四年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)串講

四年級(jí)上冊(cè)奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)串講

第一講速算與巧算(三)

例1計(jì)算9+99+999+9999+99999

解：在涉及所有數(shù)字都是9的計(jì)算中，常使用湊整法.例如將999化成1000—

1去計(jì)算.這是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的一種技巧.

9+99+999+9999+99999

=(10-1)+(100-1；+(1000-1)+(10000-1)

+(100000-1)

=10+100+1000+10000+100000-5

=111110-5

=111105.

例2計(jì)算199999+19999+1999+199+19

解：此題各數(shù)字中，除最高位是1外，其余都是9,仍使用湊整法.不過(guò)這里

是加1湊整?(如199+1=200)

199999+19999+1999+199+19

二(19999+1)十(19999+1)十(1999十1)十(199十D

+(19+1)-5

=200000+20000+2000+200+20-5

=222220-5

=22225.

例3計(jì)算(1+3+5+???+1989)-(2+4+6+???+1988)

解法1:(1+3+5+???+1989)—(2+4+6???+1988)

=1+3+5+…+1980-2-4-6…-1988

=1+(3-2)+(5-4)+-+(1989—1988)

=1+1+1+—+1

共有1988+2=994個(gè)1

=995.

解法2:先把兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)分別相加，再相減.第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的數(shù)相加的

結(jié)果是：

___________________1990_

——1990—?

1990-

________1990________

1+3+5+…+993+995+997+…+1985+1987+1989

從1到1989共有995個(gè)奇數(shù)，湊成497個(gè)1990,還剩下995,第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的

數(shù)相加的結(jié)果是：

1990

’1990

’1990~k

2+4+6+，,,+594+96+,,,+1984+1986+1998

從2到1988共有994個(gè)偶數(shù)，湊成497個(gè)1990.

1990X497+995—1990X497=995.

例4計(jì)算389+387+383+385+384+386+388

解法1：認(rèn)真觀察每個(gè)加數(shù)，發(fā)現(xiàn)它們都和整數(shù)390接近，所以選390為基準(zhǔn)

數(shù).

389+387+383+385+284+386+388

=390X7—1—3—7—5——6—4—

=2730—28

=2702.

解法2:也可以選380為基準(zhǔn)數(shù)，則有

389+387+383+385+384+386+388

=380X7+9+7+3+5+4+6+8

=2660+42

二2702.

例5計(jì)算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)+6

解：認(rèn)真觀察可知此題關(guān)鍵是求括號(hào)中6個(gè)相接近的數(shù)之和，故可選4%0為

基準(zhǔn)藪

(4942+4943+4938+4939+4941+4943)+6

=(4940X6+2+3—2—1+1+3)+6

二(4940X6+6)：6(這里夜有北4940X6先異出米，而是運(yùn)

二4940X6+6+6+6運(yùn)用了除法中的巧算方法)

=4940+1

=4941.

例6計(jì)算54+99X99+45

解：此題表面上看沒(méi)有巧妙的算法，但如果把45和54先結(jié)合可得99,就可

以運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)算了.

54+99X99+45

=(54+45)+99X99

=99+99X99

=99X(1+99)

=99X100

=9900.

例7計(jì)算9999X2222+3333X3334

解：此題如果直接乘，數(shù)字較大，容易出錯(cuò).如果將9999變?yōu)?333X3,規(guī)

律就出現(xiàn)了.

9999X2222+3333X3334

=3333X3X2222+3333X3334

二3333X6666+3333X3334

=3333X(6666+3334)

=3333X10000

=33330000.

例81999+999X999

解法1:1999+999X999

=1000+999+999X999

=1000+999X(1+999)

=1000+999X1000

=1000X(999+1)

=1000X1000

=1000000.

解法2:1999+999X999

=1999+999X(1000-1)

=1999+999000-999

=(1999-999)+999000

=1000+999000

=1000000.

例9求99…99X99…99+199…9￡所得結(jié)果末尾

1988/19881^9

有多少個(gè)零.

99,?,99x99…99+199…99

、?，、丁/、???w???/

1988個(gè)J5W/

99-99X(100-00-1)+1”二經(jīng)

1988個(gè)

99…9900…00—99…99+199…99

1988個(gè)1988個(gè)1988個(gè)1988個(gè)

99…9900…00+100…00

1—.?■?*'—'—r

1988個(gè)1988個(gè)1一個(gè)

100—0000-00

1988個(gè)

=1Q0…Q0

'3976^

總之，要想在計(jì)算中達(dá)到準(zhǔn)確、簡(jiǎn)便、迅速，必須付出辛勤的勞動(dòng)，要多

練習(xí)，多總結(jié)，只有這樣才能做到熟能生巧.

習(xí)題一

1.計(jì)算899998+89998+8998+898+88

2.計(jì)算799999+79999+7999+799+79

3.計(jì)算(1988+1986+1984+…+6+4+2)-(1+3+5+…+1983-

1985+1987)

4.計(jì)算1—2+3—4+5—6+…+1991—1992+1993

5.時(shí)鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2點(diǎn)鐘敲2下,3點(diǎn)鐘敲3下,依次類(lèi)推.從1點(diǎn)到12點(diǎn)這

12個(gè)小時(shí)內(nèi)時(shí)鐘共敲了多少下？

6.求出從1?25的全體自然數(shù)之和.

