdu!let?dy=v

A.0個

B.1個

C.2個

參考答案：B

參考解析：n個未知量的非齊次線性方程組AX=h有解的充要條件是其系數(shù)矩陣A的秩等于

其增廣矩陣B的秩。而當r(4)=r(B)=n時，方程組有唯一解，當r(4)=r(B)<n時，方程組有

無窮多個解；當r(4)<r(b)時，方程組無解。本題中，因<span=〃"X/n時，方程組有無窮

多個解；當r(4)〈r(b)時，方程組無解。本題中，因<〉

ax+=u,/ab\

的系數(shù)矩陣與

{er?rfy=v\cdj

增廣矩陣，)的佚均為2.且等尸未知鼠個

數(shù),所以該方程的有唯一解

5.邊長為4的正方體木塊，各面均涂成紅色，將其鋸成64個邊長為1的小正方體，并將它

們攪勻混在一起，隨機抽取一個小正方體，恰有兩面為幻色的概率是()

&

A.T

I

B.T

C.16

3

D.16

參考答案：A

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參考解析：鋸成64個邊長為1的小正方體后，涂色的面有以下幾種情況：涂3面的小正方

休分別在大正方體的8個頂點處，共有8個；涂2面的小正方休分別是大正方休的每條棱的

中間的2個，而大正方體共有12條棱，那么，涂2面的小正方體有2X12=24個；涂1面的

小正方體分別是每個面的中間的4個，而大正方體共有6個面，那么，涂1面的小正方體有

4義6=24個；6個面都沒有涂色的小正方體有64-8-24-24=8個，則隨機抽取一個小正方體,

恰有兩面為紅色的概率是64-8

6.在空間直角坐標系中，拋物柱面y2=2x與平面x-y-2=0的交為（）

A.橢圓

B.兩條平行直線

C.拋物線

D.雙曲線

參考答案：B

參考解析:拋物柱面y2=2x與平面x-y-2=0可看作是xOy平面內(nèi)的曲線y2=2x與直線x-y-2=0

沿平行。軸方向平移得到的面。聯(lián)立方程y2=2x與方程x-y-2=O,消去y得x2-6x+4=0,其

中△=62-4X4Xl=20>0,故在zOy片面內(nèi)曲線y2=2x與直線x-y-2=0的交是兩個點。沿著

平行于2軸的方向平移這兩個點，就得到了兩條平行直線,即拋物柱面y2=2x與平面x-y-2=0

的交為平行于z軸的兩條平行直線。

7.下面不屬于“尺規(guī)作圖三大問題”的是（）

A.三等分任意角

B.作一個立方體使之體積等于已知立方體體積的二倍

C.作一個正方形使之面積等于已知圓的面積

D.作一個正方形使之面積等于已知正方形面積的二倍

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參考答案：D

參考解析：“尺規(guī)作圖三大問題”是指三等分角，即三等分任意角；立方倍積，即作一個立

方體使之體積等于已知立方體體積的二倍；化圓為方，即作一個正方形使之面積等于已知圓

的謠積。

8.下列內(nèi)容屬于高中數(shù)學必修課程內(nèi)容的是（）

A.風險與決策

B.平面向量

C.數(shù)列與差分

D.矩陣與變換

參考答案：B

參考解析：平面向量是高中數(shù)學必修4的內(nèi)容，風險與決策是高中數(shù)學選修4—9的內(nèi)容，

數(shù)列與差分是高中數(shù)學選修4-3的內(nèi)容，矩陣與變換是選修4-2的內(nèi)容。

二、簡答題（本大題共5小題，每題7分，共35分）

ab\

（°存在逆矩陣？并求出其逆矩陣

9.

參考解析：

【解析】令A=（：j,若矩陣4存在逆矩陣，則

有4—儲，故而要求矩陣4的行列式⑷?0，

ab

即I=-ad-fcc/Oo

cd

因為…（:）用一■靜‘

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10.求三次曲面x2-2y2+x2+xy+l=0過點(1,2,2)的切平面的法向量。

參考解析：

求二次曲面J-2)2+/+盯+1=0過點(1,2.

2)的切平面的法向量

【解析】令『(明…)xx2-2/+?*xy+1,WI

3(*，逐)-2x+y,F,(x.y,2)=-4)+xt

/：(孫f.g)=a.曲面過4點的切平面法向景是

(￡(4)/,(4),5(4)),將4點坐標(1,2,2)代

入導函數(shù)中?得F,(Q=4,F,(A)=-7.R(Q=

4,得到切平面的法向量是(4,-7,4)。

11.設acosx+bsinx是R到R的函數(shù),V={acosx+bsinxa,bGR}是函數(shù)集合,對一￡V,

令D/(x)=/'(x),即D將一個函數(shù)變成它的導函數(shù)，證明D是V到V上既單又滿的映射。

參考解析：

［解析)先讓調(diào)射:由題意.令/(*)=??*<*<+

=?/'sin(x+/)eV,Df(x)=//(x)=

J搭?b'cos(x?Mw匕

對任意JX?Isin(x+q)e匕存在?/T+廬?

