2024-2025學(xué)年北京房山區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第1頁/共10頁2025北京房山高三（上）期末數(shù)學(xué)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知全集，集合，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足i?z＝2+i，則z的共軛復(fù)數(shù)是A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i3．已知，，，且，，則（

）A． B．C． D．4．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A．15 B．-15 C．5 D．-55．下列函數(shù)的圖象中，不是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B．C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，則到直線的距離的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．37．已知非零平面向量，則“”是“存在非零實(shí)數(shù)，使”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面與底面所成角是，則三棱錐合的體積等于（

）A． B． C．2 D．19．已知實(shí)數(shù)，滿足，，給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．① B．② C．①③ D．②③10．已知由正整數(shù)組成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶數(shù)的個(gè)數(shù).若.則的最小值為（

）A．5 B．7 C．9 D．10第二部分（非選擇題共110分）二、填空題5小題，每小題5分，共25分．11．函數(shù)的定義域?yàn)?12．在中，，，，則；若為邊上一點(diǎn)，且，則.13．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則，的一組值依次為.14．《九章算術(shù)》是我國古代的優(yōu)秀數(shù)學(xué)著作，內(nèi)容涉及方程、幾何、數(shù)列、面積、體積的計(jì)算等多方面.《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”由以上條件，該女子第5天織布尺；若要織布50尺，該女子所需的天數(shù)至少為.15．已知函數(shù)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，或；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，；④存在，對(duì)任意，.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16．已知函數(shù)，且=0， 且的最小值為（1）求的值；（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值及相應(yīng)自變量的值.

17．近年中國新能源汽車進(jìn)入高速發(fā)展時(shí)期，2024年中國新能源汽車銷售量已超過1100萬輛，繼續(xù)領(lǐng)跑全球.某市場部為了解廣大消費(fèi)者購買新能源汽車和燃油汽車的情況，從某市眾多4S店中任意抽取8個(gè)作為樣本，對(duì)其在12月份的新能源汽車、燃油汽車銷售量（單位：輛）進(jìn)行調(diào)查.統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：1店2店3店4店5店6店7店8店新能源汽車銷售量108162320182211燃油汽車銷售量1411131921252326(1)若從該市眾多門店中隨機(jī)抽取1個(gè)，估計(jì)該門店12月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的概率；(2)若從樣本門店中隨機(jī)抽取3個(gè)，其中12月份新能源汽車銷售量不低于20輛的門店個(gè)數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)新能源汽車銷售量和燃油汽車銷售量的樣本方差分別記為和.試比較和的大小.（結(jié)論不要求證明）18．已知三棱柱中，側(cè)面為菱形，側(cè)面為正方形，.，為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.（?。┣笞C：平面；（ⅱ）求與平面所成角的正弦值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

19．已知橢圓（）過點(diǎn)，離心率為，一條直線與橢圓父于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線為，為直線與直線的交點(diǎn).(1)求橢圓的方程；(2)若，直線是否過定點(diǎn)？如果是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說明理由.20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)求證：存在實(shí)數(shù)，使方程有正實(shí)根.21．已知和都是無窮數(shù)列.若存在正數(shù)，對(duì)任意的，均有，則稱數(shù)列與具有關(guān)系.(1)分別判斷下列題目中的兩個(gè)數(shù)列是否具有關(guān)系，直接寫出結(jié)論；①，，；②，，.(2)設(shè)，，，試判斷數(shù)列與是否具有關(guān)系.如果是，求出的最小值，如果不是，說明理由；(3)已知是公差為的等差數(shù)列，若存在數(shù)列滿足：與具有關(guān)系，且，，…，中至少有100個(gè)正數(shù)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。12345678910DACBCDABDB二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）（12）（13）（答案不唯一，只需滿足）（14）（15）①=2\*GB3②③三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）解：（Ⅰ）因?yàn)椋业淖钚≈禐椋?，所?因?yàn)?，所?（Ⅱ）因?yàn)椋?所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.（17）（本小題13分）解：（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，8個(gè)門店中12月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的共有2個(gè)，所以從該市眾多門店中隨機(jī)抽取個(gè)，該門店月份新能源汽車銷售量超過燃油汽車銷售量的概率可以估計(jì)為.（Ⅱ）的所有可能取值為：，則所以的分布列為0123所以.（Ⅲ）.（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）連接，設(shè)，連接.因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以為的中點(diǎn).因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線.所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（Ⅱ）選擇條件=1\*GB3①：.（i）因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以.又，所以.又因?yàn)檎叫?，所?所以，即.又因?yàn)?，且平面，所以平?（ii）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以為等邊三角?所以.所以.又因?yàn)槠矫?，所以?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.因此，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，則，，因此.設(shè)直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅱ）選擇條件=2\*GB3②:.（i）因?yàn)榱庑?，所?又，，且平面，所以平面.又平面，所以.又因?yàn)檎叫?，所?又因?yàn)椋移矫?，所以平?（ii）下同選擇條件=1\*GB3①（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由題意可得，，所以.所以.所以橢圓的方程為.（Ⅱ）直線過定點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為（顯然），由得．則，即．設(shè)，，則，．由，得，．所以．設(shè)直線的方程為．帶入整理得，所以直線過定點(diǎn)．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然直線過點(diǎn).綜上直線過定點(diǎn).（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則.，所以.所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（Ⅱ）由得,當(dāng)時(shí)，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以所以符合題意；當(dāng)時(shí)，令，得,因?yàn)?，所以所以，所以，的變化情況如下表：極小值所以，與恒成立矛盾，所以不符合題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，存在極小值，記，則，所以在上單調(diào)遞增，,取，此時(shí)，，所以存在，使，即方程有正實(shí)根.（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）=1\*GB3①否；=2\*GB3②是.（Ⅱ）由題意知，所以．所以數(shù)列與具有關(guān)系．設(shè)的最小值為，則．因?yàn)?，所以．若，則當(dāng)時(shí)，．則，這與“對(duì)任意的