7.計(jì)算1000+999—998—997+996+995—994—993+…+108+107—

106—105+104+103—102—101

8.計(jì)算92+94+89+93+95+88+94+96+87

9.計(jì)算(125X99+125)X16

10.計(jì)算3X999+3+99X8+8+2X9+2+9

11.計(jì)算999999X78053

12.兩個(gè)10位數(shù)和9999999999的乘積中，有幾個(gè)數(shù)字是奇數(shù)?

13.已知被乘數(shù)是咫S:8,乘數(shù)是9!99…9,它們的積是多少？

1993個(gè)8199?F9

習(xí)題一解答

1.利用湊整法解?.

899998+89998+8998+&98+S8

=(899998+2)+(89998+2)+(8998+2)+(898+2)(88+2)-

10

=900000+90000+9000+900+90-10

=999980.

2.利用湊整法解.

799999+79999+7999+799+79

=800000+80000+8000+800+80-5

=888875.

3.(1988+1986+1984+…+6+4+2)-(1+3+5+…+1983+1985+

1987)

=1988+1986+1984+…+6+4+2-b3-5…

-1983-1985-1987

=(1988-1987)+(1986-1985)+???+(6-5)+(4-3)+(2-1)

=994.

4.1-2+3-4+5-6+…+1991-1992+1993=1+(3-2)+(5-4)+…

+(1991-1990)+(1993-1992)

=1+1X996

=997,

5.1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12

=13X6=78(5),

6.1+2+3+....+24+25

二(1+25)+(2+24)+(3+23)+…+(11+15)+(12

+14)+13

=26X12+13=325.

7.解法1:1000+999—998—997+996+995—994-993+…+108+107—

106—105+104+103—102—101

二(1000+999—998—997)+(996+995—994

-993)+…+(108+107—106—105)+(104

+103—102—101)

=4+4++一4

2訪《

=4X27S

=900.

解法2:原式二(1000—998)+(999—997)+(104—102)

+(103—101)

=2X450

=900.

解法3:原式=1000+(999—998—997+996)+(995—994

-993+992)+???+(107—106—105+104)

+(103-102—101+100)-100

=1000—100

=900.

8.92+94+89+93+95+88+94+96+87

-90X9+8+4-1+8+5-2+4+6-3

=810+18=828.

9.(125X99+125)X16

=125X(99+1)X16

=125X100X8X2

=125X8X100X2

=200000.

10.3X999+3+99X8+8+2X9+2+9

=3X(999+1)+8X(99+1)+2X(9+1)+9

=3X1000+8X100+2X10+9

=3829.

11.999999X78053

=(1000000—1)X78053

=78053000000-78053

=78052921947.

12.1111111111X9999999999

=1111111111X(10000000000—1)

=11111111110000000000—1111111111

=11111111108888888889.

這個(gè)積有10個(gè)數(shù)字是奇數(shù).

13.888-8X999…9=888-8X(100-0—1)

199rh7訴1993^

=888,?8000…0—888…8

TroV1993個(gè)199軒

=7111-12.

［誠(chéng)個(gè)不標(biāo)

第二講速算與巧算(四)

例1比較下面兩個(gè)積的大?。?/p>

A=987654321x123456789,

B=987654322x123456788.

分析經(jīng)審題可知A的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字小

1,但A的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字比B的第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字大L所以不經(jīng)計(jì)

算，憑直接觀察不容易知道A和B哪個(gè)大.但是無(wú)論是對(duì)A或是對(duì)B,直接把兩個(gè)因

數(shù)相乘求積又太繁，所以我們開(kāi)動(dòng)腦筋，將A和B先進(jìn)行恒等變形，再作判斷.

解：A=987654321x123456789

=987654321X(123456788+1)

=987654321X123456788+987654321.

B=987654322x123456788

=(987654321+1)X123456788

=987654321X123456788+123456788.

因?yàn)?8765432D123456788,所以A>B.

例2不用筆算，請(qǐng)你指出下面哪道題得數(shù)最大，并說(shuō)明理由.

241X249242X248243X247

244X246245X245.

解：利用乘法分配律，將各式恒等變形之后，再判斷.

241X249=(240+1)X(250-1)=240X250+1X9;

242X248=(240+2)X(250—2)二240X250+2X8;

243X247=(240+3)X(250—3)=240X250+3X7;

244X246=(240+4)X(250—4)=240X250+4X6;

245X245=(240+5)X(250—5)=240X250+5X5.

恒等變形以后的各式有相同的部分240X250,乂有不同的部分1X9,

2X8,3X7,4X6,5X5,由此很容易看出245X245的積最大.

一般說(shuō)來(lái)，將一個(gè)整數(shù)拆成兩部分(或兩個(gè)整數(shù))，兩部分的差值越

小時(shí)，這兩部分的乘積越大.

如：10=1+9=2+8=3+7=4+6=5+5

則5X5=25積最大.

例3求1966、1976、1986、1996,2006五個(gè)數(shù)的總和.

解：五個(gè)數(shù)中，后一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大10,可看出1986是這五個(gè)數(shù)的平

均值，故其總和為：

1986X5=9930.

例42、4、6、8、10、12…是連續(xù)偶數(shù),如果五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和是320,求它

們中最小的一個(gè).

