2024-2025學(xué)年河北省張家口市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省張家口市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為拋物線的焦點在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故選：D.2.已知空間向量，則與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為，所以.則與的夾角的余弦值為.故選：A.3.已知直線過點，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與軸重合，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直線過點，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與軸重合，所以直線的傾斜角為，所以，直線的方程為：.故選：D.4.已知等差數(shù)列的公差，前項和為，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】因為等差數(shù)列的公差，前項和為，所以，故選：B.5.已知過點的直線分別與軸的正半軸交于點為坐標原點，則的面積的最小值是（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】直線與軸的正半軸分別交于兩點，可知直線的斜率為負數(shù)，設(shè)直線，令，得，令，得，可知，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以面積的最小值為4.故選：A.6.已知正項數(shù)列中，，則該數(shù)列的通項公式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為正項數(shù)列中，，顯然，所以，所以對兩邊同時取對數(shù)，可得，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C.7.已知分別是橢圓的左，右焦點，過作垂直于軸的直線交于兩點，若直線與直線互相垂直，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令可得，則y2=b21-所以，因為直線與直線互相垂直，所以，所以在中，，所以，所以，所以，所以或（舍去），所以的離心率為.故選：C.8.如圖，正方體的棱長為為側(cè)面內(nèi)的動點，在對角線上，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，易知面，又面，所以，因為為側(cè)面內(nèi)的動點，且，，所以，即點在以為圓心，為半徑的圓弧上，連接，過作交于，易知面，因為，所以，又，，所以，，故在上，所以當(dāng)與重合時，最小，又，所以最小值為，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點，分別以點為圓心，以1，2為半徑作圓．若直線與圓和圓相切，切點分別為，則（）A.若重合，則直線的方程是B.若不重合，則C.若直線的斜率存在，則其斜率為D.若不重合，則四邊形的面積為【答案】ABD【解析】點，分別以點為圓心，以1，2為半徑作圓，所以，，對于A，因為，所以圓圓外切，且切點為O0,0，若重合，則即為O0,0，此時直線的方程是，故A正確；對于B，如下圖，因為，，設(shè)直線與交于點，所以為的中點，所以為的中點，，，所以在中，，故B正確；對于C，在中，，故直線的斜率存在，則其斜率為，故C錯誤；對于D，若不重合，則四邊形的面積為：，故D正確.故選：ABD.10.圓錐曲線過焦點的弦稱為焦點弦，垂直于橢圓的長軸（雙曲線的實軸，拋物線的對稱軸）的焦點弦稱為通徑．若點是橢圓，拋物線和雙曲線的焦點，且橢圓，拋物線和雙曲線的通徑長恰好成等差數(shù)列，則（）A.B.可以是直角三角形三條邊的長C.雙曲線的離心率D.點到雙曲線漸近線的距離為【答案】ABC【解析】對于A，由點是橢圓的焦點，所以F1,0，又因為拋物線和雙曲線的焦點，所以，，故A正確；對于B，令可得，所以，所以橢圓的通徑為，所以，令可得，則，所以，所以，因為，所以，令，可得，所以，因為橢圓，拋物線和雙曲線的通徑長恰好成等差數(shù)列，所以，所以，即，，因為所以可以是直角三角形三條邊的長，故B正確；對于C，因為，又因為，所以，因為，解得：，，故C正確；對于D，點Fc,0到雙曲線漸近線的距離為，又因為，，所以，故D錯誤.故選：ABC.11.如圖，球的兩個截面圓和圓的圓心分別為，半徑均為2，且圓和圓所在平面分別與軸和軸垂直．若動點分別在兩個圓周上勻速運動，每12秒運動一周，其中點的起始點分別為，，點按照圖中指針方向運動，運動時間為（單位：秒），則（）A.球的表面積為B.當(dāng)時，C.存在時刻，使得點在球面上相遇D.的最大值為，且同一個周期內(nèi)取得最大值的時間差為8秒【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)球O的半徑為，由題意到圓面和圓面的距離為，所以，所以球的表面積為，故A正確；對于B，由題意，，，，，因為動點分別在兩個圓周上勻速運動，每12秒運動一周，設(shè)兩點運動的角速度為，所以，解得：，所以兩點分別從同時出發(fā)，按箭頭方向沿圓周以每秒弧度角速度運動，運動秒后，，，，，當(dāng)時，，所以，故B正確；對于C，令，所以，則，當(dāng)時，，所以不存在時刻，使得點在球面上相遇，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，，或，，兩個時刻的時間差為8秒，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前項的乘積為，若，則__________．【答案】【解析】由可得：，所以，又因為為等比數(shù)列，所以，所以,所以.故答案為：.13.已知直線，若為拋物線上的動點，則點到直線的距離最小時點的坐標為__________．【答案】【解析】因為為拋物線上的動點，所以可設(shè)，則到的距離為：，則時，，此時，故答案為：.14.如圖，正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為為的中點，若，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為正三棱柱的底面邊長為2，為的中點，所以，過點作軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，因為，設(shè)，，，所以，所以，所以，，所以，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值，所以的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的圓心分別為，半徑分別為，的圓心為點，半徑為．