2024-2025學(xué)年河北省邢臺(tái)市部分學(xué)校高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺(tái)市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊至選擇性必修第二冊第四章第二節(jié).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列滿足，，則（）A.10 B.13 C.37 D.118【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，所?故選：.2.直線與直線平行，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】由兩直線平行可知，即，此時(shí)兩直線方程分別為，，滿足兩直線平行，綜上所述，故選：A.3.拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為7，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，解得，故，解得或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：B.4.在三棱臺(tái)中，，為線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故選：.5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，原點(diǎn)到直線的距離為，且點(diǎn)到直線的距離為，則滿足條件的直線共有（）A.條 B.條 C.條 D.條【答案】D【解析】與原點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，即；與點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合是以為圓心，為半徑的圓，即；因?yàn)閳A心距，所以圓與圓外離，這兩圓共有條公切線，所以適合條件的直線共有條，故選：D.6.已知點(diǎn)，，，，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易得，，，，則，所以的面積，設(shè)平面的法向量為，則，可取，所以點(diǎn)到平面的距離，則三棱錐的體積是.故選：.7.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為邊作等邊三角形,的兩邊,分別交該橢圓于兩點(diǎn).若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】連接，則，得，由，得，故該橢圓的離心率為.故選：D.8.已知點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，直線與互相垂直，當(dāng)時(shí)，，直線與互相垂直，且直線經(jīng)過定點(diǎn)，直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以.設(shè)，則，即，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓（挖去與）上，所以的最大值為，最小值為.故的取值范圍是，故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則下列命題是真命題的是（）A.是直線的一個(gè)方向向量B.若平面的一個(gè)法向量是，則C.若平面的一個(gè)法向量是，且，則D.若為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則，，，四點(diǎn)共面【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：因?yàn)椋?，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，即，又，所以，C選項(xiàng)正確；若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以，即，則，，，四點(diǎn)共面，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.10.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)（，）是雙曲線上的點(diǎn)，直線，的傾斜角分別為，，則（）A.雙曲線的實(shí)軸長為16B.當(dāng)時(shí)，C.的最小值為3D.當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為16【答案】BCD【解析】由雙曲線方程知，.對于選項(xiàng)A，易得雙曲線實(shí)軸長為，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，.由題意知，，又由，得，所以，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C，D，由圖形得，則,又同號(hào)，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的面積為，故C，D正確.故選：BCD11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（，且）.若，，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.數(shù)列中的最小項(xiàng)為C.D.若，，則【答案】ACD【解析】對A，由，得，則，即，即為，且，又，滿足上式，則，，，，等式左右分別相乘可得，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差中項(xiàng)，A選項(xiàng)正確；對B，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為，即數(shù)列的最小項(xiàng)為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對C，因?yàn)閍n所以a12a對D，因?yàn)?14n+3所以數(shù)列，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，則，得，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______，準(zhǔn)線方程為______.【答案】；【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.故答案為：；.13.“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”此即著名的“孫子問題”，最早載于《孫子算經(jīng)》，研究的是整除與同余的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將到這個(gè)數(shù)中，被除余且被除余的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有__________項(xiàng).【答案】【解析】由題意可知，既是的倍數(shù)，又是的倍數(shù)，即，所以，令，即，解得，因?yàn)?，所以，故該?shù)列共有項(xiàng)，故答案為：.14.在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若與底面所成角的正弦值為，則的最大值是______.【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A0,0,0，，，，所以，，，，，則.由已知可得是平面的一個(gè)法向量.，平方得：，整理得：.因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立令，則不等式可轉(zhuǎn)化為，解得或（舍去），則，故的最大值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是，的等差中項(xiàng)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是，的等差中項(xiàng)，得，即，解得，由，得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，，所以.16.如圖，在直三棱柱中，為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的大小.解：（1）由直三棱柱性質(zhì)以及可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又可得則,所以，可得，即；所以，又平面，可得平面（2）易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得，即；由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，所以，又，可得.所以平面與平面夾角的大小為.17.已知圓的圓心在直線上,直線.（1）求的值；（2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）過（2）中的點(diǎn)作圓的切線，求直線的一般式方程.解：（1）由已知圓，則圓心，又圓心在直線上，即，解得；（2）由（1）得圓，即，即，半徑，設(shè)，則中點(diǎn)為，且，所以由對稱可知，解得，即，所以圓；（3）根據(jù)題意可得直線的斜率存在，則可設(shè)直線的方程為，即，則，解得或，故直線的方程為或，即一般式方程為或.18.已知橢圓的焦距為4,點(diǎn)在上，直線與交于，兩點(diǎn).（1）求的方程.（2）若，求的最大值.（3）若點(diǎn)與重合，過作斜率與互為相反數(shù)的直線，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，試問直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）依題意可得解得故的方程為.（2）依題意可得直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立可得，則，，，，由弦長公式可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為.（3）根據(jù)題意可得直線的方程為，設(shè)，由得，則，得，，設(shè)直線的方程為，.由得，則，得，，直線的斜率為，故直線的斜率是定值，且定值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，利用公式，可得到點(diǎn)（到原點(diǎn)的距離不變）.