解：五個(gè)連續(xù)偶數(shù)的中間一個(gè)數(shù)應(yīng)為320+5=64,因相鄰偶數(shù)相差2,故

這五個(gè)偶數(shù)依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.

總結(jié)以上兩題，可以概括為巧用中數(shù)的計(jì)算方法三個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間一

個(gè)數(shù)為首末兩數(shù)的平均值；五個(gè)連續(xù)自然數(shù)，中間的數(shù)也有類(lèi)似的性質(zhì)一它

是五個(gè)自然數(shù)的平均值如果用字母表示更為明顯，這五個(gè)數(shù)可以記作：x~2、

x-hx、x+1、x+2.如此類(lèi)推，對(duì)于奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)，最中間的數(shù)是所有

這些自然數(shù)的平均值.

如：對(duì)于2n+l個(gè)連續(xù)自然數(shù)可以表示為：x—n,x—n+l,x-n+2,…，

x—1,x,x+l,...x+n—l,x+n,其中x是這2n+l個(gè)自然數(shù)的平均值.

巧用中數(shù)的計(jì)算方法，還可進(jìn)一步推廣，請(qǐng)看下面例題.

例5將1?1001各數(shù)按下面格式排列：

-891011121314

1516171?192021

222324西262728

99599699799899910001001

一個(gè)正方形框出九個(gè)數(shù)，要使這九個(gè)數(shù)之和等于：

①1986,②2529,③1989,能否辦到？如果辦不到，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：仔細(xì)觀察，方框中的九個(gè)數(shù)里，最中間的一個(gè)是這九個(gè)數(shù)的平均值，

即中數(shù).又因橫行相鄰兩數(shù)相差L是3個(gè)連續(xù)自然數(shù)，豎歹U3個(gè)數(shù)中，上下兩數(shù)

相差7.框中的九個(gè)數(shù)之和應(yīng)是9的倍數(shù).

①1986不是9的倍數(shù)，故不行；

②2529+9=281,是9的倍數(shù)，但是281+7=40X7+1,這說(shuō)明281在題中

數(shù)表的最左一列，顯然它不能做中數(shù)，也不行；

③1989-9二221,是9的倍數(shù)，且221+7=31X7+4,這就是說(shuō)221在數(shù)表

中第四列，它可做中數(shù).這樣可求出所框九數(shù)之和為1989是辦得到的，且最大的

數(shù)是229,最小的數(shù)是213.

這個(gè)例題是所謂的“月歷卡”上的數(shù)字問(wèn)題的推廣.同學(xué)們，小小的月歷卡

上還有那么多有趣的問(wèn)題呢!所以平時(shí)要注意觀察，認(rèn)真思考，積累巧算經(jīng)驗(yàn).

習(xí)題二

1.右圖的30個(gè)方格中，最上面的一橫行和最左面的一豎列的數(shù)已經(jīng)填好，

其余每個(gè)格子中的數(shù)等于同一橫行最左邊的數(shù)與同一豎列最上面的數(shù)之和:如

方格中a=14+17=31).右圖填滿(mǎn)后，這30個(gè)數(shù)的總和是多少？

101113151719

12

14

6

18

2.有兩個(gè)算式：①98765X98769,

②98766X98768,

請(qǐng)先不要計(jì)算出結(jié)果，用最簡(jiǎn)單的方法很快比較出哪個(gè)得數(shù)大，大多少?

3.比較568X764和567X765哪個(gè)積大？

4.在下面四個(gè)算式中，最大的得數(shù)是多少？

①1992X1999+1999

②1993X1998+1998

③1994X1997+1997

④1995X1996+1996

5.五個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是85,求其中最大和最小的數(shù).

6.45是從小到大五個(gè)整數(shù)之和，這些整數(shù)相鄰兩數(shù)之差是3,請(qǐng)你寫(xiě)出這五

個(gè)數(shù).

7.把從1到100的自然數(shù)如下表那樣排列.在這個(gè)數(shù)表里，把長(zhǎng)的方面3個(gè)

數(shù)，寬的方面2個(gè)數(shù)，一共6個(gè)數(shù)用長(zhǎng)方形框用起來(lái)，這6個(gè)數(shù)的和為81,在數(shù)表

的別的地方，如上面一樣地框起來(lái)的6個(gè)數(shù)的和為429,問(wèn)此時(shí)長(zhǎng)方形框子里最

大的數(shù)是多少？

1234567

891011121314

15161718192021

22232425262728

…一一一...一■-

9798

99100

習(xí)題二解答

1.先按圖意將方珞填好，再仔細(xì)觀察，找出格中數(shù)字的規(guī)律進(jìn)行巧算.

解法1：

101113151719

12X61211+1213+1215+1217+1219+12

14X6M11+1113+1415+1417+1419+11

16X61611+1613+1615+1617+1619+16

18X61811+1813+1815+1817+18m±i8

11X513X515X517X519X5

先算每一橫行中的偶數(shù)之和；(12+14+16+18)X6=360.

再算每一豎列中的奇數(shù)之和:

(11+13+15+17+19)X5=375

最后算30個(gè)數(shù)的總和=10+360+375=745.

解法2:把每格的數(shù)算出填好.

101113151719

122325572931

142527293133

162729313335

1829:H333537

先算出10+11+12+13+14

+15+16+17+18+19=145,

再算其余格中的數(shù).經(jīng)觀察可以列出下式:

(23+37)+(25+35)X2

+(27+33)X3+(29

+31)X4

=60X(1+2+3+4)

=600

最后算總和：

總和=145+600=745.

