2025屆遼寧省八校高三上學期12月質量檢測數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1遼寧省八校2025屆高三上學期12月質量檢測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設為虛數單位，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故．故選：D．2.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，且，所以.故選：A3.意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……這就是著名的斐波那契數列，該數列的前2024項中有（）個奇數A.1012 B.1348 C.1350 D.1352【答案】C【解析】對數列中的數歸納發(fā)現，每3個數中前2個都是奇數，后一個是偶數，又，故該數列前2024項有個奇數.故選：C4.如圖，在中，為線段上異于，的任意一點，為的中點，若，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】中，不共線，點D在BC上，則，存在唯一實數t使，因為為的中點，，而，所以，所以.故選：B5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，比較和的大小，其中，因為，所以，又因為在0,+∞單調遞增，所以，即；比較和的大小，其中，即，因為在0,+∞上單調遞增，所以，即；比較，的大小，因為，，所以，即，故選：.6.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數共有4次.(1)4次均不下雨，概率：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為：.故選：D.7.已知直線與圓，點在直線上，過點作圓的切線，切點分別為，當取最小值時，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可知圓心為，半徑，由題意，所以當時，取最小值，由點到直線的距離公式可得，此時，過作直線的對稱點，連接，，與直線的交點即為所求的點，由于與關于直線對稱，，與關于直線對稱，因此與就是同一條直線，即點即為所求的點，所以的最小值為.故選：C8.在平行四邊形中，，是平行四邊形內（包括邊界）一點，，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為得，即所以點在的角平分線上，設的中點為因為，所以點在線段上，不妨設，所以易知所以因為所以因為所以故選：B9.對任意A，，記，則稱為集合A，B的對稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（）A.若A，且，則B.若A，且，則C.若A，且，則D.存在A，，使得【答案】ABD【解析】解：對于A選項，因為，所以，所以，且B中的元素不能出現在中，因此，即選項A正確；對于B選項，因為，所以，即與是相同的，所以，即選項B正確；對于C選項，因為，所以，所以，即選項C錯誤；對于D選項，時，，，D正確；故選：ABD．10.在菱形中，，，E為AB的中點，將沿直線DE翻折至的位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點，則（）A.平面B.C.異面直線，所成的角為D.與平面所成角的余弦值為【答案】AC【解析】如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，.對于A，因為，平面的一個法向量為，所以，所以平面，故A正確.對于B，因為，，所以，所以DP，EC不垂直，故B錯誤.對于C，因為，，所以，所以異面直線，所成的角為，故C正確.對于D，設平面的法向量為，因為，，所以令，得.設與平面所成的角為，因為，所以，，故D錯誤.故選：AC.11.隨機事件A，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】A.，所以，，所以，故A錯誤；B.，故B錯誤；C.，故C正確；D.，，所以，，故D正確故選：CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數列的通項公式為，若數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為數列是遞增數列，當時，，可得，當時，，即，解得，又，所以，解得或.綜上，實數的取值范圍是.故答案為：.13.已知函數在區(qū)間上的值域為，且，則的值為______.【答案】【解析】，故，因為在區(qū)間上的值域為，且，故必有，如圖所示，則故故答案為：14.歐拉，他是數學史上最多產的數學家之一，他發(fā)現并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數和指數函數的關系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個量聯系起來，兩個超越數——自然對數的底數，圓周率，兩個單位——虛數單位和自然數單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現之一的0，數學家評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請你根據歐拉公式：，將復數表示成（為虛數單位）的形式___________；若，則，這里，稱為1的一個n次單位根，簡稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得，復數，則的值是___________．【答案】①.②.【解析】，，所以，由題意可得，所以，又因為，所以，則.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數列的前項和，，且．（1）求；（2）求數列的前項和；（3）設數列的前項和，且滿足，求證：．（1）解：在，中，，令，可得，∴．