現(xiàn)將雙曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（到原點(diǎn)的距離不變）得到雙曲線.（1）求雙曲線的方程.（2）若點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作斜率為的直線，與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo).（3）過雙曲線的右焦點(diǎn)作斜率不為0的直線，與雙曲線的兩支交于，兩點(diǎn).試問是否存在定直線，與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出該定直線；若不存在，請說明理由.解：（1）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)為，則，即，得，則，故所求雙曲線的方程為；（2）設(shè)Ax1,根據(jù)題意可得，兩式作差，可得，因?yàn)?，，所以，得，?jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，故點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3；（3）根據(jù)題意易得直線的斜率存在，且不為，設(shè)直線的方程為，其中或，因?yàn)楹愠闪ⅲ詾榈慕瞧椒志€，設(shè)，，假設(shè)存，由，得，，，，因?yàn)?，所以，即，，即，因?yàn)?，整理可得，即，所以存在定直線，使得恒成立.河北省邢臺(tái)市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場號(hào)?座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊至選擇性必修第二冊第四章第二節(jié).一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列滿足，，則（）A.10 B.13 C.37 D.118【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，所?故選：.2.直線與直線平行，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】由兩直線平行可知，即，此時(shí)兩直線方程分別為，，滿足兩直線平行，綜上所述，故選：A.3.拋物線上一點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為7，則點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以，解得，故，解得或，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：B.4.在三棱臺(tái)中，，為線段的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】.故選：.5.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，原點(diǎn)到直線的距離為，且點(diǎn)到直線的距離為，則滿足條件的直線共有（）A.條 B.條 C.條 D.條【答案】D【解析】與原點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，即；與點(diǎn)距離為的點(diǎn)的集合是以為圓心，為半徑的圓，即；因?yàn)閳A心距，所以圓與圓外離，這兩圓共有條公切線，所以適合條件的直線共有條，故選：D.6.已知點(diǎn)，，，，則三棱錐的體積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易得，，，，則，所以的面積，設(shè)平面的法向量為，則，可取，所以點(diǎn)到平面的距離，則三棱錐的體積是.故選：.7.如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為邊作等邊三角形,的兩邊,分別交該橢圓于兩點(diǎn).若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】連接，則，得，由，得，故該橢圓的離心率為.故選：D.8.已知點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知，當(dāng)時(shí)，直線與互相垂直，當(dāng)時(shí)，，直線與互相垂直，且直線經(jīng)過定點(diǎn)，直線經(jīng)過定點(diǎn)，所以.設(shè)，則，即，則點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，5為半徑的圓（挖去與）上，所以的最大值為，最小值為.故的取值范圍是，故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則下列命題是真命題的是（）A.是直線的一個(gè)方向向量B.若平面的一個(gè)法向量是，則C.若平面的一個(gè)法向量是，且，則D.若為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則，，，四點(diǎn)共面【答案】ACD【解析】A選項(xiàng)：因?yàn)?，所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，即，又，所以，C選項(xiàng)正確；若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，，因?yàn)椋?，即，則，，，四點(diǎn)共面，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.10.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)（，）是雙曲線上的點(diǎn)，直線，的傾斜角分別為，，則（）A.雙曲線的實(shí)軸長為16B.當(dāng)時(shí)，C.的最小值為3D.當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為16【答案】BCD【解析】由雙曲線方程知，.對于選項(xiàng)A，易得雙曲線實(shí)軸長為，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，.由題意知，，又由，得，所以，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C，D，由圖形得，則,又同號(hào)，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的面積為，故C，D正確.故選：BCD11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（，且）.若，，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.數(shù)列中的最小項(xiàng)為C.D.若，，則【答案】ACD【解析】對A，由，得，則，即，即為，且，又，滿足上式，則，，，，等式左右分別相乘可得，即，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差中項(xiàng)，A選項(xiàng)正確；對B，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取最小值為，即數(shù)列的最小項(xiàng)為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對C，因?yàn)閍n所以a12a對D，因?yàn)?14n+3所以數(shù)列，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，則，得，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______，準(zhǔn)線方程為______.【答案】；【解析】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.故答案為：；.13.“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”此即著名的“孫子問題”，最早載于《孫子算經(jīng)》，研究的是整除與同余的問題.現(xiàn)有這樣一個(gè)問題：將到這個(gè)數(shù)中，被除余且被除余的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則該數(shù)列共有__________項(xiàng).【答案】【解析】由題意可知，既是的倍數(shù)，又是的倍數(shù)，即，所以，令，即，解得，因?yàn)?，所以，故該?shù)列共有項(xiàng)，故答案為：.14.在四棱柱中，平面，，，，，其中，.若與底面所成角的正弦值為，則的最大值是______.【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A0,0,0，，，，所以，，，，，則.由已知可得是平面的一個(gè)法向量.，平方得：，整理得：.因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立令，則不等式可轉(zhuǎn)化為，解得或（舍去），則，故的最大值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是，的等差中項(xiàng)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由是，的等差中項(xiàng)，得，即，解得，由，得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）得，，所以.16.如圖，在直三棱柱中，為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的大小.解：（1）由直三棱柱性質(zhì)以及可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又可得則,所以，可得，即；所以，又平面，可得平面（2）易知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，解得，即；由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，所以，又，可得.所以平面與平面夾角的大小為.17.已知圓的圓心在直線上,直線.（1）求的值；（2）求圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）過（2）中的點(diǎn)作圓的切線，求直線的一般式方程.解：（1）由已知圓，則圓心，又圓心在直線上，即，解得；（2）由（1）得圓，即，即，半徑，設(shè)，則中點(diǎn)為，且，所以由對稱可知，解得，即，所以圓；（