2.①98765X98769

=98765X(98768+1)

=98765X98768+98765.

②98766X:98768

=(98765+1)X98768

二98765X98768+98768.

所以②比①大3.

3.同上題解法相同：568X764>567X765.

4.根據(jù)“若保持和不變，則兩個(gè)數(shù)的差越小,積越大”，則1996X1996=

3984016是最大的得數(shù).

5.85+5=17為中數(shù)，則五個(gè)數(shù)是：13、15、17、19、21最大的是21,最小

的數(shù)是13.

6.45+5=9為中數(shù),則這五個(gè)數(shù)是：3,6,9,12,15.

7.觀察已框出的六個(gè)數(shù)，10是上面一行的中間數(shù)，17是下面一行的中間

數(shù)，10+17=27是上、下兩行中間數(shù)之和.這個(gè)中間數(shù)之和可以用81+3=27求

得.

利用框中六個(gè)數(shù)的這種特點(diǎn)，求方框中的最大數(shù).

429+3=143

(143+7)+2=7575+1=76

最大數(shù)是76.

第三講定義新運(yùn)算

我們學(xué)過(guò)的常用運(yùn)算有：+、-、X、+等.

如：2+3=5

2X3=6

都是2和3,為什么運(yùn)算結(jié)果不同呢?主要是運(yùn)算方式不同，實(shí)際是對(duì)應(yīng)法

則不同.可見(jiàn)一種運(yùn)算實(shí)際就是兩個(gè)數(shù)與一個(gè)數(shù)的一種對(duì)應(yīng)方法，對(duì)應(yīng)法則不同

就是不同的運(yùn)算.當(dāng)然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則應(yīng)該是對(duì)任意兩個(gè)數(shù)，通過(guò)這個(gè)法則都有

一個(gè)唯一確定的數(shù)與它們對(duì)應(yīng).只要符合這個(gè)要求，不同的法則就是不同的運(yùn)

算.在這一講中，我們定義了一些新的運(yùn)算形式，它們與我們常用的“+”，

”運(yùn)算不相同，

我們先通過(guò)具體的運(yùn)算來(lái)了解和熟悉“定義新運(yùn)算”.

例1設(shè)a、b都表示數(shù)，規(guī)定aZ\b=3xa—2xb,

①求3Z\2,2A3;

②這個(gè)運(yùn)算有交換律嗎?

③求(1746)Zk2,17A(6A2);

④這個(gè)運(yùn)算有結(jié)合律嗎？

⑤如果已知《△上工求b.

分析解定義新運(yùn)算這類(lèi)題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運(yùn)算的本

質(zhì)是：用運(yùn)算符號(hào)前面的數(shù)的3倍減去符號(hào)后面的數(shù)的2倍.解：①3Z\2=3X

3-2X2=9-4=5

2A3=3X2-2X3=6-6=0.

②由①的例子可知“△”沒(méi)有交換律.

③要計(jì)算(1746)42,先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：1746=3X17-2X6=

39;再計(jì)算第二步

39A2=3X39-2X2=113,

所以(I7Z\6)ZX2=113.

對(duì)于廣△(6A2),同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，6A2=3X6-2X2=14,其次

17A14=3X17-2X14=23,

所以17Z\(642)=23.

④由③的例子可知“△”也沒(méi)有結(jié)合律.⑤因?yàn)?Z\b二3X4-2Xb=12-2b,

里K么12—2b=2,角星出b=5.

例2定義運(yùn)算※為aXb=aXb-(a+b),①求5X7,7X5;

②求?！！猓?12派3)派4;

③這個(gè)運(yùn)算“派”有交換律、結(jié)合律嗎?④如果3派(5派2=3,求x.

解：①5X7=5X7-(5+7)=35-12=23,7^5=7X5-(7+5)=

35-12=23.

②要計(jì)算口※(3X4),先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，有：3^4=3X4-(3+4)

=5,再計(jì)算第二步12X5=12X5-(12+5)=43,

所以方※(3※4)=43.

對(duì)于(12派3)派4,同樣先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的數(shù)，12X3=12X3-(12+3)=

21,其次

21X4=21義4-(21+4)=59,所以(口※3)派4=59.③由于aXb二a

xb-(a+b);

b>^a=bxa-(b+a)

=axb-(a+b)(普通加法、乘法交換律)

所以有a※加bXa,因此“※”有交換律.

由②的例子可知，運(yùn)算“派”沒(méi)有結(jié)合律.

@5x=5x-(5+x)=4x-5;

3X(5Xx)=3X(4x-5)

=3(4x-5)-(3+4x-5)

=12x-15-(4x-2)

=8x-13

那么8x-13=3

解出x=2.

例3定義新的運(yùn)算al±lb=axb+a+b.

①求6田2,2田6;

②求(1田2)田3,1田(2田3);

③這個(gè)運(yùn)算有交換律和結(jié)合律嗎？

解:①6田2=6X2+6+2=20,

2田6=2X6+2+6=20.

②(1田2)IB3=(1X2+1+2)田3

=5田3

=5X3+5+3

=23

1田（2田3）=1田（2X3+2+3）

=1+11

=1X1+1+11

=23.