（1）寫出的標準方程，并判斷其位置關(guān)系；（2）若與外切且與內(nèi)切，求圓心的軌跡方程．解：（1）的圓心分別為，半徑分別為，所以的標準方程為；的標準方程為，可得，可知，所以內(nèi)切.（2）因為動圓P的半徑為，因為動圓P與與外切且與內(nèi)切，則，且，由橢圓的定義可知，動點P在以為焦點，8為長軸長的橢圓上，設(shè)橢圓的方程為，半焦距為c，則，，則，又因為內(nèi)切，則點P不能在切點處，即橢圓應(yīng)去掉點，所以動圓的圓心P的軌跡方程為．16.已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，且，其中是的共軛復(fù)數(shù)，．（1）證明：數(shù)列和均為等比數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求．解：（1）因為復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，且，，所以，所以，所以，又可得,所以，所以：數(shù)列和均是等比數(shù)列.（2）因為，所以，所以，.17.如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長為2菱形，其中是等腰直角三角形，，點在棱上，且三棱錐的體積為，點是棱的中點．（1）判斷是否為棱的中點，并說明理由；（2）求平面與底面所成角的余弦值．解：（1）取的中點，連接，因為，，所以，，.又因為是菱形，，所以，，因為，所以，平面，所以平面，因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因為，所以點M到平面PBC的距離是點D到平面PBC的距離的，所以，所以為棱的中點.（2）因為平面，平面ABCD，所以，，又，如圖，以O(shè)為坐標原點，，，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系，則，，，，P0,0,1，所以，，，，底面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，，得.設(shè)平面與底面所成角為，所以，平面與底面所成角的余弦值為.18.已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為，其斜率分別為，交點為．（1）當(dāng)直線過焦點時，證明：互相垂直．（2）當(dāng)時，設(shè)弦的中點為．①點是否在一條定直線上？若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由．②求的最大值．解：（1）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線與拋物線交于不同的兩點Ax1,y1，Bx2,y2聯(lián)立，消去得，，且，則設(shè)，，則過點的切線方程為，聯(lián)立方程組，得。則，解得，同理，，所以互相垂直．（2）①當(dāng)時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，且，則直線與交于點，設(shè)，拋物線在點A處的切線方程為，即，同理，在點B處的切線方程為.聯(lián)立，解得，將式代入化簡得，則點在定直線上.②線段AB的中點為，由（1）可得，，，則.，又將式代入得，，則，由，則.的取值范圍為.19.將向量組成的系列稱為向量列，記作．已知向量列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式．（2）設(shè)，且．①數(shù)列中是否存在最小項？若存在，求出最小項；若不存在，請說明理由．②若，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）由，可得，根據(jù)題意得，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列；又，所以.（2）①結(jié)論：數(shù)列中存在最小項；理由如下：因為，所以；假設(shè)中第項最小，由，，可知：時，；當(dāng)時，有，由，可得：，即；所以，所以，解得：或（舍）；所以；即；所以，由得；綜上，數(shù)列中存在最小項；②因為，所以；所以；因此，所以；又存在正整數(shù)，不等式成立，所以只需，即；因此或，解得：；即實數(shù)的取值范圍是.河北省張家口市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為拋物線的焦點在軸上，且，所以，所以拋物線的焦點坐標為.故選：D.2.已知空間向量，則與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)與的夾角為，所以.則與的夾角的余弦值為.故選：A.3.已知直線過點，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與軸重合，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】直線過點，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)與軸重合，所以直線的傾斜角為，所以，直線的方程為：.故選：D.4.已知等差數(shù)列的公差，前項和為，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】因為等差數(shù)列的公差，前項和為，所以，故選：B.5.已知過點的直線分別與軸的正半軸交于點為坐標原點，則的面積的最小值是（）A.4 B. C.8 D.5【答案】A【解析】直線與軸的正半軸分別交于兩點，可知直線的斜率為負數(shù)，設(shè)直線，令，得，令，得，可知，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以面積的最小值為4.故選：A.6.已知正項數(shù)列中，，則該數(shù)列的通項公式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為正項數(shù)列中，，顯然，所以，所以對兩邊同時取對數(shù)，可得，所以，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以.