cos(x+^p)e匕使得DJQsin(x+M=

4r7廬皿(、r),故y到卜是一個滿射。

印證單射：鬟證。是y到『上的單射,只需證對

于任意的叨(*八有旦僅有一個/(￡)與之時應。

顯然，對任意，(航)*班上),行人.)~/(與),

因此D是V到V上的單射。

綜上可知V到V既是單射又是滿射，即D是V到V上既單又滿的映射。

12.簡述確定中學數(shù)學教學方法的依據(jù)。

參考解析：

第28頁共59頁

教學方法是教師引導學生掌握知識、技能，獲得身心發(fā)展而共同活動的方法。選擇中學數(shù)學

教學方法的依據(jù)：（D依據(jù)教學的目的和任務選擇教學方法；（2）根據(jù)教材內(nèi)容的特點選擇教

學方法；（3）依據(jù)學生的實際情況選擇教學方法；（4）依據(jù)教師本身的素質選擇教學方法；（5）

依據(jù)各種教學方法的職能、適用范圍和使用條件選擇教學方法；（6）依據(jù)教學時間和效率的

要求選擇教學方法。

13.簡述你對《普通高中數(shù)學課程標準》（實驗）中“探索并掌握兩點間的距離公式”這一目

標的理解。

參考解析：

“探索”是過程與方法目標行為動詞，“掌握”是知識與技能目標行為動詞?！疤剿骱驼莆?/p>

兩點間距離公式”這一目標的設置，要求學生不僅要記住該公式的內(nèi)容，還需要掌握該公式

的推導過程，聯(lián)系知識間的內(nèi)在關系，體會其中的數(shù)學思想，為進一步的學習提供必要的數(shù)

學準備。

探索并掌握兩點間的距離公式有助于學生認識數(shù)學內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。兩點間的距離公式

是中學數(shù)學學習的主要內(nèi)容之一，在高中數(shù)學中占有重要地位。探索兩點間的距離公式的過

程中需要數(shù)軸、直角坐標系、直隹三角形、勾股定理等知識，而兩點間的距離公式又是幾何

中最簡單的一種距離，點到直線的距離、兩條平行直線間的距離、兩平行平面間的距離、異

面直線公垂線段的長度等計算最終都可以歸結為兩點間的距離。學生經(jīng)歷探索并掌握兩點間

的距離公式的學習過程，能夠更好地體會并理解這些知識點的內(nèi)在聯(lián)系，這對學生構建知識

體系，增強學習數(shù)學的信心很有幫助。

探索并掌握兩點間的距離公式有助于學生體會數(shù)形結合思想，形成正確的數(shù)學觀。探索兩點

間的距離公式經(jīng)歷將幾何問題代數(shù)化的過程，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關系。兩點問

的距離公式是將幾何問題轉化為代數(shù)問題的重要橋梁和工具。利用距離公式分析代數(shù)結果的

幾何意義，也有助于最終解決幾何問題。引導學生經(jīng)歷這樣的數(shù)形結合的過程，對發(fā)展學生

的推理能力很有益處。

三、解答題（本大題1題，10分）

14.設f（x）是R上的可導函數(shù)，且f（x）＞0。若f'（x）-3x-—2f（x）=0,且f（0）=L求f（x）.

參考解析:

第29頁共59頁

【解析】由/n*7（x）=o=>y（x）=3x7（*）

=3/,兩邊分別對X進行枳分?得

dx=13?(h.可得Il/(X)=』+C,故

Jfix)

/<x)=e'"c=C|e*'□

乂因為｛0）=IW。）=G=1,故，（x）=e。

四、論述題（本大題1小題，15分）

15.論述在高中數(shù)學教學中如何理解與處理好面向全體學生與關注學生個體差異的關系。

參考解析：

教學活動應努力使全體學生達到課程目標的基本要求，同時要關注學生的個體差異，促進每

個學生在原有基礎上的發(fā)展。

①對于學習有困難的學生,教師要給予及時的關注與幫助,鼓勵他們主動參與數(shù)學學習活動,

并嘗試用自己的方式解決問題、發(fā)表自己的看法；耍及時地肯定他們的點滴進步，耐心地引

導他們分析產(chǎn)生困難或錯誤的原因，并鼓勵他們自己去改正，從而增強學習數(shù)學的興趣和信

心。對于學有余力并對數(shù)學有興趣的學生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導

他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學才能。

在教學活動中，要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，恰當評價學生在解決問題過程中所表

現(xiàn)出的不同水平。問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等要盡可能地讓所有學生

都能主動參與，提出各自解決問題的策略。引導學生通過與他人的