③先看“田”是否滿(mǎn)足交換律：

a+b=axb+a+b

b+a=bxa+b+a

二aXb+a+b（普通乘法與加法的交換律）

所以a田b=b田a,因此田滿(mǎn)足交換律

再看“田”是否滿(mǎn)足結(jié)合律：

a田b）田c=（aXb+a+b）田c

=（axb+a+b）xc+axb+a+b+c

二abc+ac+bc+ab+a+b+c.

a田（b田c）二a田（bXc+b+c）

=ax（bxc+b+c）+a+bxc+b+c

=abc+ab+ac+a+bc+b+c

二abc+ac+bc+ab+a+b+c.（普通加法的交換律）

所以（a田b）④c=a田（b田c）,因此“田”滿(mǎn)足結(jié)合律

說(shuō)明：④對(duì)于普通的加法不滿(mǎn)足分配律，看反例：

1田（2+3）=1田5=1X5+1+5=11;

1④2+1④3=1X2+1+2+1X3+1+3

=5+7=12,

因此1田（2+3）Wl田2+1田3.

例4有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)“四”，使下列算式成立：24=8,5年

3=13,3X5=11,9X7=25,求7X3=?

解：通過(guò)對(duì)2@4=8,5X3=13,3X5=-ll,9②7=25這幾個(gè)算式

的觀察，找到規(guī)律:

aXb=2aXb,因止匕7兇3=2X7+3=17.

例5x、y表示兩個(gè)數(shù)，規(guī)定新運(yùn)算“*”及如下：x*產(chǎn)mx+ny,xA

y=kxy,其中m、n、k均為自然數(shù)，已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)

*3的值.

分析我們采用分析法，從要求的問(wèn)題入手，題目要求1A2)*3的值，首先

我們要計(jì)算必2,根據(jù)“△”的定義：Q2=kXlX2=2k,由于k的值不知道，

所以首先要計(jì)算出k的值.k值求出后，1A2的值也就計(jì)算出來(lái)了，我們?cè)O(shè)

2=a.

(lA2)*3=a*3,按的定義：a*3=ma+3n,在只有求出m、n時(shí)，我們

才能計(jì)算a*3的值.因此要計(jì)算(142)*3的值，我們就要先求出k、m、n的

值.通過(guò)1*2=5可以求出m、n的值，通過(guò)(2*3)44=64求出k的值.

解：因?yàn)?*2=mxl+nx2=m+2n,所以有m+2n

=5.又因?yàn)閙、n均為自然數(shù)，所以解出：

V-215*ln-1

①當(dāng)m=l,n=2時(shí)：

(2*3)A4=(1X2+2X3)A4

=8A4=kx8x4=32k

有32k=64,解出k=2.

②當(dāng)m=3,n=l時(shí):

(2*3)A4=(3X2+1X3)A4

=9A4=kx9x4=36k

圖——

有36k=64,解出觴國(guó)標(biāo)?這與k是自然數(shù)矛盾，因此m=3,n=l,

k=1（這組值應(yīng)舍去

所以m=l,n=2,k=2.

(1A2)*3=(2X1X2)*3

=1X4+2X3

在上面這一類(lèi)定義新運(yùn)算的問(wèn)題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點(diǎn)不

放，在計(jì)算時(shí)，嚴(yán)格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個(gè)值得注意的問(wèn)題是：定

義一個(gè)新運(yùn)算，這個(gè)新運(yùn)算常常不滿(mǎn)足加法、乘法所滿(mǎn)足的運(yùn)算定律，因此在

沒(méi)有確定新運(yùn)算是否具有這些性質(zhì)之前，不肯嶇用這些運(yùn)算律來(lái)解題.

習(xí)題三

1.axb表示a的3倍減去b口碌，列如：

I?2=1X3-2X1=2,根據(jù)以上的規(guī)定,

計(jì)算：①10*6②7*（2*1）.

2定嫌孰所彳

①求2日（3日4）的值；

②若x04=l.35,則x二？

3.有一個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)。，使卜列算式成立:

1234711516十34的估

23659456742fl5

4.定義兩種運(yùn)算“田，“區(qū)”，對(duì)于任意兩個(gè)整數(shù)a、b,

a+b=a+b-1,a區(qū)b=aXb-l,

①計(jì)算4區(qū)((6田8)田(3田5))的值；

②若x田(Xx4)=30,求x的值。

5.對(duì)于任意的整數(shù)x、y,定義新運(yùn)算“△”，

6XxXy

3.?乂.-“(其中m是一個(gè)確定的整數(shù)),

mXx+zXy

如果1/\2=2,則22\9二？

6.對(duì)于數(shù)a、b規(guī)定運(yùn)算為aVb=(a+l)x(l-b),若

等式(aVa)▽(aT)=(a+l)▽(aVa)成立，求a的值.

7.表示一種運(yùn)算符號(hào)，它的含義是：

可?:高西

112

己知2"岡+西E?產(chǎn)998*1999的值.

8激=￡.在※%)~6中，求的值

9.規(guī)定a4b=a+(a+l)+(a+2)+...+(a+b-l),(a、b均為自然數(shù)，b>

a)如果xZ^10=65,那么x二？

10.我們規(guī)定：符號(hào)。表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運(yùn)算，例如：5°3=3

5=5,符號(hào)△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運(yùn)算，例如：5/\3二32\5二3,計(jì)算：

卜6昌巾62嗚

「百僧。225)

習(xí)題三解答

1解，010*6=10X3-6X1=30-3=27

2乂3-1'斗

@7*(2*1)-7*

-7X3-55X^

2

1825.