故選：C.7.已知分別是橢圓的左，右焦點，過作垂直于軸的直線交于兩點，若直線與直線互相垂直，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令可得，則y2=b21-所以，因為直線與直線互相垂直，所以，所以在中，，所以，所以，所以，所以或（舍去），所以的離心率為.故選：C.8.如圖，正方體的棱長為為側(cè)面內(nèi)的動點，在對角線上，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】連接，易知面，又面，所以，因為為側(cè)面內(nèi)的動點，且，，所以，即點在以為圓心，為半徑的圓弧上，連接，過作交于，易知面，因為，所以，又，，所以，，故在上，所以當(dāng)與重合時，最小，又，所以最小值為，故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知點，分別以點為圓心，以1，2為半徑作圓．若直線與圓和圓相切，切點分別為，則（）A.若重合，則直線的方程是B.若不重合，則C.若直線的斜率存在，則其斜率為D.若不重合，則四邊形的面積為【答案】ABD【解析】點，分別以點為圓心，以1，2為半徑作圓，所以，，對于A，因為，所以圓圓外切，且切點為O0,0，若重合，則即為O0,0，此時直線的方程是，故A正確；對于B，如下圖，因為，，設(shè)直線與交于點，所以為的中點，所以為的中點，，，所以在中，，故B正確；對于C，在中，，故直線的斜率存在，則其斜率為，故C錯誤；對于D，若不重合，則四邊形的面積為：，故D正確.故選：ABD.10.圓錐曲線過焦點的弦稱為焦點弦，垂直于橢圓的長軸（雙曲線的實軸，拋物線的對稱軸）的焦點弦稱為通徑．若點是橢圓，拋物線和雙曲線的焦點，且橢圓，拋物線和雙曲線的通徑長恰好成等差數(shù)列，則（）A.B.可以是直角三角形三條邊的長C.雙曲線的離心率D.點到雙曲線漸近線的距離為【答案】ABC【解析】對于A，由點是橢圓的焦點，所以F1,0，又因為拋物線和雙曲線的焦點，所以，，故A正確；對于B，令可得，所以，所以橢圓的通徑為，所以，令可得，則，所以，所以，因為，所以，令，可得，所以，因為橢圓，拋物線和雙曲線的通徑長恰好成等差數(shù)列，所以，所以，即，，因為所以可以是直角三角形三條邊的長，故B正確；對于C，因為，又因為，所以，因為，解得：，，故C正確；對于D，點Fc,0到雙曲線漸近線的距離為，又因為，，所以，故D錯誤.故選：ABC.11.如圖，球的兩個截面圓和圓的圓心分別為，半徑均為2，且圓和圓所在平面分別與軸和軸垂直．若動點分別在兩個圓周上勻速運動，每12秒運動一周，其中點的起始點分別為，，點按照圖中指針方向運動，運動時間為（單位：秒），則（）A.球的表面積為B.當(dāng)時，C.存在時刻，使得點在球面上相遇D.的最大值為，且同一個周期內(nèi)取得最大值的時間差為8秒【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)球O的半徑為，由題意到圓面和圓面的距離為，所以，所以球的表面積為，故A正確；對于B，由題意，，，，，因為動點分別在兩個圓周上勻速運動，每12秒運動一周，設(shè)兩點運動的角速度為，所以，解得：，所以兩點分別從同時出發(fā)，按箭頭方向沿圓周以每秒弧度角速度運動，運動秒后，，，，，當(dāng)時，，所以，故B正確；對于C，令，所以，則，當(dāng)時，，所以不存在時刻，使得點在球面上相遇，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，，或，，兩個時刻的時間差為8秒，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等比數(shù)列的前項的乘積為，若，則__________．【答案】【解析】由可得：，所以，又因為為等比數(shù)列，所以，所以,所以.故答案為：.13.已知直線，若為拋物線上的動點，則點到直線的距離最小時點的坐標為__________．【答案】【解析】因為為拋物線上的動點，所以可設(shè)，則到的距離為：，則時，，此時，故答案為：.14.如圖，正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為為的中點，若，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】因為正三棱柱的底面邊長為2，為的中點，所以，過點作軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，所以，，因為，設(shè)，，，所以，所以，所以，，所以，當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值，所以的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的圓心分別為，半徑分別為，的圓心為點，半徑為．（1）寫出的標準方程，并判斷其位置關(guān)系；（2）若與外切且與內(nèi)切，求圓心的軌跡方程．解：（1）的圓心分別為，半徑分別為，所以的標準方程為；的標準方程為，可得，可知，所以內(nèi)切.（2）因為動圓P的半徑為，因為動圓P與與外切且與內(nèi)切，則，且，由橢圓的定義可知，動點P在以為焦點，8為長軸長的橢圓上，設(shè)橢圓的方程為，半焦距為c，則，，則，又因為內(nèi)切，則點P不能在切點處，即橢圓應(yīng)去掉點，所以動圓的圓心P的軌跡方程為．16.已知復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，且，其中是的共軛復(fù)數(shù)，．（1）證明：數(shù)列和均為等比數(shù)列．（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求．解：（1）因為復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位，，且，，所以，所以，所以，又可得,所以，所以：數(shù)列和均是等比數(shù)列.（2）因為，所以，所以，.17.如圖，已知在四棱錐中，底面是邊長為2菱形，其中是等腰直角三角形，，點在棱上，且三棱錐的體積為，點是棱的中點．（1）判斷是否為棱的中點，并說明理由；（2）求平面與底面所成角的余弦值．解：（1）取的中點，連接，因為，，所以，，.又因為是菱形，，所以，，因為，所以，平面，所以平面，因為，平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，所以.因為，所以點M到平