2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)第6節(jié)-空間向量的應(yīng)用

第七單元第6節(jié)空間向量的應(yīng)用2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問(wèn)題和簡(jiǎn)單夾角問(wèn)題，并能描述解決這一類問(wèn)題的程序，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用1.直線與平面所成的角直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2.二面角3.距離問(wèn)題0102知識(shí)特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識(shí)特訓(xùn)知識(shí)必記拓展鏈接對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．異面直線所成角若異面直線l1，l2所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈a，b〉|＝________，其中a，b分別是直線l1，l2的方向向量．[注意]

兩異面直線所成的角為銳角或直角，而不共線的向量的夾角為(0，π)，所以公式中要加絕對(duì)值．

(2)平面α與β相交于直線l，平面α的法向量為n1，平面β的法向量為n2，〈n1，n2〉＝θ，則二面角α-l-β為θ或π－θ.設(shè)二面角大小為φ，則|cosφ|＝|cosθ|＝__________，如圖②③.[注意]

(1)利用公式與二面角的平面角時(shí)，要注意〈n1，n2〉與二面角大小的關(guān)系，是相等還是互補(bǔ)，需要結(jié)合圖形進(jìn)行判斷；

(2)點(diǎn)到直線的距離

1．[知識(shí)拓展]最小角定理如圖，若OA為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，OC為平面α內(nèi)的一條直線，其中θ為OA與OC所成的角，θ1為OA與OB所成的角，即線面角，θ2為OB與OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2.【例】已知AO為平面α的一條斜線，O為斜足，OB為OA在平面α內(nèi)的射影，直線OC在平面α內(nèi)，且∠AOB＝∠BOC＝45°，則∠AOC的大小為_(kāi)_______．2.[學(xué)以致用]空間坐標(biāo)系的建立應(yīng)用空間向量，合理“建系設(shè)點(diǎn)”是關(guān)鍵．以三棱錐為例說(shuō)明．【例1】在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°，如圖1.

【例2】如圖3，在三棱錐P-ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上．解析：存在線面垂直關(guān)系時(shí)，一般以面的垂線為z軸構(gòu)造三線垂直關(guān)系．如圖4，以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OP為z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.【例3】如圖5，平面PAC⊥平面ABC，△APC，△ABC都是以AC為斜邊的等腰直角三角形，O為AC的中點(diǎn)．解析：存在面面垂直關(guān)系時(shí)，可先在一面內(nèi)作交線的垂線，從而構(gòu)造三線垂直關(guān)系．如圖6，連接OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.1．[易錯(cuò)診斷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn)，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為_(kāi)_______．【易錯(cuò)點(diǎn)撥】忽略二面角的取值范圍致誤．

3．[模擬演練](2022·山東威海高三模擬)如圖所示，在底面是直角梯形的四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，則AD到平面PBC的距離為_(kāi)_______．解析：由已知得AB，AD，AP兩兩垂直．∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，4．[真題體驗(yàn)](2021·全國(guó)甲卷)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB＝BC＝2，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱A1B1上的點(diǎn)，BF⊥A1B1.(1)證明：BF⊥DE.(2)當(dāng)B1D為何值時(shí)，平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小？解：因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是直三棱柱，所以BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.因?yàn)锳1B1∥AB，BF⊥A1B1，所以BF⊥AB，又BB1∩BF＝B，所以AB⊥平面BCC1B1，所以BA，BC，BB1兩兩垂直．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，所以B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(0，0，2)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，E(1，1，0)，F(xiàn)(0，2，1)．由題設(shè)D(a，0，2)(0≤a≤2)．

02能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3典例1

(2020·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，側(cè)面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過(guò)B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)證明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F.(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值．特訓(xùn)點(diǎn)1直線與平面所成的角【師生共研類】解：(1)證明：因?yàn)镸，N分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因?yàn)椤鰽1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，A1N，MN?平面A1AMN，A1N∩MN＝N，故B1C1⊥平面A1AMN.又B1C1?平面EB1C1F，所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.

利用向量求線面角的2種方法(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，其余角就是斜線與平面所成的角．(2020·浙江卷)如圖，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC.(1)證明：EF⊥DB.(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值．

(2)法一：如圖①，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BD，交直線BD于點(diǎn)H，連接CH.由三棱臺(tái)ABC-DEF得DF∥CO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角．由BC⊥平面BDO得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD，所以∠OCH為直線CO與平面DBC所成角．法二：由三棱臺(tái)ABC-DEF得DF∥CO，所以直線DF與平面DBC所成角等于直線CO與平面DBC所成角，記為θ.如圖②，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以射線OC，OD為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.

特訓(xùn)點(diǎn)2二面角【師生共研類】因此PA2＋PB2＝AB2，從而PA⊥PB.又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC.又PB∩PC＝P，PB，PC?平面PBC，所以PA⊥平面PBC.

利用空間向量計(jì)算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大?。?2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大?。?2020·全國(guó)Ⅲ卷)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.(1)證明：點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi)．(2)若AB＝2，AD＝1，AA1＝3，求二面角A-EF-A1的正弦值．

典例3在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)B到直線AC1的距離；(2)求直線FC到平面AEC1的距離．特訓(xùn)點(diǎn)