2.解:20(304)?207

2^1

二3

②按照規(guī)定的運(yùn)算：

翻照規(guī)定的運(yùn)算：X4=?,所以有噤自意35,解出產(chǎn)14

通過(guò)對(duì)34711516

3.解:L20<*■*2E■w0

236*5945r6742

這幾個(gè)算式的觀察，找到規(guī)律為：2。白■亨

acaXc

因此士3。?47

11555

4.解：4@[(6田8)田(3田5]

=4[(6+8+1)田(3+5-1]

=4X[13田7]

=4X(13+7-1)

=4X19

=4X19-1

=75.

②因?yàn)閤田(xX4)=x出(4xT)

=x+4x-l-l

=5x-2

所以有5x-2=30,解出x=6.4.

6X1X212

5.解：按照規(guī)定的運(yùn)算1A2

mX14-2X2m+4

所以有急=2,解出皿于是,6X2X95410

2A9*-----------------=4-

2X2+2X91111

6.解：先看等式(aVa)V(a+l)=(a+l)V(aVa)的

左邊：

(aVa)?a+l)=[(a+1)x(1-a)]v(a+))

=(l-a2)(a+l)

-(l-a2+l)x[l-(a+0]

=a2+2a

再看等式(aVa)V(a+l)=(a+l)V(aVa)的右邊:

(a+l)V(aVaXa+l)v[(a+l)x(l-a)]

=(a+l)V(l-a2)

<a+l+l)x[l《-創(chuàng)

=a3+2a2

所以有a，-2a=a3+2a2

因此a，+a=0

因?yàn)閍:20,要使a?+a=0,只有a=0,因此a=0.

1

7解,由于2*1。

2X1(27X(1+A)

11

-2*X1+A)*

1I2

小所以人有伺一2+-X-H--A--)--3

解出A二L

11

因此1998*1999?1998X1999*(1998*1)X(1999+1)

1998X199941999X2000

11^11

1998-1999*1999-2000

11

1998*2000

1.

199R0001

8.解：由于

族（臻1）=四=乂※1.2二;二;-|

因此出|,6解出xT）3

9.解：按照規(guī)定的運(yùn)算：

x△1O=x+(x+1)+(x+2)+…+(x+10-1

=10x+(l+2+3+…+9)=1Ox+45

因此有10x+45=65,解出x=2.

060a.(062嵋)

10.解：要計(jì)柒的值,

03△焉+E0225

99){1061

.179173434342

我們先看分子：06o—--O—------0,■-■

5152513'

八…J35A231151151155

0.62一■-----△----------

338331841651848

3413433331

再看分母：03A一?一△-------△------

9939999993

23725

—。2.25，

第四講等差數(shù)列及其應(yīng)用

許多同學(xué)都知道這樣一個(gè)故事：大數(shù)學(xué)家高斯在很小的時(shí)候，就利用巧妙

的算法迅速計(jì)算出從I到100這100個(gè)自然數(shù)的總和.大家在佩服贊嘆之余，有沒(méi)

有仔細(xì)想一想，高斯為什么算得快呢？當(dāng)然，小高斯的聰明和善于觀察是不必

說(shuō)了，往深處想，最基本的原因卻是這100個(gè)數(shù)及其排列的方法本身具有極強(qiáng)的

規(guī)律性一一每項(xiàng)都比它前面的一項(xiàng)大1,即它們構(gòu)成了差相等的數(shù)列，而這種數(shù)

列有極簡(jiǎn)便的求和方法.通過(guò)這一講的學(xué)習(xí)，我們將不僅掌握有關(guān)這種數(shù)列求和

的方法，而且學(xué)會(huì)利用這種數(shù)列來(lái)解決許多有趣的問(wèn)題.

一、等差數(shù)列

什么叫等差數(shù)列呢?我們先來(lái)看幾個(gè)例子，

①1,2,3,4,5,6,7,8,9,…

②1,3,5,7,9,11,13.

③2,4,6,8,10,12,14-

④3,6,9,12,15,18,21.

@100,95,90,85,80,75,70.

@20,18,16,14,12,10,8.

這六個(gè)數(shù)列有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)固定的數(shù)，像這樣

的數(shù)列就稱(chēng)為等差數(shù)列.其中這個(gè)固定的數(shù)就稱(chēng)為公差，一般用字母d表示，

如：

數(shù)列①中，d=2T二3-2=4-3二…二1;

數(shù)列②中，d=3-l=5-3=-=13-ll=2;

數(shù)列⑤中，d=100-95=95-90=-=75-70=5;

數(shù)列⑥中,d=20-18=18-16=-=l0-8=2.

例1下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列?若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說(shuō)明

理由.

①6,10,14,18,22,…，98;

@100,95,90,85,80,75,70.

@20,18,16,14,12,10,8.

這六個(gè)數(shù)列有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即相鄰兩項(xiàng)的差是一個(gè)固定的數(shù)，像這樣

的數(shù)列就稱(chēng)為等差數(shù)列.其中這個(gè)固定的數(shù)就稱(chēng)為公差，一般用字母d表示，

如：

數(shù)列①中，d=2-l=3-2=4-3=^*=l;

數(shù)列②中，d=3-l=5-3=-=13-ll=2;

數(shù)列⑤中，d二100-95=95-90=?-=75-70=5;

數(shù)列⑥中，d=20-18=18-16=-=l0-8=2.