（2）解：，①當時，，②可得，∴，∴是公差為的等差數列，∴，∴．（3）證明：由（2）可得，∴，∴．16.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）若，如圖，是上的動點，且始終等于，記.當為何值時，的面積取到最小值，并求出最小值.解：（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因為，所以，所以，因為，所以；（2）因為，由（1）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因為，所以，當時，取得最小值，此時，即，所以當時，的面積取到最小值，最小值為.17.如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對的中點.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值；（3）設點是內一動點，，當線段的長最小時，求直線與直線所成角的余弦值.（1）證明：的中點，連結，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為n=x則，即，取，則，設平面的一個法向量為，由，取，得，所以，因為，故平面與平面所成角的正弦值為.（3）解：是內一動點且，則點在以為直徑的圓上，當線段的長最小時，點在與圓的交點處，此時，，設直線與直線所成角為，所以，所以直線與直線所成角得余弦值為.18.已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線PA，PB的斜率分別為，且.（1）求雙曲線C的方程；（2）已知過點的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設直線AD與直線BE交于點Q，求證：點Q在定直線上.解：（1）由題意可知，因為，所以.設，則，所以，又，所以.所以雙曲線C的方程為.（2）（i）由題意知直線l的方程為.聯立，化簡得，因為直線l與雙曲線左右兩支相交，所以，即滿足：，所以或；（ii）證明：，直線AD的方程為直線BE的方程為.聯立直線AD與BE的方程，得，所以，所以，所以所以點Q的橫坐標始終為1，故點Q在定直線上.19.已知函數.（1）求函數y=（2）若曲線與存在兩條公切線，求整數的最小值；（3）已知，函數有3個零點為：，且，證明：.（1）解：，令，解得或，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以的單調遞增區(qū)間是和，單調遞減區(qū)間是.（2）解：設切線分別與和交于，的導數為，的導數為，所以處切線方程為，處切線方程為，由公切線可知，，所以，化簡可得，因為公切線有兩條，所以有兩個根；設，所以，因為均在上單調遞增，所以在上單調遞增，且，所以存在唯一使得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以且，所以，由對勾函數性質可知在時單調遞增，所以，所以，且時，，時，，所以若有兩個根，則，故整數的最小值為.（3）證明：定義域為，由題意可知，是方程的三個根；當時，令，所以，令，所以，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，所以在上單調遞增，且；當時，令，所以，由解得，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，且，，作出的簡圖如下圖所示，由圖像可知，，要證，只需證，即證，因為，所以，又因為在上單調遞增，所以只需證，且，所以只需證，即證（*）；設，所以，所以，因為，對稱軸且開口向下，所以在上單調遞增，所以，所以在上單調遞減，所以，所以對恒成立，所以（*）成立，即成立.遼寧省八校2025屆高三上學期12月質量檢測數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設為虛數單位，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，故．故選：D．2.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，且，所以.故選：A3.意大利數學家斐波那契的《算經》中記載了一個有趣的數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……這就是著名的斐波那契數列，該數列的前2024項中有（）個奇數A.1012 B.1348 C.1350 D.1352【答案】C【解析】對數列中的數歸納發(fā)現，每3個數中前2個都是奇數，后一個是偶數，又，故該數列前2024項有個奇數.故選：C4.如圖，在中，為線段上異于，的任意一點，為的中點，若，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】中，不共線，點D在BC上，則，存在唯一實數t使，因為為的中點，，而，所以，所以.故選：B5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知得，比較和的大小，其中，因為，所以，又因為在0,+∞單調遞增，所以，即；比較和的大小，其中，即，因為在0,+∞上單調遞增，所以，即；比較，的大小，因為，，所以，即，故選：.6.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時他也在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時他也在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設每天上班和下班時下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過去情況相互獨立.現在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】“至少有一天淋雨”的對立事件為“兩天都不淋雨”，連續(xù)上兩天班，上班、下班的次數共有4次.(1)4次均不下雨，概率：；(2)有1次下雨但不淋雨，則第一天或第二天上班時下雨，概率為：；(3)有2次下雨但不淋雨，共3種情況：①同一天上下班均下雨；②兩天上班時下雨，下班時不下雨；③第一天上班時下雨，下班時不下雨，第二天上班時不下雨，下班時下雨；概率為：；(4)有3次下雨但不被淋雨，則第一天或第二天下班時不下雨，概率為：；(5)4次均下雨，概率為：；兩天都不淋雨的概率為：，所以至少有一天淋雨的概率為：.故選：D.7.已知直線與圓，點在直線上，過點作圓的切線，切點分別為，當取最小值時，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可知圓心為，半徑，由題意，所以當時，取最小值，由點到直線的距離公式可得，此時，過作直線的對稱點，連接，，與直線的交點即為所求的點，由于與關于直線對稱，，與關于直線對稱，因此與就是同一條直線，即點即為所求的點，所以的最小值為.故選：C8.在平行四邊形中，，是平行四邊形內（包括邊界）一點，，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為得，即所以點在的角平分線上，設的中點為因為，所以點在線段上，不妨設，所以易知所以因為所以因為所以故選：B9.對任意A，，記，則稱為集合A，B的對稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（）A.若A，且，則B.若A，且，則C.若A，且，則D.存在A，，使得【答案】ABD【解析】解：對于A選項，因為，所以，所以，且B中的元素不能出現在中，因此，即選項A正確；對于B選項，因為，所以，即與是相同的，所以，即選項B正確；對于C選項，因為，所以，所以，即選項C錯誤；對于D選項，時，，，D正確；故選：ABD．10.在菱形中，，，E為AB的中點，將沿直線DE翻折至的位置，使得二面角為直二面角，若為線段的中點，則（）A.平面B.C.異面直線，所成的角為D.與平面所成角的余弦值為【答案】AC【解析】如圖，建立空間直角坐標系，則，，，，.對于A，因為，平面的一個法向量為，所以，所以平面，故A正確.對于B，因為，，所以，所以DP，EC不垂直，故B錯誤.對于C，因為，，所以，所以異面直線，所成的角為，故C正確.對于D，設平面的法向量為，因為，，所以令，得.設與平面所成的角為，因為，所以，，故D錯誤.故選：AC.11.隨機事件A，滿足，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】A.，所以，，所以，故A錯誤；B.，故B錯誤；C.，故C正確；D.，，所以，，故D正確故選：CD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數列的通項公式為，若數列是單調遞增數列，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】因為數列是遞增數列，當時，，可得，當時，，即，解得，又，所以，解得或.綜上，實數的取值范圍是.故答案為：.13.已知函數在區(qū)間上的值域為，且，則的值為______.【答案】【解析】，故，因為在區(qū)間上的值域為，且，故必有，如圖所示，則故故答案為：14.歐拉，他是數學史上最多產的數學家之一，他發(fā)現并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數和指數函數的關系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個公式，它將數學里最重要的幾個量聯系起來，兩個超越數——自然對數的底數，圓周率，兩個單位——虛數單位和自然數單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現之一的0，數學家評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請你根據歐拉公式：，將復數表示成（為虛數單位）的形式___________；若，則，這里，稱為1的一個n次單位根，簡稱單位根．類比立方差公式，我們可以獲得，復數，則的值是___________．【答案】①.②.【解析】，，所以，由題意可得，所以，又因為，所以，則.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知數列的前項和，，且．（1）求；（2）求數列的前項和；（3）設數列的前項和，且滿足，求證：．（1）解：在，中，，令，可得，∴．（2）解：，①當時，，②可得，∴，∴是公差為的等差數列，∴，∴．（3）證明：由（2）可得，∴，∴．16.在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）若，如圖，是上的動點，且始終等于，記.當為何值時，的面積取到最小值，并求出最小值.解：（1）在中，由正弦定理可得，所以，所以，即得，因為，所以，所以，因為，所以；（2）因為，由（1）知，所以，在中，由正弦定理可得，所以，在中，由正弦定理可得，所以，所以，因為，所以，當時，取得最小值，此時，即，所以當時，的面積取到最小值，最小值為.17.如圖，在以為頂點的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，對的中點.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的正弦值；（3）設點是內一動點，，當線段的長最小時，求直線與直線所成角的余弦值.（1）證明：的中點，連結，由已知得，是邊長為2的等邊三角形，是以為腰的等腰三角形，則，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，設平面的法向量為n=x則，即，取，則，設平面的一個法向量為，由，取，得，所以，因為，故平面與平面所成角的正弦值為.（3）解：是內一動點且，則點在以為直徑的圓上，當線段的長最小時，點在與圓的交點處，此時，，設直線與直線所成角為，所以，所以直線與直線所成角得余弦值為.18.已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線PA，