例1下面的數(shù)列中，哪些是等差數(shù)列?若是，請(qǐng)指明公差，若不是，則說(shuō)明

理由.

①6,10,14,18,22,…，98;

⑥不是，因?yàn)榈?項(xiàng)減去第2項(xiàng)不等于第2項(xiàng)減去第3項(xiàng).

一般地說(shuō)，如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)或者都不小

于前面的項(xiàng)，或者每一項(xiàng)都大于前面的項(xiàng)，上述例1的數(shù)列⑥中，第1項(xiàng)大于第2

項(xiàng)，第2項(xiàng)卻又小于第3項(xiàng)，所以，顯然不符合等差數(shù)列的定義.

為了敘述和書(shū)寫(xiě)的方便，通常，我們把數(shù)列的第1項(xiàng)記為a第2項(xiàng)記為a,

…，第n項(xiàng)記為anm。又稱(chēng)為數(shù)列的通項(xiàng)，為;又稱(chēng)為數(shù)列的首項(xiàng)，最后一

項(xiàng)又稱(chēng)為數(shù)列的末項(xiàng).

二、通項(xiàng)公式

對(duì)于公差加的等差數(shù)列叫，…％來(lái)說(shuō)，如果由；小于a,

則顯然a?-Hi=a3-a2=...=an-an-l=...=d,因此：

a2^a'+d

a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d

a4=a3+d=(a14-2d)+d=a1+3d

由此可知：a=a1-(n-l)xd(1)

若a;大于a,則同理可推得：

a[二a〔+(n-l)xd⑵

公式(1)(2)叫做等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用逋項(xiàng)公式，在已知首項(xiàng)和

公差的情況下可以求出等差數(shù)列中的任何一項(xiàng).

例2求等差數(shù)列1,6,11,16…的第20項(xiàng).

解：首項(xiàng)a,=l,又因?yàn)閍;大于a;,

公差公6T=5,所以運(yùn)用公式(1)可知:

第20項(xiàng)aO=a=(2O-l)X5=1+19X5=96.

一般地，如果知道了通項(xiàng)公式中的兩個(gè)量就可以求出另外一個(gè)量，如：由

通項(xiàng)公式，我們可以得到項(xiàng)數(shù)公式：

項(xiàng)數(shù)|.d+l(若4大于))[(3)

或0=312)+出~1(若/小于

例3已知等差數(shù)列2,5,8,11,14…，問(wèn)47是其中第幾項(xiàng)？

解：首項(xiàng)a=2,公差d=5-2=3

令an=47

則利用項(xiàng)數(shù)公式可得：

n=(47-2)+3+l=16.

即47是笫16項(xiàng).

例4如果一等差數(shù)列的第4項(xiàng)為21,第6項(xiàng)為33,求它的第8項(xiàng).

分析與解答

方法1：要求第8項(xiàng)，必須知道首項(xiàng)和公差.

因?yàn)閍=a+3Xd,又a=21,所以"21-3>^又@=@+5'(1,又好33,所以

a=33-5Xd所以：21-3Xd=33-5Xd,

所以d=6a=21-3xd=3,

所以a8=3+7X6=45.

方法2:考慮到a8=a7+d=a+d+d=a+2Xd,其中a,已知，只要求2Xd即可.

又a=a-Kl=a4<l-Kl=a+2xdJ

所以2Xd=a2-a;

所以a8a7x6=45

方法2說(shuō)明：如果能夠靈活運(yùn)用等差數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系，解題將更為簡(jiǎn)便.

三、等差數(shù)列求和

若a.小于a,則公差為d的等差數(shù)列a,a,a…an可以寫(xiě)為

a,a+d,a+dX2,,,,,a+dX(n-1).所以，容易知道：a+a=ata=ata

=a+a-8-...=a,+a=a,+a.

設(shè)Sn=a+a+a,+???地

貝ijSn=a+a+a+…+a,

兩式相加可得：

2xSn=(a+a)+(a+a)+...-n(an+a)

即：2XSn=nX(a+a),所以，

=nxQi+a4)+2」(4)

例5計(jì)算1+5+9+13+17+…+1993.

當(dāng)a;大于a。時(shí)，同樣也可以得到上面的公式.這個(gè)公式就是等差數(shù)列的

前n項(xiàng)和的公式.

解：因?yàn)?,5,9,13,17,…，1993是一個(gè)筆差數(shù)列，且al=l,d=4,

an=1993.

所以，n=(a-a)+d+l=499.

所以，1+5+9+13+17+…+1993

(1+1993)X499+2

二997X499

=497503.

題目做完以后，我們?cè)賮?lái)分析一下，本題中的等差數(shù)列有499項(xiàng)，中間一項(xiàng)

即第250項(xiàng)的值是997,而和恰等于997X499.其實(shí)，這并不是偶然的現(xiàn)象，關(guān)于

中項(xiàng)有如下定理：

對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)

列來(lái)說(shuō)，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均

數(shù)，也等于首項(xiàng)與未項(xiàng)和的一半；或者換

句話(huà)說(shuō)，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)0

這個(gè)定理稱(chēng)為中項(xiàng)定理.

例6建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，第3

層10塊磚…，依次每層都比其上面一層多4塊磚，已知最下層2106塊磚，問(wèn)中間

一層多少塊磚?這堆磚共有多少塊？

解：如果我們把每層磚的塊數(shù)依次記下來(lái)，2,6,10,14,…容易知道，

這是一個(gè)等差數(shù)列.

方法1：

a=2,d=4,an=2106,

貝n=(a-a)-d+l=527

這堆磚共有則中間一項(xiàng)為a64=a+(264-1)X4=1054.

方法2:(a+a)Xn+2=(2+2106)X527+2=555458(塊).

則中間一項(xiàng)為(a+a)+2=1054

a=2,d=4,an=2106,

這堆磚共有1054X527=555458(塊).

n=(a-a)+d+1=527

例7求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差.

解：根據(jù)題意可列出算式：

(2+4+6+8+…+2000)-(1+3+5+…+1999)

解法1:可以看出，2,4,6,…,2000是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，1,3,

5,…，1999也是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為1000,所以：

原式二(2+2000)X1000+2-(1+1999)X1000+2

=1000.

解法2:注意到這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對(duì)應(yīng)項(xiàng)差1,所

以1000項(xiàng)就差了1000個(gè)1,即

原式二1000X1=1000.

例8連續(xù)九個(gè)自然數(shù)的和為54,則以這九個(gè)自然數(shù)的末項(xiàng)作為首項(xiàng)的九個(gè)連續(xù)

自然數(shù)之和是多少？

分析與解答

方法1:要想求這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，可以先求出這九個(gè)連續(xù)自然數(shù)中最

小的一個(gè).即條件中的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)的末項(xiàng).

因?yàn)?，條件中九個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為54,所以，這九個(gè)自然數(shù)的中間數(shù)為

54+9=6,則末項(xiàng)為6+4=10.因此,所求的九個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和為(10+18)X9

4-2=126.

方法2:考察兩組自然數(shù)之間的關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)：后一組自然數(shù)的每一項(xiàng)比前

一組自然數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)大8,因此，后一組自然數(shù)的和應(yīng)為54+8X9=126.

在方法1中，可以用另一種方法來(lái)求末項(xiàng)，根據(jù)求和公式Sn=(a+a)Xn+

2,則a+a9=54X2+9.又因?yàn)锧=@,,所以代入后也可求出a9=10.

例9100個(gè)連續(xù)自然數(shù)(按從小到大的順序排列)的和是8450,取出其中第1

個(gè)，第3個(gè)…第99個(gè)，再把剩下的50個(gè)數(shù)相加，得多少？

分析與解答

方法1：要求和，我們可以先把這50個(gè)數(shù)算出來(lái).

100個(gè)連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，且和為8450,則：

首項(xiàng)+末項(xiàng)=8450X2+100=169,又因?yàn)槟╉?xiàng)比首項(xiàng)大99,所以，首項(xiàng)二

(169-99)+2=35.因此，剩下的50個(gè)數(shù)為：36,38,40,42,44,46…134.這

些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,和為(36+134)X50+2=4250.

方法2:我們考慮這100個(gè)自然數(shù)分成的兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列有相同的公

差，相同的項(xiàng)數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)總大

1,因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大50,又因?yàn)樗鼈兿嗉拥暮蜑?/p>

8450.所以，剩下的數(shù)的總和為(8450+50)-2=4250.

四、等差數(shù)列的應(yīng)用

例10把210拆成7個(gè)自然數(shù)的和，使這7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)

的差都是5,那么，第1個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)分別是多少？

解：由題可知：由210拆成的7個(gè)數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個(gè)數(shù)為210+

7=30,所以,這7個(gè)數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個(gè)數(shù)是個(gè)第

6個(gè)數(shù)是40.

例11把27枚棋子放到7個(gè)不同的空盒中，如果要求每個(gè)盒子都不空，且任意兩

個(gè)盒子里的棋子數(shù)目都不一樣多，問(wèn)能否辦到，若能，寫(xiě)出具體方案，若不

能，說(shuō)明理由.

分析與解答

因?yàn)槊總€(gè)盒子都不空，所以盒子中至少有一枚棋子；同時(shí)，任兩盒中旗子

數(shù)不一樣，所以7個(gè)盒中共有的棋子數(shù)至少為1+2+3+4+5+6+7=28.但題目中只給

了27枚棋子，所以，題中要求不能辦到.

習(xí)題四

1.求值：

①6+11+16+…+501.

②101+102+103+104+…+999.

2.下面的算式是按一定規(guī)律排列的，那么，第100個(gè)算式的得數(shù)是多少？

4+2,5+8,6+14,7+20,…

3.11至18這8個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8個(gè)連

續(xù)數(shù)的和，這另外8個(gè)連續(xù)自然數(shù)中的最小數(shù)是多少？

4.把100根小棒分成10堆，每堆小棒根數(shù)都是單數(shù)且一堆比一堆少兩根，應(yīng)

如何分？

5.300到400之間能被7整除的各數(shù)之和是多少？

6.100到200之間不能被3整除的數(shù)之和是多少？

7.把一堆蘋(píng)果分給8個(gè)小朋友，要使每個(gè)人都能拿到蘋(píng)果，而且每個(gè)人拿到

蘋(píng)果個(gè)數(shù)都不同的話(huà)，這堆蘋(píng)果